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三台中学2013级第二次诊断考试理科数学模拟试题(三)


三台中学 2013 级第二次诊断考试理科数学

模 拟 试 题(三)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设复数 z= +(1+i) ,则复数 z 的共轭复数的模为(
2


<

br />A. B.1 C.2 D. 2 2. 若全集 U=R, 集合 A={x|﹣7<2x+3<7}, B={x|y=log2 (x ﹣4) }, 则 CU (A∩B) = ( ) A.{x|x<﹣5 或 x>﹣2} B.{x|x≤﹣5 或 x≥﹣2} C.{x|x≤﹣3 或 x≥﹣1} D.{x|x<﹣3 或 x>﹣1} 3.命题“?x∈R,sin2x>1”的否定是( ) A.?x∈R,sin2x≤1 B.?x?R,sin2x>1 C.?x0∈R,sin2x≤1 D.?x0?R,sin2x>1 4.从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距 离为 A.0.1 的概率是( B. ) C.0.3 D.0.6 )

5. 已知平面向量 = (1, ﹣2) ,= (4, m) , 且 ⊥ , 则向量 在 ﹣ 方向上的投影为 ( A. B.﹣2 C.4 D.﹣4 6.设 F1、F2 是双曲线 ﹣

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A 是其右支上一点,连接 )

AF1 交双曲线的左支于点 B,若|AB|=|AF2|,且∠BAF2=60° ,则该双曲线的离心率为( A. B. C.2 ﹣1 D. )

7.阅读下面的程序框图.若使输出的结果不大于 37,则输入的整数 i 的最大值为(

A.5

B.3

C.2

D.4 个单位后,得到一个关于 )

8.已知命题 p:“将函数 y=sin(2x+θ)的图象沿 x 轴向右平移 y 轴对称的图象”,命题 q:“θ=kπ+ A.充分不必要条件 C.充要条件 (k∈Z)”,则 p 是 q 的(

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

第 1 页(共 8 页)

9.某市人事部门引进 4 名优秀急缺专业类别的博士生甲、乙、丙、丁,经研究决定拟将他 们分配到 A、B、C 三个单位,每个单位至少去一名,且甲不能 A 单位,则不同的分配方案 有( ) A.24 种 B.12 种 C.48 种 D.36 种 10.我们把离心率相等的椭圆称之为“同基椭圆”,已知椭圆 C1: C2:y +
2

+y =1(m1>1)和椭圆

2

=1(0<m2<1)为“同基椭圆”,直线 l:y=

与曲线 C1 从左至右交于 A、D 两

点,与曲线 C2 从左至右交于 B、C 两点,O 为坐标原点,且|AC|= ,则椭圆 C1、C2 的交点 个数为( A.4 ) B.2 C.0 D.无数个

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卷的横线上. 11. 已知在 ( ﹣ ) 的展开式中, 第 6 项为常数项, 则含 x 的项的二项式系数为
n 2



12.2014 年巴西足球世界杯最终以德国队高举“大力神杯”而落幕,专家认为:“中国的孩子 既没时间也没场地踢球,现在急需足球这样的全民健身运动,当从民族的高度、战略的高度 发展足球”,以下是某新闻媒体进行的网上调查,所有参与调查的人中,持“支持”、“中立” 和“不支持”态度的人数如下表所示: 支持 中立 不支持 800 450 200 20 岁以下 150 300 20 岁以上(含 20 岁) 100 在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取 n 个人,已知从“支持”态度的人中抽取了 45 人,则 n= . 13.已知(x,y)满足不等式 则 a 的取值范围是 .
2 2 2

,z=ax+y 当且仅当在点(2,2)取得最大值,

14.已知 Sn 为正项的数列{an}的前 n 项和,且 an+1 ﹣an+1+2﹣an =0,S29=a29 ,则以 a1 为 首项,2 为公比的等比数列{bn}的第 2015 项为 . 15.若以曲线 y=f(x)上任意一点 M(x1,y1)为切点作切线 l1,曲线上总存在异于 M 的 点 N(x2,y2) ,以点 N 为切点作切线 l2,且 l1∥l2,则称曲线 y=f(x)具有“可平行性”,现 有下列命题: ①偶函数的图象都具有“可平行性”; ②函数 y=sinx 的图象具有“可平行性”; 3 2 ③三次函数 f(x)=x ﹣x +ax+b 具有“可平行性”,且对应的两切点 M(x1,y1) ,N(x2, y2)的横坐标满足 x1+x2= ; ④要使得分段函数 f(x)= 其中的真命题是 的图象具有“可平行性”,当且仅当实数 m=1. (写出所有命题的序号) .
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三、解答题:本大题共 6 个小题,16-19 题每小题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)=(sinx+cosx) + 当 x=α 时,f(x)有最大值. (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, a=2, A=α﹣ 求△ ABC 的面积. , 且 sinBsinC=sin A,
2 2





17. (12 分)时下休闲广场活动流行一种“套圈”的游戏,花 1 元钱可以买到 2 个竹制的圆形 套圈,玩家站在指定的位置向放置在地面上的奖品抛掷,一次投掷一次,只要奖品被套圈套 住,则该奖品即归玩家所有,已知玩家对一款玩具熊志在必得,玩具被套走以后商家马上更 换同样的玩具供玩家游戏,假设玩家发挥稳定且每次投掷套中奖品的概率为 0.2. (1)求投掷 3 次才获取玩具熊的概率; (2)已知玩家共消费 2 元,求玩家获取玩具熊的个数 X 的分布列、数学期望.

18. (12 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=7,a2 为整数,当且仅当 n=4 时,Sn 取得最大值. (1)求数列{an}的通项公式; n﹣1 (2)设 bn=(9﹣an)?2 ,求数列{bn}的前 n 项和为 Tn.

第 3 页(共 8 页)

19. (12 分)圆 C 的半径为 3,圆心在直线 2 x + y = 0 上且在 x 轴下方,x 轴被圆 C 截得的 弦长为 2 5 . (1)求圆 C 的方程; (2)是否存在斜率为 1 的直线 l,使得以 l 被圆截得的弦为直径的圆过原点?若存在,求出 直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

20. (13 分)已知椭圆 C1: C1,C2 的离心率互为倒数. (1)求椭圆的标准方程;

+

=1(a>b>0) ,其焦距为 4,双曲线 C2:



=1,

(2)过椭圆的右顶点作直线交抛物线 分别与椭圆相交于点 D,E,证明:

=x 于 A,B 两点,过原点 O 与 A,B 两点的直线 为定值.

21. (14 分)关于 x 的函数 f(x)=m(x ﹣4x+lnx)﹣(2m +1)x+2lnx,其中 m∈R,函数 f(x)在(1,0)处切线斜率为 0. 2 (1)已知函数 f(x)的图象与直线 y=k ﹣2k 无公共点,求实数 k 的取值范围; (2)已知 p≤0,若对任意的 x∈[1,2],总有 f(x)≥ 的取值范围. + +2x﹣x 成立,求 p
2

2

2

第 4 页(共 8 页)

三台中学 2013 级第二次诊断考试理科数学 模拟试题(三)参考答案与解析
1-5 ABCBD 6-10DACAB 部分题目解析: 4.解析:从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点共有 种,其中两点间的距离为 = 故选:B. 的必选中心,共有 4 种可能,故该两点间的距离为 =10

的概率是



5.解析:因为 ⊥ ,所以 ? =4﹣2m=0,解得 m=2,则 ﹣ =(﹣3,﹣4) , 则向量 在 ﹣ 方向上的投影为| |cosθ= =﹣4;故选 D.

6.解析:若|AB|=|AF2|,且∠BAF2=60° ,则△ BAF2 为等边三角形, 设 AF2=t,则 AB=BF2=t,由双曲线的定义可得, AF1﹣AF2=2a,BF2﹣BF1=2a,AF1=AB+BF1,即有 t+2a=2t﹣2a, 解得,t=4a, 2 2 2 AF1=6a,AF2=4a,F1F2=2c,由余弦定理可得,F1F2 =AF1 +AF2 ﹣2AF1?AF2cos60° , 即有 4c =36a +16a ﹣2× 6a× 4a× ,即为 4c =28a ,则有 e= =
2 2 2 2 2

.故选 D.

7.解析:经过第一次循环得到 s=2,n=1,经过第二次循环得到 s=5,n=2, 经过第三次循环得到 s=10,n=3,经过第四次循环得到 s=19,n=4, 经过第五次循环得到 s=36,n=5,经过第六次循环得到 s=69,n=6, ∵输出的结果不大于 37,∴n 的最大值为 4,∴i 的最大值为 5,故答案为:A. 8. 解析: ①将函数 y=sin (2x+θ) 的图象沿 x 轴向右平移 (x﹣ )+θ]=sin(2x﹣ 个单位后, 得到解析式是; y=sin[2

+θ) ,因为是关于 y 轴对称的图象, +θ=k ,k∈z,即 θ=π+ ,∈z, 个单位后得出

所以 y=sin(2x﹣ ②∵若 θ=kπ+ y=sin(2x

+θ) ,是偶函数,所以﹣

(k∈Z) ,∴函数 y=sin(2x+θ)的图象沿 x 轴向右平移 )=sin(2x

)=cos(2x+kπ) ,其图象关于 y 轴对称, =12 种,

∴p 是 q 的充要条件,故选:C. 9.解析:根据甲是否单独去一个单位分两类,甲单独去一个单位,则有 甲不单独去一个单位,则有 =12 种,共有 24 种.故选:A. =

10.解析:由于 C1,C2 的离心率相等,则 将 y= 分别代入 C1,C2 方程,由

,即有 m1m2=1,

+ =1?xA=﹣ m1, ) ,C( m2, ) ,



+ =1?xC= m2,则 A(﹣ m1,

又|AC|= ,则 m1+ m2= ,又 m1m2=1,解得 m1=2,m2= ,

第 5 页(共 8 页)

则有 C1,C2 的方程分别为

+y =1,4x +y =1,解得交点为(0,1) , (0,﹣1) .

2

2

2

故它们的交点个数为 2.故选 B. 11.45 12.解析:由题意 = ,解得 n=100.故答案为:100.

13.解析:由约束条件

作出可行域如图,

联立

,解得 C(2,2) ,化目标函数 z=ax+y 为 y=﹣ax+z,

由图可知,要使 z=ax+y 当且仅当在点(2,2)取得最大值, 则﹣a ,即 a .∴a 的取值范围是(
2 2

) .故答案为: (

) .

14.解析:由已知 an>0,又∵an+1 ﹣an+1+2﹣an =0, ∴ , , … , 将以上 28 个式子相加,化简得
2

﹣(S29﹣a1)+2× 28=



又 S29=a29 ,代入上式化简得(a1﹣8) (a1+7)=0,又∵an>0,∴a1=8, 2015﹣1 2014 2017 2017 ∴b2015=a1?q =8?2 =2 ,故答案为:2 . 15.解析:①函数 y=1 满足是偶函数,函数的导数 y′=0 恒成立,此时,任意两点的切线都 是重合的,故①不符合题意. ②由 y′=cosx 和三角函数的周期性知,cosx=a(﹣1≤a≤1)的解有无穷多个,符合题意. 3 2 2 2 ③三次函数 f(x)=x ﹣x +ax+b,则 f′(x)=3x ﹣2x+a,方程 3x ﹣2x+a﹣m=0 在判别式 2 △ =(﹣2) ﹣12(a﹣m)≤0 时不满足方程 y′=a(a 是导数值)至少有两个根,命题③错误; ④函数 y=e ﹣1(x<0) ,y′=e ∈(0,1) ,函数 y=x+ ,y′=1﹣ 得
x x

,则由 1﹣

∈(0,1) ,

∈(0,1) ,∴x>1,则 m=1.故要使得分段函数 f(x)的图象具有“可平行性”,当且

仅当实数 m=1,④正确.∴正确的命题是②④.故答案为:②④.

第 6 页(共 8 页)

16. 解: (1) 函数 f (x) = (sinx+cosx) + (2x﹣ ) ,令 2kπ﹣ ≤2x﹣ ,kπ+ ≤2kπ+ ,k∈z,得 kπ﹣

2

=1+sin2x﹣ ≤x≤kπ+

cos2x=1+2sin

,k∈z,故函数 f

(x)的增区间为[kπ﹣ (2)∵ 可得 2α﹣ = , 故 α=
2

],k∈z.……………………………6 分 ∈[ , ],再根据当 x=α 时,f(x)有最大值, = , 且 sinBsinC=sin A= , = .…………12 分
2

,可得 2x﹣

. 在△ ABC 中, 由于 a=2, A=α﹣

∴由正弦定理可得 bc=a =4,∴△ABC 的面积为

bcsinA= × 4×

17.解: (1)投掷第 3 次才获取玩具熊,是指第一次和第二次均没有投掷套中奖品,且第三 次投掷套中奖品. ∴投掷第 3 次才获取玩具熊的概率 P=(1﹣0.2) (1﹣0.2)?0.2=0.128.…………………4 分 (2)由已知得 X=0,1,2,3,4,且 X~B(4,0.2) , P(X=0)= P(X=1)= =0.4096, , P(X=2)= ═0.1536,P(X=3)=C =0.0256, P(X=4)= =0.0004,……………………………………………………………10 分

∴X 的分布列为: X 0 1 2 3 4 P 0.4096 0.4096 0.1536 0.0256 0.0004 E(X)=4× 0.2=0.8.………………………………………………………………………12 分 18.解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,∵当且仅当 n=4 时,Sn 取得最大值. ∴a4>0,a5<0.∴ ,解得 ,

∵a2 为整数,∴d 为整数,∴d=﹣2.∴an=7+(n﹣1)× (﹣2)=9﹣2n.……………6 分 n﹣1 n﹣1 n 2 3 n (2)bn=(9﹣an)?2 =2n?2 =n?2 .∴Tn=1× 2+2× 2 +3× 2 +…+n?2 , 2 3 4 n n+1 2Tn=2 +2× 2 +3× 2 +…+(n﹣1)× 2 +n× 2 , ∴﹣Tn=2+2 +2 +…+2 ﹣n?2 ∴Tn=(n﹣1)× 2
n+1 2 3 n n+1

=

﹣n× 2

n+1

=(1﹣n)× 2

n+1

﹣2,

+2. ………………………………………………………………12 分

19. 解: (1) 设 C x0 , y0 , 则 2x0 +y0 = 0 y0 < 0 则 C 1, - 2 . 所以圆 C 的方程为 x - 1
2 2

(

)

(

) ,又
2

32 - y0 2 = 5 , 得 x0 = 1, y0 = - 2 ,

(

)

(

) +( y + 2)

2

= 9,

即 x + y - 2x + 4 y - 4 = 0 .……………………………………………………………5 分 (2) 设这样的直线 l 存在, 其方程为 y = x + b , 它与圆 C 的交点设为 A x1, y1 ,B x2 , y2 , 则由 ?

(

) (

)

? x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ?y ? x ?b

,得 2x + 2 b +1 x +b + 4b - 4 = 0 ,

2

(

)

2

b 2 + 4b - 4 .……………………………………………8 分 ( ) 2 2 所以 y1 y2 = ( x1 +b)( x2 +b) = x1x2 +b ( x1 + x2 ) +b .由 OA ? OB 得 x1 x2 + y1 y2 = 0 ,
所以 x1 + x2 = - b +1 , x1 x2 =
2 即 b + 4b - 4 - b b +1 +b = 0 , b + 3b - 4 = 0 ,解得 b = 1或b = - 4 .

2

(

)

2

容易验证 b = 1或b = - 4 ,方程 2x + 2 b +1 x +b + 4b - 4 = 0 有实根. 故存在这样的直线 l 有两条,其方程是 y = x +1或y = x - 4 .………………………12 分
第 7 页(共 8 页)

2

(

)

2

20.解: (1)由 所以 得
2

,其离心率为 e=2. .故 b =12.所以椭圆 C1 的标准方程为 .……………4 分
2

(2)设过椭圆得右顶点(4,0)得直线方程为 x=my+4,代入抛物线方程为 y =4x, 得 y ﹣4my﹣16=0.设 A(x1,y1)B(x2,y2) ,则
2 2

………………………6 分

∴x1x2+y1y2=(my1+4) (my2+4)+y1y2=(1+m )y1y2+4m(y1+y2)+16=0,∴OA⊥OB 设 D(x3,y3) 、E(x4,y4) ,直线 DE 的方程为 x=ty+λ,代入 (3t +4)y +6tλy+3λ ﹣48=0,于是 从而
2 2 2 2 2



,∵OA⊥OB,∴OD⊥OE,

∴x3x4+y3y4=0,代入整理得 7λ =48(t +1) ,过原点 O 作直线 DE 的垂线 OM,垂足为 M, ∴原点到直线 DE 的距离 d= ∵△DOE 为直角三角形,∴ 为定值, ,∴

= 4 21 为定值.13 分 7 2 2 21.解: (1)函数 f(x)=m(x ﹣4x+lnx)﹣(2m +1)x+2lnx 的导数 f′(x)=m(2x﹣4+ )﹣(2m +1)+ ,…………………………………………………1 分 由函数 f(x)在(1,0)处的切线斜率为 0,即有 f′(1)=0,又 f(1)=0, 2 2 2 即为 2m +m﹣1=0,且 2m +3m+1=0,解得 m=﹣1,即有 f(x)=﹣x +x+lnx, f(x)=﹣x +x+lnx 的导数为 f′(x)=﹣2x+1+
2 = ?2 x ? x ? 1 =

2

2

x



当 x>1 时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当 0<x<1 时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 2 则有 f(x)在 x=1 处取得极大值,也为最大值,且为 0,由于函数 f(x)的图象与直线 y=k 2 ﹣2k 无公共点,则 k ﹣2k>0,解得 k>2 或 k<0;………………………………………6 分 (2)设 F(x)=f(x)﹣( =lnx﹣ x﹣ ,F′(x)= ﹣ + = + +2x﹣x ) ,………………………8 分
2

当 p=0 时,F′(x)= 当 p≠0 时 F′(x)=

>0,F(x)在[1,2]递增,F(1)=﹣1<0 不成立, (舍) ,

当 1+ <﹣1,即﹣1<p<0 时,F(x)在[1,2]递增,F(1)=﹣p﹣1<0,不成立;11 分 当﹣1<1+ ≤1,即 p<﹣1 时,F(x)在[1,2]递增,所以 F(1)=﹣2p﹣2≥0,解得 p≤﹣1, 所以,此时 p<﹣1; 当 p=﹣1 时,F(x)在[1,2]递增,成立.……………………………………………13 分 综上,p 的取值范围是(﹣∞,﹣1].…………………………………………………14 分

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