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八年级培优第一讲 一元二次方程


第一讲
【学习目标】

一元二次方程

1、学会根据具体问题列出一元二次方程,培养把文字叙述的问题转换成数学语 言的能力。 2、了解一元二次方程的解或近似解。 3、增进对方程解的认识,发展估算意识和能力。

【知识要点】
1、一元二次方程的定义:只含有一个未知数的整式方程,并且都可以化为
a

x2 ? bx ? c ? 0 (a、b、c、为常数, a ? 0 )的形式,这样的方程叫做一元

二次方程。 (1)定义解释:①一元二次方程是一个整式方程;②只含有一个未知数;③并 且未知数的最高次数是 2。这三个条件必须同时满足,缺一不可。 (2) ax2 ? bx ? c ? 0 (a、b、c、为常数, a ? 0 )叫一元二次方程的一般形式, 也叫标准形式。 (3)在 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )中,a,b,c 通常表示已知数。 2、一元二次方程的解:当某一 x 的取值使得这个方程中的 ax2 ? bx ? c 的值为 0, x 的值即是一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的解。 3、一元二次方程解的估算:当某一 x 的取值使得这个方程中的 ax2 ? bx ? c 的值 无限接近 0 时,x 的值即可看做一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的解。

【经典例题】
例 1、下列方程中,是一元二次方程的是 ①
y2 ?y?0; 4

② 2x 2 ? x ? 3 ? 0 ;



1 ?3 ; x2

④ ax2 ? bx ; ⑤

x 2 ? 2 ? 3x ;

⑥ x3 ? x ? 4 ? 0 ;

⑦ t2 ? 2 ;

⑧ x 2 ? 3x ?

3 ?0 ; ⑨ x

x2 ? x ? 2 ; ⑩

ax 2 ? bx(a ? 0)

例 2、 (1)关于 x 的方程(m-4)x2+(m+4)x+2m+3=0,当 m__________时,是一元 二次方程,当 m__________时,是一元一次方程. (2)如果方程 ax2+5=(x+2)(x-1)是关于 x 的一元二次方程,则 a__________. (3)关于 x 的方程 (2m 2 ? m ? 3) x m?1 ? 5 x ? 13 是一元二次方程吗?为什么? 例 3、把下列方程先化为一般式,再指出下列方程的二次项系数,一次项系数及 常数项。 (1)2x2―x+1=0 (2)-5x2+1=6x (3)(x+1)2=2x (4) ? 3x 2 ? 4 x ? ?8

例 4、 (1)某校办工厂利润两年内由 5 万元增长到 9 万元,设每年利润的平均增 长率为 x,可以列方程得( A.5(1+x)=9 C.5(1+x)+5(1+x)2=9 ) B.5(1+x)2=9 D.5+5(1+x)+5(1+x)2=9

(2)某商品成本价为 300 元,两次降价后现价为 160 元,若每次降价的百分率 相同,设为 x,则方程为_____________. 例 5、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯,如下图所示,它的长为 8 m,宽为 5 m,如果地毯中央长方形图案的面积为 18 m2,那么花边有多宽?(列出方程并 估算解得值)

例 6、如图,一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离 为 8 m,如果梯子的顶端下滑 1 m,那么梯子的底端滑动多少米?

【经典练习】
一、选择题 1、下列关于 x 的方程:①1.5x2+1=0;②2.3x2+ 数);④2x2+3x=0;⑤ 数是( ) A、1 B、2 C、3 D、4
1 +1=0;③3.4x2=ax(其中 a 为常 x

3x 2 ? 1 =2x;⑥ ( x 2 ? x ) 2 =2x 中,一元二次方程的个 5

2、方程 x2-2(3x-2)+(x+1)=0 的一般形式是 A.x2-5x+5=0 B.x2+5x+5=0 C.x2+5x-5=0 D.x2+5=0

3、一元二次方程 7x2-2x=0 的二次项、一次项、常数项依次是 A.7x2,2x,0 C.7x2,0,2x B.7x2,-2x,无常数项 D.7x2,-2x,0

4、若 x=1 是方程 ax2+bx+c=0 的解,则 A.a+b+c=1 二、填空题 1、将 x(4 x ? 3) ? 3x ? 1 化为一般形式为__________,此时它的二次项系数是. __________,一次项系数是__________,常数项是__________。 2、如果(a+2)x2+4x+3=0 是一元二次方程,那么 a 所满足的条件为___________. 3、已知两个数之和为 6,乘积等于 5,若设其中一个数为 x,可得方程为 _____________. 4、某高新技术产生生产总值,两年内由 50 万元增加到 75 万元,若每年产值的 B.a-b+c=0 C.a+b+c=0 D.a-b-c=0

增长率设为 x,则方程为___________. 5、某化工厂今年一月份生产化工原料 15 万吨,通过优化管理,产量逐月上升, 第一季度共生产化工原料 60 万吨,设一、二月份平均增长的百分率相同,均 为 x,可列出方程为_____________. 三、解答题 1、某商场销售商品收入款:3 月份为 25 万元,5 月份为 36 万元,该商场 4、5 月份销售商品收入款平均每月增长的百分率是多少?

【课后作业】
一、填空题 1、方程 5(x2 - 2 x+1)=-3 2 x+2 的一般形式是__________,其二次项是 __________,一次项是__________,常数项是__________. 2、若关于 x 的方程 (a ? 1) x 2 ? 3ax ? 5 ? 0 是一元二次方程,这时 a 的取值范围是 ________ 3、某地开展植树造林活动,两年内植树面积由 30 万亩增加到 42 万亩,若设植 树面积年平均增长率为 x,根据题意列方程_________. 二、选择题 1、下列方程中,不是一元二次方程的是 A.2x2+7=0 B.2x2+2 3 x+1=0 ( )
1 +4=0 x

C.5x2+

D.3x2+(1+x)

2 +1=0

2、方程 x2-2(3x-2)+(x+1)=0 的一般形式是 A.x2-5x+5=0 B.x2+5x+5=0

(

) D.x2+5=0 ( )

C.x2+5x-5=0

3、一元二次方程 7 x 2 ? 2 x ? 1 ? 5 的二次项、一次项、常数项依次是 A.7x2,2x,1 B.7x2,-2x,无常数项 C.7x2,0,2x

D.7x2,-2x,-4 ( )

4、方程 x2- 3 =( 3 - 2 )x 化为一般形式,它的各项系数之和可能是 A. 2 B.- 2 C. 2 ? 3 D. 1 ? 2 ? 2 3

5、若关于 x 的方程(ax+b)(d-cx)=m(ac≠0)的二次项系数是 ac,则常数项为

( A.m

) B.-bd C.bd-m D.-(bd-m) ( )

6、若关于 x 的方程 a(x-1)2=2x2-2 是一元二次方程,则 a 的值是 A.2 B.-2 C.0 ( ) D.a-b-c=0 D.不等于 2

7、若 x=-1 是方程 ax2+bx+c=0 的解,则 A.a+b+c=1 B.a-b+c=0

C.-a+b+c=0


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