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高中均值不等式讲解及习题


高中均值不等式讲解及习题
一.均值不等式 1. (1) 若 a, b ? R , 则 a 2 ? b 2 ? 2ab 时取“=”) 2. (1)若 a, b ? R * ,则
a ? b 时取“=” )
a ?b? (3)若 a, b ? R * ,则 ab ? ? ? ? ? 2 ?
2
2 2 (2)若 a, b ? R ,

则 ab ? a ? b (当且仅当 a ? b

2

a?b ? ab 2

(2)若 a, b ? R * ,则 a ? b ? 2 ab (当且仅当

(当且仅当 a ? b 时取“=” )

3.若 x ? 0 ,则 x ?

1 1 ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取“=” );若 x ? 0 ,则 x ? ? ?2 (当 x x

且仅当 x ? ?1 时取“=” ) 若 x ? 0 ,则 x ? 1 ? 2即x ? 1 ? 2或x ? 1 ? -2
x x x

(当且仅当 a ? b 时取“=” )

3.若 ab ? 0 ,则 a ? b ? 2
b a

(当且仅当 a ? b 时取“=” ) (当且仅当 a ? b 时取“=” )

若 ab ? 0 ,则

a b a b a b ? ? 2即 ? ? 2或 ? ? -2 b a b a b a
2 2

2 2 4.若 a, b ? R ,则 ( a ? b ) 2 ? a ? b (当且仅当 a ? b 时取“=” )

注: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和 为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最 大” . (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实 际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例 1:求下列函数的值域 (1)y=3x 2+ 1 2x
2

(2)y=x+

1

x

解: (1)y=3x 2+

1 ≥2 2x 2

3x 2〃 1 ≥2 x

1 = 6 2x 2 x〃

?值域为[ 6 ,+≦)

(2)当 x>0 时,y=x+

1 =2; x x〃 1 x =-2

1 1 当 x<0 时, y=x+ = -(- x- )≤-2 x x ?值域为(-≦,-2]∪[2,+≦) 解题技巧: 技巧一:凑项 例 1:已知 x ?
5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5

解:因 4 x ? 5 ? 0 ,所以首先要“调整”符号,又 (4 x ? 2)
4 x ? 2 要进行拆、凑项,

1 不是常数,所以对 4x ? 5

5 1 1 ? ? x ? ,? 5 ? 4 x ? 0 ,? y ? 4 x ? 2 ? ? ? ? 5 ? 4x ? ? ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 4 4x ? 5 5 ? 4x ? ?

1 ,即 x ? 1 时,上式等号成立,故当 x ? 1 时, ymax ? 1 。 5 ? 4x 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。

当且仅当 5 ? 4 x ?

技巧二:凑系数 例 1. 当 时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。 解析:由 知, ,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为 定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到 2 x ? (8 ? 2 x) ? 8 为定 值,故只需将 y ? x(8 ? 2 x) 凑上一个系数即可。

当 ,即 x=2 时取等号 当 x=2 时, y ? x(8 ? 2 x) 的最大值为 8。 评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可 利用均值不等式求最大值。 3 变式:设 0 ? x ? ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2 3 3 ? 2x ? 0 0? x? 解 : ≧ ? ? 2
9 ? 2x ? 3 ? 2x ? y ? 4 x(3 ? 2 x) ? 2 ? 2 x(3 ? 2 x) ? 2? ? ? 2 2 ? ?
2

当且仅当 2 x ? 3 ? 2 x, 即 x ? 技巧三: 分离

3 ? 3? ? ? 0, ? 时等号成立。 4 ? 2?

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 x ?1 解析一: 本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项, 再将其分离。

例 3. 求 y ?



,即

时, y ? 2 (x ? 1) ?

4 “=” 号) 。 ? 5 ? 9(当且仅当 x=1 时取 x ?1

技巧四:换元 解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令 t=x+1,化简原式在分 离求最值。
(t ? 1)2 ? 7(t ? 1 ) +10 t 2 ? 5t ? 4 4 = ? t ? ?5 t t t 4 当 ,即 t= 时, y ? 2 t ? ? 5 ? 9 (当 t=2 即 x=1 时取“=”号)。 t 评注: 分式函数求最值, 通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式 A ? B( A ? 0, B ? 0) ,g(x)恒正 子分开再利用不等式求最值。即化为 y ? mg ( x) ? g ( x) 或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。 y?

技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数
f ( x) ? x ? a x2 ? 5 的单调性。例:求函数 y ? 的值域。 x x2 ? 4
1 ? t ? (t ? 2) t x2 ? 4 1

2 解:令 x 2 ? 4 ? t (t ? 2) ,则 y ? x ? 5 ? x 2 ? 4 ?

x2 ? 4

1 1 因 t ? 0, t ? ? 1 , 但 t ? 解得 t ? ?1 不在区间 ? 2, ?? ? , 故等号不成立, 考虑单调性。 t t 1 因为 y ? t ? 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,所以在其子区间 ? 2, ?? ? 为单调递增函数, t 5 故y? 。 2

?5 ? 所以,所求函数的值域为 ? , ?? ? 。 ?2 ?

练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值.



1



y?

x 2 ? 3x ? 1 , ( x ? 0) x



2



y ? 2x ?

1 ,x ?3 x ?3

(3) y ? 2sin x ?

1 , x ? (0, ? ) sin x

2.已知 0 ? x ?1 ,求函数 y ?

x(1? x) 的 最 大 值 . ; 3 . 0 ? x ? , 求 函 数

2 3

y ? x( 2? 3x ) 的最大值.
条件求最值 1.若实数满足 a ? b ? 2 ,则 3 a ? 3b 的最小值是 .

分析: “和”到“积”是一个缩小的过程,而且 3a ? 3b 定值,因此考虑利用均 值定理求最小值, 解: 3 a 和3b 都是正数, 3 a ? 3b ≥ 2 3a ? 3b ? 2 3a?b ? 6 当 3 a ? 3b 时等号成立,由 a ? b ? 2 及 3 a ? 3b 得 a ? b ? 1 即当 a ? b ? 1 时,
3 a ? 3b 的最小值是 6.

变式:若 log4 x ? log4 y ? 2 ,求

1 1 ? 的最小值.并求 x,y 的值 x y

技巧六: 整体代换: 多次连用最值定理求最值时, 要注意取等号的条件的一致性, 否则就会出错。 。
1 9 2:已知 x ? 0, y ? 0 ,且 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y

错 解: ..

x ? 0, y ? 0 ,且

1 9 ? ? ? ? 1 , ? x ? y ? ? 1 ? 9 ? ? x ? y ? ? 2 9 2 xy ? 12 x y xy ? x y?



? x ? y ?min ? 12



错因:解法中两次连用均值不等式,在 x ? y ? 2 xy 等号成立条件是 x ? y ,在

1 9 9 ? ?2 x y xy

等号成立条件是

1 9 ? 即 y ? 9 x ,取等号的条件的不一致,产生错误。 x y

因此,在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而 且是检验转换是否有误的一种方法。
1 9 ? y 9x 正解: x ? 0, y ? 0, 1 ? 9 ? 1 ,? x ? y ? ? x ? y ? ? ? ? ? ? ? ? 10 ? 6 ? 10 ? 16
x y

?x

y?

x

y

当且仅当

1 9 y 9x ? 时 , 上 式 等 号 成 立 , 又 ? ? 1 , 可 得 x ? 4 , y ? 1 2时 , x y x y

?

? x ? y ?m i n ? 16

变式: (1)若 x, y ? R 且 2 x ? y ? 1 ,求 1 ? 1 的最小值
x y

(2)已知 a, b, x, y ? R 且 a ? b ? 1 ,求 x ? y 的最小值
?

x

y

技巧七、已知 x,y 为正实数,且 x +

2

y2
2

=1,求 x 1+y 2 的最大值.

分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式 ab≤ 1 , 2

a 2+b 2
2

。 1+y 2 2

同时还应化简 1+y 2 中 y2 前面的系数为 1 y2 + 2 2

x 1+y 2 =x

2〃

= 2 x〃

下面将 x,

1 y2 + 分别看成两个因式: 2 2 x 2+( ≤ 3 4 1 y2 + 2 2 2 2 1 )2 = x 2+ y2 1 + 2 2 2

x〃

1 y2 + 2 2



3 4

即 x 1+y 2 =

2 〃x

1 y2 + 2 2



技巧八:已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y=

ab

的最小值.

分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为 一元函数问题, 再用单调性或基本不等式求解, 对本题来说, 这种途径是可行的; 二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形 式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径 进行。 法一:a= 30-2b , b+1

ab=

30-2b -2 b 2+30b 〃b= b+1 b+1

由 a>0 得,0<b<15 令 t=b+1, 1<t<16, ab= 16 -2t 2+34t-31 =-2 (t+ 16 ) +34≧t+ 16

t

t

t

≥2

t〃

t

=8 ? y≥ 1 当且仅当 t=4,即 b=3,a=6 时,等号成 18

? ab≤18 立。

法二:由已知得:30-ab=a+2b≧ a+2b≥2 2 ab ? 30-ab≥ 2 2 ab 令 u= ab 则 u2+2 2 u-30≤0, -5 2 ≤u≤3 2 1 ? ab ≤3 2 ,ab≤18,?y≥ 18 a?b ? ab(a, b ? R ?) 点评:①本题考查不等式 的应用、不等式的解法及运算能 2 力;②如何由已知不等式 ab ? a ? 2b ? 30 出发求得 ab 的范围,关键是 (a, b ? R ?) 寻找到 a ? b与ab 之间的关系,由此想到不等式
a?b ? ab(a, b ? R ?) ,这样将 2

已知条件转换为含 ab 的不等式,进而解得 ab 的范围. 变式:1.已知 a>0,b>0,ab-(a+b)=1,求 a+b 的最小值。 2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。 技巧九、取平方

5、已知 x,y 为正实数,3x+2y=10,求函数 W= 3x + 2y 的最值. 解法一:若利用算术平均与平方平均之间的不等关系, 简单 3x + 2 5 解法二:条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数 式为积的形式,再向“和为定值”条件靠拢。 W > 0 , W2 = 3x + 2y + 2 3x 〃 2y = 10 + 2 3x 〃 2y ≤ 10 + 2y ≤ 2 ( 3x )2+( 2y )2 = 2 3x+2y =

a+b
2



a 2+b 2
2

,本题很

( 3x )2〃( 2y )2 =10+(3x+2y)=20 ? W≤ 20 =2 5 变式: 求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( 1 ? x ? 5 ) 的最大值。 解析:注意到 2 x ? 1 与 5 ? 2 x 的和为定值。
2 2

y2 ? ( 2x ?1 ? 5 ? 2x )2 ? 4 ? 2 (2x ?1)(5 ? 2x) ? 4 ? (2x ?1) ? (5 ? 2x) ? 8
又 y ? 0 ,所以 0 ? y ? 2 2
3 时取等号。 故 ymax ? 2 2 。 2 评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用均值不等式创造了条 件。 总之,我们利用均值不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还 要注意一些变形技巧,积极创造条件利用均值不等式。

当且仅当 2 x ? 1 = 5 ? 2 x ,即 x ?

应用二:利用均值不等式证明不等式 1.已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca
2 2 2

1)正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc
? 1 ?? 1 ?? 1 ? 例 6:已知 a、b、c ? R ? ,且 a ? b ? c ? 1 。求证: ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

分析:不等式右边数字 8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个

“2”连乘,又 1 ? 1 ? 1 ? a ? b ? c ? 2 bc ,可由此变形入手。
a a a a

1 2 ac 1 1 ? a b ? c 2 bc 解: a、 b、 c ? R ? ,a ? b ? c ? 1 。 。 同理 ? 1 ? , ? ?1 ? ? ? b b a a a a
1 2 ab 。上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得 ?1 ? c c

1 ? 1 ?? 1 ?? 1 ? 2 bc 2 ac 2 ab ? 8 。当且仅当 a ? b ? c ? 时取等号。 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 3 a b c ? a ?? b ?? c ?

应用三:均值不等式与恒成立问题
1 9 例:已知 x ? 0, y ? 0 且 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范 x y

围。 解: 令 x ? y ? k , x ? 0, y ? 0,
?1 ?

1 9 x ? y 9x ? 9 y 10 y 9 x ? ?1, ? ? ? 1. ? ? ? ?1 x y kx ky k kx ky

10 3 ? 2 ? 。? k ? 16 , m ? ? ??,16? k k

应用四:均值定理在比较大小中的应用: 例:若 a ? b ? 1, P ? lg a ? lg b , Q ? 关系是 .
1 a?b (lg a ? lg b), R ? lg( ) ,则 P, Q, R 的大小 2 2

分析:≧ a ? b ? 1 ? lg a ? 0, lg b ? 0
Q? 1 ( lg a ? lg b) ? lg a ? lg b ? p 2 a?b 1 R ? lg( ) ? lg ab ? lg ab ? Q 2 2

?R>Q>P。

2010 年高考均值不等式求最值聚焦 最值问题始终是高考数学的热点题型之一, 而利用均值不等式求函数的最值 是最为常见、应用十分广泛的方法之一.下面笔者以2010年高考试题为题材, 对高考中考查利用均值不等式求最值问题的基本特征和基本类型作一些分类解

析,供参考。 一、 基础题型。

1.直接利用均值不等式求解最值。 例 1: (2010 年高考山东文科卷第 14 题)已知 x, y ? R? ,且满足 ? 的最大值为 ________。
x 3 y x y ?2 ? 4 3 4

x 3

y ? 1 ,则 xy 4

解:因为 x>0,y>0,所以 ?

x y xy (当且仅当 ? ,即 x=6,y=8 3 3 4

时取等号),于是

xy ? 1 ,? xy ? 3. ,故 xy 的最大值位 3. 3

2 通过简单的配凑后,利用均值不等式求解最值。
2 例 2: (2010 年高考四川文科卷第 11 题)设 a>b>0 ,则 a ?

1 1 ? 的最 ab a ? a ? b ?

小值是( (A)1
2 解: a ?

) (B)2 (C)3 (D)4

1 1 1 1 2 ? w= a ? ab ? ab ? ? ab a ? a ? b ? ab a(a ? b)

= ab ?

1 1 ? a ( a ? b) ? ≥2+2=4 ab a ( a ? b)

当且仅当 ab=1,a(a-b)=1 时等号成立,如取 a= 2 ,b= 2 满足条件。 2 故选择答案 D 二、转化题型 1.和积共存的等式,求解和或积的最值。 例 3:(2010 年高考重庆理科卷第 7 题)已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则

x+2y 的最小值是( )

A. 3

B.

4

C.

9 2

D.

11 2
2

x ? 2y ? 解: 因为 x>0,y>0,所以 x ? 2 y ? 8 ? x ? (2 y) ? 8 ? ? ? ? , ? 2 ?
整理得 ?x ? 2 y ?2 ? 4?x ? 2 y ? ? 32 ? 0 即 ?x ? 2 y ? 4??x ? 2 y ? 8? ? 0 ,又 x ? 2 y ? 0 ,? x ? 2 y ? 4 等号当且仅当 x ? 2 y ? 2 时成立,故选择答案 B。 变式:因为 x>0,y>0,所以因为 x>0,y>0,所以 x ? 2 y ? 8 ? 2xy ? 2 2 xy , 整理得 xy ? 2 xy ? 4 ? 0 ,即 ?2 2 ? xy ? 2 ,所以 xy ? 2 等号当且仅当 x ? 2 y ? 2 时成立,故 xy 的最大值为 2. 2.分式型函数(
二次 一次 二次 )求解最值。 、 、 一次 二次 二次

例 4: (2010 年高考江苏卷第 14 题)将边长为 1 的正三角形薄片,沿一条平行于 底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记 S= _________。 解:设剪成的小正三角形的边长为 x ,则
S? (3 ? x)2 4 (3 ? x)2 ? ? 2 1 3 3 1? x ? ( x ? 1) ? ? (1 ? x) 2 2
2 ( 梯形的周长) ,则 S 的最小值是 梯形的面积

令 f ( x) ?

(3 ? x)2 x 2 ? 6 x ? 9 ?6 x ? 10 ,则 (0 ? x ? 1) f ( x ) ? ? ?1 1 ? x2 1 ? x2 1 ? x2

?6 x ? 10 2t 18t 18 ? ? 2 ? 2 令 t ? ?3x ? 5, (2 ? t ? 5) ,则 1 ? x 5 ? t 2 ?t ? 10t ? 16 16 1? ( ) ?(t ? ) ? 10 3 t

因为 2 ? t ? 5 ,所以 t ? 所以 t ?
16 最小值为 8 t

1 16 16 ? 2 t ? ? 8 ,等号当且仅当 t=4,即 x ? 时成立。 3 t t

故 f ( x) ?

x2 ? 6 x ? 9 的最小值为 8,S 的最小值是 32 3 。 2 1? x 3

例 5: (2010 年高考全国Ⅰ卷第 11 题)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的 两条切线,A、B 为两切点,那么 PA ? PB 的最小值为( (A) ?4 ? 2 (B) ?3 ? 2 (C) ?4 ? 2 2
A

) (D) ?3 ? 2 2

解:如图所示:设 PA=PB= x ( x ? 0) ,
O

∠APO= ? ,则∠APB= 2? ,PO= 1 ? x2 ,
sin ? ? 1 1 ? x2
B

P



例5图

PA ? PB ?| PA | ? | PB | cos 2? = x2 (1 ? 2sin 2 ? ) =

x 2 ( x 2 ? 1) x 4 ? x 2 = 2 , x2 ? 1 x ?1

令 PA ? PB ? y ,则 y ?

x4 ? x2 ,令 t ? x2 ? 1, t ? 0 , 2 x ?1

则y?

(t ? 1)2 ? (t ? 1) t 2 ? 3t ? 2 2 ? ? t ? ?3? 2 2 ?3 t t t
2 ,即 t ? 2 时成立。 t

等号当且仅当 t ?

故 (PA ? PB)min ? ?3 ? 2 2 .此时 x ? 练习:

2 ? 1 .,选择答案 D。

2.(2010 年高考山东理科卷第 14 题)若对任意 x ? 0 ,

x ? a 恒成立,则 x ? 3x ? 1
2

a 的取值范围是
答案: a ?
1 5



解:因为 x ? 0 ,所以 x ?

1 ? 2 (当且仅当 x=1 时取等号) ,所以有 x x 1 1 1 x 1 1 ? ? ? 2 的最大值为 ,故 a ? 。 x ? 3x ? 1 x ? 1 ? 3 2 ? 3 5 ,即 2 x ? 3x ? 1 5 5 x

3.(2010 年高考重庆文科卷第 12 题)已知 t ? o ,则函数 y ? 答案:—2

t 2 ? 4t ? 1 的最小值为 t

解: y ?

t 2 ? 4t ? 1 1 ? t ? ? 4 ? ?2( t ? 0) ,当且仅当 t ? 1 时, ymin ? ?2 . t t

4.(2010 年高考浙江文科卷第 15 题)若正实数 x,y

满足 xy ? 2 x ? y ? 6 ,则

xy 的最小值是
答案:18

。 (变式:求 2x+y 的最小值为______)

解:因为 x>0,y>0 ,所以 xy ? 2x ? y ? 6 ? 2 2xy ? 6 ,

xy ? 2 2xy ? 6 ? 0 ,解得 xy ? 3 2或 xy ? ? (舍) 2
等号当且仅当 2x=y=6 时成立,故 xy 的最小值为 18。 变式答案:12 解:因为 x>0,y>0 ,所以 xy ? 2 x ? y ? 6 ?
1 2x ? y 2 ( ) 2 2

整理得 (2x ? y)2 ? 8(2x ? y) ? 48 ? 0 ,解得 2 x ? y ? 12或2 x ? y ? ?4(舍) 等号当且仅当 2x=y=6 时成立,故 2x+y 的最小值为 12。


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