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2013年4月杭州市重点高中2013高考命题比赛参赛试题高中数学20


2013 年高考模拟试卷数学卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 3 页, 非选择题部分 3 至 4 页.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔

把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上. 参考公式: 如果事件 A, B 互斥,那么 棱柱的体积公式

P( A ? B ) ? P ( A) ? P( B)
如果事件 A, B 相互独立,那么

V ? Sh 其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高
棱锥的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是

p ,那么

1 V ? Sh 3
其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 棱台的体积公式

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
Pn (k ) ? C p (1 ? p )
k n k n?k

, (k ? 0,1, 2,? , n)

球的表面积公式 一、
S ? 4? R 2

V ?

1 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3

其中 S1、S2 分别表示棱台的上、下底面积,

球的体积公式

h 表示棱台的高

4 V ? ?R 3 其中 R 表示球的半径 3

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知全集 U=R,集合 A ? {x | x ? 0} , B ? {x | 0 ? x ? 1} ,则 (CU A) ? B = A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | x ? 0} C. {x | x ? 1} D.R

1

2.两个非零向量 a , b 的夹角为 ? ,则“ a ? b ? 0 ”是“ ? 为锐角”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分 条件 D.既不充分也不必要条件

开始
x ? 1, y ? 1

(原创)3.右图是一个程序框图,运行这个程序,则输出的结果为

z? x? y
z ? 7?

2 A. 3
C.

3 B. 2
D.

否 输出

3 5

5 3


x? y

y x

y?z

结束

(根据温州二月卷改编)4.已知函数 f ( x) ? sin(x ? ? ) , g ( x) ? cos( x ? ? ) ,则下列结论中 正确的是 A.函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的最小正周期为 2? B.函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的最大值为 2

? 单位后得 g ( x) 的图象 2 ? D.将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移 单位后得 g ( x) 的图象 2
C.将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 (原创)5.已知等比数列 {a n } 前 n 项和为 S n ,则下列一定成立的是 A.若 a3 ? 0 ,则 a2013 ? 0 C.若 a3 ? 0 ,则 S 2013 ? 0 B.若 a 4 ? 0 ,则 a2014 ? 0 D.若 a 4 ? 0 ,则 S 2014 ? 0

?2 x ? y ? 4 ? (根据浙江六校卷改编)6.若实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,目标函数 z ? tx ? y 有最 ?x ? 2 y ? 2 ?

小值 6,则 t 的值可以为 A.3 B. ?3 C.1 7.已知函数 f ( x) ? a sin x ? x (a ?R),则下列错误的是 .. A.若 ?1 ? a ? 1 ,则 f ( x) 在 R 上单调递 减 B.若 f ( x) 在 R 上单调递减,则 ?1 ? a ? 1 C.若 a ? 1 ,则 f ( x) 在 R 上只有 1 个零点 D.若 f ( x) 在 R 上只有 1 个零点,则 a ? 1

D. ?1

8.现准备将 7 台型号相同的健身设备全部分配给 5 个不同的社区,其中甲、乙两个社区每 个社区至少 2 台 ,其它社区允许 1 台也没有,则不同的分配方案共有 A.27 种 B.35 种 C.29 种 D.125 种
[来源:www.shulihua.net]

2

(根据丽水调研卷改编)9.已知点 P 是双曲线 C:
? ?

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a ? 0, b ? 0) 左支上一点,F1,

F2 是双曲线的左、 右两 个焦点, PF1 ? PF2 =0, 2 与两条渐近线相交于 M, 两点 且 PF N (如 图) ,点 N 恰好平分线段 PF2,则双曲线的离心率是 A. 5 B.2 C. 3 D. 2

y
P M N
F1
O

F2

x

10.在平行四边形 ABCD 中, BC ? 2 AB ? 2, ?B ? 60o ,点 E 是线 段 AD 上任一点(不包含点 D ) ,沿直线 CE 将△ CDE 翻折成△

(第 9 题)

CD ' E ,使 D ' 在平面 ABCE 上的射影 F 落在直线 CE 上,则 AD ' 的最小值是

A. 4 ? 3

B. 4 ? 2

C.2

D. 3

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.已知复数 z 满足 z ? (1 ? i) ? 2 ? i (i 为虚数单位) ,则 复数 z= ▲ . (原创)12.已知几何体的三视图如右图所示,则 该几何体的体积为 ▲ . (原创)13.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a7 ? ?2, S9 ? 18 , 则 S11 ? ▲ .
5
3

4 8 8 8
正视图

8
侧视图

(第 12 题)

(根据绍兴调研卷改编)14. ( x ? 1)(x ? 1) 展开式中含 x 项的系数为 15.函数 f ( x) ?



俯视图





x 的单调递减区间是 ▲ . ln x ??? ? (根据台州卷改编)16.在 ?ABC 中,若 ?A ? 120? , AB ? AC ? ?1 ,则 | BC | 的最小值
是 ▲ (根据台州阶段性测试卷改编) 平面直角坐标系中, 17. 过原点 O 的直线 l 与曲线 y ? e
x ?3



3

于不同的 A,B 两点,分别过点 A,B 作 y 轴的平行线,与曲线 y ? e ln x 交于点 C,D, 则直线 CD 的斜率是 ▲ .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 (Ⅰ)求角 A, B 的大小; (Ⅱ)设函数 f ( x) ? sin( x ? A) ? cos x ,求 f ( x) 在 [? , ] 上的值域. 6 3

cos A b 2? . ? ,且 ?C ? cos B a 3

? ?

(根据嘉兴阶段性测试卷改编)19. (本小题满分 14 分) 袋中有九张卡片,其中绿色四张,标号分别为 0,1,2,3;黄色卡片三张,标号分别 为 0,1,2;黑色卡片两张,标号分别为 0,1.现从以上九张卡片中任取(无放回,且 每张卡片取到的机会均等)两张. (Ⅰ)求颜色不同且卡片标号之和等于 3 的概率; .. (Ⅱ)记所取出的两张卡片标号之积为 X ,求 X 的分布列及期望. ..

P Q
(根据龙泉阶段性测试卷改编)20. (本小题满分 15 分) 如图, 已知平面 QBC 与直线 PA 均垂直于 Rt ?ABC 所在平 面,且 PA=AB=AC. (Ⅰ)求证:PA∥ 平面 QBC; (Ⅱ)若 PQ ? 平面QBC ,求二面角 Q-PB-A 的余弦值.

C B

A

(根据温州阶段测试卷改编)21. (本小题满分 15 分) 已知椭圆 C 的中心在原点 O ,离心率 e ? ⑴求椭圆 C 的方程;

3 ,右焦点为 F ( 3 , 0) . 2

4

⑵设椭圆的上顶点为 A ,在椭圆 C 上是否存在点 P ,使得向量 OP ? OA与 FA 共线? 若存在,求直线 AP 的方程;若不存在,简要说明理由.

22. (本小题满分 15 分)

a ?1 ? 2(a ? 1) (a ? 0) . x (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若对于任意的 x ? (0, ??) ,恒有 f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围.
已知函数 f ( x) ? a ? ex ?

5

2013 年高考模拟试卷数学参考答案与评分标准
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 D 5 C 6 A 7 D 8 B 9 A 10 A

二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分)

3 1 11. ? i ;12. 512 ? 32? ;13.0;14.0;15. (0,1), (1, e) ;16. 6 ;17.e. 2 2 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18. (Ⅰ)∵

[来: ][来源:www.shulihua.net]

cos A b cos A sin B ,即 sin 2 A ? sin 2 B ? ,由正弦定理得 ? cos B a cos B sin A

(3 分) (6 分)

2 (Ⅱ) f ( x) ? sin( x ? A) ? cos x ? 3 sin( x ? ) 3

∴ A ? B或 A ? B ?

?

(舍去) ?C ? ,

2? ? ,则 A ? B ? 3 6

?

(10 分) (12 分)

? ? ? ? 2? ∵ x ? [? , ] ,则 ? x ? ? 6 3 6 3 3

? ? ? 2? 而正弦函数 y ? sin x 在 [ , ] 上单调递增,在 [ , ] 上单调递减 2 3 6 2
∴函数 f ( x) 的最小值为
3 ,最大值为 3 , 2

3 ? ? 即函数 f ( x) 在 [ , ] 上的值域为 [ , 3] . 2 6 2

(14 分)

19.(Ⅰ)从九张卡片中取出两张所有可能情况有 C92 ? 36 种 颜色不同且标号之和为 3 的情况有 6 种 ∴P? (Ⅱ)

6 1 ? 36 6

(5 分)

P( X ? 0) ?

21 3 6 3 1 2 , P( X ? 1) ? , P( X ? 2) ? , P( X ? 3) ? , P( X ? 4) ? , P( X ? 6) ? 36 36 36 36 36 36
0 1 2 3 4 6

X
P
EX ?

21 36

3 36

6 36

3 36

1 36

2 36
(14 分)

21 3 6 3 1 2 10 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 6 ? 36 36 36 36 36 36 9

6

20.方法一: 解: (I)证明:过点 Q 作 QD ? BC 于点 D , ∵平面 QBC ⊥平面 ABC 又∵ PA ⊥平面 ABC ∴ QD ∥ PA 又∵ QD ? 平面 QBC ∴ PA ∥平面 QBC ??6 分 (Ⅱ)∵ PQ ? 平面 QBC ∴ ?PQB ? ?PQC ? 90 ∴ ?PQB ? ?PQC ∴ AD ? 平面 QBC 设 PA ? 2a ∴ PQ ? AD ?
?

∴ QD ? 平面 ABC

又∵ PB ? PC , PQ ? PQ

∴ BQ ? CQ ∴ PQ ∥ AD , AD ? QD

∴点 D 是 BC 的中点,连结 AD ,则 AD ? BC ∴四边形 PADQ 是矩形 ??8 分

2a , PB ? 2 2a

∴ BQ ?

6a

过 Q 作 QR ? PB 于点 R , ∴ QR ?

2a ? 6a 6 PQ 2 2a 2 2 ? a , PR ? ? ? a 2 PB 2 2a 2 2 2a 取 PB 中点 M ,连结 AM ,取 PA 的中点 N ,连结 RN 1 1 1 ∵ PR ? PB ? PM , PN ? PA ∴ MA ∥ RN 4 2 2 ∵ PA ? AB ∴ AM ? PB ∴ RN ? PB ∴ ?QRN 为二面角 Q ? PB ? A 的平面角??12 分
连结 QN ,则 QN ? QP 2 ? PN 2 ?
2 2 2

2a 2 ? a 2 ? 3a

又∵ RN ?

2 a 2

3 2 1 2 a ? a ? 3a 2 QR ? RN ? QN 3 2 2 ? ?? ∴ cos ?QRN ? 2QR ? RN 3 6 2 2? a? a 2 2 3 即二面角 Q ? PB ? A 的余弦值为 ? ??14 分 3
方法二: (I)同方法一 ??????????????6 分
?

(Ⅱ)∵ PQ ? 平面 QBC ∴ ?PQB ? ?PQC ? 90 ,又∵ PB ? PC , PQ ? PQ ∴ ?PQB ? ?PQC ∴ AD ? 平面 QBC ∴ BQ ? CQ ∴ PQ ∥ AD , AD ? QD ∴点 D 是 BC 的中点,连结 AD ,则 AD ? BC

7

∴四边形 PADQ 是矩形 ????????8 分 分别以 AC , AB, AP 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz 设 PA ? 2a ,则 Q (a, a, 2a ) , B (0, 2a, 0) , P (0, 0, 2a ) , 设平面 QPB 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ∵ PQ ? (a, a, 0) , PB ? (0, 2a, ?2a )

?

??? ?

??? ?

? ? ax ? ay ? 0 ? n ? (1, ?1, ?1) ?2ay ? 2az ? 0 ?? 又∵平面 PAB 的法向量为 m ? (1, 0, 0) ??12 分 设二面角 Q ? PB ? A 为 ? ,则 ?? ? ?? ? m?n 3 | cos ? |?| cos ? m, n ?|? ?? ? ? 3 | m |?| n | 又∵二面角 Q ? PB ? A 是钝角
∴? ∴ cos ? ? ?

3 ????????????14 分 3

21.解:⑴设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

1分

? 椭圆 C 的离心率 e ?

3 ,右焦点为 F ( 3 , 0) , 2

?c?
a

3 , c ? 3 ,3 分 2

? a 2 ? b2 ? c 2 ,

? a ? 2, b ? 1, c ?
故椭圆 C 的方程为

3,

5分 6分 7分

x2 ? y 2 ? 1. 4

⑵假设椭圆 C 上是存在点 P ( x0 , y0 ) ,使得向量 OP ? OA与 FA 共线,

??? ??? ? ? ??? ? ? OP ? OA ? ( x0 , y0 ?1) , FA ? (? 3,1) ,

?

x0 ? 3

?

y0 ? 1 ,即 x0 ? ? 3( y0 ?1) , (1) 1

8分

又? 点 P ( x0 , y0 )在椭圆

x2 x2 ? y 2 ? 1上,? 0 ? y0 2 ? 1 4 4

(2)

9分

8

? 8 3 ? x0 ? ? ? x0 ? 0 ? 7 , 由⑴、⑵组成方程组解得 ? ,或 ? y0 ? ?1 ? ?y ? 1 ? 0 7 ?

11 分

? P(0, ?1) ,或 P(? 8

3 1 , ), 7 7

13 分

当点 P 的坐标为 (0, ?1) 时,直线 AP 的方程为 y ? 0 , 当点 P 的坐标为 P(?

8 3 1 , ) 时,直线 AP 的方程为 3x ? 4 y ? 4 ? 0 , 7 7
15 分

故直线 AP 的方程为 y ? 0 或 3x ? 4 y ? 4 ? 0 .

22. (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? e x ? ∴ f ' ( x) ? e x ?

2 ?4 x
(2 分)

2 ∴ f ' (1) ? e ? 2 2 x

∵ f (1) ? e ? 2 ∴ f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为: (e ? 2) x ? y ? 0 . (Ⅱ)∵ f ( x) ? a ? e x ?

(4 分)

ax e ? (a ? 1) a ?1 ? 2(a ? 1) ∴ f ' ( x) ? x x2
2 x

令 g ( x) ? ax2e x ? (a ? 1) ,则 g ' ( x) ? ax(2 ? x)e x ? 0 ∴ g ( x) 在 (0, ??) 上递增 (6 分)

∵ g (0) ? ?(a ? 1) ? 0 ,当 x ??? 时, g ( x) ? 0 ∴存在 x0 ? (0, ??) ,使 g ( x0 ) ? 0 , 且 f ( x) 在 (0, x0 ) 上递减, f ( x) 在 ( x0 , ??) 上递增 ∵ g ( x0 ) ? ax02e x0 ? (a ? 1) ? 0 ∴ ax02 e x0 ? a ? 1 ,即 ae x0 ?
a ?1 x0 2

(8 分) (10 分)

∵对于任意的 x ? (0, ??) ,恒有 f ( x) ? 0 成立 a ?1 a ?1 a ?1 ? 2(a ? 1) ? 0 ∴ 2 ? ? 2(a ? 1) ? 0 ∴ f ( x)min ? f ( x0 ) ? a ? e x0 ? x0 x0 x0 ∴
1 1 1 ? ? 2 ? 0 ∴ 2 x02 ? x0 ? 1 ? 0 ∴ ? ? x0 ? 1 x0 2 x0 2

∵ ax02 e x0 ? a ? 1 ∴ x02ex0 ?

a ?1 ?1 a

令 h( x0 ) ? x02e x0 ,而 h(0) ? 0 ,当 x0 ? ?? 时, h( x0 ) ? ?? ∴存在 m ? (0, ??) ,使 h(m) ? 1

9

∵ h( x0 ) ? x02e x0 在 (0, ??) 上递增,∴ x0 ? m ∴ m ? x0 ? 1 ∵ h( x0 ) ? x02e x0 在 (m,1] 上递增 ∴ h(m) ? h( x0 ) ? h(1) ∴1 ? (13 分)

a ?1 1 . ?e ∴a? a e ?1

(15 分)

10

2013 年高考模拟试卷数学答题卷
一、 选择题(每小题 5 分,共 50 分)

题号 选项

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、 11

填空题(每小题 4 分,共 28 分) 12 13 14

15

16

17

三、解答题(共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18.(14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 (Ⅰ)求角 A, B 的大小; (Ⅱ)设函数 f ( x) ? sin( x ? A) ? cos x ,求 f ( x) 在 [? , ] 上的值域. 6 3

cos A b 2? . ? ,且 ?C ? cos B a 3

? ?

11

19(14 分)袋中有九张卡片,其中红色四张,标号分别为 0,1,2,3;黄色卡片三张, 标号分别为 0,1,2;白色卡片两张,标号分别为 0,1.现从以上九张卡片中任取(无 放回,且每张卡片取到的机会均等)两张. (Ⅰ)求颜色不同且卡片标号之和等于 3 的概率; .. (Ⅱ)记所取出的两张卡片标号之积为 X ,求 X 的分布列及期望. ..

20. 14 分) ( 如图, 已知平面 QBC 与直线 PA 均垂直于 Rt ?ABC 所在平面, PA=AB=AC. 且 (Ⅰ)求证:PA∥ 平面 QBC; (Ⅱ)若 PQ ? 平面QBC ,求二面角 Q-PB-A 的余弦值.

P Q

C B

A

21.(15 分)已知椭圆 C 的中心在原点 O ,离心率 e ?

3 ,右焦点为 F ( 3 , 0) . 2

12

⑴求椭圆 C 的方程; ⑵设椭圆的上顶点为 A ,在椭圆 C 上是否存在点 P ,使得向量 OP ? OA与 FA 共线? 若存在,求直线 AP 的方程;若不存在,简要说明理由.

a ?1 ? 2(a ? 1) (a ? 0) . x (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;
22.(15 分)已知函数 f ( x) ? a ? ex ?

13

(Ⅱ)若对于任意的 x ? (0, ??) ,恒有 f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围.

14


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