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点线面空间几何体直线方程知识点大全


第一章 第二章 第三章 第四章
一、公式:

空间几何体 点、直线、平面之间的位置关系 直线与方程 圆与方程

Ax ? By0 ? C 12.点 ( x0 , y0 )到直线Ax ? By ? C ? 0的距离为: 0 A2 ? B 2

二、基本注意点: 1.过点 (a, b) ,且平行于 x 轴的直线方程

是: y ? b ; 2.过点 (a, b) ,且平行于 y 轴的直线方程是: x ? a ; 三、典型习题:

1.若直线的倾斜角为 ? (? ? 90 ) ,则直线的斜率 k = tan ? 。
?

1.求过点 (2,3) ,并且在两轴上的截距相等的直线方程。
x y 解:①截距不为 0 时,设两轴上的截距都为 a ,则有直线方程为: ? ? 1 , a a x y 将 (2,3) 带入上式可得: a ? 5 ,所以直线方程为: ? ? 1 , 5 5

2.过点 P 1 ( x1 , y1 )和P 2 ( x2 , y2 ) 的直线的斜率为:

y2 ? y1 x2 ? x1

3.若不平行于 y 轴的两直线 l1 / / l2 ,则 k1 = k 2 ;若两直线 l1 ? l2 ,则 k1 ? k 2 = -1; 4.直线的点斜式方程: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 5.直线的斜截式方程: y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 6.直线的两点式方程: ? y2 ? y1 x2 ? x1

即: x ? y ? 5 ? 0 ; ②两轴上的截距都为 0 时,则直线过原点 (0, 0) ,由两点式可得:
y ?0 x?0 ,即: 3x ? 2 y ? 0 ? 3?0 2?0

综上所述:满足条件的直线方程为: x ? y ? 5 ? 0 或 3x ? 2 y ? 0 . (注:做本题时要分截距为 0 和截距不为 0 两种情况,切不可直接将方程设为
A C ,截距为 ? . B B x y ) ? ? 1 ,因为用该方程时,要求截距不为 0。 a b

x y 7.直线的截距式方程: ? ? 1 a b

8.直线的一般式方程: Ax ? By ? C ? 0 ,此时,斜率为 ? 9.对于两直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 和 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 (1)若 A1B2 ? A2 B1 ? 0 ,两直线相交; (2)若 A1B2 ? A2 B1 ? 0 ,两直线平行或重合; (3)若 A1 A2 ? B1B2 ? 0 ,若两直线垂直。 10.点 ( x1 , y1 )和( x2 , y2 )的中点坐标是 (
x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2
2

2.已知直线 l1 : x ? my ? 6 ? 0 , l2 : (m ? 2) x ? 3 y ? 2m ? 0 ,求满足下列条件的 m 值: (1) l1和l2相交 ; (2) l1 ? l2 ; (3) l1 / / l2 ; (4) l1和l2重合 ; 解: (1)? l1和l2相交 ,? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 , 即: 1? 3 ? (m ? 2) ? m ? 0 解得: m ? ?1且m ? 3

(2)? l1 ? l2 , A1 A2 ? B1B2 ? 0 , 即: 1? (m ? 2) ? 3 ? m ? 0 (3) (4) A1B2 ? A2 B1 ? 0 , 即: 1? 3 ? (m ? 2) ? m ? 0 解得: m ? ?1或m ? 3 解得: m ?
1 2

( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) 11.若 P 1P 2 ? 1 ( x1 , y1 )和P 2 ( x2 , y2 ) ,则: P

2

检验: m ? ?1时,l1 : x ? y ? 6 ? 0, l2 : ?3x ? 3 y ? 2 ? 0, 此时,两直线平行,所以,
m ? 3时,l1 : x ? 3 y ? 6 ? 0, l2 : x ? 3 y ? 6 ? 0, 此时,两直线重合

16. 线、面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该线 与此平面垂直; 17. 线、面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行; 18. 面、面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直; 19. 面、面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一 个面垂直; 二、 典型题:

综上所示: m ? ?1 时两直线平行; m ? 3 时两直线重合.

一、 公式及定理:
r r ? l) ; 1. 圆柱的侧面积公式: S侧 ? 2? rl ,表面积公式: S表 ? 2?(
r r ? l) ; 2. 圆锥的侧面积公式: S侧 ? ? rl ,表面积公式: S表 ? ?(

1. 线、线角:
2 2

(r ? r ' ? rl ? r ' l ) ; 3. 圆台的侧面积公式: S侧 ? ? ? l ? (r ? r ') ,表面积公式: S表 ? ?

(1)两直线平行时,夹角为 0? ; (2)两直线相交时,其夹角为它们所成的不大于 90? 的角; (3)两直线异面时,平移使它们相交然后求它们所成的不大于 90? 的角; 2.线、面角 (1)线在面内或线与面平行时,夹角为 0? ; (2)线与面垂直时,夹角为 90? ; (3) 线 l 与面 ? 斜交时, 设斜足为 A, 在线 l 上取异于点 A 的一点 P,并过点 P 做 PO ? ? ,
O 为垂足,则 OA 所在直线即为直线 l 在平面 ? 内的摄影,此时, ?PAO 即为直线 l 与平面 ? 的夹角。

4. 球的表面积公式: S表 ? 4? R 2 5. 柱体(圆柱、棱柱)的体积公式: V ? Sh
1 6. 锥体(圆锥、棱锥)的体积公式: V ? Sh 3 1 7. 台体(圆台、棱台)的体积公式: V ? ( S '? S ? S ' ? S )h 3 4 8. 球体的体积公式: V ? ? R3 3

9. 空间两直线的位置关系:相交、平行、异面; 10. 空间直线和平面的位置关系:线在面内、线与面平行、线与面相交; 11. 空间平面与平面的位置关系:面与面平行、面与面相交; 12. 线、面平行的判定定理:平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则该 直线和此平面平行; 13. 线、面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与 此平面的交线与该直线平行; 14. 面、面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两 个平面平行; 15. 面、面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,则它们的交 线平行;

3.面、面角 (1)面与面平行时,夹角为 0? ; (2)面与面相交时,可通过求二面角的平面角求得二面角的大小,方法为:在两个 半平面的交线上任取一点 P,并过点 P 分别在两个半平面内做交线的垂线,则两 垂线的夹角即为二面角的平面角。


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