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江苏省邗江中学2012-2013学年高一上学期期中考试数学试题.


江苏省邗江中学 2012-2013 学年度第一学期期中试卷
高一年级数学学科试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. 若 1 ? x, x

?

2

?, 则 x ?





2. 指数函数 f ( x) 的图象经过 (2,4) ,则 f (3) ? _____▲____; 3.函数 y ?
1 2

x ? 2 ? lg(4 ? x) 的定义域为





y 4 3 2 1 O A C

4.计算 100 ? log 2 8 =____▲____; 5.函数 f ( x) ? log a ( x ? 1) ? 2 , (a ? 0 且 a ? 1) 必过定点 ▲ ;

B 1 2 3 4 5 6 第 6 题图

x

6. 如图,函数 f ( x) 的图象是折线段 ABC ,其中 A B,C 的坐标 , 分别为 (0,,,,, ,则 f ( f (0)) ? 4) (2 0) (6 4) ▲ ;

7. 若函数 f (x) 是 R 上的奇函数, f (?2012 ) ? f (?2011) ? f (0) ? f (2011) ? f (2012 ) ? 则 ▲ .

8. 已知函数 f ( x) 在定义域 ? 0, ??) 单调递增,则满足 f ( x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是

1 3

▲_
2

. ▲ .

9.函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 3 在区间(–∞,2)上为减函数,则 a 的取值范围为 10. 已知函数 f ( x ) ? ? 11.函数 f ? x ? ? x ? 12.关于下列命题: ①若函数 y ? 2 的定义域是{ x | x ? 0} ,则它的值域是 { y | y ? 1} ;
x

? 2 x,x ? 0, 3 .若 f (m) ? f ( ) ? 0 ,则实数 m 的值等于_ 2 ? x ? 3, x ? 0
x ? 1 的最小值是
▲ .

▲_ _.

② 若函数 y ?

1 1 的定义域是 {x | x ? 2} ,则它的值域是 { y | y ? } ; 2 x
2

③若函数 y ? x 的值域是 { y | 0 ? y ? 4},则它的定义域一定是 {x | ?2 ? x ? 2} ; ④若函数 y ? log 2 x 的值域是 { y | y ? 3} ,则它的定义域是 {x | 0 ? x ? 8} . 其中错误的命题的序号是 .. 13.若 f ( x) ? ▲ ( 注:把你认为错误的命题的序号都填上). .. ▲ ;

1 ( x ? 1) 2 ? a 的定义域和值域都是[1, b ],则 a ? b ? 2
1

??( x ? 1) 2 ? 14. 函数 f ( x) ? ? ?(3 ? a) x ? 4a ?
立,则 a 的取值范围是 ▲

? x ? 1? 满足对任意 x1 ? x2 都有 ? x ? 1?
.

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0成 x1 ? x2

二、解答题: (本大题共 6 小题,共计 90 分.解答应写出必要的文字步骤. ) 15. (本题满分 14 分) 设全集 U ? R ,集合 A ? ? x ?1 ? x ? 3? , B ? ? x 0 ? x ? 4? , C ? ? x x ? a? 。 (1)求 A ? B, A ? B ; (2)若 B ? C ,求实数 a 的取值范围。

16. (本题满分 14 分) (1)已知 f (x) 是一次函数,且 2 f (1) ? 3 f (2) ? 3 , 2 f (?1) ? f (0) ? ?1 ,求 f (x) 的解 析式; (2)已知 f (x) 是二次函数,且 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2 x ? 4 x ,求 f (x) 的解析式.
2

17. (本题满分 15 分) 已知奇函数函数 f (x) 的定义域为 (??,0) ? (0,??) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ? (1)求 f (?2) 的值; (2)当 x ? 0 时,求 f (x) 的解析式; (3)求证:函数 f (x) 在区间 (0, ??) 上是单调增函数.

1 x

2

18. (本题满分 15 分) 汽车和自行车分别从 A 地和 C 地同时开出, 如下图, 各沿箭头方向 (两方向垂直) 匀速前进, 汽车和自行车的速度分别是 10 米/秒和 5 米/秒,已知 AC=100 米。 (汽车开到 C 地即停止) (1)经过 t 秒后,汽车到达 B 处,自行车到达 D 处,设 B、D 间距离为 y ,写出 y 关于 t 的 函数关系式,并求出定义域。 (2)经过多少时间后,汽车和自行车之间的距离最短?最短距离是多少?

C D

B

A

19. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?

a x ? a ?x (其中 a ? 0 且 a ? 1 ). a x ? a ?x

(1)求函数 f (x) 的值域; (2)判断奇偶性并证明之; (3)判断单调性并证明之.

3

20. (本题满分 16 分) 定 义 : 若 函 数 y ? f (x) 在 某 一 区 间 D 上 任 取 两 个 实 数 x1 、 x 2 , 且 x1 ? x2 , 都 有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 ? f( 1 ) ,则称函数 y ? f (x) 在区间 D 上具有性质 L。 2 2
(1)写出一个在其定义域上具有性质 L 的对数函数(不要求证明) 。 .. .... (2)对于函数 f ( x) ? x ? 你的结论。 (3)若函数 f ( x) ?

1 ,判断其在区间 (0,??) 上是否具有性质 L?并用所给定义证明 x

1 ? ax 2 在区间(0,1)上具有性质 L,求实数 a 的取值范围。 x

邗江中学 2012-2013 学年度高一年级第一学期期中考试
4

数学试卷答题卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 5. 9. 13. ;2. ;6. ; 10. ;14. ;3. ;7. ; 11. . ;4. ;8. ; 12. ; ; ;

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文 字说明、求证过程或演算步骤 15. (本题满分 14 分)

16. (本题满分 14 分)

17. (本题满分 15 分)

5

18. (本题满分 16 分)

C D

B

A

19. (本题满分 16 分)

6

20. (本题满分 16 分)
7

8

2012-2013 学年度高一年级第一学期期中考试

数学参考答案及评分标准
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.-1; 2. 8; 3.

? x | ?2 ? x ? 4,? ;

4. 7 ; 5. (0,2) 6.2; 7. 0 ; ;

8. (1, ) ;9. [2, ??) ;10. ?6 ;11. 1; ;12. ①②③;13. 4;14. [?1,3) 二、解答题: (本大题共 6 小题,共计 90 分.解答应写出必要的文字步骤. ) 15. (本题满分 14 分) 设全集 U ? R ,集合 A ? ? x ?1 ? x ? 3? , B ? ? x 0 ? x ? 4? , C ? ? x x ? a? 。 (1)求 A ? B, A ? B ; (2)若 B ? C ,求实数 a 的取值范围。 【解】:⑴A∩B= x 0?x ? 3

4 3

?

? ,A∪B= ?x ? 1 ? x ? 4 ?………8

⑵a≥4…………………………………………………14 16. (本题满分 14 分) (1)已知 f (x) 是一次函数,且 2 f (1) ? 3 f (2) ? 3 , 2 f (?1) ? f (0) ? ?1 ,求 f (x) 的解 析式; (2)已知 f (x) 是二次函数,且 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2 x ? 4 x ,求 f (x) 的解析式.
2

【解】:(1) f ( x) ?

4 1 x? 9 9
2

……………………………6 分 …………………………14 分

(2) f ( x) ? x ? 2 x ? 1 17. (本题满分 15 分)

已知奇函数函数 f (x) 的定义域为 (??,0) ? (0,??) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ? (1)求 f (?2) 的值; (2)当 x ? 0 时,求 f (x) 的解析式; (3)求证:函数 f (x) 在区间 (0, ??) 上是单调增函数. 【解】:(1)∵函数 f (x) 为奇函数 ∴ f (?2) ? ? f (2) ? ?

1 x

1 ……………………4 分 2

9

(2)设 x ? 0 ,则- x ? 0 ∴ f (? x) ? 1 ?

1 1 ? 1? ?x x

………………6 分

∵函数 f (x) 为奇函数 ∴当 x ? 0 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ?1 ?

1 x

………………9 分

18. (本题满分 15 分) 汽车和自行车分别从 A 地和 C 地同时开出, 如下图, 各沿箭头方向 (两方向垂直) 匀速前进, 汽车和自行车的速度分别是 10 米/秒和 5 米/秒,已知 AC=100 米。 (汽车开到 C 地即停止) (1)经过 t 秒后,汽车到达 B 处,自行车到达 D 处,设 B、D 间距离为 y ,写出 y 关于 t 的 函数关系式,并求出定义域。 (2)经过多少时间后,汽车和自行车之间的距离最短?最短距离是多少? C 【解】:(1)经过 t 小时后,汽车到达 B 处、自行车到达 D 处,则 D

B

A

BD 2 ? BC 2 ? CD 2 ? (100 ? 10t )2 ? (5t )2 ? 125(t 2 ? 16t ? 80) ? 125[(t ? 8)2 ? 16] ……………4 分

2 2 所以 y ? BD ? 125(t ? 16t ? 80) ? 125[(t ? 8) ? 16] ……………6 分

定义域为: t ?[0,10] ……………8 分
2 (2)? y ? 125[(t ? 8) ? 16]

t ?[0,10]

?当 t ? 8 时, y

min

? 125 ?16 ? 20 5 ……………14 分

答:经过 8 秒后,汽车和自行车之间的距离最短。最短距离是 20 5 米。……15 分

10

19. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?

a x ? a ?x (其中 a ? 0 且 a ? 1 ). a x ? a ?x

(1)求函数 f (x) 的值域; (2)判断奇偶性并证明之; (3)判断单调性并证明之. 【解】: (1)值域: (?1,1) (2)奇函数 ………………4 分

a ?x ? a x ∵ f (? x) ? ? x ? ? f ( x) a ? ax
(3)设 且

∴ f (x) 为奇函数

…………9 分

,则

f ( x) ?

a x ? a ?x a 2x ? 1 ? a x ? a ?x a 2x ? 1
a 2 x1 ? 1 a 2 x2 ? 1 2(a 2 x1 ? a 2 x2 ) ? 2 x2 ? 2 x1 a 2 x1 ? 1 a ? 1 (a ? 1)( a 2 x2 ? 1)
x

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

…………12 分

① a ? 1 时; y ? a 在 R 上为增函数, 当 ∵ ∴ 在 ,∴ a
2 x1

? a 2 x2 ? 0 ,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

即 …………14 分

是单调增函数
x

②当 0 ? a ? 1 时; y ? a 在 R 上为减函数, ∵ ∴ 在 ,∴ a
2 x1

? a 2 x2 ? 0 ,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 、 …………16 分

是单调减函数

20. (本题满分 16 分)定义:若函数 y ? f (x) 在某一区间 D 上任取两个实数 x1 、 x 2 ,且

11

x1 ? x2 ,都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 ? f( 1 ) ,则称函数 y ? f (x) 在区间 D 上具有性质 L。 2 2

(1)写出一个在其定义域上具有性质 L 的对数函数(不要求证明) 。 .. .... (2)对于函数 f ( x) ? x ? 你的结论。 (3)若函数 f ( x) ?

1 ,判断其在区间 (0,??) 上是否具有性质 L?并用所给定义证明 x

1 ? ax 2 在区间(0,1)上具有性质 L,求实数 a 的取值范围。 x

解: (1) y ? log 1 x (或其它底在(0,1)上的对数函数) …………4 分 。
2

(2)函数 f ( x) ? x ?

1 在区间 (0,??) 上具有性质 L。…………5 分 x

证明:任取 x1 、 x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 则

x ?x 1 1 1 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ) ? f ( 1 2 ) ? ( x1 ? ? x2 ? ) ? ( 1 2 ? 2 x1 x2 2 x1 ? x2 2 2

( x ? x ) 2 ? 4 x1 ?x2 ( x1 ? x2 ) 2 1 x ?x 2 ? ?1 2? ? 1 2 ? 2 x1 ?x2 x1 ? x2 2 x1 ?x2 ( x1 ? x2 ) 2 x1 ?x2 ( x1 ? x2 )

? x1 、 x2 ? (0, ??) 且 x1 ? x2 ,


? (x ? x )
1 2

2

? 0 , 2 x1 ?x2 ( x1 ? x2 ) ? 0
2 1

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2 ) >0, 2 2

? f (x ) ? f (x ) ? f ( x 2
1

? x2 ) 2

所以函数 f ( x) ? x ?

1 在区间 (0,??) 上具有性质 L。……………10 分 x

(3)任取 x1 、 x2 ? (0,1) ,且 x1 ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? 1 ( 1 ? ax12 ? 1 ? ax2 2 ) ? ( 2 ? a( x1 ? x2 )2 ) 2 2 2 x1 x2 x1 ? x2 2

?

( x1 ? x2 ) 2 ( x ? x )2 [2 ? a?x1 ?x2 ( x1 ? x2 )] ? a ? 1 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 ?x2 ( x1 ? x2 ) 4 4 x1 ?x2 ( x1 ? x2 )

? x1 、 x2 ? (0,1) 且 x1 ? x2 ,

? (x ? x )
1 2

2

? 0 , 4 x1 ?x2 ( x1 ? x2 ) ? 0

要使上式大于零,必须 2 ? a?x1 ?x2 ( x1 ? x2 ) ? 0 在 x1 、 x2 ? (0,1) 上恒成立, 即a ?

2 , x1 ?x2 ( x1 ? x2 )

? a ? 1 ,即实数 a 的取值范围为 (??,1] ……………16 分

12


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