tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

2016卷全国高考一卷新课标I文科数学真题及答案试题解析.doc



绝密★启封并使用完毕前

试题类型:课标卷 1

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
(1)设集合 A ? {1,3,5,7} , B ? {x | 2 ? x ? 5} ,则 A ? B ? (A){1,3}(B){3,5}(C){5,7}(D){1,7} (2)设 (1 ? 2i)(a ? i) 的实部与虚部相等,其中 a 为实数,则 a= (A)-3(B)-2(C)2(D)3 (3)为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,学.科.网余下的 2 种 花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是

1 1 5 1 (A) 3 (B) 2 (C) 3 (D) 6
(4)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a ? 5 , c ? 2 , cos A ? (A) 2 (B) 3 (C)2(D)3 1 (5)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ,则该椭圆的离心率 4 为 1 1 2 3 (A) (B) (C) (D) 3 2 3 4 π 1 (6)若将函数 y=2sin (2x+ )的图像向右平移 个周期后,所得图像对应的函数为 6 4 π π π π (A)y=2sin(2x+ ) (B)y=2sin(2x+ ) (C)y=2sin(2x– ) (D)y=2sin(2x– ) 4 3 4 3 (7)如图,学.科网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 .若该几何体的 28π 体积是 ,则它的表面积是 3
1

2 ,则 b= 3

(A)17π (B)18π (C)20π (D)28π (8)若 a>b>0,0<c<1,则 (A)logac<logbc(B)logca<logcb(C)ac<bc(D)ca>cb (9)函数 y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为

(A)

(B)

(C)

(D )

(10)执行右面的程序框图,如果输入的 x ? 0, y ? 1, n=1,则输出 x, y 的值满足 (A) y ? 2 x (B) y ? 3x (C) y ? 4 x (D) y ? 5 x

( 11 ) 平 面

?

过 正 文 体 ABCD—A1B1C1D1 的 顶 点 A

? //平面CB1D1 , ? ? 平面ABCD ? m ,

? ? 平面ABB1 A1 ? n ,则 m,n 所成角的正弦值为
(A)

1 3 3 2 (B) (C) (D) 3 2 3 2

(12)若函数 f ( x) ? x - sin 2 x ? a sin x 在 ? ??, ??? 单调递增,则 a 的取值范围是 (A) ??1,1? (B) ? ?1, ? (C) ? ? , ? (D) ? ?1, ? ? 3 3 3 3

1 3

? ?

1? ?

? 1 1? ? ?

? ?

1? ?

2

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 (22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分
(13)设向量 a=(x,x+1),b=(1,2),且 a ? b,则 x=. (14)已知 θ 是第四象限角,且 sin(θ+

π 3 π )= ,则 tan(θ– )=. 4 5 4

(15)设直线 y=x+2a 与圆 C:x2+y2-2ay-2=0 相交于 A,B 两点,若,则圆 C 的面积为。 (16)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg, 乙材料 1kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元。学.科网该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在 不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元。

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本题满分 12 分) 已知 ?an ? 是公差为 3 的等差数列,数列 ?bn ? 满足 b1 =1,b2 = ,anbn ?1 ? bn ?1 ? nbn ,. (I)求 ?an ? 的通项公式; (II)求 ?bn ? 的前 n 项和. 18.(本题满分 12 分) 如图,在已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形,PA=6,顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 E,连接 PE 并延长交 AB 于点 G. (I)证明 G 是 AB 的中点; (II)在答题卡第(18)题图中作出点 E 在平面 PAC (说明作法及理由) ,并求四面体 PDEF 的体积. (19) (本小题满分 12 分) 某公司计划购买 1 台机器, 该种机器使用三年后即被淘 汰.机器有一易 损零件, 在购进机器时, 可以额外购买这种零件作为备 件, 每个 200 元. 在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件, 为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:

1 3

内的正投影 F

3

记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用(单 位:元) , n 表示购机的同时购买的易损零件数. (I)若 n =19,求 y 与 x 的函数解析式; (II)若要求学科&网“需更换的易损零件数不大于 n ”的频率不小于 0.5,求 n 的最小值; (III)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件,或每台都购买 20 个易损零件,分别计 算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件? (20) (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,直线 l:y=t(t≠0)交 y 轴于点 M,交抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连结 ON 并延长交 C 于点 H. (I)求

OH ON



(II)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其它公共点?说明理由. (21) (本小题满分 12 分) 已知函数. (I)讨论的单调性; (II)若有两个零点,求 a 的取值范围.

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以⊙O 为圆心,OA 为半径作圆. (I)证明:直线 AB 与 O 相切; (II)点 C,D 在⊙O 上,且 A,B,C,D 四点共圆,证明:AB∥CD.

4

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为(t 为参数,a>0) 。在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴 的极坐标系中,曲线 C2:ρ=4cosθ. (I)说明 C1 是哪种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (II)直线 C3 的极坐标方程为 θ=α0,其中 α0 满足 tanα0=2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上,求 a。 (24) (本小题满分 10 分) ,选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)= ∣x+1∣-∣2x-3∣. (I)在答题卡第(24)题图中画出 y= f(x)的图像; (II)求不等式∣f(x)∣﹥1 的解集。

【说明】 : 【参考版答案】非官方版正式答案,答案和解析为学科网解析团 队教师与学而思培优名师团队制作,有可能存在少量错误,仅供参考使用。

2016 年新课标 I 高考数学(理科)答案与解析
? 3? 1. A ? x x2 ? 4 x ? 3 ? 0 ? ?x 1 ? x ? 3? , B ? ? x 2 x ? 3 ? 0? ? ? x x ? ? . 2? ? ? 3 ? 故 A ? B ? ? x ? x ? 3? . ? 2 ?

?

?

故选 D.

?x ? 1 ?x ? 1 2. 由 ?1 ? i ? x ? 1 ? yi 可知: x ? xi ? 1 ? yi ,故 ? ,解得: ? . ?y ?1 ?x ? y

所以, x ? yi ? x2 ? y2 ? 2 . 故选 B.

5

3. 由等差数列性质可知: S9 ? 而 a10 ? 8 ,因此公差 d ? ∴ a100 ? a10 ? 90d ? 98 . 故选 C. 4. 如图所示,画出时间轴:

9 ? a1 ? a9 ? 2

?

9 ? 2a5 ? 9a5 ? 27 ,故 a5 ? 3 , 2

a10 ? a5 ?1 10 ? 5

7:30

7:40

7:50 A

8:00 C

8:10

8:20 D

8:30 B

小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中,而当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 时,才能保证他 等车的时间不超过 10 分钟 根据几何概型,所求概率 P ? 故选 B.
x2 y2 2 2 ? 2 ? 1 表示双曲线,则 m ? n 3m ? n ? 0 m ? n 3m ? n
2

10 ? 10 1 ? . 40 2

5.

?

??

?

∴ ?m2 ? n ? 3m2 由双曲线性质知: c2 ? m2 ? n ? 3m2 ? n ? 4m2 ,其中 c 是半焦距 ∴焦距 2c ? 2 ? 2 m ? 4 ,解得 m ? 1 ∴ ?1 ? n ? 3 故选 A. 6. 原立体图如图所示:

?

? ?

?

1 是一个球被切掉左上角的 后的三视图 8
6

7 表面积是 的球面面积和三个扇形面积之和 8
7 1 S = ? 4? ? 22 +3 ? ? ? 22 =17? 8 4 故选 A.
7. f ? 2? ? 8 ? e2 ? 8 ? 2.82 ? 0 ,排除 A

f ? 2? ? 8 ? e2 ? 8 ? 2.72 ? 1 ,排除 B
x ? 0 时, f ? x ? ? 2x2 ? e x

1 ? 1? f ? ? x ? ? 4x ? e x ,当 x ? ? 0, ? 时, f ? ? x ? ? ? 4 ? e0 ? 0 4 ? 4? ? 1? 因此 f ? x ? 在 ? 0, ? 单调递减,排除 C ? 4?
故选 D.

8. 对 A: 由于 0 ? c ? 1 ,∴函数 y ? xc 在 R 上单调递增,因此 a ? b ? 1 ? ac ? bc ,A 错误 对 B: 由于 ?1 ? c ? 1 ? 0 ,∴函数 y ? xc ?1 在 ?1, ?? ? 上单调递减, ∴ a ? b ? 1 ? ac ?1 ? bc ?1 ? bac ? abc ,B 错误 a ln c b ln c ln c ln c 对 C: 要比较 a logb c 和 b log a c ,只需比较 和 ,只需比较 和 ,只需 b ln b 和 a ln a ln b ln a b ln b a ln a 构 造 函 数 f ? x ? ? x ln x ? x ? 1? , 则 f ' ? x? ? ln x ? 1? 1? 0 , f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上 单 调 递 增 , 因 此

f ? a ? ? f ?b ? ? 0 ? a ln a ? b ln b ? 0 ?
又由 0 ? c ? 1 得 ln c ? 0 ,∴

1 1 ? a ln a b ln b

ln c ln c ? ? b loga c ? a logb c ,C 正确 a ln a b ln b

对 D: 要比较 log a c 和 log b c ,只需比较

ln c ln c 和 ln a ln b
1 1 ? ln a ln b

而函数 y ? ln x 在 ?1, ?? ? 上单调递增,故 a ? b ? 1 ? ln a ? ln b ? 0 ? 又由 0 ? c ? 1 得 ln c ? 0 ,∴ 故选 C. 9. 如下表: 循环节运 行次数
n ?1? ? x? x ? x ? ? 2 ? ?

ln c ln c ? ? loga c ? logb c ,D 错误 ln a ln b

y ? y ? ny ?

判断

x ? y ? 36
2 2

是否 输出

n ? n ? n ? 1?

7

运行前 第一次 第二次 第三次 输出 x ?

0
0

1

/ 否 否 是

/ 否 否 是

1

1 2
6

2
3

1 2 3 2

3 , y ? 6 ,满足 y ? 4 x 2 故选 C.
10.以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理 设抛物线为 y 2 ? 2 px ? p ? 0 ? ,设圆的方程为 x2 ? y 2 ? r 2 ,题目条件翻译如图:

F

? p ? 设 A x0 , 2 2 , D ? ? , 5 ? , 2 ? ?

? ? 点 A ? x , 2 2 ? 在抛物线 y
0

2

? 2 px 上,∴ 8 ? 2 px0 ??①

2 ? p ? ? p? 点 D ? ? , 5 ? 在圆 x2 ? y 2 ? r 2 上,∴ 5 ? ? ? ? r 2 ??② ? 2 ? ?2?

2 点 A x0 , 2 2 在圆 x2 ? y 2 ? r 2 上,∴ x0 ? 8 ? r 2 ??③

?

?

联立①②③解得: p ? 4 ,焦点到准线的距离为 p ? 4 . 故选 B. 11. 如图所示:

D α A B

C

D1 A1 B1

C1

∵ ?∥平面CB1 D1 ,∴若设平面 CB1 D1 ? 平面 ABCD ? m1 ,则 m1∥m
8

又∵平面 ABCD ∥平面 A1 B1C1 D1 ,结合平面 B1 D1C ? 平面 A1 B1C1 D1 ? B1 D1 ∴ B1 D1∥m1 ,故 B1 D1∥m 同理可得: CD1∥n 故 m 、 n 的所成角的大小与 B1 D1 、 CD1 所成角的大小相等,即 ?CD1 B1 的大小. 而 B1C ? B1 D1 ? CD1 (均为面对交线) ,因此 ?CD1B1 ? 故选 A. 12.由题意知:
? π ? ? +? ? k1 π ? ? 4 ? ? π ? +? ? k π+ π 2 ? ?4 2

?
3

,即 sin ?CD1 B1 ?

3 . 2

则 ? ? 2k ? 1 ,其中 k ? Z 5? ? π T ? π 5π ? ? f ( x) 在 ? , ? 单调,? ? ? ? , ? ? 12 18 36 36 18 12 2 ? ? 接下来用排除法 π? π ? ? π 3π ? ? 3π 5 π ? 若 ? ? 11,? ? ? ,此时 f ( x) ? sin ?11x ? ? , f ( x) 在 ? , ? 递增,在 ? , ? 递减,不满足 f ( x) 在 4 18 44 4 ? ? ? ? ? 44 36 ?
? π 5π ? ? , ? 单调 ? 18 36 ?

若 ? ? 9,? ? 故选 B.

π? π ? ? π 5π ? ,此时 f ( x) ? sin ? 9 x ? ? ,满足 f ( x) 在 ? , ? 单调递减 4? 4 ? ? 18 36 ?

? ? 13.由已知得: a ? b ? ? m ? 1,3?

? ?2 ?2 ?2 2 ∴ a ? b ? a ? b ? ? m ? 1? ? 32 ? m2 ? 12 ? 12 ? 22 ,解得 m ? ?2 .

14.设展开式的第 k ? 1 项为 Tk ?1 , k ??0,1,2,3,4,5?
k ∴ Tk ?1 ? C5 ? 2x ? 5? k

? x?

k

k 5? k ? C5 2 x

5?

k 2



4 5? k 4 5? 4 2 x 2 ? 10 x3 ? 3 时, k ? 4 ,即 T5 ? C5 2 故答案为 10.

当5?

9

15.由于 ?an ? 是等比数列,设 an ? a1qn?1 ,其中 a1 是首项, q 是公比.

?a1 ? 8 ?a1 ? a1q 2 ? 10 ?a1 ? a3 ? 10 ? ? ∴? ,解得: ? ?? 1. 3 q? ? ?a2 ? a4 ? 5 ? ?a1q ? a1q ? 5 ? 2
?1? 故 an ? ? ? ?2?
n?4

?1? ,∴ a1 ? a2 ? ... ? an ? ? ? ?2?

? ?3? ? ? ?2 ? ?...? ? n ? 4 ?

? 1 ?2 ?? ? ?2?

1

n? n ? 7 ?

?? ? 1 ?2? ?? ? ?2?

1 ?? 7 ? 49 ? ?? n ? ? ? ? 2? 4? ?
2

?? n ? ? 2 ? 1 ?2? 1 ?? 7 ? 49 ? ?? 2 ? 当 n ? 3 或 4 时, ?? n ? ? ? ? 取到最小值 ?6 ,此时 ? ? 2? 2? 4? ?2? ?? ?

1 ??

7?

2

?

49 ? ? 4? ?

取到最大值 2 6 .

所以 a1 ? a2 ? ... ? an 的最大值为 64.

16.设生产 A 产品 x 件,B 产品 y 件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,构造线性规则 约束为
?1.5 x ? 0.5 y ≤ 150 ? ? x ? 0.3 y ≤ 90 ?5 x ? 3 y ≤ 600 ? ? ?x ≥ 0 ?y≥0 ? ?x ? N * ? * ? ?y? N

目标函数 z ? 2100 x ? 900 y 作出可行域为图中的四边形,包括边界,顶点为 (60,100) (0, 200) (0, 0) (90,0)

在 (60,100) 处取得最大值, z ? 2100 ? 60 ? 900 ? 100 ? 216000

17.⑴ 2cos C ? a cos B ? b cos A? ? c

10

由正弦定理得: 2cos C ? sin A ? cos B ? sin B ? cos A? ? sin C

2cos C ? sin ? A ? B ? ? sin C
∵ A ? B ? C ? π , A 、B 、C ? ? 0 ,π ? ∴ sin ? A ? B ? ? sin C ? 0 ∴ 2cos C ? 1 , cos C ? ∵ C ? ? 0 ,π ? ∴C ?

1 2

π 3 1 2

⑵ 由余弦定理得: c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab ? cos C

7 ? a2 ? b2 ? 2ab ?

? a ? b?
S?

2

? 3ab ? 7

1 3 3 3 ab ? sin C ? ab ? 2 4 2

∴ ab ? 6 ∴ ? a ? b? ? 18 ? 7
2

a?b?5

∴ △ ABC 周长为 a ? b ? c ? 5 ? 7

18.⑴ ∵ ABEF 为正方形 ∴ AF ? EF ∵ ?AFD ? 90? ∴ AF ? DF ∵ DF ? EF =F ∴ AF ? 面 EFDC

AF ? 面 ABEF
∴平面 ABEF ? 平面 EFDC

11

⑵ 由⑴知
?DFE ? ?CEF ? 60?

∵ AB∥EF
AB ? 平面 EFDC

EF ? 平面 EFDC
∴ AB ∥平面 ABCD

AB ? 平面 ABCD
∵面 ABCD ? 面 EFDC ? CD ∴ AB ∥ CD ∴ CD ∥ EF ∴四边形 EFDC 为等腰梯形 以 E 为原点,如图建立坐标系,设 FD ? a

E ?0 , 0, 0?

B ?0 , 2a , 0?

?a 3 ? C? 0, a? ?2, 2 ? ? ?

A? 2 a, 2 a , ?0

??? ? ?a ??? ? ? 3 ? ??? , AB ? ? ?2a , ? 2a , a ? EB ? ? 0 , 2a , 0? , BC ? ? 0, 0? ?2, ? 2 ? ?
?? 设面 BEC 法向量为 m ? ? x ,y ,z ? .

?? ??? ? ?2a ? y1 ? 0 ?m ? EB ? 0 ? ? ,即 ? a ? ? ?? ??? 3 a ? z1 ? 0 ? ? ? x1 ? 2ay1 ? ?m ? BC ? 0 ?2 2

x1 ? 3 ,y1 ? 0 ,z1 ? ?1
?? m?

?

3 ,0 ,? 1

?

? 设面 ABC 法向量为 n ? ? x2 ,y2 ,z2 ?

12

? ??? ? ?a 3 ?n ? BC =0 az2 ? 0 ? ? x ? 2ay2 ? .即 ? 2 2 ? 2 ? ? ??? ? ?2ax ? 0 ?n ? AB ? 0 ? 2

x2 ? 0 ,y2 ? 3 ,z2 ? 4
? n ? 0 , 3 ,4

?

?

设二面角 E ? BC ? A 的大小为 ? . ?? ? m?n ?4 2 19 cos? ? ?? ? ? ?? 19 3 ? 1 ? 3 ? 16 m?n

∴二面角 E ? BC ? A 的余弦值为 ?

2 19 19

19.⑴ 每台机器更换的易损零件数为 8,9,10,11 记事件 Ai 为第一台机器 3 年内换掉 i ? 7 个零件 ? i ? 1,2,3,4? 记事件 Bi 为第二台机器 3 年内换掉 i ? 7 个零件 ? i ? 1,2,3,4? 由题知 P ? A1 ? ? P ? A3 ? ? P ? A4 ? ? P ? B1 ? ? P ? B3 ? ? P ? B4 ? ? 0.2 , P ? A2 ? ? P ? B2 ? ? 0.4 设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为 X ,则 X 的可能的取值为 16,17,18,19,20, 21,22

P ? X ? 16? ? P ? A1 ? P ? B1 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04 P ? X ? 17 ? ? P ? A1 ? P ? B2 ? ? P ? A2 ? P ? B1 ? ? 0.2 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.16 P ? X ? 18? ? P ? A1 ? P ? B3 ? ? P ? A2 ? P ? B2 ? ? P ? A3 ? P ? B1 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.24 P ? X ? 19? ? P ? A1 ? P ? B4 ? ? P ? A2 ? P ? B3 ? ? P ? A3 ? P ? B2 ? ? P ? A4 ? P ? B1 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.2
?0.2 ? 0.4 ? 0.24

P ? X ? 20? ? P ? A2 ? P ? B4 ? ? P ? A3 ? P ? B3 ? ? P ? A4 ? P ? B2 ? ? 0.4 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 P ? x ? 21? ? P ? A3 ? P ? B4 ? ? P ? A4 ? P ? B3 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.08 P ? x ? 22? ? P ? A4 ? P ? B4 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04

X P

16 0.04

17 0.16

18 0.24

19 0.24

20 0.2

21 0.08

22 0.04

⑵ 要令 P ? x ≤ n ? ≥ 0.5 ,? 0.04 ? 0.16 ? 0.24 ? 0.5 , 0.04 ? 0.16 ? 0.24 ? 0.24 ≥ 0.5 则 n 的最小值为 19 ⑶ 购买零件所需费用含两部分,一部分为购买机器时购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购 买的费用 当 n ? 19 时,费用的期望为 19 ? 200 ? 500 ? 0.2 ? 1000 ? 0.08 ? 1500 ? 0.04 ? 4040 当 n ? 20 时,费用的期望为 20 ? 200 ? 500 ? 0.08 ? 1000 ? 0.04 ? 4080 所以应选用 n ? 19

20.⑴ 圆 A 整理为 ? x ? 1? ? y2 ? 16 ,A 坐标 ? ?1,0? ,如图,
2

13

5

y

4

3

2

C
x

1

A
10 8 6 4 2

B
1

2

4

E

2

3

D
4

? BE∥AC ,则 ∠C ? ∠EBD ,由 AC ? AD, 则∠D ? ∠C ,

?∠EBD ? ∠D, 则 EB ? ED

?AE ? EB ? AE ? ED ? AD ? 4
所以 E 的轨迹为一个椭圆,方程为 ⑵ C1 :
x2 y 2 ? ? 1 ;设 l : x ? my ? 1 , 4 3 x2 y 2 ? ? 1 ,( y ? 0 ); 4 3

因为 PQ⊥l ,设 PQ : y ? ?m ? x ? 1? ,联立 l与椭圆C1
? x ? my ? 1 ? 2 得 3m2 ? 4 y2 ? 6my ? 9 ? 0 ; ?x y2 ? ? 1 ? 3 ?4

?

?

则 | MN |? 1 ? m | yM ? yN |? 1 ? m
2
y
5

2

36m2 ? 36 ? 3m2 ? 4 ? 3m2 ? 4

?

12 ? m2 ? 1? 3m2 ? 4



P

4

3

2

1

N
x

A
8 6 4 2

B
1

2

4

M

Q
2 3

4

圆心 A 到 PQ 距离 d ?

| ?m ? ?1 ? 1? | 1? m
2

?

| 2m | 1 ? m2



所以 | PQ |? 2 | AQ |2 ?d 2 ? 2 16 ?

4m2 4 3m2 ? 4 , ? 2 1? m 1 ? m2
14

? S MPNQ

2 1 1 12 ? m ? 1? 4 3m 2 ? 4 24 m 2 ? 1 1 ? | MN | ? | PQ |? ? ? ? ? 24 ?? 2 ?12,8 3 2 2 1 2 2 3m ? 4 1? m 3m ? 4 3? 2 m ?1

?

21.⑴ 由已知得: f ' ? x ? ? ? x ? 1? ex ? 2a ? x ? 1? ? ? x ? 1? ex ? 2a

?

?

① 若 a ? 0 ,那么 f ? x ? ? 0 ? ? x ? 2? ex ? 0 ? x ? 2 , f ? x ? 只有唯一的零点 x ? 2 ,不合题意; ② 若 a ? 0 ,那么 e x ? 2a ? e x ? 0 , 所以当 x ? 1 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增 当 x ? 1 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减 即:
x

? ??,1?
?

1
0

?1, ???
?

f '? x? f ? x?



极小值



故 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上至多一个零点,在 ? ??,1? 上至多一个零点 由于 f ? 2? ? a ? 0 , f ?1? ? ?e ? 0 ,则 f ? 2 ? f ?1? ? 0 , 根据零点存在性定理, f ? x ? 在 ?1, 2 ? 上有且仅有一个零点. 而当 x ? 1 时, e x ? e , x ? 2 ? ?1 ? 0 , 故 f ? x ? ? ? x ? 2? ex ? a ? x ? 1? ? e ? x ? 2? ? a ? x ? 1? ? a ? x ? 1? ? e ? x ? 1? ? e
2 2 2

则 f ? x ? ? 0 的两根 t1 ?
2

?e ? e2 ? 4ae ?e ? e2 ? 4ae ? 1 , t2 ? ? 1 , t1 ? t2 ,因为 a ? 0 ,故当 x ? t1 2a 2a

或 x ? t2 时, a ? x ? 1? ? e ? x ? 1? ? e ? 0 因此,当 x ? 1 且 x ? t1 时, f ? x ? ? 0 又 f ?1? ? ?e ? 0 ,根据零点存在性定理, f ? x ? 在 ? ??,1? 有且只有一个零点. 此时, f ? x ? 在 R 上有且只有两个零点,满足题意.

e ③ 若 ? ? a ? 0 ,则 ln ? ?2a ? ? ln e ? 1 , 2
15

当 x ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? ln ? ?2a ? ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e 即 f ' ? x ? ? ? x ? 1? ex ? 2a ? 0 , f ? x ? 单调递增; 当 ln ? ?2a ? ? x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e 调递减; 当 x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e 即:
x
ln ? ?2 a ? ln ? ?2 a ?

ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,

?

?

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? ?x ? 1? ?e x ? 2a ? ? 0 , f ? x ? 单

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增.

? ??,ln ? ?2a ??
+ ↑

ln ? ?2a ?
0 极大值

? ln ? ?2a ? ,1?


1
0 极小值

?1, ???
+ ↑

f '? x? f ? x?
而极大值

f? ?ln ? ?2a ?? ? ? ?2a ? ?ln ? ?2a ? ? 2? ? ? a? ?ln ? ?2a ? ? 1? ? ?a ? ?ln ? ?2a ? ? 2? ? ?1 ? 0
2 2

?

?

故当 x≤1 时, f ? x ? 在 x ? ln ? ?2a ? 处取到最大值 f ? 那么 f ? x ?≤f ? ?ln ? ?2a ?? ?, ?ln ? ?2a ?? ? ? 0 恒成立, 即 f ? x ? ? 0 无解 而当 x ? 1 时, f ? x ? 单调递增,至多一个零点 此时 f ? x ? 在 R 上至多一个零点,不合题意.

e ④ 若 a ? ? ,那么 ln ? ?2a ? ? 1 2
当 x ? 1 ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e
ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 ,

f ? x ? 单调递增
当 x ? 1 ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e
ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 ,

f ? x ? 单调递增
又 f ? x ? 在 x ? 1 处有意义,故 f ? x ? 在 R 上单调递增,此时至多一个零点,不合题意.

e ⑤ 若 a ? ? ,则 ln ? ?2a ? ? 1 2
当 x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e1 ? 2a ? e
ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 ,

16

f ? x ? 单调递增
当 1 ? x ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e
ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 ,

f ? x ? 单调递减
当 x ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? ln ? ?2a ? ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e
ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 ,

f ? x ? 单调递增
即:
x

? ??,1?
+ ↑

1
0 极大值

?1,ln ? ?2a ??


ln ? ?2a ?
0 极小值

?ln ? ?2a? , ???
+ ↑

f '? x? f ? x?

故当 x≤ln ? ?2a ? 时,f ? x ? 在 x ? 1 处取到最大值 f ?1? ? ?e , 那么 f ? x ?≤ ? e ? 0 恒成立, 即 f ? x? ? 0 无解 当 x ? ln ? ?2a ? 时, f ? x ? 单调递增,至多一个零点 此时 f ? x ? 在 R 上至多一个零点,不合题意. 综上所述,当且仅当 a ? 0 时符合题意,即 a 的取值范围为 ? 0, ?? ? .

⑵ 由已知得: f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,不难发现 x1 ? 1 , x2 ? 1 , 故可整理得: ?a ?

? x1 ? 2? e x 2 ? x1 ? 1?

1

?

? x2 ? 2? e x 2 ? x2 ? 1?

2

设 g ? x? ?

? x ? 2? e x ,则 g x ? g x ? 1? ? 2 ? 2 ? x ? 1?
2

? x ? 2? ? 1 x ,当 x ? 1 时, g ' x ? 0 , g x 单调递减;当 x ? 1 时, g ' x ? 0 , g x 单 那么 g ' ? x ? ? e ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? x ? 1?
调递增. 设 m ? 0 ,构造代数式:
g ?1 ? m ? ? g ?1 ? m ? ? m ? 1 1? m ?m ? 1 1? m 1 ? m 1? m ? m ? 1 2 m ? e ? e ? 2 e ? e ? 1? m2 m2 m ? m ?1 ?

17

设 h ? m? ? 则 h ' ? m? ?

m ? 1 2m e ? 1, m ? 0 m ?1
2m2

? m ? 1?

2

e2m ? 0 ,故 h ? m ? 单调递增,有 h ? m? ? h ? 0? ? 0 .

因此,对于任意的 m ? 0 , g ?1 ? m ? ? g ?1 ? m ? . 由 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 可知 x1 、 x 2 不可能在 g ? x ? 的同一个单调区间上,不妨设 x1 ? x2 ,则必有 x1 ? 1 ? x2 令 m ? 1 ? x1 ? 0 ,则有 g ? ?1 ? ?1 ? x1 ?? ? ? g? ?1 ? ?1 ? x1 ?? ? ? g ? 2 ? x1 ? ? g ? x1 ? ? g ? x2 ? 而 2 ? x1 ? 1 , x2 ? 1 , g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,因此: g ? 2 ? x1 ? ? g ? x2 ? ? 2 ? x1 ? x2 整理得: x1 ? x2 ? 2 .

22.⑴ 设圆的半径为 r ,作 OK ? AB 于 K
?AOB ? 120? ∵ OA ? OB ,

∴ OK ? AB , ?A ? 30? , OK ? OA ? sin30? ? ∴ AB 与 ⊙O 相切 ⑵ 方法一: 假设 CD 与 AB 不平行
CD 与 AB 交于 F

OA ?r 2

FK 2 ? FC ? FD ①
∵ A 、B 、C 、D 四点共圆 ∴ FC ? FD ? FA ? FB ? ? FK ? AK ?? FK ? BK ? ∵ AK ? BK ∴ FC ? FD ? ? FK ? AK ?? FK ? AK ? ? FK 2 ? AK 2 ② 由①②可知矛盾 ∴ AB ∥ CD

18

方法二: 因为 A, B, C, D四点共圆,不妨设圆心为 T , 因为 OA ? OB, TA ? TB, 所以 O, T 为 AB 的中垂线上, 同理
OC ? OD, TC ? TD, 所以 OT 为CD 的中垂线,所以 AB∥CD .

? x ? a cos t 23.⑴ ? ? y ? 1 ? a sin t
2

( t 均为参数)

∴ x2 ? ? y ? 1? ? a2 ①

1? 为圆心, a 为半径的圆.方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? a2 ? 0 ∴ C1 为以 ? 0 ,
∵ x2 ? y 2 ? ? 2 ,y ? ? sin ? ∴ ? 2 ? 2? sin ? ? 1 ? a2 ? 0 ⑵ C2 :? ? 4cos ? 两边同乘 ? 得 ? 2 ? 4? cos? ? ? 2 ? x2 ? y 2 ,? cos? ? x 即为 C1 的极坐标方程

? x2 ? y 2 ? 4 x
即 ? x ? 2? ? y 2 ? 4 ②
2

C3 :化为普通方程为 y ? 2 x
由题意: C1 和 C2 的公共方程所在直线即为 C3 ①—②得: 4 x ? 2 y ? 1 ? a2 ? 0 ,即为 C3 ∴ 1 ? a2 ? 0 ∴ a ?1 24.⑴ 如图所示:

19

? ? x ? 4 ,x ≤ ?1 ? 3 ? ⑵ f ? x ? ? ?3x ? 2 ,? 1 ? x ? 2 ? 3 ? 4 ? x ,x ≥ ? ? 2

f ? x? ? 1

当 x ≤ ?1 , x ? 4 ? 1 ,解得 x ? 5 或 x ? 3
∴ x ≤ ?1

3 1 , 3x ? 2 ? 1 ,解得 x ? 1 或 x ? 2 3 1 3 ∴?1 ? x ? 或 1 ? x ? 3 2 3 当 x ≥ , 4 ? x ? 1 ,解得 x ? 5 或 x ? 3 2 3 ∴ ≤ x ? 3或 x ? 5 2 1 综上, x ? 或 1 ? x ? 3 或 x ? 5 3 1? ? ∴ f ? x ? ? 1 ,解集为 ? ?? , ? ? ?1 ,3? ? ? 5 ,? ? ? 3? ?
当 ?1 ? x ?

20



推荐相关:

2016年全国高考文科数学(全国1卷word最强解析版)

2016全国高考文科数学(全国1卷word最强解析版)_数学_高中教育_教育专区。2016全国文科数学一卷 ,纯word版 2016 年全国文科数学试题(全国卷 1)第 I 卷(选择题...


2016年高考文科数学试卷及答案解析(新课标全国1卷)【WO...

2016高考文科数学试卷及答案解析(新课标全国1卷)【WORD版】 绝密★启封并使用完毕前 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 1 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)...


2016年高考新课标1文数试题及答案

2016高考新课标1数试题及答案_高考_高中教育_...年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学第Ⅰ卷一....{1,7} (2)设 (1 ? 2i)(a ? i) 的实部...


2016年全国高考新课标1卷文科数学试题及答案解析

2016全国高考新课标 1 卷文科数学试题第Ⅰ卷一、选择题,本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目...


2016年全国高考文科数学试题及解析全国卷I

2016全国高考文科数学试题及解析全国卷I_高考_高中...1 2 C. 2 3 D. 3 4 文科数学试卷 6. 将...2016年高考二卷新课标Ⅱ... 10页 免费 2016年高考...


2016年全国高考文科数学试题及答案-全国卷1

绝密★启封并使用完毕前 试题类型: 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 ...


2016年高考文科数学真题答案全国卷1

2016高考文科数学真题及答案全国卷 1 注意事项:...A 【解析试题分析: (1 ? 2i)(a ? i) ?...2016全国卷新课标1高考... 8页 1下载券 2016...


2016年高考全国卷1文科数学

2016高考全国卷1文科数学_高考_高中教育_教育专区...{1,7} (2)设 (1 ? 2i)(a ? i) 的实部...第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须...


2016年高考全国1卷文数试题(解析版)

2016高考全国1卷数试题(解析版)_高三数学_数学...-3 【答案】A 【解析试题分析: (1 ? 2i)...


2016年高考文科数学试卷及答案解析(新课标全国1卷)【WO...

2016高考文科数学试卷及答案解析(新课标全国1卷)【WORD版】_高考_高中教育_教育专区。2 绝密★启封并使用完毕前 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com