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2014版山东《复习方略》(人教A版数学理)


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课时提升作业(十六)
一、选择题
k 1.(2013·淄博模拟)若定积分 ?0 (2x ? 3x2 )dx ? 0 ,则 k 等于( )

/>(A)0 (C)0 或 1

(B)1 (D)以上都不对
?x 2 , ?2 ? x ? 0,
20 3

2.(2013·四平模拟)已知函数 f ? x ? ? ? (A)
4 3

?x ? 1, 0<x ? 2,

则 ?2 ?2 f ? x ? dx 的值为(

)

(B)4

(C)6

(D)

2 2 2 3 2 3.若 a=? 0 x dx , b=? 0 x dx , c=? 0 sin xdx ,则 a,b,c 的大小关系是(

)

(A)a<c<b

(B)a<b<c

(C)c<b<a

(D)c<a<b

4.(2013·济宁模拟)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定 为直线)行驶,甲车、乙车的速度曲线分别为 v 甲和 v 乙(如图所示).那么对于图 中给定的 t0 和 t1,下列判断中一定正确的是( )

(A)在 t1 时刻,甲车在乙车前面 (C)在 t0 时刻,两车的位置相同
-1-

(B)t1 时刻后,甲车在乙车后面 (D)t0 时刻后,乙车在甲车前面

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5.(2013·济南模拟)用 S 表示图中阴影部分的面积,则 S 的值是( )

(A) ?c a f ? x ? dx
b (C) ?a f ? x ? dx ? ?c b f ? x ? dx

(B) | ?c a f ? x ? dx |
b (D) ?c b f ? x ? dx ? ? a f ? x ? dx

t 6.已知 t>0,若 ?0 ? 2x ?1? dx ? 6 ,则 t 的值等于(

)

(A)2

(B)3

(C)6

(D)8
? 2

7.曲线 y=sin x, y=cos x 与直线 x=0, x= 所围成的平面区域的面积为( (A) ? (sinx-cosx)dx (C) ? (cosx-sinx)dx
? 2 0 ? 2 0

)

(B) ? (sinx-cosx)dx (D)2 ? (cosx-sinx)dx
? 4 0

? 4 0

8.物体 A 以 v=3t2+1(m/s)的速度在一直线 l 上运动,物体 B 在直线 l 上,且在 物体 A 的正前方 5 m 处,同时以 v=10t(m/s)的速度与 A 同向运动,出发后物体 A 追上物体 B 所用的时间 t(s)为( (A)3 (B)4 (C)5 ) (D)6

9.如图, 函数 y=-x2+2x+1 与 y=1 相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分), 则该闭合图形的面积是 ( )

-2-

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(A)1

(B)

4 3

(C) 3

(D)2

2? 10.(2013·唐山模拟)根据 ? 0 sin xdx=0 推断直线 x=0,x=2π ,y=0 和正弦

曲线 y=sin x 所围成的曲边梯形的面积时,正确结论为( (A)面积为 0 (B)曲边梯形在 x 轴上方的面积大于在 x 轴下方的面积 (C)曲边梯形在 x 轴上方的面积小于在 x 轴下方的面积 (D)曲边梯形在 x 轴上方的面积等于在 x 轴下方的面积 二、填空题 11.(2013·太原模拟)设 f ? x ?=?
? x 2,x ? [0, 1], 2 ?2-x,x ? (1,],

)

2 则 ?0 f(x)dx=______________.

12.已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与 x 轴在原点 处相切,且 x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为 ____________.
1 ,则 a 的值为 12

13.已知函数 f(x)=sin5x+1, 根据函数的性质、 积分的性质和积分的几何意义,
-3-

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?

探求 ? 2 ? f(x)dx 的值,结果是____________.
? 2

14.(能力挑战题)如图, 设点 P 从原点沿曲线 y=x2 向点 A(2,4)移动, 记直线 OP、 曲线 y=x2 及直线 x=2 所围成的面积分别记为 S1,S2,若 S1=S2,则点 P 的坐标 为___________.

三、解答题 15.(能力挑战题)求由抛物线 y2=x-1 与其在点(2,1),(2,-1)处的切线所围 成的面积.

答案解析
k k 1.【解析】选 B.因为 ?0 (2x ? 3x2 )dx ? (x 2 ? x3 ) |0 ? k 2 ? k3 ? 0, 又k>0,

所以 k=1,故选 B.
0 2 2 2.【解析】选 D. ? 2 x3 ?2 f ? x ? dx ? ? ?2 x dx ? ? 0 ? x ? 1? dx ?

1 3

0 ?2

1 8 ?( x 2 ? x) ? (0 ? ) ? 2 3 0

2

1 20 ( ? 4 ? 2 ? 0) ? . 2 3
2 2 2 3 4 2 x dx= x 3 |2 3.【解析】选 D. a=? 0 0 = , b= ? 0 x dx= x |0 =4 ,

1 3

8 3

1 4

-4-

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2 2 c=? 0 sin xdx=-cos x |0 = 1-cos 2 ? 2 ,

∴c<a<b. 4.【解析】选 A.可观察出曲线 v 甲,直线 t=t1 与 t 轴围成的面积大于曲线 v 乙, 直线 t=t1 与 t 轴围成的面积,故选 A. 5【解析】选 D.因为 x∈[a,b)时,f(x)<0,
b 所以 ?a f ? x ? dx< 0,

所以 S=S1+S2=
b ? ?a f ? x ? dx ? ? c b f ? x ? dx,

故选 D.
t t t t 6.【解析】选 B. ? 0 2xdx ? ? 0 1 dx ? x 2 0 ?x ? t 2 ? t , ? 2x ?1? dx ? ? 0 0 t

由 t2-t=6 得 t=3 或 t=-2(舍去). 【方法技巧】定积分的计算方法 (1)利用定积分的几何意义,转化为求规则图形(三角形、矩形、圆或其一部分 等)的面积. (2)应用微积分基本定理:
b 求定积分 ?a f ? x ? dx 时,可按以下两步进行,

第一步:求使 F′(x)=f(x)成立的 F(x); 第二步:计算 F(b)-F(a). 7.【解析】选 D.当 x∈[0, ]时,y=sin x 与 y=cos x 的图象的交点坐标 为( ,
? 4 ? 2 ),作图可知曲线 y=sin x,y=cos x 与直线 x=0,x= 所围成的 2 2 ? 2

平面区域的面积可分为两部分:一部分是曲线 y=sin x,y=cos x 与直线 x=0, x= 所围成的平面区域的面积;另一部分是曲线 y=sin x,y=cos x 与直线
-5-

? 4

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x= ,x= 所围成的平面区域的面积.且这两部分的面积相等,结合定积分定 义可知选 D.
t 8. 【解析】选 C.因为物体 A 在 t 秒内行驶的路程为 ?0 (3t 2+ 1)dt ,物体 B 在 t 秒内 t 行驶的路程为 ?0 10tdt ,所以 t t ?0 (3t 2+ 1- 10t)dt= (t 3+t- 5t 2 ) |0 =t 3+t- 5t 2= 5 ? (t- 5)(t 2+ 1)= 0 ,即 t=5.

? 4

? 2

9.【解析】选 B.函数 y=-x2+2x+1 与 y=1 的两个交点为(0,1)和(2,1),所
2 2 (-x 2+2x+ 1- 1)dx=? 0 (-x 2+2x)dx= . 以闭合图形的面积等于 ? 0

4 3

10.【思路点拨】y=sin x 的图象在[0,2π]上关于(π,0)对称,据此结合定 积分的几何意义判断. 【解析】选 D.y=sin x 的图象在[0,2π]上关于(π,0)对称,
2? ? ? ?0 sin xdx=? 0 sin xdx+? 2 0. ? sin xdx=
2 2 2 3 1 2 f ? x ? dx=?1 (2x- x 2 ) |1 = +4-2-2+ = . 11. 【解析】 ? 0 0 x dx+ ?1 (2-x)dx= x |0 +

1 3

1 2

1 3

1 2

5 6

答案:

5 6

12. 【解析】f′(x)=-3x2+2ax+b,∵f′(0)=0,∴b=0, ∴f(x)=-x3+ax2,令 f(x)=0,得 x=0 或 x=a(a<0).
1 1 S阴影=-? 0 -x 3+ax 2 )dx= a 4= ,∴a=-1. a( 12 12

答案:-1 13.【解析】∵函数 y=sin5x 是奇函数, ∴ ? 2 ? sin5 xdx ? 0 ,
? 2 ? ? ?

∴ ? 2 ? f(x)dx= ? 2 ? sin5 xdx + ? 2 ? 1dx=π.
? 2 ? 2 ? 2

?

答案:π
-6-

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14.【思路点拨】设直线 OP 的方程为 y=kx, P 点的坐标为(x0,y0),由 S1=S2 求出 k 的值,再求点 P 的坐标. 【解析】设直线 OP 的方程为 y=kx, P 点的坐标为(x0,y0),
x 2 则 ?0 (kx-x2 )dx=? 2 x (x -kx)dx ,
0 0

1 1 1 1 0 0 2 3 3 2 1 1 8 1 1 即 kx 0 2- x 03= -2k-( x 03- kx 0 2 ) , 2 3 3 3 2 4 4 4 16 解得 k= ,即直线 OP 的方程为 y= x,所以点 P 的坐标为( , ). 3 3 3 9 4 16 答案:( , ) 3 9
x =( x 3- kx 2 ) |2 即 ( kx 2- x 3 ) |0 x ,

15. 【思路点拨】 将抛物线方程化为 y=? x- 1 .利用导数求出其切线方程.再由定 积分的几何意义求面积. 【解析】 y=? x- 1 . y?x= ?
1 . 2 x- 1
1 2

∵过点(2,1)的直线斜率为 y? |x=2 = , 直线方程为 y-1=
1 2 1 1 (x-2),即 y= x.同理,过点(2,-1)的直线方程为 y= 2 2

- x,抛物线顶点在(1,0).如图所示:

由抛物线 y2=x-1 与两条切线 y= x,y=- x 围成的图形面积为:
S=S
3 1 2 4 2 2 2 2 - 2 ? x - 1dx = ? 2 ? 2 - 2 ? ? (x - 1) |1 =2- (1-0)= . AOB 1 2 3 3 3

1 2

1 2

【变式备选】 定义 F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞).令函数 f(x)=F(1, log2(x2-4x+9))的图象为曲线 C1,曲线 C1 与 y 轴交于点 A(0,m),过坐标原点
-7-

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O 向曲线 C1 作切线,切点为 B(n,t)(n>0),设曲线 C1 在点 A,B 之间的曲线段 与线段 OA,OB 所围成图形的面积为 S,求 S 的值.

【解析】因为 F(x,y)=(1+x)y,
log x ? 4x ?9? =x 2-4x+9 , 所以 f ? x ?=F(1,log 2 (x 2-4x+9))=2 ?
2 2

故 A(0,9),又过坐标原点 O 向曲线 C1 作切线,切点为 B(n,t)(n>0), f′(x)=2x-4.
? t ? n 2 ? 4n ? 9, 所以 ? ,解得 B(3,6), ?t ? ? 2n ? 4 ?n
x3 所以 S=? (x -4x+9-2x)dx=( -3x 2+9x) |3 0? 9 . 3
3 0 2

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