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高一年级数列教案D(教师版)


高一年级数学——数列 一、考点、热点回顾
(一)知识梳理 根据考试大纲要求,数列的知识点主要有以下几点:

?S ? S n ?1 ? n 1. a n 与 S n 的关系: an ? ? ?S ? 1
2.等差数列 (1)定义: an ?1 (2)通项公式:

(n ? 2)
(适合任何数列)

r />(n ? 1)

? an ? d (常数)

an ? a1 ? (n ?1)d = am ? (n ? m)d
(3)前 n 项和公式:

Sn ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) 2 ? na1 ? d = an ? bn (常数项为 0 的二次式) 2 2

(4)若 m ? n ?

p ? q ,那么 am ? an ? a p ? aq

王新敞
奎屯

新疆

特殊地,若 m ?

n ? 2 p ,则 am ? an ? 2a p
2an ? an?1 ? an?1 (可作证明一个数列是等差数列的依据)
? S k , S 3k ? S 2 k
仍成等差

(5)等差中项:2A=a+b;

(6)若 ?an ? 等差数列,则 S k , S 2k

(7)等差数列中,求使前 n 项和最大(小)的项数的方法: 递减数列,求 S n 最大,令 an ? 0 ,求正数项 递增数列,求 S n 最小,令 an ? 0 ,求负数项 当然,解决此类型题目还可以利用二次函数的性质,但解一次不等式的方法还是最快的方法

二、典型例题 数列求和基本方法:
1、错位相减法 例 1、数列 ?a n ?的前 n 项和为 s n , a1 ? 1, an?1 ? 2sn (n ? N*) (1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)求数列 ?nan ?的前 n 项和 Tn 。

1

2、裂项相消法

1 1 1 1 ? ( ? ); n( n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 , 2 , 2 , 2 例 2、求数列 2 .....的前 n 项和。 1 ? 2 2 ? 4 3 ?6 4 ?8
常用裂项技巧有: (1)

一、选择题: 1.设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n ,则 a8 的值为(
2

) D.64

A.15 A【解析】

B. 16

C.

49

a8 ? S8 ? S7 ? 64 ? 49 ? 15 . an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) 即可得出结论.

【方法技巧】直接根据

2.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 Sn 取最小值时,n 等于 A.6 【答案】A B.7 C.8 D.9

【解析】设该数列的公差为 d ,则

a4 ? a6 ? 2a1 ? 8d ? 2 ? (?11) ? 8d ? ?6 ,解得 d ? 2 ,

所以

Sn ? ?11n ?

n(n ? 1) ? 2 ? n 2 ? 12n ? (n ? 6) 2 ? 36 S 2 ,所以当 n ? 6 时, n 取最小值。

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用,考查二次函数最值的求法及计 算能力。
[来源:Zxxk.Com]

3.等差数列 ?an ? 中,若 a 4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 S15 的值为( A.180 答案 C. B.240 C.360 D.720



2

4.已知数列 {an } 是公差为 2 的等差数列,且 a1 , a2 , a5 成等比数列,则 a2 为( A.-2 B.-3 C.2 D.3 ) C

)D

5.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 A.-1 B.

a5 5 S ? ,则 9 的值是( a3 9 S5
D.2

1 2

C.1

6.已知等比数列 {an } 中,各项都是正数,且 a1 , A. 1 ? 2 答案 C. B. 1 ? 2

a ?a 1 a3 , 2a2 成等差数列,则 9 10 ? 2 a7 ? a8
D. 3 ? 2 2

C. 3 ? 2 2

7.设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 , 前 n 项和为 Sn ,则

S4 ?( a2
D.



A. 2

B. 4

C.

15 2

17 2

【答案】C 8.若 {an } 为等差数列, S n 是其前 n 项和,且 S11 ? A. 3 B. ? 3

22π ,则 tan a6 的值为( 3
D. ?



C. ? 3

3 3
2 π. 3


【解析】 B;由 a1 ? a11 ? a2 ? a10 ? ? ? a5 ? a7 ? 2a6 ,可得 S11 ? 11a6 ,∴ a6 ?

9.设 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列,则 ?an ? 的前 n 项和 Sn =(

A.

n2 7n ? 4 4

B.

n 2 5n ? 3 3

C.

n 2 3n ? 2 4

D. n ? n
2

【答案】A 【解析】设数列 {an } 的公差为 d ,则根据题意得 (2 ? 2d )2 ? 2 ? (2 ? 5d ) ,解得 d ?

1 或 d ? 0 (舍 2
3

去) ,所以数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n ?

n(n ? 1) 1 n 2 7n ? ? ? 2 2 4 4


10.已知等差数列 1 , a , b ,等比数列 3 , a ? 2 , b ? 5 ,则该等差数列的公差为( A. 3 或 ?3 B. 3 或 ?1 C. 3 D. ?3 【解析】 C; ? 2a ? 1 ? b ? 2 ?a ? 4 ?? a ? 2 ? ? 3 ? ? b ? 5 ? ,解得 ? . ? ?b ? 7 ?a ? b ? 0 ?b ? 5 ? 0 ? 因此该等差数列的公差为 3 .

11.公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a4 是 a3与a7 的等比中项 , S8 ? 32 , 则 S10 等于 ( A. ) 18 B. 24 C. 60 D. 90

2 【 答 案 】 C 【 解 析 】 由 a4 ? a3a7 得 (a1 ? 3d )2 ? (a1 ? 2d )(a1 ? 6d ) 得 2a1 ? 3d ? 0 , 再 由

S8 ? 8a1 ?
选C

56 d ? 32 得 2

2a1 ? 7d ? 8 则 d ? 2, a1 ? ?3 ,所以 S10 ? 10a1 ?

90 d ? 60 ,.故 2

12.已知 ?an ? 是等比数列, a 2 ? 2,a 5 ? A.16( 1 ? 4
?n



1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 =( )C 4 32 32 ?n ?n ?n B.6( 1 ? 2 ) C. (1 ? 4 ) D. (1 ? 2 ) 3 3

13.设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? ( ) A.3 B.4 C.5 D.6

【答案】 B 解析:选 B. 两式相减得, 3a3 ? a4 ? a3 , a4 ? 4a3 ,? q ?

a4 ? 4. a3
)A

14.已知 ?an ?是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a3 , a2 成等差数列. 则 q ? ( A.1 或 ?

1 2

B.1

C. ?

1 2


D . ?2

15.在等比数列 {an } 中, a2010 ? 8a2007 ,则公比 q 的值为( A. 2 【答案】A 解析: 二、解答题 1、等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 B. 3 C. 4

D. 8

[来源:Zxxk.Com]

a2010 ?q 3 ? 8 a2007

?q ? 2

4

(I)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn }的第 3 项和第 5 项, 试求数列 {bn }的通项公式及前 n 项和 Sn 。 解: (I)设 {an } 的公比为 q 由已知得 16 ? 2q3 ,解得 q ? 2 (Ⅱ)由(I)得 a2 ? 8 , a5 ? 32 ,则 b3 ? 8 , b5 ? 32 设 {bn }的公差为 d ,则有 ?

?b1 ? 2d ? 8 ?b1 ? ?16 解得 ? ?d ? 12 ?b1 ? 4d ? 32

从而 bn ? ?16 ? 12(n ? 1) ? 12n ? 28 所以数列 {bn }的前 n 项和 S n ?

n(?16 ? 12n ? 28) ? 6n 2 ? 22n 2

2.已知数列 ?an ? 是等差数列, a1 ? 2, a1 ? a2 ? a3 ? 12 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? 3 n ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Sn.
a

答案 1.解(1)? 数列 ?an ?是等差数列

由a1 ? a 2 ? a3 ? 12, 得  3a 2 ? 12,? a 2 ? 4 又a1 ? 2,? 公差d ? a 2 ? a1 ? 4 ? 2 ? 2, 所以数列?a n ? 的通项公式为 a n ? 2n
(2)

bn ? 3 2 n ? 9 n ,

?bn ?是首项为9,公比q ? 9的等比数列, 所以数列
数列?bn ? 的前n项和S n ? 9 1 ? 9n 9 ? 9n ? 1 1? 9 8

bn?1 9 n?1 ? n ? 9, bn 9

?

?

?

?

3、已知数列 ?an ? 是等差数列, a1 ? 2, a1 ? a2 ? a3 ? 12

5

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? 3an ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Sn.

4 .已知数列 {an } 为正项等比数列, a3

? 8, a5 ? 32, bn ? log2 an

(1)求 an 的通项公式; (2)设 {bn } 的前 n 项和为 S n ,求 S n

5、设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式.

6、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S1 = 2, S n+1 = 3S n + 2 ? n= 1, 2, 3?? . (Ⅰ)求证数列 S n + 1 为等比数列; (Ⅱ)求通项公式 an ;

{

}

6

7、已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 2, an ?1 ? 2 ?

1 , n ? 1,2,3,4,? . an

(1)求证:数列 ?

? 1 ? ? 为等差数列; ? an ? 1 ?

(2)求数列 ?an ? 的通项公式;

8、已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn =

1 ( n ? N ? ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

【解析】 (Ⅰ)设等差数列

?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

[来源:Zxxk.Com]

?a1 ? 2d ? 7 ? ?2a1 ? 10d ? 26 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 ,
an ? 3 ? ( 2 n ?1)=2n+1 ; Sn =
3n+ n(n-1) ?2 2 2 = n +2n 。

所以

1 1 1 1 1 1 1 = ? ?( ) 2 a ? 2n+1,所以 bn= an ? 1 = (2n+1) ? 1 4 n(n+1) = 4 n n+1 , (Ⅱ)由(Ⅰ)知 n
2

[来源:学科网]

n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1- + ? + ? + ) ? (1)= T 4(n+1) , n+1 2 2 3 n n+1 = 4 所以 n = 4 n ?b ? T 即 数列 n 的前 n 项和 n = 4(n+1) 。

7

9、已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn =

1 ( n ? N ? ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

【解析】 (Ⅰ)设等差数列

?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

[来源:Zxxk.Com]

?a1 ? 2d ? 7 ? ?2a1 ? 10d ? 26 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 ,
a ? 3?( 2 n ?1)=2n+1 ; Sn = 所以 n
3n+ n(n-1) ?2 2 2 = n +2n 。

1 1 1 1 1 1 1 = ? ?( ) 2 a ? 2n+1 a ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) = 4 n n+1 , (Ⅱ)由(Ⅰ)知 n ,所以 bn= n =
2

[来源:学科网]

n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1- + ? + ? + ) ? (1)= T 4(n+1) , n+1 2 2 3 n n+1 = 4 所以 n = 4

即 数列

?bn ?

n T 的前 n 项和 n = 4(n+1) 。

10.已知数列{an}满足 a1=4,an=4-

4 a n ?1

(n≥2),令 bn=

1 . an ? 2

(1)求证数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. .(1)证明: an+1-2=2-

4 2(an ? 2) ? an an



1 an?1 ? 2

?

an 1 1 (n≥1) ? ? 2(an ? 2) 2 an ? 2

8



1 a n ?1 ? 2

?

1 1 1 ? (n≥1),即 bn+1-bn= (n≥1) an ? 2 2 2

∴数列{bn}是等差数列. (2)解析: ∵{

1 }是等差数列 an ? 2
∴an=2+



1 1 1 n ? ? (n ? 1) ? ? , a n ? 2 a1 ? 2 2 2

2 n

∴数列{an}的通项公式 an=2+

2 n

11、已知数列{an}的前 n 项和 Sn,求通项公式 an: (1) sn ? 5n2 ? 3n (2)Sn= 3 -2;
n

12、 (2011 全国)设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a2 ? 6, 6a1 ? a3 ? 30, 求 an 和 S n

13、(2008 全国一)在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 2 .
n

9

(Ⅰ)设 bn ?

an .证明:数列 ?bn ? 是等差数列; 2 n ?1

(Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

14、等差数列 ?an ? 中, a4 ? 10 且 a3,a6,a10 成等比数列, 求数列 ?an ? 前 20 项的和 S 20 .

s%5¥u

10


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