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上海市2013-2014学年高二数学寒假作业9


高二数学寒假作业
满分 100 分,考试时间 90 分钟 姓名____________ 班级_________学号__________

一、填空题(本大题满分 36 分,每题 3 分) : 1.阅读如图所示的程序框图,输出结果 s 的值为_________________. 开始

s ? 1,n ? 1
n?4

/>是 否

s ? s ? cos

n? 9

输出 s

n ? n ?1

结束

2.若向量 a =(1,1), b =(2,5), c =(3,x)满足条件(8 a — b )· c =30,则 x=_________.

?

?

?

?

?

?

3.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是菱形,则该几何体的侧面积为

_________-.

4.在应用数学归纳法证明凸 n 变形的对角线为

1 n(n ? 3) 条时,第一步检验 n 等于____. 2

5.若数列

?a n ?的通项公式 a

n

?

1 , 记 cn ? 2(1 ? a1 )(1 ? a2 ) ? ? ? (1 ? an ) , 试推测 c n ? ( n ? 1)2

_________

1

6.设正数数列

?a n ?的前 n 项和是 S n ,若 ?a n ?和{

Sn

}都是等差数列,且公差相等,则

a1 ? d ? ______________.
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 7. 已 知 双 曲 线 a 的 一 条 渐 近 线 方 程 为 x ? 2 y ? 0, 则 椭 圆 x2 y 2 ? ?1 a 2 b2 的离心率 e ? _________

8. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点分别是 F 1 和 F 2 ,过原点 O 作直线与椭圆相交于 A , B 两点. 45 20

若 ?ABF2 的面积是 20,则直线 AB 的方程是_______________________. 9.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,已知 AC ? 3, B C ? 2 ,则 AB 边上的中线的
' ' ' '

实际长度为_____________.

10.设等差数列 { a } 的前 n 项和为
n

S n ,已知 a3 ? 12, S12 ? 0, S13 ? 0 .则公差 d 的取值范围





x2

11.已知双曲线 a

2

?

y2 b2

?1

(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,过点 F 作一条渐近线的垂线, 垂足为

3 2 a A , ?OAF 的面积为 2 ( O 为原点) ,则此双曲线的离心率是_______________.
12.OX,OY,OZ 是空间交于同一点 O 的互相垂直的三条直线,点 P 到这三条直线的距离分别 为 3,4,5,则 OP 长为_______. 二、选择题(本大题满分 12 分,每题 3 分):

2

13.设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, BC ? 16 , | AB ? AC |?| AB ? AC | , 则 | AM |? ( A.2 ) B.4 C.6 D.8

2

14.已知 O 为坐标原点,直线 y ? x ? a 与圆 x ? y ? 4 分别交于 A, B 两点.若
2 2

OA ? OB ? ?2 ,则实数 a 的值为(
A.1 B. 2 C. ? 1



D. ? 2

15.已知 m, n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,给出下列 4 个命题: ①若 m ? ? , n / /? , 则m / / n ③若 m ? ? , m ? ? , 则? / / ? 其中真命题的序号为( A.①② ) B.②③ C.③④ D.①④ ②若 m ? ? , n / /? , 则m ? n ④若 m / /? , n / /? , 则m / / n

16.点 (2, 0,3) 位于( A. y轴上

) C. xoz平面内 D. yoz平面内

B. x轴上

三、解答题(本大题满分 52 分): 17. (本题满分 6 分)已知抛物线 C : y ? 4 x 的准线与 x 轴交于 M 点,过 M 点斜率为 k 的
2

直线 l 与抛物线 C 交于 A 、 B 两点( A 在 M 、 B 之间). (1) F 为抛物线 C 的焦点,若 | AM |? (2)若 MB ? 4MA ,求 ?FMB 的面积

5 | AF | ,求 k 的值; 4

????

????

18. (本题满分 9 分).已知点 M 是椭圆 C:

x2 y 2 ? =1(a>b>0)上一点,F1、F2 分别为 C 的左、 a 2 b2
3

右焦点,|F1F2|=4, ∠F1MF2 =60 , ? F1 MF2 的面积为
o

4 3 3

(I) 求椭圆 C 的方程; (II) 设 N(0,2),过点 p(-1,-2)作直线 l ,交椭圆 C 异于 N 的 A、B 两点,直线 NA、 NB 的斜率 分别为 k1、k2,证明:k1+k2 为定值.

19. (本题满分 10 分).已知抛物线 y ? ? x 与直线 y ? k ( x ? 1) 相交于 A、B 两点.
2

(1)求证: OA ? OB ; (2)当 ?OAB 的面积等于 10 时,求 k 的值. 20. ( 本题满分 13 分 ). 设数列 ?an ? 的前项 n 和为 S n ,若对于任意的正整数 n 都有

Sn ? 2an ? 3n .
(1)设 bn ? an ? 3 ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列,并求出 ?an ? 的通项公式。 (2)求数列 ?nan ? 的前 n 项和.

21. (本题满分 14 分).如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱 A1 A ? 底面 ABC ,且各棱长 均相等,D、E、F 分别为棱 AB、BC、 A1C1 的中点. (1)证明: EF // 平面ACD . 1 (2)证明:平面 A1CD ? 平面A1 ABB1 . (3)求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值.

4

试卷答案 1.

1 16

2.4

3.

4.3 5.

n?2 n ?1

3 6. 4
3 7. 2

4 y?? x 3 8.
5 9. 2



10.

24 <d<-3 7

11.2 略

12.5

13.

5



14.D 略

15.B 略

16.C

17.(1)(1)法一:由已知 M (?1,0) 设 A( x1 , y1 ) ,则 | AM |? 1 ? k | x1 ? 1 | ,
2

| AF |? ( x1 ? 1) 2 ? y1 ? ( x1 ? 1) 2 ? 4 x1 ?| x1 ? 1 | ,
由 4 | AM |? 5 | AF | 得, 4 1 ? k 解得 k ? ?
2

2

?5,

3 4

法二:记 A 点到准线距离为 d ,直线 l 的倾斜角为 ? , 由抛物线的定义知 | AM |? ∴ cos? ? ?

5 d, 4

d 4 ?? , | AM | 5
6

∴ k ? tan? ? ? (2)方法一: ?

3 4

? y 2 ? 4x ? y ? k ( x ? 1)
????

? k 2 x 2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0

又 MB ? 4MA ? x 2 ? 1 ? 4( x1 ? 1) 求根公式代入可解出 k ? ? 方法二: ?

????

4 5 4 y?4?0 k

? y 2 ? 4x ? y ? k ( x ? 1)

? y2 ?

2 2 ???? ???? ( y ? y 2 ) 2 ? 2 y1 y 2 1 y ? y2 ? 1 MB ? 4MA ? y 2 ? 4 y1 ? 4 ? ? 1 4 y1 y 2 y1 y 2

16 ?8 17 k 2 4 ? ? ?k ?? 4 4 5
? S ?FMB ?


1 ?2?4 ? 4 2

18. 略

7

19.(1)证明:设 A(? y1 , y1 ), B(? y 2 , y 2 ) ,
2 2

??? ? ??? ? 2 2 ? N (?1,0) ,? NA ? (1 ? y1 , y1 ), NB ? (1 ? y2 , y2 ).
由 A,N,B 共线, y1 ? y1 y 2 ? y 2 ? y 2 y1 , ? ( y 2 ? y1 ) ? y1 y 2 ( y1 ? y 2 ) ,
2 2



y1 ? y 2



? y1 y 2 ? ?1



2 ? OA ? OB ? y1 y 2 ? y12 y 2 ? y1 y 2 (1 ? y1 y 2 ) ? 0 ? OA ? OB

.

(2)解:

S ?OAB

?y 2 ? ?x 1 ? ? ? 1 ? y 2 ? y1 y ? k ( x ? 1) ky2 ? y ? k ? 0 2 , 由? 得 .

? S ?OAB ?


1 1 1 1 ? 1 ? y 2 ? y1 ? ? 4 ? 10 , ? k ? ? 2 2 2 k 6.

20.解: (1) 两式相减,得 ∴

对于任意的正整数都成立,

, 即

,即 ∴数列 由已知得 ∴首项 是等比数列。 即 ,公比 ,

对一切正整数都成立。





8



21.

9


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