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广东省珠海市2014届高三9月摸底考试数学理试题(WORD版)


珠海市 2013-2014 学年度 9 月份高三数学(理科)第一次摸底试题

珠海市 2013 年 9 月高三摸底考试 理科数学参考答案与评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.(集合)已知集合 A ? {x x ? 1} , B

? {x x 2 ? 2 x ? 0} ,则 A ? B ? ( A. {x x ? 0} 2.(复数的除法)复数 A. 1 ? i B. {x x ? 1} C. {x 1 ? x ? 2} ) C. 2 ? i D. 2 ? i ) )

D. {x 0 ? x ? 2}

2i ?( 1? i
B. 1 ? i

( 3. (函数的奇偶性与单调性) 下列函数中, 既是偶函数又在区间 0, ??) 上单调递增的函数为 (
A. y ? x
?1

B. y ? log 2 x
0

C. y ?| x |

D. y ? ? x

2

4.(充要条件)在 ?ABC 中,“ A ? 60 ”是“ cos A ? A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

1 ”的( 2



B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.(向量)如图,在 ?ABC 中,点 D 是 BC 边上靠近 B 的三等分点,则 AD ? (

????



? 2 ??? 1 ???? AB ? AC 3 3 ??? 1 ???? ? 2 C. AB ? AC 3 3
A.

B.

? 1 ??? 2 ???? AB ? AC 3 3 ??? 2 ???? ? 1 D. AB ? AC 3 3

C

D A B

?x ? y ? 5 ? 0 ? 6.(线性规划)已知 x , 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x +4 y 的最小值为( ) y ? y?0 ?
A . ?14 B. ?15 C. ?16 D. ?17 )

7.(三视图)一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示(单位: cm )则该组合体的体积为( A. 72000 cm C. 56000 cm
3

B. 64000 cm D. 44000 cm

3

50
3 3

10 主视图

40 侧视图

20

20 20 俯视图

8.(信息题)对于函数 y ? f ( x) ,如果存在区间 [m, n] ,同时满足下列条件:① f ( x) 在 [m, n] 内是 单调的;②当定义域是 [m, n] 时, f ( x) 的值域也是 [m, n] ,则称 [m, n] 是该函数的“和谐区间”.若 函数 f ( x) ?

a ?1 1 ? (a ? 0) 存在“和谐区间”,则 a 的取值范围是( a x
B. (0,1) C. (0, 2)



A. ( , )

1 5 2 2

D. (1,3)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做 一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 9.(绝对值不等式)不等式 3 x +1 ? x ? 1 ? 0 的解集是
2

? x | ? 1? x ? 0 ?



10.(二项展开式)在二项式 ( x ? ) 的展开式中,含 x 项的系数是 ?80 ,则实数 a 的值为
5

a x

2



11.(等比数列)设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,则 12.(导数)直线 y ? ?

S4 ? a4

15 8



1 1 1或-1 x ? b 是函数 f ( x) ? 的切线,则实数 b ? 4 x 0 13.(解三角形)在 ?ABC 中, AB =2 3 , AC =2 , C =60 ,则 BC ? 4
14.(几何证明选讲选做题) 如图, 圆 O 的直径 AB ? 6,P是AB延长线上的一点,过P作圆的切线,

. .

C A o B P

切点为C, 若?CPA ? 300 ,则CP长为

3 3

.

15.(极坐标选做题)极坐标系中,曲线 ? ? ?4cos ? 上的点到直线 ? cos ? ? 3 sin ? ? 8 的距离 的最大值是

?

?

7

.

三、解答题:本题共有 6 个小题,12 分+12 分+14 分+14 分+14 分+14 分=80 分.

16.(三角函数)已知函数 f ( x) ? cos x ? sin x cos x
2

(1)求 f ( x) 的最小正周期和最小值; (2)若 ? ? ( , ) 且 f (? +

? ?

4 2

3? 2? 6 )? ,求 cos? 8 4

的值. 解: (1) f ( x) ? cos x ? sin x cos x ?
2

1 1 1 1 2 ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? sin(2 x ? ) ,?????4 2 2 2 2 2 4

分 所以 T ? 分 (2) f (? + 所

2? 当 i2 ? ? , s( n 2

x? )

?
4

1 ??

时, f ( x) 有最小值

1? 2 ??????????6 2

3? 1 2 3? ? 1 2 1 2 2? 6 )? ? sin(2? + ? )? ? sin(2? +? ) ? ? sin 2? ? , 8 2 2 4 4 2 2 2 2 4


s

??

3 ????????????????????????????????10i分 2

因为 ? ? ( 所

? ?

? 2? ? ,? ? , ) ,所以 2? ? ( , ? ) ,所以 2? ? 4 2 2 3 3


c ??

1 ??????????????????????????????????12 分 o 2

17.(概率)某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件,其中有 A、B、C 三种软件 投入使用,经一学年使用后,团队调查了这个专业大一四个班的使用情况,从各班抽取的样本人数 如下表 班级 人数 一 3 二 2 三 3 四 4

(1)从这 12 人中随机抽取 2 人,求这 2 人恰好来自同一班级的概率. (2)从这 12 名学生中,指定甲、乙、丙三人为代表,已知他们下午自习时间每人选择 A、B 两个 软件学习的概率每个都是

1 ,且他们选择 A、B、C 任一款软件都是相互独立的。设这三名学生中下 6

午自习时间选软件 C 的人数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望。

解:(1)设“从这 12 人中随机抽取 2 人,这 2 人恰好来自同一班级”的事件为 M 则 P( M ) ?
2 2 C32 ? C2 ? C32 ? C4 13 ? ?????????????????????????3 分 2 C12 66

答:从这 12 人中随机抽取 2 人,这 2 人恰好来自同一班级的概率是

13 ??????????4 分 66

(2) ? ? 0 、、 、 ??????????????????????????????????5 1 2 3 分 由题设知,每个人选软件 C 概率均为 分

2 ?????????????????????????6 3

? P(? ? 0) ? ( )3 ?

1 1 3 27 2 2 1 1 P(? ? 1) ? C3 ( )2 ? ? 3 3 9

1 2 4 P(? ? 2) ? C32 ? ? ( ) 2 ? 3 3 9 2 3 8 ????????????????????????????????10 P(? ? 3) ? ( ) ? 3 27


? 的分布列如下
?
P
0
1 27

1
2 9


2
4 9

3
8 27
期 望 是

?
E? ? 0 ?

1 2 4 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 ????????????????????12 分 27 9 9 27

18.(立几)在边长为 4cm 的正方形 ABCD 中,E、F 分别为 BC、CD 的中点,M、N 分别为 AB、 CF 的中点,现沿 AE、AF、EF 折叠,使 B、C、D 三点重合,重合后的点记为 B ,构成一个三棱锥. (1)请判断 MN 与平面 AEF 的位置关系,并给出证明; (2)证明 AB ? 平面 BEF ; (3)求二面角 M ? EF ? B 的余弦值.
A D
M B N F E

M

F N
A

B

E

C

解:(1) MN 平行平面 AEF ??????????????????????????1 分 证明: 由题意可知点 M、N 在折叠前后都分别是 AB、CF 的中点 (折叠后 B、C 两点重合) 所以 MN 平行 AF ???????????????????????????????2 分

? MN ? 面AEF ? 因为 ? AF ? 面AEF ,所以 MN 平行平面 AEF ??????????????????4 ? MN 平行AF ?


(2)证明:由题意可知 AB ? BE 的关系在折叠前后都没有改变 因 为 在 折 叠 前 AD ? DF , 由 于 折 叠 后 AD与AB重合 , 点 D与F 重合 , 所 以 ??5 分 A B? B F ? AB ? BE ? AB ? BF ? ? 因为 ? BE ? 面BEF , 所以 AB ? 平面 BEF ????????????????????8 ? BF ? 面BEF ? ? BE ? BF =B ? 分 (3)解: 记EF的中点为G, 连接MF、BG、MG,

因为BE ? BF , ME ? MF , 所以BG ? EF 且MG ? EF ,
所以 ?MGB 是二面角 M ? EF ? B 的平面 角. ?????????????????10 分 因为 AB ⊥ 面BEF ,所以 ?MGB ? 90 .
0

在 ?BEF 中, BG ? 于是

2 ,由于 MB ? 2 ,所以 MG ? MB 2 ? BG 2 ? 6 ,

cos ?MGB ?

2 3 ? ?????????????????????????13 分 3 6

所以,二面角 M ? EF ? B 的余弦值为

3 ???????????????????14 分 3

19. (数列) 若正数项数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n , 首项 a1 ? 1 , P 点 (1)求 a2 , a3 ; (2)求数列 ?a n ?的通项公式 an ; (3)设 bn ?

?

S n , S n ?1 在曲线 y ? ( x ? 1) 上.
2

?

1 , Tn 表示数列 ?bn ?的前项和,若 Tn ? a 恒成立,求 Tn 及实数 a 的取值范围. an ? an ?1

解:(1)因为点 P

?

2 S n , S n ?1 在曲线 y ? ( x ? 1) 上,所以 Sn ?1 ? ( Sn ? 1) .
2

?

? a1 ? a2 ? ( a1 ? 1)2 ? 分别取 n ? 1 和 n ? 2 ,得到 ? , a1 ? a2 ? a3 ? ( a1 ? a2 ? 1) 2 ? ?
由 a1 ? 1 解得 a2 ? 3 ,a3 ? 5 .?????????????????????????4 分 (2)由 Sn ?1 ? ( Sn ? 1) 得 S n ?1 ? S n ? 1 .
2

所以数列

? S ? 是以
n

S1 为首项,1 为公差的等差数列
即 Sn ? n ??????????????????????6
2

所以 S n ? 分 由公式 an ? ? 所

S1 +(n ? 1) ?1 ,

n =1 n=1 ? S1 ?1 ,得 an ? ? ? 2n ? 1 n ? 2 ? S n ? S n ?1 n ? 2


an ? 2n ? 1??????????????????????????????????8 分
(3)因为 bn ?

1 1 ? ,所以 bn ? 0 , an ? an ?1 (2n ? 1) ? (2n ? 1)

Tn ?

1 1 1 ? ? …… ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1) ? (2n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 = (1 ? + ? + ? + ? + ? ) 2 3 3 5 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2 n ? 1 1 2n n 1 ??????????????????????????1 = ? ? ? 2 2 n ? 1 2n ? 1 2 ? 1 n
0分 显然 Tn 是关于 n 的增函数, 所以 Tn 有最小值 T1 ? 分 由于 Tn ? a 恒成立,所以 a ? 分 于是 a 的取值范围为 {a | a ? } .???????????14 分

1 ? ,?????????????12 1 3 2? 1

1

1 ,?????????????????????????13 3

1 3

20.(圆锥曲线)已知点 A、B 的坐标分别是 (0, ?1) 、 (0,1) ,直线 AM、BM 相交于点 M ,且它

们的斜率之积为 ?

1 . 2

(1)求点 M 轨迹 C 的方程; (2)若过点 D(0, 2) 的直线 l 与(1)中的轨迹 C 交于不同的两点 E、F ,试求 ?OEF 面积的取值范围 ( O 为坐标原点). 解:(1)设点 M 的坐标为 ( x, y ) , ∵ k AM ? k BM ? ? 分 整理,得 分 (2)由题意知直线 l 的斜率存在,设 l 的方程为 y ? kx ? 2 分 ①???????????????5

1 y ?1 y ?1 1 ,∴ ? ? ? ??????????????????????2 2 x x 2

x2 ? y 2 ? 1 ( x ? 0) ,这就是动点 M 的轨迹方程.??????????????4 2

y F E D o x

x2 将①代入 ? y 2 ? 1 得: 2
(2k 2 ? 1) x 2 ? 8kx ? 6 ? 0 ????????????????6 分
由 ? ? 0 ,解得 k ?
2

3 ?????????????????7 分 2

? ?8k 2 ? x1 ? x2 ? 2 , ? 2k ? 1 ② ???????????????????? 设 E ? x1 , y1 ? ,F ? x2 , y2 ? , ? 则 ?x x ? 6 ? 1 2 2k 2 ? 1 ?
8分

1 1 1 1 S?OEF ? S?OED ? S?OFD ? OD ? x1 ? OD ? x2 ? OD ? x1 ? x2 ? ? 2 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ???? 2 2 2 2
10 分

?8k 2 6 16k 2 ? 24 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ? ( 2 ) 2 ? 4 ? 2 ? ? 2k ? 1 2k ? 1 (2k 2 ? 1) 2
11 分 令k ?
2

3 16(k 2 ? ) 2 ????? 2 (2k ? 1) 2

3 3 ? t (t ? 0) ,所以 k 2 ? t ? (t ? 0) 2 2

所以 S ?OEF ? x1 ? x2 ?

16t 4t t 1 1 2 ? ? ?2 2 ?2 ?2 ? 2 2 4 (2t ? 4) (t ? 2) t ? 4t ? 4 4?4 2 t? ?4 t


13 分 所

S?O ? (


2 2

??????????????????????????????????14 E

0

21.(导数)已知函数 f ( x) ?

1? x ? ln x ax 1 (1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在 [ , 2] 上的最小值; 2 1 (2)若函数 f ( x) 在 [ , +?) 上为增函数,求正实数 a 的取值范围; 2
?1 ? ? ?

(3)若关于 x 的方程 1 ? x ? 2x ln x ? 2mx ? 0 在区间 ? , e ? 内恰有两个相异的实根,求实数 m 的 e 取值范围. 解:(1)当 a ? 1 f ( x) ? 分 于是,当 x 在 [ , 2] 上变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况如下表:

1 1 1 x ?1 ? ln x ?1 , f '( x) ? ? 2 ? 2 ,??????????????2 x x x x

1 2

x
f '( x)

1 2



1 ,1) 2


1 0 极小值 0

(1,2) + 单调递增

2

f ( x)

1 ? ln 2

单调递减

ln 2 ?

1 2

由上表可得, x ? 1 时函数 f ( x) 取得最小值 0. ???????????????????4 当 分

(2) f '( x) ?

1 1 ax ? 1 ,因为 a 为正实数,由定义域知 x ? 0 ,所以函数的单调递增区 ? 2 ? x ax ax 2 1 1 1 1 间 为 [ , + ) 因 为 函 数 f ( x) 在 [ , +?) 上 为 增 函 数 , 所 以 0 ? ? , 所 以 ? , a 2 a 2

a ? 2 ?????8 分

( 3 ) 方 程 1 ? x ? 2x ln x ? 2mx ? 0 在 区 间 ? , e ? 内 恰 有 两 个 相 异 的 实 根 ? 方 程 ?e ?

?1

?

?1 ? 1? x 1? x 在 ? l nx ? m ? 0 区 间 ? , e ? 内 恰 有 两 个 相 异的 实 根 ? 方 程 ? ln x ? m 在 区 间 2x 2x ?e ? ?1 ? 1? x ? e , e ? 内恰有两个相异的实根 ? 函数 g ( x) ? 2 x ? ln x 的图象与函数 y ? m 的图象在区间 ? ? ?1 ? ? e , e ? 内恰有两个交点?????10 分 ? ?
考察函数 g ( x) ? 增函数 ???????????????????????????????????????? 12 分

?1 1 ? ?1 ? 1? x 1 1 2x ?1 ,在 ? , ? 为减函数,在 ? , e ? 为 ? ln x , g ?( x) ? ? 2 ? ? 2 2x 2x x 2x ?e 2? ?2 ?

1? e 1? e 1? e ? ln e ? ?1 ? ?0 2e 2e 2e 1 1? 1 2 ? ln 1 ? 1 ? ln 2 ? 0 g( ) ? 2 2? 1 2 2 2 1 1? 1 e ? ln 1 ? e ? 1 ? 1 ? e ? 3 ? 0 ? g (e) ??????????????????1 g( ) ? e 2? 1 e 2 2 e g (e) ?
3分 画函数 g ( x) ?

?1 ? 1? x 1? x 要使函数 g ( x) ? ? ln x ,x ? ? , e ? 的草图, ? ln x 的图象与函数 y ? m 的 2x 2x ?e ?

图象在区间 ? , e ? 内恰有两个交点,则要满足 g ( ) ? m ? g ( ) 2 e ?e ? 所 以 的 取 值 范 m 1 e?3 {m | ? ln 2 ? m ? } ????????????????????14 分 2 2 围 为

?1

?

1

1


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