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2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题


2007 年安徽省高中数学竞赛初赛试题
一选择题 1. 如果集合 A.B 同时满足 A

B ? ?1.2.3.4? A B ? ?1? , A ? ?1? , B ? ?1? 就称有序集对

。这里的有序集对 ? A, B ? 意指当 A ? B , ? A, B ? 和? B, A? 是不同的集 ? A, B? 为“好集对”

对, 那么 “好集对” 一共有 ( ) 个。

A

64

B

8
)

C

6

D

2

?x 2.设函数 f ? x ? ? lg 10 ? 1 , 方程f ? ?2 x ? ? f ?1 ? 2 x ? 的解 为(

?

?

A.log2 ? lg 2? ?1

B .lg ? log2 10? ?1

C .lg ? lg 2? ?1

D. log2 ? log2 10? ?1

3.设 A ? 100101102 499500 是一个 1203 位的正整数,由从 100 到 500 的全体三位数按顺 序 排 列 而 成 那 么 A 除 以 126 的 余 数 是 ( )

A

78

B

36

C

6

D

0
为 垂 足 . 项 为

4. 在 直 角

ABC 中 ,

?C ? 90 , CD 为 斜 边 上 的 高 ,D
.
k

AD ? a, BD ? b, CD ? a ? b ? 1
uk ? a k ? a k ?1b ? a k ? 2b 2 ?







?uk ?





? ? ?1? b k , k ? 1, 2,3,

, 则( )

A. u2008 ? u2007 ? u2006 C. 2007 u2008 ? 2008u2007
顺序排成一个新的数列

B. u2008 ? u2007 ? u2006 D. 2008 u2008 ? 2007u2007
9 a5, ?
那 么 13

5.在正整数构成的数列 1.3.5.7……删去所有和 55 互质的项之后,把余下的各项按从小到大的

?an ?

, 易 见 a1 ? 1 , a2 ? 3 , a3 ? 7a ,4 ?

a2007 ? ____________

A. 9597
6.设

B. 5519

C. 2831

D. 2759
1+cos870 1-cos870
则 A: B ? ?

A ? 1 ? cos30 + 1+cos70 + 1+cos110 + B ? 1 ? cos30 + 1-cos70 + 1-cos110 +
A. 2- 2
2

?

B.

2+ 2
2

C.

2-1

D.

2+1

二.填空题 7.边长均为整数且成等差数列,周长为 60 的钝角三角形一共有______________种. 8.设 n ? 2007 ,且 n 为使得 an =

?

2- 2 ? i 2+ 2 取实数值的最小正整数,则对应此 n 的

?

n

an 为(

).

9. 若 正 整 数 n 恰 好 有 4 个 正 约 数 , 则 称 n 为 奇 异 数 , 例 如 6,8,10 都 是 奇 异 数 . 那 么 在 27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999 这 10 个数中奇异数有_____________________个. 10. 平行六面体

A 出发的三条棱 AA1, AB, AD 的长度分别为 ABCD? A 1 B 1 C 1 D 1中 , 顶点

2,3,4,且两两夹角都为 60 那么这个平行六面体的四条对角线 AC1 , BD1 , DB1 , CA 1 的长度(按 顺序)分别为___________________
1 2 11.函数 f ? x ? , g ? x ? 的迭代的函数定义为 f ? ? ? x ? ? f ? x ? , f ? ? ? x ? ? f

? f ? x ?? ,

f ? n? ? x ? ? f f ? n ?1? ? x ? , g ?1? ? x ? ? g ? x ? , g ? 2? ? x ? ? g ? g ? x ? ? ,
其中 n =2,3,4…

?

?

g ? n ? ? x ? ? g g ? n ?1? ? x ?

?

?

? f ?9? ? x ? ? g ? 6? ? y ? ? ? ?9? ? 6? 设 f ? x ? ? 2x ? 3, g ? x ? ? 3x ? 2 ,则方程组 ? f ? y ? ? g ? z ? 的解为_________________ ? ?9? ? 6? ? ? f ? z ? ? g ? x?
12.设平行四边形 ABCD 中, AB ? 4, AD ? 2, BD ? 2 3, 则平行四边形 ABCD 绕直线

AC 旋转所得的旋转体的体积为_______________
三解答题 13.已知椭圆 ? :3x2 ? 4 y 2 ? 12 和点 Q ? q,0? , 直线 l过Q且与?交于A, B 两点(可以重合). 1)若 ?AOB 为钝角或平角( O 为原点),

q ? 4, 试确定 l 的斜率的取值范围.

2)设 A 关于长轴的对称点为 A , q ? 4, 试判断 A1和F , B 三点是否共 1 , F为椭圆的右焦点 线,并说明理由. 3)问题 2)中,若 q ? 4, 那么A 1, F , B 三点能否共线?请说明理由.

14. 数 列

?xn?

由 下 式 确 定 :

xn?1 ?

xn , n ? 1,2,3, 2 2 xn ?1

, x1 ? 1 , 试 求

l x g2 0整数部分 k ?? 0 7

l x g a 的最大整数,即 a 的整数部分.) ? (注2? a0?.表示不大于 0 7

15.设给定的锐角 ABC 的三边长 a, b, c, 正实数x, y, z 满足
2 2

ayz bzx cxy ? ? ? p, 其中 p 为 x y z
2

给定的正实数 , 试求 s ? ? b ? c ? a? x ?? c ? a ? b ? y ?? a ? b ? c ? z 的最大值,并求出当 s

取此最大值时, x, y , z 的取值.


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