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2007第四届中国东南地区数学奥林匹克试题及解答


第四届中国东南地区数学奥林匹克
第一天
(2007 年 7 月 27 日, 8:00-12:00, 浙江 ? 镇海) 一、 试求实数 a 的个数,使得对于每个 a,关于 x 的三次方程 x 3 有满足 x ? 1 0 0 0 的偶数根。 二、 如图,设 C、D 是以 O 为圆心、AB 为直 径的半圆上的任意两点,过点 B 作 ? O 的切线交直线 CD 交于 P 直线 PO 与直 , 线 CA、AD 分别交于点 E、F。证明: OE=OF。 三、 设 a i
i ? *? ? m in ? k ? k ? N ? ,试求 k ? ?
? ax ? a ? 1 都
F D C P

A

O

B

S n 2 ? ? a1 ? ? ? a 2 ? ? ? ? ? a n 2 ? ? ?
n ? 2,

的值,其中
E

? x ? 表示不超过 x 的最大整数。
n

四、 求最小的正整数 n,使得对于满足条件 ?
i ?1

a i ? 2 0 0 7 的任一具有

n 项的正整

数数列 a1 ,

a 2 , ? , a n ,其中必有连续的若干项之和等于

30。

第 二 天
(2007 年 7 月 28 日, 8:00-12:00, 浙江 ? 镇海) 五、 设函数 f ? x ? 满足: f ? x ? 1 ? ?
f

? x ? ? 2 x ? 1 ( x ? R ),且当 x ? ? 0 , 1 ? 时有 2 ? x ? ? 1 ,证明:当 x ? R 时,有 f ? x ? ? 2 ? x 。
f
M

六、 如图,直角三角形 ABC 中,D 是斜边 AB 的 中点, M B ? A B ,MD 交 AC 于 N;MC 的 延长线交 AB 于 E。证明:? D B N ? ? B C E 。 七、 试求满足下列条件的三元阵列(a, b, c): (i) a<b<c<100,a、b、c 为质数; (ii) a+1、b+1、c+1 组成等比数列。 八、 设正实数 a、b、c 满足:abc=1,求证:对 于整数 k ? 2 ,有
A D

N

C

E

B

a

k

a?b

?

b

k

b?c

?

c

k

c? a

?

3 2

答案
一、 令 x 0 ? 2 n, 为整数 且 | 2 n |? 1 0 0 0, | n| ?499 , n , 即 所以至多取 2 ? 4 9 9 ? 1 ? 9 9 9 个数,即 n ? { ? 4 9 9, ? 4 9 8, ?,0, 1, ? , 4 9 9} 。将 x 0 ? 2 n 代入原方程得
a ? 8n ? 1
3

2n ? 1
? n2

。记

f (n) ?

8n ? 1
3

2n ? 1

,对任意的 n1 , n 2 ? { ? 4 9 9, ? 4 9 8, ?,0, 1, ? , 4 9 9} ,
x1 2 , n2 ? x2 2

当 n1

( n1 , n 2 ? Z )时,若

f ( n1 ) ? f ( n 2 ) ,设 n1 ?

,其中 x1 ,

x 2 是关

于 x 的方程 x 3

? a x ? a ? 1 ? 0 的两个根,设另一根为 x 3 ,由根与系数的关系

x 3 ? ? ( x1 ? x 2 ) ? ? ? x1 x 2 ? x 2 x 3 ? x 3 x1 ? ? a ? x1 x 2 x 3 ? a ? 1 ?

即?

? 4N1 ? ?a ?8 N 2 ? a ? 1

(其中 N 1

? ? ( n1 ? n 2 ? n1 n 2 ), N 2 ? ? n1 n 2 ( n1 ? n 2 ) )
2 2

即 4 N 1 ? 8 N 2 ? 1 ,矛盾! 所以,对于不同的 n1 , n 2 ? { ? 4 9 9, ? 4 9 8, ?,0, 1, ? , 4 9 9},都有 于是满足条件的实数 a 恰有 999 个。 【另解】 对任意 | x |? 9 9 8 ,x 为偶数, a
3

f ( n1 ) ? f ( n 2 ) ,

?

x ?1
3

x ?1
?

的取值都各不相同。
3

反证,若存在 x1

? x 2 ,使得
2

x1 ? 1 x1 ? 1
2

x2 ? 1 x2 ? 1
2

,其中 x1 ,

x 2 为偶数,则

( x1 ? x 2 )( x1 x 2 ? x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? x1 x 2 ? 1) ? 0
2

由于 x1 ? x 2 ,则 x1 ? x 2 以 ( x1 ? x 2 )( x1 2 x 2 ? x1 x 2 2 共有 999 个。

? 0

,又因为 x1 2 x 2
2 2

? x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? x1 x 2 为偶数,所
2 2 2

? x1 ? x 2 ? x1 x 2 ? 1) ? 0 ,矛盾。因此满足条件的

a

二、 如图,作 O M ? C D 于 M,作 MN//AD, 设 M N ? B A ? N , C N ? D A ? K ,连 BC、 BM,则 ? N B C ? ? A D C ? ? N M C ,因此 N、B、M、C 共圆;又由 O、B、P、M 共圆,得
? O PM ? ? O BM ? 180? ? ? M C N

F D C
N M

P

A
K

O

B

所以 CN//OP,于是
CN OE ? AN AO ? NK OF ? (1)

E

因 M 为 CD 的中点,MN//DK,则 N 为 CK 的中点;故由(1)得,OE 【另证】 如图,过 O 作 O M ? C D 于 M ,连结 BC、BM、 BD、BE,因为 O M ? C D ,P B ? A B ,所以 O、 B、P、M 四点共圆,于是 ?BM P ? ?BOP ? ?AOE ,? EAO ? ?BDM , 所以 ? O A E
? ?M DB ,

? OF


F

D M C A O

P

B

AE BD

?

AO DM

?

AB CD

,从而 ,所
E

?BAE ? ?CDB

,? EBA ?
? OB OA

?BCD ? ?BAD

以 AD//BE, 三、 设 a i ? 1

OE OF

? 1 ,即

OE=OF。 ( k1 ?
N
*

i?1 i?1 ? *? ? m in ? k ? k ? N ? ? k1 ? k k1 ? ?

),则

a i ? k1 ?

i k1

? k1 ?
2

i?1 k1

? a i ? 1 ,即数列 ? a n ? 严格单增。
? 2m

由于 k

?

m k

? 2m

,(当 k=m 时取得等号),故 a m
? m ? m ? 1? k
2

2

?m ? N ? ;
*

又当 k=m、m+1 时, k

? 2 m ? 1 ,而在 k ? m

或k

? m ? 1 时,

?k

? m ? ? k ? m ? 1 ? ? 0 ,即 k ? ? 2 m ? 1 ? k ? m ? m ? 1 ? ? 0

,亦即

k ?
2

m ? m ? 1? k

? 2 m ? 1 ,所以 a
2

m ?m

2

? 2 m ? 1 ;再由数列 ? a n ? 的单调性,当

m ? m ? i ? ? m ? 1?

时, 2 m

? 1 ? a i ? 2 ? m ? 1 ? ,所以
2 2

? ai ?
因此, ? ? a i ? ?
i?m
2

?2m, m ?i? m ? m ? ? ? 2 2 ? 2 m ? 1, m ? m ? i ? ? m ? 1 ? ?
2

m ?2m

2

2 m ? m ? ? 2 m ? 1 ? ? ? m ? 1 ? ? 4 m ? 3 m ? 1 ,于是
2

S n2 ?

? ?4m
m ?1

n ?1

? 3m ? 1? ? 2 n ? 3? n ? n ? 1? 2 ? ? n ? 1? ? 2 n

? 4?
3

n ? n ? 1? ? 2 n ? 1? 6
2

?

8n ? 3n ? 13n ? 6 6

四、 首先,我们可以构造一个具有 1017 项的整数数列 a1 , a 2 , ? , a1 0 1 7 ,使其中不 存在和为 30 的连续项;为此,取 a1 ? a 2 ? ? ? a 2 9 ? 1, a 3 0 ? 3 1 ,以及

a 3 0 m ? i ? a i , i ? ?1, 2, ? , 3 0 ? , m ? N

,即 ? a k ? 为:

1,1, ? ,1, 3 1, 1,1, ? ,1, 3 1, 1,1, ? ,1, 3 1, ? 1,1, ? ,1, 3 1, 1,1, ? ,1

(共有 34 段,前 33 段中每段各有 30 个项,最后一段有 27 个项,共计 1017 个项),其次,当项数少于 1017 时,只须将某些段中连续的若干个数合并 成较大的数即可。 对于满足条件 ?
k 1018

ai ? 2007

的任一个具有 1018 项的正整数数列 30。为此,

i ?1

a 1 , a 2 , ? , a 1 0 1 8 ,我们来证明,其中必有连续的若干项之和等于

记Sk

?

?a,
i i ?1

k ? 1, 2 , ? ,1 0 1 8

,则

1 ? S1 ? S 2 ? ? ? S1018 ? 2 0 0 7

。今考虑集

?1, 2, ? , 2 0 0 7 ? 中元素的分组:
(1, 3 1), ( 6 1, 9 1), (1 2 1, 1 5 1), ? ( 6 0 k ? 1, 6 0 k ? 3 1), ? ( 2 , 3 2 ), ( 6 2 , 9 2 ), (1 2 2 , 1 5 2 ), ? ( 6 0 k ? 2 , 6 0 k ? 3 2 ), ? ?, ?, ?, ? (3 0 , 6 0 ), (9 0 , 1 2 0 ), (1 5 0 , 1 8 0 ), ?

? , ( 6 0 k ? 3 0 , 6 0 ( k ? 1)), ? ?

( 6 0 ? 3 2 ? 1, 6 0 ? 3 2 ? 3 1), ( 6 0 ? 3 2 ? 2 , 6 0 ? 3 2 ? 3 2 ), ? , ( 6 0 ? 3 2 ? 3 0 , 6 0 ? 3 3), 1981 1982 ?, 2007

其中有 33× 30=990 个括弧以及 27 个未加括弧的数,从中任取 1018 个数作 为 S k 的取值,必有两数取自同一括弧,设为 ? S k , S k ? m ? ,则 S k ? m ? S k ? 3 0 , 即该数列中 a k ? 1 ?
a k ? 2 ? ? ? a k ? m ? 3 0 。因此

n 的最小值为 1018。
2

五、 令 g ? x ? ? f ? x ? ? x 2 ,则 g ? x ? 1 ? ? g ? x ? ? f ? x ? 1 ? ? f ? x ? ? ? x ? 1 ? ? x 2 所以 g ? x ? 是 R 上以 1 为周期的周期函数;又由条件当 x ? ? 0 , 1 ? 时有
f

?0



?x?

? 1 ,可得,当 x ? ? 0 , 1 ? 时, g ? x ? ? f

?x? ?

x

2

? f

?x?

? x

2

? 2 ,所

以周期函数 g ? x ? 在 R 上有 g ? x ?
f

? 2 ,据此知,在

R 上,
M

?x?

? g ?x? ? x

2

? g ?x? ? x

2

? 2? x

2



六、 如图,延长 ME 交 ? A B C 的外接圆于 F,延长 MD 交 AF 于 K,作 CG//MK,交 AF 于 G, 交 AB 于 P,作 D H ? C F 于 H,则 H 为 CF 的中点。连 HB、HP,则 D、H、B、M 共圆, 故 ? H B D ? ? H M D ? ? H C P ,于是 H、B、C、 P 共圆,所以 ? P H C ? ? A B C ? ? A F C ,故 PH//AF。即 PH 为 ? C F G 的中位线,P 是 CG 的中点。则 AP 为 ? A C G 的边 CG 上的中线,

N P E A K G F D H

C

B

又因 NK//CG,故 D 是 NK 的中点,即线段 AB 与 NK 互相平分,所以 ? D B N ? ? D A K ,而 ? D A K ? ? B A F ? ? B C F ? ? B C E ,即有 ?DBN ? ?BCE 。 七、 据条件, 设 a ? 1 ? n 2 x, c ? 1 ? 这是由于,据(1),

? a ? 1 ? ? c ? 1 ? ? ? b ? 1 ? ? (1) 2 m y ,其中 x、y 不含大于 1 的平方因数,则必有 x=y,
2

则 m n ? b ? 1 ? ,设 b ? 1 ? 若w 此 p1

? m n ? xy ? ? b ? 1 ? ? ( 2 ) m n ? w ,于是(2)化为,
2 2

xy ? w
? 1 ,则有质数 p 1 w ,即 p 1 w
2 2

2

? (3)

,因 x、y 皆不含大于 1 的平方因数,因
2

x

, p1

y

。设 x

? p 1 x1 , y ? p 1 y 1 , w ? p 1 w1 ,则(3)化为

x1 y 1 ? w 1

? (4)
w1
2

若仍有 w1

? 1 ,则又有质数 p 2 w1

,即 p 22

,因 x1 , y 1 皆不含大于 1 的平方

因数,则 p 2

x 1 , p 2 y 1 ,设 x1 ? p 2 x 2 , y 1 ? p 2 y 2 , w1 ? p 2 w 2 ,则(4)化为,

x2 y2 ? w2

2

,??,如此下去,因(3)式中 w 的质因数个数有限,故有 r,使 w r ? 1 , 而从 x r y r ? w r2 得, x r ? y r ? 1 ,从而 x ? p1 p 2 ? p r ? y ,改记 x=y=k,则有,
? a ? kn ? 1 ? ? b ? km n ? 1 ? 2 ? c ? km ? 1
2

? (5)

其中
1 ? n ? m , a ? b ? c ? 100 ? (6 )

k 无大于1 的平方因数,并且 k ? 1 ,否则若 k=1,则 c ? m 2 ? 1 ,因 c 大于第 三个质数 5,即 c ? m 2 ? 1 ? 5 , m ? 3 ,得 c ? m 2 ? 1 ? ? m ? 1 ? ?m ? 1 ? 为合数, 矛盾。因此 k 或为质数,或为若干个互异质数之乘积,(即 k 大于 1,且无 大于 1 的平方因数)。我们将其简称为“k 具有性质 p”。 (i) 据(6), m ? 2 。 当
?a ? k ? 1 ? m=2,则 n=1,有 ? b ? 2 k ? 1 ,因 c<100,得 k<25; ?c ? 4k ? 1 ? 若 k ? 1 ? m o d 3 ? ,则 3 c 且 c>3,得 c 为合数;

若k

? 2 ? m od 3? :

在 k 为偶数时,具有性质 p 的 k 有 2、14,分别给出

a ? 2 ? 1 ? 1, b ? 2 ? 1 4 ? 1 ? 2 7 不为质数;

k 为奇数时,具有性质 p 的 k 值有 5、11、17、23,分别给 出的 a ? k ? 1 皆不为质数; 若 k ? 0 ? m o d 3 ? ,具有性质 p 的 k 值有 3、6、15、21: 当 k=3 时,给出解 当 k=6 时,给出解
f 1 ? ? a , b , c ? ? ? 2 , 5,1 1 ? ; f 2 ? ? a , b , c ? ? ? 5,1 1, 2 3 ? ;
? k ? 1 皆不为质数;

当 k=15、21 时,分别给出的 a 若 m=3,则 n=2 或 1。 在 m=3、n=2

?a ? 4k ? 1 ? 时, ? b ? 6 k ? 1 ,因质数 c ? 9 7 ,得 k ? 1 0 ,具有性 ?c ? 9k ? 1 ?

质 p 的 k 值有 2、3、5、6、7、10: 在 k 为奇数 3、5、7 时,给出 c ? 9 k ? 1 皆为合数; 在 k=6 时,给出 b ? 6 k ? 1 ? 3 5 为合数; 在 k=10 时,给出 a ? 4 k ? 1 ? 3 9 为合数; 在 k=2 时,给出解 f 3 ? ? a , b , c ? ? ? 7 ,1 1,1 7 ? ; 在 m=3、n=1
?a ? 4k ? 1 ? 时, ? b ? 6 k ? 1 , k ? 1 0 ,具有性质 ?c ? 9k ? 1 ?

p 的 k 值有 2、

3、5、6、7、10: 在 k 为奇数 3、5、7 时,给出的 b ? 3 k ? 1 皆为合数; 在 k=2 和 10 时,给出的 a ? k ? 1 不为质数; 在 k=6 时,给出解 f 4 ? ? a , b , c ? ? ? 5,1 7 , 5 3 ? ; (ii) m=4 时,由 c ? 1 6 k ? 1 ? 9 7 得 k ? 6 ,具有性质 p 的 k 值有 2、3、5、6。 在 k=6 时, c ? 16 ? 6 ? 1 ? 95 为合数; 在 k=5
?a ? 5n ? 1 时, ? ,因 n ? m ? 4 ,则 ?b ? 20n ? 1
2 2

n 可取 1、2、3,分别得到

a、b 至少一个不为质数; 在 k=3
? a ? 3n ? 1 时, c ? 48 ? 1 ? 47 , ? ,因 n ? m ? 4 : b ? 12n ? 1 ?

在 n=3 时给出的 a、b 为合数; 在 n=2 时给出解 f 5 ? ? a , b , c ? ? ? 1 1, 2 3, 4 7 ? ; 在 n=1 时给出解 在 k=2 给出解
f 6 ? ? a , b , c ? ? ? 2,1 1, 4 7 ? ;
2

?a ? 2n ? 1 时, c ? 1 6 k ? 1 ? 3 1 , ? , n ? m ? 4 ,只有在 ?b ? 8n ? 1

n=3 时

f 7 ? ? a , b , c ? ? ? 1 7 , 2 3, 3 1 ? ;

(iii) (iv)

m=5 时, c ? 2 5 k ? 1 ? 9 7 ,具有性质 p 的 k 值有 2、3,分别给出 c ? 2 5 k ? 1 为合数; m=6 时, c ? 3 6 k ? 1 ? 9 7 ,具有性质 p 的 k 值只有 2,因此可以得到
?a ? 2n ? 1 c ? 2 ? 3 6 ? 1 ? 7 1 ,这时 ? , n ? m ? 6 ,只有在 ?b ? 12n ? 1
2

n=2 时给出

解 (v)

f 8 ? ? a , b , c ? ? ? 7 , 2 3, 7 1 ? ;在
? 49k ? 1 ? 97

n=4 时给出解
2

f 9 ? ? a , b , c ? ? ? 3 1, 4 7 , 7 1 ? ;

m=7 时, c

,具有性质 p 的 k 值只有 2 得 n=3 时给出解

?a ? 2n ? 1 c ? 2 ? 4 9 ? 1 ? 9 7 ,而 n ? m ? 7 , ? ,只有在 b ? 14n ? 1 ?

n=6 时给出解 f 1 1 ? ? a , b , c ? ? ? 7 1, 8 3, 9 7 ? ; (vi) m ? 8 时, c ? 6 4 k ? 1 ? 9 7 ,具有性质 p 的 k 值不存在。 因此,满足条件的解共有 11 组,即为上述的 f 1 , f 2 , ? , f 1 1 。 八、 因为
a
k

f 1 0 ? ? a , b , c ? ? ? 1 7 , 4 1, 9 7 ? ;在

a?b

?

1 4

(a ? b) ?

? ?? ? ? k ? 2 ?? ?? 2 ? 2
k ?2个 1 2
k

1

1

1

k

a 2

k k

?

k 2

a

,所以

a
k

a?b

?

k 2

a?

1 4

(a ? b) ?

k ?2 2
k

同理可得

b

b?c

?

k 2

b?

1 4

(b ? c ) ?

k ?2 2



c

c? a

?

k 2

c?

1 4

(c ? a ) ?

k ?2 2



三式相加可得
a
k

a?b

?

b

k

b?c

?

c

k

c? a

? ? ? ?

k 2

(a ? b ? c) ?

1 2

(a ? b ? c) ? 3 2 (k ? 2)

3 2

(k ? 2)

( k ? 1) 2 3 2 3 2

(a ? b ? c) ? 3 2 (k ? 2)

( k ? 1) ?


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