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高考数学一轮复习-基本初等函数知识点与典型例题


基本初等函数
【整体感知】:
定义域 定 义 对应法则 值域 映 射 函 数 区间

一次函数 一元二次函数
一元二次不等式 二次函数

指 数 函 数

根式

分数指数 指数方程 对数方程 对数的性质

指数函数的图像和性质

基 性本 初 质 等 函 数
反 函 数

奇偶性 单调性 周期性 对数 互为反函数的 函数图像关系 对 数 函 数 对数函数的图像和性质 对数恒等式 和不等式 常用对数 自然对数 积、商、幂与 根的对数

幂函数 第 1 讲 指数函数 【基础梳理】 1.根式 (1)根式的概念 如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N*),那么这个数叫做a的n次方根.也就是,若x =a,则x叫做__a 的n次方根_,其中n>1且n∈N*.式子 a 叫做__根式__, 这里n叫做____根指数___, a叫做__被开方数____. (2)根式的性质 ①当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数, 负数的n次方根是一个负数, 这时, a的n次方根用符号_ a ___ 表示. ②当n为偶数时, 正数的n次方根有两个, 它们互为相反数,这时, 正数的正的n次方根用符号__ a __ 表示, 负的n次方根用符号___ ? a _____表示.正负两个n次方根可以合写为___ ? a _____(a>0). ③
n n n n n

n

( a )n =___a___. ④当n为奇数时,

n

n

n ?a (a ? 0) _____. an =__a__;当n为偶数时, a n ?| a | =___ ? ??a (a ? 0)

⑤负数没有偶次方根. 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂: a ? a ? a?? ??? a (n∈N*);②零指数幂:a =__1__(a≠0); ?? ?
n
0

n个

③负整数指数幂:a =__
m n

-p

1 ___(a≠0,p∈N*); ap
n

④正分数指数幂: a =___ a m ____(a>0,m、n∈N*, 且n>1); ⑤负分数指数幂: a
? m n

=

1 a
m n

=

1
n

am

(a>0,m、n∈N*,且n>1).

⑥0的正分数指数幂等于__0____,0的负分数指数幂____没有意义______. (2)有理数指数幂的性质 ①a a = a (a>0,r、s∈Q); ②(ar) = a (a>0,r、s∈Q); ③(ab) = a b (a>0,b>0,r∈Q). 3.指数函数的图象与性质
r s r+s s rs r r r

y=ax(a>0 且 a≠1)


a>1

[来源:学科网 ZXXK]

0<a<1



[来源:Z+xx+k.Com][来源:学&科&网][来源:学科网][来源:学#科#网][来

源:Z&xx&k.Com]

定义域 值 域

R (0,+∞)
(1)过定点___( 0,1)______ (2)当 x>0 时,__ y>1__; (2)当 x>0 时,___ x<0 时,__ y>1____ 0<y<1_____;

性质
x<0 时,__ 0<y<1__

(3)在(-∞, +∞)上是_增函数_ (3)在(-∞,+∞)上是_减函数 ___ 【要点解读】 要点一 指数运算 【例 1】 (1)(0.027) 3 ? (
2

27 ? 1 7 1 ) 3 ? (2 )0.5 ;(2) ? ( 3 ? 1)0 ? 9 ? 4 5; 125 9 5?2

(3)(2a b )(?6a b ) ? (?3a b );(4)

2 3

1 2

1 2

1 3

1 6

5 6

8ab ? b
2 3
3

1 3

4 3 2 3

? (2

3

4a ? 2 ab ? b

3 a ? 1) ? b . b

(5)若a ? a

1 2

?

1 2

? x (a ? 1), 求

1 2

x ? 2 ? x2 ? 4x x ? 2 ? x2 ? 4x

的值.

【标准解析】根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式,然后利用分数指数幂的运算性质求 解,对化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式保留。 【误区警示】一般的进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算, 同时兼顾运算的顺序,否则容易发生运算的错误。 【答案】 (1)原式 ? (0.3) ? (
2

125 1 25 9 5 5 9 )3 ? ? ? ? ? . 27 9 100 3 3 100

(2)原式 ? 5 ? 2 ? 1 ? ( 5 ? 2) 2 ? ( 5 ? 2) ? 1 ? ( 5 ? 2) ? ?1.

(3)原式 ? [2 ? (?6) ? (?3)]a
(4)原式 ?
1 1 1

2 1 1 ? ? 3 2 6
1

b

1 1 5 ? ? 2 3 6
1

? 4ab0 ? 4a.
b 3 (2a 3 ? b 3 )(4a 3 ? 2a 3 b 3 ? b 3 ) 4a 3 ? 2a 3 b 3 ? b 3
2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1

b 3 (8a ? b) 4a 3 ? 2a 3 b 3 ? b 3
2 1 1 2 1

1

?

2a 3 ? b 3
1

?b ?

1 3

?

b3 2a 3 ? b 3
1 1

? b3

1

b3

? b 3 ? b 3 ? b 3 ? (b 3 )3 ? b.
(5)由x 2 ? a 2 ? a 2 , 得x ? a ? 1 1 1 ? 2,? x 2 ? 4 x ? x( x ? 4) ? (a ? ? 2)(a ? ? 2) a a a 1 1 a ? ? (a ? ) 2 1 2 1 2 1 2 a a ? a2. 2 ? (a ? ) ? 4 ? a ? ( ) ? 2 ? (a ? ) ,? 原式 ? a a a 1 1 a ? ? (a ? ) 2 a a
? 1 1 1

1 ?2 7 1 (0.027) ? ( ) ? (2 ) 2 ? ( 2 ? 1)0 ; 【变式训练】 (1)化简: 7 9
?

1 3

(2)

a 3 ? 8a 3 b 4b 3 ? 2 3 ab ? a 3
2 2

4

1

? (a

?

2 3

?

23 b a ? 3 a2 )? 5 a a?3 a
的值。

(3)已知 x 2 ? x

1

?

1 2

? 3 ,求

x 2 ? x ?2 ? 2 x ?x
3 2 ? 3 2

?3

【 标准解析】 (1)原式 ? (

27 ? 1 25 1 10 5 ) 3 ? 72 ? ( ) 2 ? 1 ? ? 49 ? ? 1 ? ?45. 1 000 9 3 3

1

1

1

1

1

2

1

a 3 ? 2b 3 (a ? a 3 ) 2 (2)原式= 1 ? ? 1 1 1 1 1 1 a 2 2 (a 3 ) ? a 3 ? (2b 3 ) ? (2b 3 ) (a 2 ? a 3 ) 5
5 1 3 1 3 1 3

a 3 [(a 3 ) 3 ? (2b 3 ) 3 ]

? a (a ? 2b ) ?
1 2 1 2

a a ? 2b
1 3 1 3

?
1 2

a6 a
1 6

1

2

? a3 ? a ? a 3 ? a2 。
1 2 2

(3)∵ x ? x ∴x? x
3
?1

?

? 3 ,∴ ( x ? x ) ? 9 ,∴ x ? 2 ? x ?1 ? 9 ,

?

? 7 ,∴ ( x ? x?1 )2 ? 49 ,∴ x2 ? x?2 ? 47 ,
? 3 2

又∵ x 2 ? x

? ( x 2 ? x 2 ) ? ( x ? 1 ? x ?1 ) ? 3 ? (7 ? 1) ? 18 ,∴

1

?

1

x 2 ? x ?2 ? 2 x ?x
3 2 ? 3 2

?

?3

47 ? 2 ? 3。 18 ? 3

【技巧点拨】根式运算或根式与指数式混合运算时,将根式化为指数式计算较为方便,对于 计算的结果, 不强求统一用什么形式来表示,如果有特殊要求,要根据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数 指数,也不能既有分母又含有负指数. 要点二 指数函数的概念与性质 【例 2】已知函数 f(x)=4x+m·2x+1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围.

a ? 2x ? a ? 2 【例 3】设函数 f ( x ) = 为奇函数. 求:(1)实数 a 的值;(2)用定义法判断 f ( x ) 在其定义 2x ? 1
域上的单调性. 【标准解析】解决含指数式的各种问题,要熟练运用指数运算法则及运算性质,更关键是熟练运用指数的 性质,其中单调性是使用率比较高的知识。 【误区警示】证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。 【答案】(1)方法一 依题意,函数 f ( x ) 的定义域为 R, ∵ f ( x ) 是奇函数,

a ? 2? x ? a ? 2 a ? 2x ? a ? 2 ?? , ∴2(a-1)(2x+1)=0,∴a=1. 6 分 ∴ f (? x) =- f ( x ) ,2 分? 2? x ? 1 2x ? 1
方法二 ∵f(x)是 R 上的奇函数,∴f(0)=0,即

2a ? 2 ? 0, 2

∴a=1.

6分

(2)由(1)知 f ( x) ?

2x ?1 2 x2 ? 1 2 x1 ? 1 , 则 f ( x ) ? f ( x ) ? ? 设 且 ∈ R , 8 分 x ? x x , x 2 1 1 2 1 2 2x ? 1 2 x2 ? 1 2 x1 ? 1

2 2 2(2x2 ? 2 x1 ) ? (1 ? x2 ) ? (1 ? x1 ) ? x2 ? 0, ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴ f ( x) 在 R 上是增函数.【变式训 2 ?1 2 ? 1 (2 ? 1)(2 x1 ? 1)
练】设 f ( x) ? 研究其单调性. 【 标 准 解 析 】 (1) 方 法 一 假 设 f ( x ) 是 奇 函 数 , 由 于 定 义 域 为 R, ∴ f (? x) =- f ( x ) , , 即

e? x a ? ? x 是定义在 R 上的函数.(1) f ( x) 可能是奇函数吗?(2)若 f ( x) 是偶函数,试 a e

1 1 ex a e? x a ? x ? ?( ? ? x ), 整理得 (a ? )(e x ? e ? x ) ? 0, 即 a ? ? 0, 即 a 2 +1=0,显然无解. a a a e a e
∴ f ( x ) 不可能是奇函数. 方法二 若 f ( x ) 是 R 上的奇函数,则 f(0)=0,即 (2)因为 f ( x ) 是偶函数,所以 f (? x) = f ( x ) ,即

1 ? a ? 0, 无解, ∴ f ( x) 不可能是奇函数. a

e x a e? x a ? x ? ? ?x , a e a e
1 ? 0, 得 a=±1. a

整理得 (a ? )(e ? e ) ? 0, 又∵对任意 x∈R 都成立,∴有 a ?
x

1 a

?x

当 a=1 时, f ( x ) = e

?x

? e x ,以下讨论其单调性,
x1 ? x1

任取 x1 , x2 ∈R 且 x1 ? x2 , 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ? e

?e ?e
x2

? x2

(e x1 ? e x2 )(e x1 ? x2 ? 1) ? , e x1 ? e x2

其中ex1 ? ex2 ? 0,ex1 ? ex2 ? 0, 当 e x1 ? x2 ? 1 ? 0, f ( x1 ) ? f ( x2 ) , f ( x) 为增函数,
此时需要 x1 ? x2 ? 0 ,即增区间为[0,+∞),反之(-∞,0]为减区间.

当 a=-1 时,同理可得 f ( x ) 在(-∞,0]上是增函数,在[0,+∞)上是减函数. 【技巧点拨】 解决含指数式的各种问题, 关键是熟练运用指数的性质, 其中单调性是使用率比较高的知识。 要点三 指数函数的图像与应用 【例 4】若函数 y=g(x)的图象与函数 f(x )=(x-1) (x≤1)的图象关于直线 y=x 对称,则 g(x)的表达式是 ( )
2

【命题立意】函数的图象经常和函数的性质联系在一起,把握函数图象之间的特点和联系。在解题的过程 中也常常需要结合指数函数的图象。 【标准解析】利用函数的图象关于直线 y=x 对称的实质是求函数的反函数 【误区警示】此题还要特别注意反函数的定义域,不要忘记书写,也不要出现表达错误的情况。 【答案】 因为 1 ? x ?

f ( x) ,x ? 1 ? f ( x) ,所以在 x≤1 时,f(x)的反函数为 f ?1 ( x) ? 1 ? x (x≥0),

故答案为 g(x)=1- x (x≥0) 【变式训练】下图是指数函数(1)y=a , (2)y=b , (3)y=c , (4)y=d 的图象,则 a、b、c、d 与 1 的大 小关系是( )
y (1) (2) (3) (4)
x x x x

② ①

y

③ ④

1 O x

x

A.a<b<1<c<d C.1<a<b<c<d

B.b<a<1<d<c D.a<b<1<d<c

【标准解析】可先分两类,即(3)(4)的底数一定大于 1,(1)(2)的底数小于 1,然后再从(3)(4) 中比较 c、d 的大小,从(1)(2)中比较 a、b 的大小. 【技巧点拨】 x=1 称为指数函数特征线。熟练运用特征线比较底数大小带来 极大方便。 【答案】解法一:当指数函数底数大于 1 时,图象上升,且当底数越大,图象向上越靠近于 y 轴;当底数 大于 0 小于 1 时,图象下降,底数越小,图象向右越靠近于 x 轴.得 b<a<1<d<c. 解法二:令 x=1,由图知 c >d >a >b ,∴b<a<1<d<c.答案:B 【例 5】已知函数 y ? ( ) 时函数有最值. 【标准解析】第(1)由 f (? x) =- f ( x ) 恒成立可解得 a 的值; 第(2)问按定义法判断单调性的步骤进行求解 即可. 【误区警示】在作函数图象时,首先要 研究函数与某一基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成.
1 1 1 1

1 3

| x ?1|

. (1)作出图象; (2)由图象指出其单调区间; (3)由图象指出当 x 取什么值

? 1 x ?1 1 | x ?1| ?( ) 【答案】 (1)由已知可得 y ? ( ) ?? 3 3 ?3x ?1 ?
1 3
x

( x ? ?1) ( x ? ?1)
1 3

, 其图象由两部分组成:

一部分是亦由 y ? ( ) ( x ? 0) 向左平移1个单位得到 y ? ( )

x ?1

( x ? ?1);

另一部分是由 y ? 3x ( x ? 0) 向左平移 1 个单位得到 y ? 3x?1 ( x ? ?1); 图 象如图: (2)由图象知函数在(-∞,-1]上是增函数,在(-1,+∞)上是减函数. (3)由图象知当 x=-1 时,函数有最大值 1,无最小值. 【变式训练】 若直线 y=2a 与函数 y=| a -1| (a>0,且 a≠1)的图象有两个公共点,则 a 的取值范围是______. 解 析 当 a>1 时 , 如 图 ① , 只 有 一 个 公 共 点 , 不 符 合 题 意 . 0<2a<1,? 0 ? a ? 当 0<a<1 时 , 如 图 ② , 由 图 象 知
x

1 . 2

【技巧点拨】在解题的过程中也常常需要结合指数函数的图象,数形结合.

第 2 讲 对数函数 【基础梳理】 1.对数的概念 (1)对数的定义 如果 a =N(a>0 且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作__ x ? log a N ____,其
x

中_a___叫做对数的底数,__N__ 叫做真数. (2)几种常见对数 对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 特点 底数为 a(a>0 且 a≠1) 底数为_10___ 底数为__e__ 记法 ___ log a N ____ ___ lg N ___ ____ ln N ___

2.对数的性质与运算法则

(1)对数的性质 ① a
loga N

=___N__;② log a a N =__N___(a>0 且 a≠1).

(2)对数的重要公式 ①换底公式: logb N ?

log a N (a,b 均大于零且不等 于 1); log a b



log a b ?

1 , 推广 loga b · logb c · logc d =__ loga d ____. log b a
如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么

(3)对数的运算法则

① log a (MN ) =____ loga M ? loga N ___; ② log a ③ loga M n = ____ n log a M _______(n∈R); ④ 3.对数函数的图象与性质: a>1

M =______ loga M ? loga N ____; N n log a M . m

logam M n ?

0<a<1



像 性 (1)定义域:(0,+∞) (2)值域:R 质 (3)过点(1,0),即 x=1 时,y=0 (4) 当 x>1 时 ,__ 时,___ y<0____ 5)在(0,+∞)上是增函数 4.反函数 指数函数 y=a 与对数函数 y ? log a x 互为反函数,它们的图象关于直线____y=x____对称.
x

y>0___ 当 0<x<1

(4)当 x>1 时,___ y<0_____当 0<x<1 时,___ y>0__ (4)在(0,+∞)上是减函数

【要点解读】 要点一 对数运算 【例 1】计算(1) (lg 2) ? lg 2 ? lg50 ? lg 25 ;(2) (log3 2 ? log9 2) ? (log4 3 ? log8 3) ;
2

(3)

lg 5 ? lg 8000? (lg 2 3 ) 2 1 1 lg 600 ? lg 0.036 ? lg 0.1 2 2

【标准解析】这是一组很基本的对数运算的练习题,虽然在考试中这些运算要求并不高,但是数式运算是 学习数学的基本功,通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则,以及学习数式变换的各种技巧。 【误区警示】公式和法则运用不熟练导致错误较多,要注意一些简单的技巧和方法。 【答案】(1)原式 ? (lg 2)2 ? (1 ? lg5)lg 2 ? lg52 ? (lg 2 ? lg5 ? 1)lg 2 ? 2lg5

? (1 ? 1) lg 2 ? 2lg 5 ? 2(lg 2 ? lg 5) ? 2 ;
(2)原式 ? (

lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 ? )?( ? )?( ? )?( ? ) lg 3 lg 9 lg 4 lg8 lg 3 2lg 3 2lg 2 3lg 2 3lg 2 5lg 3 5 ? ? ; 2lg 3 6lg 2 4

?

(3)分子= lg 5(3 ? 3 lg 2) ? 3(lg 2) 2 ? 3 lg 5 ? 3 lg 2(lg 5 ? lg 2) ? 3; 分母= (lg 6 ? 2) ? lg

3 36 1 6 ? ? lg 6 ? 2 ? lg ? 4 ;? 原式= 。 4 1000 10 100
2 2 2
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http://www.xjktyg.com/wxc/

【变式训练】 设 a 、b 、c 为正数, 且满足 a ? b ? c

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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若 log 4 (1 ?

b?c 2 ) ? 1 ,log8 (a ? b ? c) ? , 求a、 a 3

b 、 c 的值。
【标准解析】由 log 4 (1 ?

b?c b?c ) ? 1 得1 ? ? 4 ,∴ ?3a ? b ? c ? 0 ???① a a

2 2 由 log8 (a ? b ? c) ? 得 a ? b ? c ? 8 3 ? 4 ?②由① ? ②得 b ? a ? 2 ??③ 3
2 2 2 由①得 c ? 3a ? b ,代入 a ? b ? c 得 2a(4a ? 3b) ? 0 ,∵ a ? 0 , ∴ 4a ? 3b ? 0 ??④

由③、④解得 a ? 6 , b ? 8 ,从而 c ? 10 。 【技巧点拨】对于含对数因式的证明和求值问题,还是以对数运算法则为主,将代数式化简到最见形式再 来处理即可。 【答案】 a ? 6 , b ? 8 , c ? 10 要点二 对数方程 【例 2】方程 log2 ( x ?1) ? 2 ? log 2 ( x ? 1) 的解为 。

【标准解析】关于含对数式等式的形式,解题思路是转化为不含对数因式的普通等式或方程的形式,再来 求解。

【误区警示】变形不是等价变形,要注意严重解的合理性。 【答案】原方程变形为 log2 ( x ? 1) ? log2 ( x ? 1) ? log2 ( x 2 ? 1) ? 2 ,即 x ? 1 ? 4 ,得 x ? ? 5 。且
2

?x ? 1 ? 0 有 x ? 1 。从而结果为 5 。 ? ?x ? 1 ? 0
【变式训练】方程 lgx+lg(x+3)=1 的解 x=___________________. 【标准解析】由 lgx+lg(x+3)=1,得 x(x+3)=10,x +3x-10=0. ∴x=-5 或 x=2.∵x>0,∴x=2. 【技巧点拨】利用对数的运算法则进行化简和计算时,在去掉对数符号时,特 别要注意“真数必须大于零” 这个条件。 【答案】2 要点三 对 数函数的概念与性质 【例 3】若函数 y ? loga ( x ? b)(a ? 0, a ? 1) 的图象过两点(-1,0)和(0,1),则( A.a=2,b=2 B.a= 2 ,b=2 C.a=2,b=1 D.a= 2 ,b= 2 )
2

【标准解析】利用函数和图象的性质解题。 【误区警示】没有讨论对数函数的底数 a 的范围。 【答案】依题意可知 loga (?1 ? b) ? 0 且 loga b ? 1 ,因此-1+b=1 且 a=b,解得 a=b=2.选择 A 【变式训练】已知函数 y=log2x 的反函数是 y=f (x),则函数 y= f (1-x)的图象是(
—1 —1



【标准解析】可以利用图象的特点和函数的性质,如图象上的特殊点,对应函数的坐标。另外也可以直接 求出,画出图象进行比较。 【技巧点拨】要正确识别函数图像,一是熟悉各种基本函数的图像,二是把握图像的性质,根据图像的性 质去判断,如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性。 【答案】由 y=log2x 得 f (x)=2 ,所以 y= f (1-x)=2 , 选择 C C 要点四 指数函数、对数函数综合问题 【例 4】已知 f ( x ) ? log a
—1 x —1 1-x

1 ? mx 是奇函数 (其中 a ? 0, a ? 1) ,(1)求 m 的值;(2)讨论 f ( x) 的单 x ?1
?1

调性;(3)求 f ( x) 的反函数 f

( x) ;(4)当 f ( x) 定义域区间为 (1, a ? 2) 时, f ( x) 的值域为 (1,??) ,

求 a 的值. 【标准解析】对于这几个问题都是比较常规的,如第一问,根据奇函数的性质得到等式即可解出 m 的值; 第二问可以利用导数求函数的单调性, 也可以利用单调性的定义求解; 第三问则是单纯的求函数的反函数, 不过特别要注意反函数的定义域;第四问则要根据第二问的一些结论,结合着使用。 【误区警示】各个小题概括了指数、对数函数的各种常见的基本问题,熟练掌握这些基本问题的解答程序 及方法是很重要的能力训练,要认真总结经验.

1? mx 1? mx 1 ? m2 x2 ? loga ? loga ?0 【答案】(1)? f (? x) ? f ( x) ? loga ? x ?1 x ?1 1? x2
对定义域内的任意 x 恒成立,?

1 ? m2 x 2 ? 1 ? (m 2 ? 1) x 2 ? 0 ? m ? ?1 , 2 1? x

当m ?1 时f ( x) ? 0( x ? 1) 不是奇函数,? m ? ?1 , (2)? f ( x) ? log a

x ?1 ?2 ,? 定义域为 (??,?1) ? (1,??) ,求导得 f ?( x) ? 2 log a e , x ?1 x ?1

①当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 (??,?1)与(1,??) 上都是减函数; ②当 0 ? a ? 1 时, f ?( x) ? 0,? f ( x)在(??,?1)与(1,??) 上都是增函数; (另解)设 g ( x ) ?

x ?1 ,任取 x1 ? x2 ? ?1或x2 ? x1 ? 1 , x ?1

? g ( x2 ) ? g ( x1 ) ?

x2 ? 1 x1 ? 1 ? 2( x2 ? x1 ) ? ? ? 0 ,? g ( x2 ) ? g ( x1 ) ,结论同上; x2 ? 1 x1 ? 1 ( x1 ? 1)(x2 ? 1)

(3) y ? loga

x ?1 x ?1 a y ?1 ? ay ? ? (a y ? 1) x ? a y ? 1 ? x ? y , x ?1 x ?1 a ?1
?1

ax ?1 ? a ? 1 ? 0,? y ? 0,? f ( x) ? x ( x ? 0, a ? 0且a ? 1) a ?1
y

(4)?1 ? x ? a ? 2,? a ? 3, f ( x)在(1, a ? 2) 上为减函数,

? 命题等价于 f (a ? 2) ? 1 ,即 log a

a ?1 ? 1 ? a 2 ? 4a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 2 ? 3 . a?3

【变式训练】在 xOy 平面上有一点列 P1(a1,b1),P2(a2,b2),?,Pn(an,bn)?,对每个自然数 n 点 Pn 位于函数 y=2000(

a x ) (0<a<1)的图象上,且点 Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以 Pn 为顶点的等腰三角形。(1)求 10

点 Pn 的纵坐标 bn 的表达式;(2)若对于每个自然数 n,以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形,求 a 的取值 范围;(3)设 Cn=lg(bn)(n∈N ),若 a 取(2)中确定的范围内的最小整数,问数列{Cn}前多少项的和最大?试 说明理由。
*

1 a n? 【标准解析】 (1)由题意知:an=n+ ,∴bn=2000( ) 2 。 2 10 a x ) (0<a<10)递减,∴对每个自然数 n,有 bn>bn+1>bn+2。则以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一 10 a 2 a 个三角形的充要条件是 bn+2+bn+1>bn,即( ) +( )-1>0,解得 a<-5(1+ 2 )或 a>5( 5 -1)。 ∴5( 5 10 10
(2)∵函数 y=2000( -1)<a<10。 (3)∵5( 5 -1)<a<10,∴a=7∴bn=2000(

1

7 n? 2 ) 。数列{bn}是一个递减的正数数列, 10

1

对每个自然数 n≥2,Bn=bnB n-1。于是当 bn≥1 时,Bn<Bn-1,当 bn<1 时,Bn≤Bn-1,因此数列{Bn}的最大项的项 数 n 满足不等式 bn≥1 且 bn+1<1,由 bn=2000(

7 n? 2 ) ≥1 得:n≤20。∴n=20。 10

1

【技巧点拨】本题题设从函数图像入手,体现数形结合的优越性,最终还是根据函数性质结合数列知识, 以及三角形的面积解决了实际问题。 【答案】n=20

第 3 讲 幂函数与二次函数 【基础梳理】 1.一次函数、二次函数的图象及性质 (1)一次函数 y=kx+b,当 k>0 时,在实数集 R 上是增函数,当 k<0 时在实数集 R 上是减函数.b 叫纵截距, 当 b=0 时图象过原点,且此时函数是奇函数;当 b≠0 时函数为非奇非偶函数. (2)二次函数的解析式 ①二次函数的一般式为___y=ax +bx+c(a≠0). ②二次函数的顶点式为__y=a(x-h) +k (a≠0)___,其中顶点为__(h,k)____. ③二次函数的两根式为_______y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)__,其中 x1,x2 是方程 ax +bx+c=0 的两根.(也就是函 数的零点)根据已知条件,选择恰当的形式,利用待定系数法可求解析式. (3)二次函数图象和性质 ①二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)的顶点坐标为 (?
2 2 2

b b 4ac ? b2 , ) ;对称轴方程为 x ? ? 2a 2a 4a

.熟练通过配方

法求顶点坐标及对称轴,并会画示意图.②在对称轴的两侧单调性相反.③当 b=0 时为偶函数,当 b≠0 时为 非奇非偶函数.

2.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系 Δ =b -4ac
2

Δ >0

Δ =0

Δ <0

y=ax +bx+c 的图象 (a>0)

2

方程 ax +bx+c=0 的解

2

x1,x2(x1<x2)

x0

无解

ax +bx+c>0 的解集

2

{x|x>x2 或 x<x1}

{x|x∈R 且 x≠x0}

R

ax +bx+c<0 的解集 3.幂函数

2

{x|x1<x<x2}

?

?

(1)幂函数的定义:形如____ y ? x ___( 数,其中 x 是 __自变量____, (2)幂函数的图象 (3)幂函数的性质

?

∈R)的函数称为幂函

? 为__常数___.

y?x

y ? x2

y ? x3

y ? x2

1

y ? x ?1

定义域

R

R

R

[0,+∞)

{x|x∈R 且 x≠0}

值域

R

[0,+∞)

R

[0,+∞)

{y|y∈R 且 y≠0}

奇偶性



偶 x∈[0,



非奇非偶

奇 x∈(0,

单调性



+∞)时,增 x∈(-∞,0]时,减





+∞)时,减 x∈(-∞,0)时,减 (1,1)

定点

(0,0),(1,1)

【要点解读】 要点一 幂函数的性质及其应用 【例 1】比较下列各组数的大小:
1 1

(1) 1.5 2 ,1.7 2 (3) 5.25?1 ,5.26?1 ,5.26?2

(2) (?1.2)3 ,(?1.25)3 (4) 0.53 ,30.5 ,log3 0.5 .

【标准解析】利用 幂函数的单调性,注意合理选择模拟函数,使问题得到转化。 【误区警示】比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是: (1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性; (2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性; (3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小 【答案】(1)∵ y ? x 2 在 [0, ??) 上是增函数, 1.5 ? 1.7 ,∴ 1.5 2 ? 1.7 2 (2)∵ y ? x3 在 R 上是增函数, ?1.2 ? ?1.25 ,∴ (?1.2)3 ? (?1.25)3 (3)∵ y ? x ?1 在 (0, ??) 上是减函数, 5.25 ? 5.26 ,∴ 5.25 ∵ y ? 5.26x 是增函数, ?1 ? ?2 ,∴ 5.26 (4)∵ 0 ? 0.5 ? 1 , 3
3 0.5 ?1 ?1

1

1

1

? 5.26?1 ;

? 5.26?2 ;综上, 5.25?1 ? 5.26?1 ? 5.26?2

? 1 , log3 0.5 ? 0 ,∴ log3 0.5 ? 0.53 ? 30.5

【变式训练】将下列各组数用小于号从小到大排列: (1) 2.5 ,(?1.4) ,(?3)
2

2 3

2 3

2 3

(2) 0.16 ,0.5 ,6.25
2 2

?

3 4

?

3 2

3 8

2 ?3 2 1 5 ? 3 (3) ( ) , ( ) 2 , ( ) 3 ,33 , ( ) 3 3 5 3 2
? 3 2

1

1

1

2

3

【标准解析】(1) (?1.4) 3 ? 2.5 3 ? (?3) 3 (3) ( ) 2 ? ( )

(2) 6.258 ? 0.5

? 0.16 4 ,

?

3

2 5

1

5 3

?

1 3

2 ? 3 ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? 33 。 3 2

1

2

1

【技巧点拨】比较几个数式的大小,是解题过程中常常遇到的知识考点,往往都要用到函数的单调性,我 们应该熟练掌握规定的几个特殊幂函数的单调性、奇偶性及图像特征. 【例 2】 已知函数 f ( x ) = x
1 3 ? p2 ? p ? 2 2

(p∈Z)在(0,+∞)上是增函数,且在其定义域上是偶函数。

(1)求 p 的值,并写出相应的函数 f ( x ) 的解析式。(2)对于(1)中求得的函数 f ( x ) ,设函数 g(x)=

?qf [ f ( x)] +(2q-1) f ( x) +1,问是否存在实数 q(q<0),使得 g(x)在区间 (??, ?4] 上是减函数,且在区间
(-4,0)上是增函数。若存在,请求出来;若不存在,请说明理由。

【标准解析】∵幂函数 y ? xm

2

?2 m?3

( m ? Z )的图象与 x 轴、 y 轴都无交点,∴ m ? 2m ? 3 ? 0 ,∴
2

?1 ? m ? 3 ;
∵ m ? Z ,∴ (m2 ? 2m ? 3) ? Z ,又函数图象关于原点对称, ∴ m ? 2m ? 3 是奇数,∴ m ? 0 或 m ? 2 .
2

【技巧点拨】幂函数图象与 x 轴、 y 轴都无交点,则指数小于或等于零;图象关于原点对称,则函数为奇 函数.结合 m ? Z ,便可逐步确定 m 的值. 要点二 二次函数的解析式

【例 3 】已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx (a, b 为常数,且 a ? 0) 满足条件: f ( x ? 1) ? f (3 ? x ) ,且方程

f ( x) ? 2 x 有等根. (1)求 f ( x) 的解析式;(2)是否存在实数 m 、 n ( m ? n) ,使 f ( x) 定义域和值域分
别为[m,n]和[4m,4n],如果存在,求出 m、n 的值;如果不存在,说明理由.

【标准解析】 用待定系数法求 f(x)解析式, 在解题中要注意条件的运用, 并利用对应的函数性质解决问题, 同时考察了数学分类讨论的思想。 【技巧点拨】二次函数在闭区间上的最值通常对对称轴与区间的位置关系进行讨论,是求值域的基本题型 之一。在已知最值结果的条件下,仍需讨论何时取得最小值,这个也是后面我们要讲到的内容。 【答案】设 f ( x ) =ax +bx+c(a≠0)则 f ( x ) + g ( x) =(a-1)x +bx+c-3
?a ? 1 ?a ? 1 ? 0 2 由已知 f ( x ) + g ( x) 为奇函数,则有 ? ∴ ? ∴ f ( x ) =x +bx+3 ?c ? 3 ?c ? 3 ? 0
2 2

下面通过确定 f ( x ) 在[-1,2]上何时取最小值来确定 b,分类讨论。
b b2 b f (x) ? (x ? ) 2 ? 3 ? ,对称轴 x ? ? 2 4 2

(1)当 ?

b ≥2,b≤-4 时, f ( x ) 在[-1,2]上为减函数 2

∴ (f (x)) min ? f (2) ? 2b ? 7 ∴ 2b+7=1∴ b=3(舍)

(2)当 ?

b ? (-1,2),-4<b<2 时 2

b b2 b2 (f ( x )) min ? f (? ) ? ? ? 3∴ ? ? 3 ? 1 ∴ b ? ?2 2 (舍负) 2 4 4

(3)当 ?

b ≤-1,b≥2 时,f(x)在[-1,2]上为增函数 ∴ (f(x)min=f(1)=4-b 2

∴ 4-b=1 ∴ b=3 ∴ f (x) ? x 2 ? 2x ? 3 ,或 f (x) ? x 3 ? 3x ? 3 要点三 二次函数根的分布 【例 4】已知 a 是实数,函数 f ( x ) =2ax +2x-3-a.如果函数 y= f ( x ) 在区间[-1,1]上有零点,求 a 的取值范围. 【标准解析】研究二次函数在给定区间上的最值问题,要讨论对称轴与给定区间的关系. 【误区警示】在做题的过程中,一要注意计算的准确性,二要注意结合函数的图象,三要注意思维要全面, 进行分析的时侯对条件要合理的使用。 【答案】(1)当 a=0 时, f ( x ) =2x-3. 令 2x-3=0,得 x=
2

3 ?[-1,1]∴ f ( x ) 在[-1,1]上无零点,故 a≠0. 2

1 2 (2)当 a>0 时, f ( x ) =2ax +2x-3-a 的对称轴为 x=- 2a
? ?f(-1)≤0 1 1 ①当- ≤-1,即 0<a≤ 时,须使? 2a 2 ?f(1)≥0 ? ? ?a≤5 即? ?a≥1 ?

∴a 的解集为?.

1? ? ?f? ?-2a?≤0 1 1 ? ②当-1<- <0,即 a> 时,须使? ? 2a 2 ? ?f(1)≥0 解得 a≥1,∴a 的取值范围是[1,+∞). (3)当 a<0 时,

1 ? ?- -3-a≤0 即? 2a ? ?a≥1

? f (?1) ? 0 ?a ? 5 1 1 ? ? ①当 0< ? ≤1,即 a≤ ? 时,须有 ? , ,即 ? 1 1 2a 2 f (? ) ? 0 ? ?3? a ? 0 ? ? 2a ? ? 2a
解得:a≤

? 1 ?3? 7? ?3? 7 ?3? 7 或 ≤a≤5,又 a≤ ? ,∴a 的取值范围是 ? ? ?, ?. . ? 2 2 2 2 ? ?

②当 ?

? f (?1) ? 0 ?a ? 5 1 1 ? 1 ,即- ? <a<0 时,须有 ? ∴a 的解集为?. ,即? 2a 2 ? f (1) ? 0 ?a ? 1
? ? ? ?3? 7? ? ∪[1,+∞). 2 ?

综上所述,a 的取值范围是 ? ? ?,

【变式训练】已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一

根在区间(1,2)内,求 m 的范围.(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围. 【标准解析】设出二次方程对应的函数,可画出相应的示意图,然后用函数性质加以限制. 用二次函数的 性质对方程的根进行限制时,条件不严谨是解答本题的难点。 【技巧点拨】解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.利用二次函数的图象和 性质,讨论一元二次方程实根的分布有如下的情况 设 x1 , x 2 为方程 f(x)=0(a>0)的两个实根。 ①若 x1 ? m, x2 ? m, 则 ? f (m) ? 0 ;

②当在区间(m,n)内有且只有一个实根,时,

?(1) f (m) ? f (n) ? 0 ?? ?(2)考虑端点,验证端点。

③当在区间(m,n)内有且只有两个实根时,

?? ? 0 ? b ? ?n ?m ? ? ?? 2a ? f ( m) ? 0 ? ? ? f ( n) ? 0

④若 m ? x1 ? n ? p ? x2 ? q 时 ? ?

? f (m) ? f (n) ? 0 ? f ( p) ? f (q) ? 0

【答案】(1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图, 得

1 ? ?m ? ? 2 ? f (0) ? 2m ? 1 ? 0, ? m ? R, ? f ( ?1) ? 2 ? 0, ? 5 1 ? ? ?? 1 ∴? ?m?? . ? 6 2 ? f (1) ? 4m ? 2 ? 0, ?m ? ? 2 , ? ? ? f ( 2 ) ? 6m ? 5 ? 0 ?m ? ? 5 ? 6 ?
(2) 据 抛 物 线 与 x 轴 交 点 落 在 区 间 (0 , 1) 内 , 列 不 等 式 组

1 ? ?m ? ? 2 , ? f (0) ? 0, ? ? f (1) ? 0, 1 1 ? ? ?? ? m ? 1 ? 2 (这里 0<-m<1 是因为对称轴 x=-m 应在区 ? ?m ? ? , ? 2 2 ?? ? 0, ? ? ?0 ? ? m ? 1 ?m ? 1 ? 2或m ? 1 ? 2 , ?? 1 ? m ? 0. ?
间(0,1)内通过) 要点四 二次函数的最值问题 【例 5】已知函数 y ? ? x ? ax ?
2

a 1 ? 在区间[0,1]上的最大值是 2,求实数 a 的值. 4 2

【标准解析】由对称轴与区间的位置关系引起的分类讨论是“形”对“数”的引导作用。知道某区间,求 函数的最值,主要从端点和对称轴入手。 【误区警示】(1)要注意抛物线的对称轴所在的位置对函数最值的影响. (2)解二次函数求最值问题,首先采用配方法,将二次函数化为 y=a(x-m)2+n 的形式,得顶点(m,n)或 对称轴方程 x=m,分三个类型:①顶点固定,区间固定;②顶点含参数,区间固定;③顶点固定,区间变 动. 【答案】 y ? ?( x ? ) ?
2

1 2 a (a ? a ? 2), 对称轴为 x ? . 4 2 a 1 2 1 2 (1)当 0≤ ≤1,即 0≤a≤2 时, ymax ? (a ? a ? 2),由 (a ? a ? 2) ? 2, 2 4 4

a 2

得 a=3 或 a=-2,与 0≤a≤2 矛盾.不合要求;

a a 1 <0,即 a<0 时,y 在[0,1]上单调递减,有 ymax=f(0),f(0)=2 ? ? ? ? 2 ? a ? ?6. 2 4 2 a (3)当 >1,即 a>2 时,y 在[0,1]上单调递增,有 ymax=f(1),f(1)=2 2 a 1 10 10 ? ?1 ? a ? ? ? 2 ? a ? . 综上,得 a=-6 或 a= . 4 2 3 3
(2)当 【变式训练】已知函数 f ( x ) =-x2+8x,求函数 f ( x ) 在区间[t,t+1]上的最大值 h(t ) .
2 【标准解析】 f ( x ) = ? x ? 8 x = ?( x ? 4) ? 16
2

① 当 t+1<4,即 t<3 时, f ( x ) 在[t,t+1]上单调递增.

此时 h(t ) = f (t ? 1) = ?(t ? 1)2 ? 8(t ? 1) = ?t ? 6t ? 7
2

②当 t≤4≤t+1,即 3≤t≤4 时, h(t ) = f (4) =16; ③当 t>4 时, f ( x ) 在[t,t+1]上单调递减.此时 h(t ) = f (t ) = ?t ? 8t
2

??t 2 ? 6t ? 7 (t ? 3) ? 综上可知 h(t ) ? ?16 (3 ? t ? 4). ??t 2 ? 8t (t ? 4) ?
【技巧点拨】 灵活运用二次函数的最值以及二次函数的图象和一元二次方 程的实根分布范围等知识解决 有关问题,特别注意对称轴与给定区间的相对位置的讨论。


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