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余弦定理导学案


§1.1.2 余弦定理(导学案)
【使用说明】 1、预习教材 P5-P7 页,在规定时间完成预习学案 【预习目标】1.回顾向量知识,弄清 P5 向量法证明余弦定理,体会向量的工具性 2.弄清楚余弦定理的表达形式,能对表达式做简单的变形. 3.从余弦定理形式上看它与我们学习的那些知识联系比较紧密. 4 通过自主学习、合作讨论探究,体验学习的快乐 .【重点难点】余弦定理的证明和公式的应用.

一、知识链接
1.
在 ? ABC 中, c ? a ? b ? 2ab cos C ; b ? a ? c ? 2ac cos B ; a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2 2 2 2 2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 2. 变形: cos A ? ; cos B ? ; cos C ? . 2ab 2bc 2ac

二、教材导读
一、复习引入: 1 正弦定理:在任一个三角形中,
王新敞
奎屯 新疆



比相等,


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(R 为△ABC 外接圆半径)

2 正弦定理的应用 :从理论上正弦定理可解决两类问题: (1) .已知 (2) .已知 ,求其它两边和一角; ,求另一边的对角,进而可求其它的边和角 (注意解的情况)
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3.在 Rt△ABC 中(若 C=90?)有:

(勾股定理)

[问题]:在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角会有什么关系呢? 二、自主探究: 1.阅读教材,探索讨论余弦定理及其推导过程 :

C b A c a B

得出余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 即

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a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ; b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ac cos B ; c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

b2 ? c2 ? a2 推论: cos A ? 2bc
例 1 在

c2 ? a2 ? b2 cos B ? 2ca

a2 ? b2 ? c2 cosC ? 2ab

ABC 中,已知 a = 7,b = 5,c = 3,求 A,B 和 C.

变式训练:在Δ ABC 中, (1) a=1,b=1,C=120 ,求 c. (2) a=3,b=4,c= 37,求最大角。
0

例2 在

ABC 中,已知 a=

,b = 2, C = 30o ,解这个三角形

在Δ ABC 中,已知 a=8 ,B=60 ,c=4( 3+1),解这个三角形
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0

针对训练: 1、在Δ ABC 中,已知 a=7,b=3,c=5,求最大角和 sinC。

2、在Δ ABC 中,已知 a= 3,b= 2,B=45 ,解此三角形。 1 在△ABC 中,bcosA=acosB,则三角形为( ) A 直角三角形 B 锐角三角形 C 等腰三角形 在△ABC 中,sinA=2cosBsinC,则三角形为
王新敞
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D 等边三角形 三角形
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sin C 2 ? ( 6 ? 1) ,A = sin B 5 A 6 在△ABC 中,已知 sinB·sinC=cos2 ,试判断此三角形的形状。 2
4 在△ABC 中,BC=3,AB=2,且
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