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2016年青岛酒店管理职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解析)


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2016 年青岛酒店管理职业技术学院单招数学模拟试题(附 答案解析)
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数

,则 ( )

A.

B.z 的实部

为 1 D.z 的共轭复数为 1+i

C.z 的虚部为﹣1

2.





的方程为(



(A)

B)

(C)

(D)


3、设抛物线的顶点在原点,准线方程为

,则抛物线的方程为(

4.双曲线

的渐近线方程为

A.

B.

C.

D.

5. 函数 (A)

在 (B)

上为减函数,在 (C)

上为增函数,则( (D)



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6.双曲线 |PF1|=3|PF2|, B.
7.曲线

(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且 则双曲线离心率的取值范围为 ( C.(3,+
在点



A.(1,2)

)

D.
处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )

A.

B.

C.

D.

8. 若双曲线

y2=4(m>0)的焦距为 8,则它的离心率为

A.

B.

C.

D.2

9.已知对任意实数 时, A. B. C. D.

,有 ,则 时 ( )

,且

10.抛物线

的焦点与双曲线

的右焦点的连线交

于第一象限的点 的一条渐近线,则 =

,若

在点 M 处的切线

平行于

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A. B. C. D.

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.设 ,若 f (x)在 x=1 处的切线与直线 . 垂直,则实数

a 的值为

12.复数 13.函数

(其中 为虚数单位)的虚部为 的单调减区间为

14.椭圆

的焦距为 2,则

的值等于

15.已知双曲线

的焦点

到一条渐近线的距离为

,点

为坐标原点,则此双曲线的离心率为

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤.

16.已知 求实数

是复数,若

为实数( 为虚数单位),且 满足 ,求|

为纯虚 的最值

数.(1)求复数

;(2)若复数

在复平面上对应的点在第四象限,

的取值范围(3)复数

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17.(本小题满分 12 分)
x2 已知椭圆 2 +y2=1,

(Ⅰ)求该椭圆的焦点坐标、长轴长、短轴长、离心率;
1 1 (Ⅱ)求过点 P (2,2)且被 P 平分的弦所在直线的方程.

18.(本小题满分 12 分)

设函数 (1)求 a、b 的值;





时取得极值.

(2)若对于任意的

,都有

成立,求 c 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分)用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长 方体的长与宽之比为 2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大 体积是多少?

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20.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 G: 点. (Ⅰ)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (Ⅱ)O 为坐标原点,求△OAB 的面积. ,过点(0,2)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 (1)求曲线 (2)若关于 的方程 在点 处的切线方程; 有三个不同的实根,求实数 的取值范围

参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分. CCDBC BDABD

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

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11. -1 12. 13. 14.3 或 5 15.2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程 或演 17.(本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)

,∴

∴焦点坐标 分 长轴长 分 短轴长 4分

……………………………………………………………………2

……………………………………………………………………………3

…………………………………………………………………………………

离心率 分

………………………………………………………………………6

(Ⅱ)法一:由题意可知,该直线的斜率存在,……………………………………7 分 1 1 不妨设所求直线方程为 y-2=k(x-2), 1 1 即 y=kx+2-2k. 1 由k, 得(2+4k2)x2+4k(1-k)x+(1-k)2-4=0,……………………………………………9 分 设直线与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 4k(1-k) 则 x1+x2=- 2+4k2 =1,…………………………………………………………10 分

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1 解之得 k=-2.……………………………………………………………………………11 分 ∴直线方程为 2x+4y-3=0. …………………………………………………………12 分

(Ⅱ)法二:设直线与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 由题意知,所求直线的斜率存在,设为 k,……………………………………………7 分 则 x1+x2=1,y1+y2=1. ………………………………………………………………8 分 2222 2 2 2 1 2 2 由1122=1,得 y1-y2=-2(x1-x2),……………………………………………9 分 y1-y2 1 x1+x2 1 1 ∴x1-x2=-2· y1+y2=-2,即 k=-2,……………………………………………11 分 1 1 1 ∴直线方程为 y-2=-2(x-2), 即 2x+4y-3=0. ………………………………………………………………………12 分

18. (本小题满分 12 分) 解:(1) 因为函数 在 及 …………………………………………1 分 取得极值,则有 , .

即 解得 ,

………………………………………………………3 分 …………………………………………………………4 分 ……………………5 分 .………………………………6 分

(2)由(Ⅰ)可知,

当 当

时, 时,

; ;

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当 所以,当 又 时, 时, , . 取得极大值 . ,

则当

时,

的最大值为

.………………10 分

因为对于任意的 所以 解得 或 , ,

,有

恒成立,

因此 的取值范围为 12 分

.…………………………………………………

19.(本小题满分 12 分) 解:设长方体的宽为 x(m),则长为 2x(m),高为

. 故长方体的体积为

………………………4 分 从而

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令 V′(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=1,因此 x=1.

当 0<x<1 时,V′(x)>0;当 1<x<

时,V′(x)<0,

故在 x=1 处 V(x)取得极大值,并且这个极大值就是 V(x)的最大 值。……………10 分 从而最大体积 V=V(x)=9×12-6×13(m3),此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m. 答:当长方体的长为 2 m 时,宽为 1 m,高为 1.5 m 时,体积最大,最大体积 为 3 m3。

………………………………………………………………………12 分

20.(本小题满分 13 分)
解:(Ⅰ)由已知得 a=2,b=1, 所以 c==. 所以椭圆 G 的焦点坐标为(-,0),(,0),………………………………………2 分 c 3 离心率为 e=a=2.…………………………………………………………………………4 分 (Ⅱ)设 l 的方程为 y=kx+2,即 kx-y+2=0, 2 由 l 与圆 x2+y2=1 相切得1+k2=1,……………………………………………………5 分 解得 k=± .…………………………………………………………………………………6 分 将 y=± x+2 代入 x2+4y2-4=0 得 13x2± 16x+12=0. ……………………………………………………………………7 分

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设 A(x1,y1),B(x2,y2), 3 12 则 x1+x2=13,x1x2=13,………………………………………………………………9 分 |AB|=2=2 12 24 =2 13=13.……………………………………………………………11 分 又 O 到 AB 的距离 d=1. …………………………………………………………………12 分 1 12 ∴S△OAB=2×|AB|×1=13.………………………………………………………13 分

21.(本小题满分 14 分) 解(1) ∴曲线 分 (2)记 在 处的切线方程为 ………………………………………2 分 ,即 ;……4

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令 则 或 1. ………………………………………………………………6 分

的变化情况如下表

极大 当 有极大值

极小 有极小值 . ………………………10 分



的简图知,当且仅当

即 函数

时, 有三个不同零点,过点 可作曲线 可作三条不同切线. 的三条不同切线, 的范围是 .…………14 分

所以若过点


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