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012015年高考新课标I卷文科数学试题及答案


2015 年普通高等学校招生全国统一考试

新课标Ⅰ文科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 6 页, 满分 150 分.

第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 (1)已知集合 A

? {x x ? 3n ? 2, n ? N}, B ? {6,8,10,12,14},则集合 A 为 (A) 5 (B)4 (C)3 (D)2

B 中的元素个数

(2)已知点 A(0,1), B(3, 2) ,向量 AC ? (?4, ?3) ,则向量 BC ? (A) (?7, ?4) (B) (7, 4) (C) (?1, 4) (D) (1, 4)

(3)已知复数 z 满足 ( z ? 1)i ? 1 ? i ,则 z ? (A) ?2 ? i (B) ?2 ? i (C) 2 ? i (D) 2 ? i

(4)如果 3 个正数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数,从

1, 2,3, 4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为
(A)

3 10

(B)

1 5

(C)

1 10

(D)

1 20

(5)已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为

1 2 ,E 的右焦点与抛物线 C : y ? 8x 的焦点 2

重合, A, B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则 AB ? (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12

(6) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问 题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问 ”积及为米几何?”其 意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一) , 米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,米堆的体积和堆放的米各位 多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米有 文科数学试题 第 1 页(共 11 页)

(A) 14 斛

(B) 22 斛

(C) 36 斛

(D) 66 斛

(7)已知 {an } 是公差为 1 的等差数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和,若 S8 ? 4S4 ,则 a10 ? (A)

17 2

(B)

19 2

(C) 10

(D) 12

(8)函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x ) 的单调递减区间为

1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (B) (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (C) (k ? , k ? ), k ? Z 4 4 1 3 (D) (2k ? , 2k ? ), k ? Z 4 4
(A) ( k? ? (9)执行右面的程序框图,如果输入的 t ? 0.01 ,则输出的 n ? (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 , 且 f (a ) ? ? 3, 则

( 10 ) 已知 函 数 f ( x ) ? ?

? 2 x ?1 ? 2, x ? 1 ? ? log 2 ( x ? 1), x ? 1

f (6 ? a ) ?
(A) ?

4 7

(B) ?

5 4

(C) ?

3 4

(D) ?

1 4

(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组成一个几 何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体 的表面积为 16 ? 20? ,则 r ? (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 ( 12 ) 设 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 与 y ? 2
x?a

的 图 像 关 于 直 线 y ? ?x 对 称 , 且

f (? 2 ? ) f ?( 4 ? ) ,则 1 a?
(A) ?1 (B) 1 (C) 2 (D) 4

第Ⅱ卷
文科数学试题 第 2 页(共 11 页)

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)在数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an?1 ? 2an , Sn 为 ?an ? 的前 n 项和,若 Sn ? 126 ,则 n ? (14) 已 知 函 数 f .

? x? ?

a3 x? x ? 1 的 图 像 在 点 ?1, f ?1? ? 的 处 的 切 线 过 点 ? 2, 7 ? , 则

a?

.

? x? y?2?0 ? (15)若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z=3x+y 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
(16)已知 F 是双曲线 C : x ?
2

.

y2 A 0, 6 6 ? 1 的右焦点, P 是 C 左支上一点, 8
.

?

?

.当 ?APF 周

长最小时,该三角形的面积为

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分)
2 已知 a, b, c 分别是 ?ABC 内角 A, B, C 的对边, sin B ? 2sin A sin C .

(I)若 a ? b ,求 cos B; (II)若 B ? 90 ,且 a ? 2, 求 ?ABC 的面积. (17)解: (I)由题设及正弦定理可得 b =2ac. 又 a=b,可得 b=2c,a=2c.
2

a ? c2 ? b2 1 由余弦定理可得 cosB= = . 4 2ac
(II)由(I)知 b =2ac. 因为 B= 90 ,由勾股定理得 a ? c =b .
o 2 2 2

2

…… 6 分

2

故 a ? c =2ac ,得 c=a= 2 .
2 2

所以△ABC 的面积为 1.

…… 12 分

文科数学试题 第 3 页(共 11 页)

(18) (本小题满分 12 分) 如图四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 交点, BE ? 平面ABCD .

(I)证明:平面 AEC ? 平面 BED ; (II)若 ?ABC ? 120 , AE ? EC , 三棱锥 E ? ACD 的体积为 侧面积.

6 ,求该三棱锥的 3

(19)(本小题满分 12 分) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年 销售量(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的宣传费 xi ,和年销售量

yi ?i ? 1,2,3, ,8? 的数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

(I)根据散点图判断, y ? a ? bx 与 y ? c ? d x ,哪一个宜作为年销售量 y 关于年 宣传费 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (II)根据(I)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程;

文科数学试题 第 4 页(共 11 页)

(III)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z ? 0.2 y ? x ,根据(II)的结果回 答下列问题: (i)当年宣传费 x ? 90 时,年销售量及年利润的预报值时多少? (ii)当年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大?

(20) (本小题满分 12 分) 已知过点 A ?1,0 ? 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C: ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 交于 M,N 两点.
2 2

(I)求 k 的取值范围; (II) OM ? ON ? 12 ,其中 O 为坐标原点,求 MN .

(21)(本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? e
2x

? a ln x .

(I)讨论 f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? 的零点的个数; (II)证明:当 a ? 0 时, f ? x ? ? 2a ? a ln

2 . a

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答 时请写清题号。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图 AB 是圆 O 直径,AC 是圆 O 切线,BC 交圆 O 与点 E.

文科数学试题 第 5 页(共 11 页)

(I)若 D 为 AC 中点,求证:DE 是圆 O 切线; (II)若 OA ? 3CE ,求 ?ACB 的大小.

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x ? ?2 ,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点
2 2

为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求 C1 , C2 的极坐标方程; (II) 若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? 的面积.

π 设 C2 , C3 的交点为 M , N , 求 ?CM ?? ?R?, 2 N 4

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ?1 ? 2 x ? a , a ? 0 . (I)当 a ? 1 时求不等式 f ? x ? ? 1 的解集; (II)若 f ? x ? 图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

文科数学试题 第 6 页(共 11 页)

2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题答案
A 卷选择题答案
一.选择题 (1)D (7)B (2)A (8)D (3)C (9)C (4)C (5)B (6)B

(10)A (11)B (12)C

A、B 卷非选择题答案
二.填空题 (13)6 三.解答题 (18)解: (I)因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD. 因为 BE⊥平面 ABCD,所以 AC⊥BE,故 AC⊥平面 BED. 又 AC ? 平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 BED. (II)设 AB= x ,在菱形 ABCD 中,又∠ABC= 120
o

(14)1

(15)4

(16) 12 6

……5 分 ,可得

AG=GC=

x 3 x ,GB=GD= . 2 2

因为 AE⊥EC,所以在 Rt△AEC 中,可的 EG=

3 x. 2 2 x. 2

由 BE⊥平面 ABCD,知△EBG 为直角三角形,可得 BE=

文科数学试题 第 7 页(共 11 页)

由已知得,三棱锥 E-ACD 的体积 VE ? ACD = 故 x =2 从而可得 AE=EC=ED= 6 .

1 1 6 3 6 × AC·GD·BE= . x ? 3 2 24 3
……9 分

所以△EAC 的面积为 3,△EAD 的面积与 △ECD 的面积均为 5 . 故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+2 5 . (19)解: (I)由散点图可以判断,y=c+d 型. (II)令 w ?
8

……12 分

x 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类
……2 分

x ,先建立 y 关于 w 的线性回归方程式.由于

d=

? (w ? w)( y ? y)
i ?1 i i

? (w ? w)
i ?1 i

8

?

2

108.8 ? 68 , 1.6

c ? y ? d w ? 563 ? 68? 6.8 ? 100.6 ,
所以 y 关于 w 的线性回归方程为 y=100.6 ? 68w ,因此 y 关于 x 的回归方程为

y ? 100.6 ? 68 x

……6 分

(Ⅲ) (i)由(II)知,当 x =49 时,年销售量 y 的预报值

y ? 100.6 ? 68 49=576.6 ,
年利润 z 的预报值

z=576.6 ? 0.2 ? 49 ? 66.32
(ii)根据(II)的结果知,年利润 z 的预报值

……9 分

z=0.2(100.6+68 x )-x=-x ?13.6 x ? 20.12 .
所以当 x ?

13.6 =6.8 ,即 x =46.24 时, z 取得最大值. 2
……12 分

故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大. (20)解:

文科数学试题 第 8 页(共 11 页)

(I)由题设,可知直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 . 因为 l 与 C 交于两点,所以

2k ? 3 ? 1 1? k 2

?1 .

解得

4? 7 4 ? ?k ? 3 3

7
.

所以 k 的取值范围为 (

4? 7 4? 7 , ). 3 3

……5 分

(II)设 M ? x1 , y1 ? , N ( x2 , y2 ) . 将 y ? kx ? 1 代入方程 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 ,整理得

(1 ? k 2 ) x2 ? 4(1 ? k ) x ? 7 ? 0 .
所以 x1 ? x2 ?

4(1 ? k ) 7 , x1 x2 ? . 2 1? k 1? k 2

OM ? ON ? c1x2 ? y1 y2
? ?1 ? k 2 ? x1 x2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 1

?

4k ?1 ? k ? ?8. 1? k 2

由题设可得 ?

4k ?1 ? k ? ? 8 =12,解得 k=1,所以 l 的方程是 y=x+1. 1? k 2
……12 分

故圆心 C 在 上,所以 MN ? 2 . (21)解: (I) f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? , f ? ? x ? ? 2e 当 a ≤0 时, f ? ? x ??0,f ? ? x ? 没有零点; 当 a ? 0 时, 因为 e 单调递增,?
2x
2x

l

a ? ( x? 0) . x

a 单调递减, 所以 f ? ? x ? 在 ? 0, ??? 单调递增, 又 f ? ? a ??0 , x

当 b 满足 0<b<

a 1 且 b< 时, f ?(b)?0 ,故当 a <0 时 f ? ? x ? 存在唯一零点. 4 4
……6 分

(II)由(I) ,可设 f ? ? x ? 在 ? 0, ??? 的唯一零点为 x0 ,当 x ? ? 0,x0 ? 时, f ? ? x ? <0;

文科数学试题 第 9 页(共 11 页)

当 x ? ? x0, ? ?? 时, f ? ? x ? >0. 故 f ? x ? 在 ? 0, ? ?? 单调递减,在 ? x0, ? ? ? 单调递增,所以 x ? x0 时, f ? x ? 取得最小值, 最小值为 f ? x0 ? . 由于 2e
2 x0

?

a 2 2 a ? 0 ,所以 f ? x0 ? ? ? 2ax0 ? a1n ? 2a ? a1n . 2 x0 a a x0
2 . a
……12 分

故当 a ? 0 时, f ? x ? ? 2a ? a1n (22)解:

(I)连结 AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB. 在 Rt△AEC 中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE. 连结 OE,则∠OBE=∠OEB. 又∠OED+∠ABC= 90 ,所以∠DEC+∠OEB= 90 ,故∠OED= 90 ,DE 是
o o o

O 的切线. ……5 分

( II ) 设 CE=1 , AE= x , 由 已 知 得 AB= 2 3 , BE= 12 ? x2 . 由 射 影 定 理 可 得 ,

AE ? CE ? BE ,
所以 x2 ? 12 ? x2 ,即 x ? x ? 12 ? 0 .可得 x ? 3 ,所以∠ACB= 60 .
4 2

2

o

……10 分 (23)解: (I)因为 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,所以 C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? ?2 ,

C2 的极坐标方程为 ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 .
(II)将 ? ?

……5 分

?
4

代入 ? ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 ,得 ? 2 ? 3 2? ? 4 ? 0 ,解得
2

文科数学试题 第 10 页(共 11 页)

?1 ? 2 2, ?2 ? 2 .故 ?1 ? ?2 ? 2 ,即 MN ? 2
由于 C2 的半径为 1,所以 ?C2 MN 的面积为 (24)解: (I)当 a ? 1 时, f ? x ? ? 1 化为 x ?1 ? 2 x ?1 ?1 >0 . 当 x ? ?1 时,不等式化为 x ? 4>0 ,无解; 当 ?1<x<1 时,不等式化为 3x ? 2>0 ,解得 <x<1 ; 当 x ? 1 ,不等式化为- x +2>0,解得 1≤ x <2. 所以 f ? x ? ? 1 的解集为 ? x ︱ <x<2? .

1 . 2

……10 分

2 3

? 2 ? 3

? ?

……5 分

? x ? 12a, x< ? 1 ? (II)由题设可得, f ? x ? ? ?3 x ? 1 ? 2a, ?1 ? x ? a, ?? x ? 1 ? 2a, x<a. ?
所以函数 f ? x ? 的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为

2 2 ? 2a ? 1 ? A? ,0 ? , B ? 2a ? 1,0 ? , C ? a, a ? 1? ,△ABC 的面积为 ? a ? 1? . 3 ? 3 ?
由题设得

2 2 ? a ? 1? >6,故 a >2. 3
……10 分

所以 a 的取值范围为 ? 2, ? ?? .

文科数学试题 第 11 页(共 11 页)


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