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【导与练】2015届高考数学一轮复习 第2篇 第1节 函数及其表示课件 文 新人教版


第二篇 函数、导数及其应用(必修 1、选修 1-1)
第1节 函数及其表示

基础梳理

考点突破

基础梳理
知识整合
1.函数与映射的概念
函数 建立在两个非空数集 A 到 B 上 定 义 的一种确定的对应关系 f,其要 求: 集合 A 中的任意一个数 x, 在集合 B 中

都有唯一确定的数 f(x)和它对应 记 法 y=f(x),x∈A

抓主干

固双基

映射 建立在两个非空集合 A 到 B 上的一种确定的对应关 系 f,其要求:集合 A 中的 任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一的元素 y 与之 对应 f:A→B

2.函数的三要素
函数由定义域、对应关系、值域三个要素构成, 对函数 y=f(x),x∈A,其中, (1)定义域:自变量 x 的取值范围. (2)值域:函数值的集合{f(x)|x∈A}. 质疑探究 1:如何判断两个函数是否为相等函数? 提示:①定义域相同,②对应关系完全一致,则为 相等函数.

3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、列表法、图象法. 质疑探究 2:如何判断坐标平面上的曲线是否为函 数的图象? 提示:平移与 x 轴垂直的直线,平移过程中直线与 曲线的公共点不超过 1 个,曲线为函数的图象.

4.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别 用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域 等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几部分组成, 但它表示的是一个函数.

双基自测
1.下列各图中,可表示函数 y=f(x)的图象的只可能是( D )

解析:根据函数的定义,任一个 x 必有唯一的 y 值和它对应.故 选 D.

?1? 2 2.已知 f ? ? =x +5x,则 f(x)等于( ?x?
(A)x +5x (B)
2

B )

1 5 + ,x≠0 2 x x

1 1 5 (C) 2 +5x (D) 2 + x x x

解析:法一

1 5 ?1? 2 f ? ? =x +5x= + , 2 1 ?x? ?1? ? ? x ? x?

1 5 故 f(x)= 2 + ,x≠0, x x

法二

1 令 =t,则 t≠0, x

1 则 x= . t
1 1 5 ?1? ∴f(t)= ? ? +5· = 2 + , t t t ?t?
2

1 5 ∴f(x)= 2 + ,x≠0.故选 B. x x

3.(2013 年高考广东卷)函数 y= 是( C ) (A)(-1,+∞)

lg ? x ? 1? x ?1

的定义域

(B)[-1,+∞)

(C)(-1,1)∪(1,+∞) (D)[-1,1)∪(1,+∞)

? x ? 1 ? 0, 解析:由题意得 ? 即 x>-1 且 x≠1.故选 C. ? x ? 1 ? 0,

4.(2013 年高考福建卷)已知函数
? 2 x 3 , x ? 0, ? ? f(x)= ? π 则 f? ? ? ? tan x,0 ? x ? , 2 ?

? π ?? f ? ?? = ? 4 ??

.

π ?π? 解析:f ? ? =-tan =-1, 4 ?4?

? f? ?

? π ?? 3 =f(-1)=2 × (-1) =-2. f ? ?? ? 4 ??

答案:-2

考点突破
考点一

剖典例

知规律

函数与映射的概念
x

【例 1】 有以下判断:

? ?1, ? x ? 0 ? (1)f(x)= 与 g(x)= ? 表示同一函数. x ? ??1, ? x ? 0 ?
(2)函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个. (3)f(x)=x -2x+1 与 g(t)=t -2t+1 是同一函数.
2 2

? (4)若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f ? ?
其中正确判断的序号是

? 1 ?? f ? ? ? =0. ? 2 ??
.

思维导引:根据函数的定义进行判断,注意函数定义的核 心是定义域和对应关系. 解析:对于(1),由于函数 f(x)=

x x

的定义域为{x|x∈R

? ?1, ? x ? 0 ? , 且 x≠0},而函数 g(x)= ? 的定义域是 R,所 ? ??1, ? x ? 0 ?
以二者不是同一函数;

对于(2),若 x=1 不是 y=f(x)定义域内的值,则直线 x=1 与 y=f(x) 的图象没有交点,若 x=1 是 y=f(x)定义域内的值,由函数的定义 可知,直线 x=1 与 y=f(x)的图象只有一个交点,即 y=f(x)的图象 与直线 x=1 最多有一个交点;对于(3),f(x)与 g(t)的定义域、 值域和对应关系均相同,所以 f(x)与 g(t)表示同一函数;对于

? 1 ?1? 1 (4),由于 f ? ? = ? 1 =0,∴f ? 2 ? ?2? 2
综上可知,正确的判断是(2),(3). 答案:(2)(3)

? 1 ?? f ? ? ? =f(0)=1. ? 2 ??

反思归纳

判断一个对应关系是否是函数关系,就

看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任 意一个自变量值都有唯一确定的函数值”这个核心点.

即时突破 1 已知 f:x→-sin x 是集合 A(A? [0,2π ])到

? 1? 集合 B= ?0, ? 的一个映射,则集合 A 中的元素个数最多 ? 2?
有( (A)4 个 ) (B)5 个 (C)6 个 (D)7 个

解析:当-sin x=0 时 sin x=0,x 可取 0,π,2π;

1 1 7π 11π 当-sin x= 时,sin x=- ,x 可取 , ,故集合 A 2 2 6 6
中的元素最多有 5 个,故选 B.

考点二 函数的定义域
【例 2】 求函数 f(x)=
lg ? x 2 ? 2 x ? 9 ? x2

的定义域.

思维导引:根据使解析式有意义的条件列出关于 x 的 限制条件组成的不等式组,不等式(组)的解集即为函 数的定义域.
2 ? x ? ? 2 x ? 0, 解:要使该函数有意义,需要 ? 2 9 ? x ? 0, ? ?

? x ? 0或x ? 2, 则有 ? ? ?3 ? x ? 3,
解得-3<x<0 或 2<x<3, 所以所求函数的定义域为(-3,0)∪(2,3).

反思归纳
式(组)求解.

(1)简单函数定义域的类型及求法:

①已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等 ②对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的 不等式(组)求解. ③对抽象函数: a.若已知函数 f(x)的定义域为[a,b],则复合函数 f(g(x))的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 求出. b.若已知函数 f(g(x))的定义域为[a,b],则 f(x)的定 义域为 g(x)在 x∈[a,b]时的值域.

(2)求函数定义域的主要依据 ①如果 f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集 R. ②如果 f(x)是分式,那么分母应不为零. ③如果 f(x)为二次根式,那么根号内的式子应为非 负数. ④如果是对数式,则真数应大于零. ⑤如果 f(x)中含有零指数幂或负指数幂,则底数应 不等于零.

即时突破 2 (2013 年高考安徽卷)函数
? 1? y=ln ?1 ? ? + 1 ? x 2 的定义域为 ? x?

.

1 ? ? x ? ?1或x ? 0, ? 1 ? ? 0, 解析:由题意可知 ? 即? x ?1 ? x ? 1, 2 ? ? 1 ? x ? 0, ?

解得 0<x≤1,所以函数定义域为{x|0<x≤1}. 答案:{x|0<x≤1}

考点三 求函数的解析式
1? 2 1 ? 【例 3】 (1)已知 f ? x ? ? =x + 2 ,求 f(x)的解析式; x x? ? ?2 ? (2)已知 f ? ? 1? =lg x,求 f(x)的解析式; ?x ?

(3)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 求 f(x)的解析式;
?1? (4)已知 f(x)满足 2f(x)+f ? ? =3x,求 f(x)的解析式. ?x?

思维导引:求函数 f(x)解析式的实质是寻找 f(x) 与自变量 x 的关系式,通常可采用配凑法、 换元法、 待定系数法以及解方程的方法进行求解.
1? 2 1 ? 1? ? 解:(1)由于 f ? x ? ? =x + 2 = ? x ? ? -2, x ? x? x? ?
2

所以 f(x)=x2-2,x≥2 或 x≤-2, 故 f(x)的解析式是 f(x)=x -2(x≥2 或 x≤-2).
2

2 2 (2)令 +1=t 得 x= , t ?1 x
2 代入得 f(t)=lg , t ?1

又 x>0,所以 t>1,
2 故 f(x)的解析式是 f(x)=lg (x>1). x ?1

(3)因为 f(x)是一次函数, 可设 f(x)=ax+b(a≠0), ∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17. 即 ax+(5a+b)=2x+17,

?a ? 2, 因此应有 ? ?5a ? b ? 17, ?a ? 2, 解得 ? ?b ? 7.
故 f(x)的解析式是 f(x)=2x+7.

?1? (4)∵2f(x)+f ? ? =3x, ?x?
1 ∴将 x 用 替换, x 3 ?1? 得 2f ? ? +f(x)= , x ?x?





1 由①②解得 f(x)=2x- (x≠0), x 1 即 f(x)的解析式是 f(x)=2x- (x≠0). x

反思归纳

求函数解析式常用方法:

(1)配凑法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x) 改写成关于 g(x)的表达式,然后以 x 替代 g(x), 便得 f(x)的表达式; (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函 数、二次函数)可用待定系数法; (3)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可 用换元法,此时要注意新元的取值范围;

?1? (4)方程思想:已知关于 f(x)与 f ? ? 或 f(-x)的 ?x?

表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式 组成方程组,通过解方程组求出 f(x).

即时突破 3 某商店销售某种商品,当销售量 x
不超过 30 件时,单价为 a 元,其超出部分按原价 的 90%计算,则表示销售额 y 与销售量 x 之间的函 数关系是 . 解析:由题意知:当 0≤x≤30 时,y=ax,

9 当 x>30 时,y=30a+(x-30)×90%·a= ax+3a, 10
故销售额 y 与销售量 x 之间的函数关系为

?ax ? 0 ? x ? 30 ? , ? y= ? 9 ? ax ? 3a ? x ? 30 ? . ?10
?ax, 0 ? x ? 30, ? 答案:y= ? 9 ax ? 3a, x ? 30 ? ?10

考点四 分段函数
【例 4】 (2013 山东泰安三模)已知 f(x)= )
? ?2 x ? 3, x ? 0, 则 f(2)等于( ? ? ? f ? x ? 1? ? f ? x ? 2? , x ? 0

(A)1 (B)2 (C)0 (D)-1 思维导引:根据自变量的值分步确定代入哪段函数解 析式,求出函数值. 解析:f(2)=f(1)-f(0)=[f(0)-f(-1)]-f(0) =-f(-1)=-1.故选 D.

反思归纳

在给出了分段函数解析式的问题中,主

要有三个问题.一是求函数值,特别是求复合函数的函 数值,其方法是在不同的范围内代入不同的解析式;二 是研究这个分段函数的单调性,方法是根据函数在各 个范围内的单调性,整合为整个定义域上的单调性;三 是求最值,其方法是求出函数在各个范围内的最值,这 些最值中最大的是最大值、最小的是最小值.

即时突破 4 (1)(2013 广州高三调研)已知函数
?log 2 x, x ? 0, ? f(x)= ? x 则f? ? ? 3 , x ? 0,
1 (A)9 (B) 9

? 1 ?? f ? ? ? 的值是( ? 4 ??
1 (D) ? 9

)

(C)-9

(2)(2013 湛江市毕业班调研)已知函数

?log 2 x, x ? 0, f(x)= ? 若 f(a)=2,则 a 等于( ? x ? 1, x ? 0,
(A)4 (B)2 (C)1 (D)-1

)

? 解析:(1)f ? ?

1? ? ? 1 ?? -2 1 f ? ? ? = f ? log 2 ? =f(-2)=3 = ,故选 B. 9 4? ? ? 4 ??

? a ? 0, (2)由分段函数列出方程求解,f(a)=2? ? 或 ?log 2 a ? 2, ? a ? 0, 解得 a=4,故选 A. ? ?a ? 1 ? 2,

备选例题
【例 1】 函数 f(x)= (A)[-2,0)∪(0,2] (C)[-2,2]
1 + 4 ? x 2 的定义域为( ln( x ? 1)

)

(B)(-1,0)∪(0,2] (D)(-1,2]

? x ? 1 ? 0, ? 解析:要使函数有意义,需满足 ?ln( x ? 1) ? 0, ? 2 ?4 ? x ? 0.

解得-1<x<0 或 0<x≤2.故选 B.

? x ? 2, ( x ? 2), 【例 2】(2013 浙江嘉兴模拟)已知函数 f(x)= ? ??2, ( x ? 2),

则不等式 x·f(x-1)<10 的解集是 不等式.

.

思维导引:考虑 x-1≥2 和 x-1<2 时 f(x-1)的表达式,代入解 解析:当 x-1≥2,即 x≥3 时,f(x-1)=(x-1)-2=x-3,代入得 x(x-3)<10,得-2<x<5,所以 3≤x<5;当 x-1<2,即 x<3 时,f(x-1)=-2,代入得-2x<10,得 x>-5,所以-5<x<3. 综上不等式的解集为(-5,5). 答案:(-5,5)

思想方法 分类讨论思想在分段函数中的应用
?1 x ? 1( x ? 0), ? 2 【典例】 设函数 f(x)= ? ? ? 1 ( x ? 0), ? ?x

若 f(a)=a,则实数 a 的值为( (A)±1 (C)-2 或-1 (B)-1 (D)±1 或-2

)

分析:分 a≥0 和 a<0 两种情况分别求解.

1 解析:当 a≥0 时,f(a)= a-1=a, 2
解得 a=-2. 由于-2<0,∴a=-2 不合题意,

1 当 a<0 时,f(a)= =a,解得 a=-1 或 a=1. a
由于 1>0, ∴a=1 不合题意, 综上所述,a=-1.故选 B.

方法点睛

(1)解决分段函数问题,常常用到分

类讨论思想,本题中应分 a≥0,a<0 两种情况求解. (2)分段函数问题分段解决,但一定不要忽略各段 的限制条件.如本例中,a≥0 时,得 a=-2,a<0 时得 a=1 均不符合要求,应舍去,不要误选 D.

? ? x, x ? 0, 即时突破 设函数 f(x)= ? 2 若 f(α )=4,则实数 ? x , x ? 0.
α 等于( (A)-4 或-2 (C)-2 或 4 ) (B)-4 或 2 (D)-2 或 2

? a ? 0, ? a ? 0, 解析:由题意知 ? 或? 2 ? ? a ? 4 ? a ? 4,
解得α=-4 或α=2,故选 B.


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