tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

必修二第一章 空间几何体学案


§ 1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
学习目标
1. 2. 3. 4. 感受空间实物及模型,增强学生的直观感知; 能根据几何结构特征对空间物体进行分类; 理解多面体的有关概念; 会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P2~ P4,找出疑惑之处) 引入:小学和初中我们学过平面上的一些几

何图形如直线、三角形、长方形、圆等等,现实 生活中,我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体,它们占据着空间的一部 分,比如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和大小,那么由这些物体抽 象出来的空间图形叫做空间几何体.它们具有千姿百态的形状,有着不同的几何特征,现在 就让我们来研究它们吧! 二、新课导学 ※ 探索新知 探究 1:多面体的相关概念 问题:观察下面的物体,注意它们每个面的特点,以及面与面之间的关系.你能说出它们相 同点吗?

(1)

探究 2:旋转体的相关概念 问题:仔细观察下列物体的相同点是什么?

探究 3:棱柱的结构特征 问题:你能归纳下列图形共同的几何特征吗?

思考 1: 你能指出探究 3 中的几何体它们各自的底、侧面、侧棱和顶点吗?你能试着按照 某种标准将探究 3 中的棱柱分类吗?

思考 2: 探究 3 中有几个直棱柱?几个斜棱柱?棱柱怎么表示呢?

探究 4:棱锥的结构特征 问题:探究 1 中的埃及金字塔是人类建筑的奇迹之一,它具有什么样的几何特征呢?

探究 5:棱台的结构特征 问题:假设用一把大刀能把金字塔的上部分平行地切掉,则切掉的部分是什么形状?剩余的部 分呢?

请在下图中标出棱台的底面、侧面、侧棱、顶点,并指出其类型和用字母表示出来.

反思:根据结构特征,从变化的角度想一想,棱柱、棱台、棱锥三者之间有什么关系?
※ 典型例题 例 由棱柱的定义你能得到棱柱下列的几何性质吗?①侧棱都相等,侧面都是平行四边形; ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边 形.仿照棱柱,棱锥、棱台有哪些几何性质呢?

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 多面体、旋转体的有关概念; 2. 棱柱、棱锥、棱台的结构特征及简单的几何性质. ※ 知识拓展 1. 平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱; 2. 正棱柱:底面是正多边形的直棱柱; 3. 正棱锥:底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面正多边形中心的棱锥; 4. 正棱台:由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成( A.棱锥 B.棱柱 C.平面 D.长方体 2. 棱台不具有的性质是( ). A.两底面相似 B.侧面都是梯形 C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点

).

3. 已知集合 A={正方体}, B={长方体}, C={正四棱柱}, D={直四棱柱}, E={棱柱}, F={直 平行六面体},则( ). A. A ? B ? C ? D ? F ? E B. A ? C ? B ? F ? D ? E C. C ? A ? B ? D ? F ? E D.它们之间不都存在包含关系 4. 长方体三条棱长分别是 AA? =1 AB =2, AD ? 4 ,则从 A 点出发,沿长方体的表面到 C′ 的最短矩离是_____________. 5. 若棱台的上、 下底面积分别是 25 和 81, 高为 4, 则截得这棱台的原棱锥的高为___________.

课后作业
1. 已知正三棱锥 S-ABC 的高 SO=h,斜高(侧面三角形的高)SM=n,求经过 SO 的中点且平行 于底面的截面△A1B1C1 的面积.

2. 在边长 a 为正方形 ABCD 中,E、F 分别为 AB、BC 的中点,现在沿 DE、DF 及 EF 把△ ADE、△CDF 和△BEF 折起,使 A、B、C 三点重合,重合后的点记为 P .问折起后的图形是 个什么几何体?它每个面的面积是多少? D C

F A B

E

§ 1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征
学习目标
1. 感受空间实物及模型,增强学生的直观感知; 2. 能根据几何结构特征对空间物体进行分类;

3. 能概述圆柱、圆锥、圆台台体、球的结构特征; 4. 能描述一些简单组合体的结构.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P5~ P7,找出疑惑之处) 复习: ①____________________________叫多面体, __________________________叫旋转体. ②棱柱的几何性质:_______是对应边平行的全等多边形,侧面都是________,侧棱____且 ____,平行于底面的截面是与_____全等的多边形;棱锥的几何性质:侧面都是______,平 行于底面的截面与底面_____,其相似比等于____________. 引入:上节我们讨论了多面体的结构特征,今天我们来探究旋转体的结构特征. 二、新课导学 ※ 探索新知 探究 1:圆柱的结构特征 问题:观察下面的旋转体,你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗?

探究 2:圆锥的结构特征 问题:下图的实物是一个圆锥,与圆柱一样也是平面图形旋转而成的. 仿照圆柱的有关定义, 你能定义什么是圆锥以及圆锥的轴、底面、侧面、母线吗?试在旁边的图中标出来.

探究 3:圆台的结构特征 问题:下图中的物体叫做圆台,也是旋转体.它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢?除了旋 转得到以外,对比棱台,圆台还可以怎样得到呢?

反思:结合结构特征,从变化的角度思考,圆台、圆柱、圆锥三者之间有什么关系?

探究 4:球的结构特征 问题:球也是旋转体,怎么得到的?球体的概念及表示?

探究 5:简单组合体的结构特征 问题:矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成?灯管呢?

※ 例题 例 1 将下列几何体按结构特征分类填空: ⑴集装箱⑵运油车的油罐⑶排球⑷羽毛球⑸魔方 ⑹金字塔⑺三棱镜⑻滤纸卷成的漏斗⑼量筒⑽量杯⑾地球⑿一桶方便面⒀一个四棱锥形的 建筑物被飓风挂走了一个顶,剩下的上底面与地面平行; ①棱柱结构特征的有________________________; ②棱锥结构特征的有________________________; ③圆柱结构特征的有________________________; ④圆锥结构特征的有________________________; ⑤棱台结构特征的有________________________; ⑥圆台结构特征的有________________________; ⑦球的结构特征的有________________________; ⑧简单组合体______________________________. ※ 动手试试 例 2. 如图,长方体被截去一部分,其中 EH‖ A?D? ,剩下的几何体是什么?截去的几何体是 什么?

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 圆柱、圆锥、圆台、球的几何特征及有关概念; 2. 简单组合体的结构特征. ※ 知识拓展 圆柱、圆锥的轴截面:过圆柱或圆锥轴的平面与圆柱或圆锥相交得到的平面形状,通常圆柱 的轴截面是矩形,圆锥的轴截面是三角形.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. Rt ?ABC 三边长分别为 3、4、5,绕着其中一边旋转得到圆锥,对所有可能描述不对的是 ( ). A.是底面半径 3 的圆锥 B.是底面半径为 4 的圆锥 C.是底面半径 5 的圆锥 D.是母线长为 5 的圆锥

2. 下列命题中正确的是( ). A.直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥 B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是旋转体 C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线 3. 一个球内有一内接长方体,其长、宽、高分别为 5、4、3,则球的直径为( ). 5 2 A. 5 2 B. 2 5 C. 5 D. 2 4. 已知,ABCD 为等腰梯形,两底边为 AB,CD.且 AB>CD,绕 AB 所在的直线旋转一周所得 的几何体中是由 、 、 的几何体构成的组合体. 3 5. 圆锥母线长为 R ,侧面展开图圆心角的正弦值为 ,则高等于__________. 2

课后作业
1. 如图,是由等腰梯形、矩形、半圆、倒 形三角对接形成的轴对称平面图形,若将 它绕轴旋转 1800 后形成一个组合体,下面 说法不正确的是___________ A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥 和两个球体 B.该组合体仍然关于轴 l 对称 C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点 D.该组合体中的球和半球只有一个公共点

2. 用一个平面截半径为 25cm 的球,截面面积是 49? cm2 ,则球心到截面的距离为多少?

§ 1.2.1 中心投影与平行投影 § 1.2.2 空间几何体的三视图
学习目标
1. 了解中心投影与平行投影的区别; 2. 能画出简单空间图形的三视图; 3. 能识别三视图所表示的空间几何体;

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P11~ P14,找出疑惑之处) 复习 1:圆柱、圆锥、圆台、球分别是_______绕着________、_______绕着___________、 _______绕着__________、_______绕着_______旋转得到的. 复习 2:简单组合体构成的方式?

二、新课导学 ※ 探索新知 探究 1:中心投影和平行投影的有关概念 问题:中午在太阳的直射下,地上会有我们的影子;晚上我们走在路灯旁身后也会留下长长 的影子,你知道这是什么现象吗?为什么影子有长有短?

试试:在下图中,分别作出圆在中心投影和平行投影中正投影的影子.

从上面的过程中能总结出中心投影和平行投影有什么样的特征?

探究 2:柱、锥、台、球的三视图 问题:我们学过的几何体(柱、锥、台、球),为了研究的需要,常常要在纸上把它们表示出 来,该怎么画呢?能否用平行投影的方法呢?

思考:仔细观察你作出的几何体的三视图,你能得出同一几何体的三视图在形状、大小方面 的关系吗?能归纳三视图的画法吗?

探究 3:简单组合体的三视图 问题:下图是个组合体,你能画出它的三视图吗?

※ 典型例题 例 1 画出下列物体的三视图:

例 2 说出下列三视图表示的几何体:

※ 动手试试 练 作出下图中两个物体的三视图

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 平行投影与中心投影的区别 2. 三视图的定义及简单几何体画法 3. 简单组合体画法 ※ 知识拓展 画三视图时若相邻两物体表面相交,则交线要用实线画出;确定正视、俯视、侧视的方向, 同一物体放置的方向不同,所画的三视图可能不同.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列哪种光源的照射是平行投影( ). A.蜡烛 B.正午太阳 C.路灯 D.电灯泡 2. 左边是一个几何体的三视图,则这 个几何体是( ). A.四棱锥 B.圆锥 C.三棱锥 D.三棱台 3. 如图是个六棱柱,其三视图为( ).

A.

B.

C.

D.

4. 画出下面螺母的三视图

__________________________ . 5. 下图依次是一个几何体的正、俯、侧视图,

,则它的立体图为________.

课后作业
1. 画出下面几何体的三视图.(箭头的方向为正前方)

2. 一个正方体的五个面展开如图所示,请你在图中合适的位置补出第六个面来.(画出所有可 能的情况)

§ 1.2.3 空间几何体的直观图
学习目标
1. 掌握斜二测画法及其步骤; 2. 能用斜二测画法画空间几何体的直观图.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P16~ P19,找出疑惑之处) 复习 1:中心投影的投影线_____________;平行投影的投影线_____________. 平行投影又分_______投影和__________投影. 复习 2:物体在正投影下的三视图是哪些?画三视图的要点是?

引入:空间几何体除了用三视图表示外,更多的是用直观图来表示.用来表示空间图形的平 面图叫空间图形的直观图.要画空间几何体的直观图,先要学会水平放置的平面图形的画法. 我们将学习用斜二测画法来画出它们.你知道怎么画吗? 二、新课导学 ※ 探索新知 探究 1:水平放置的平面图形的直观图画法 问题:一个水平放置的正六边形,你看过去视觉效果是什么样子的?每条边还相等吗?该怎样 把这种效果表示出来呢?

※ 典型例题 例 1 用斜二测画法画水平放置正六边形的直观图.

讨论:把一个圆水平放置,看起来象个什么图形?它的直观图如何画?

探究 2:空间几何体的直观图画法 问题: 斜二测画法也能画空间几何体的直观图, 和平面图形比较, 空间几何体多了一个 “高” , 你知道画图时该怎么处理吗?

例 2 用斜二测画法画长 4cm、宽 3cm、高 2cm 的长方体的直观图.

※ 动手试试 练 1. 用斜二测画法画底面半径为 4 cm ,高为 3 cm 的圆柱.

例 2 如下图,是一个空间几何体的三视图,请用斜二测画法画出它的直观图.

正视图

侧视图

俯视图

练 3. 由三视图画出物体的直观图.

正视图

侧视图

俯视图

小结:如何由简单组合体的三视图作出直观图?

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 斜二测画法要点?

2. 简单组合体直观图的画法?

※ 知识拓展 1. 立体几何中常用正等测画法画水平放置的圆.正等测画法画圆的步骤为: (1)在已知图形⊙ O 中,互相垂直的 x 轴和 y 轴画直观图时,把它们画成对应的 x? 轴与 y ?
轴,且使 ?x?O?y? ? 1200 (或 600 ); (2) 已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段, 在直观图中分别画成平行于 x? 轴或 y ? 轴的线段; (3)平行于 x 轴或 y 轴的线段,长度均保持不变. 2. 空间几何体的三视图与直观图有密切联系:三视图从细节上刻画了空间几何体的结构, 根据三视图可以得到一个精确的空间几何体,得到广泛应用(零件图纸、建筑图纸),直观 图是对空间几何体的整体刻画,根据直观图的结构想象实物的形象.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 一个长方体的长、宽、高分别是 4、8、4,则画其直观图时对应为( ). A. 4、8、4 B. 4、4、4 C. 2、4、4 D.2、4、2 2. 利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形②平行四边形的直观图是平行四边形 ③正方形的直观图是正方形④菱形的直观图是菱形,其中正确的是( ). A.①② B.① C.③④ D.①②③④ 3. 一个三角形的直观图是腰长为 4 的等腰直角三角形,则它的原面积是( ). A. 8 B. 16 C. 16 2 D.32 2 4. 下图是一个几何体的三视图

正视图 俯视图

侧视图

请画出它的图形为_____________________. 5. 等腰梯形 ABCD 上底边 CD=1,腰 AD=CB= 2 , 下底 AB=3,按平行于上、下底边取 x 轴,则直观图 A?B?C?D? 的面积为________.

课后作业
1. 一个正三角形的面积是 10 3cm2 ,用斜二测画法画出其水平放置的直观图,并求它的直 观图形的面积.

y
C (0, 2)

2. 用斜二测画法画出下图中水平放置的四边形的直观图.
B(4,0)

O
A(3, ?2)

x

§ 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积(1)
学习目标
1. 理解和掌握柱、锥、台的表面积计算公式; 2. 能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P23~ P25,找出疑惑之处) 复习:斜二测画法? 引入:研究空间几何体,除了研究结构特征和视图以外,还得研究它的表面积和体积.表面 积是几何体表面的面积,表示几何体表面的大小;体积是几何体所占空间的大小.那么如何 求柱、锥、台、球的表面积和体积呢? 二、新课导学 ※ 探索新知 探究 1:棱柱、棱锥、棱台的表面积 问题 1:我们学习过正方体和长方体的表面积,以及它们的展开图(下图) ,你觉的它们展 开图与其表面积有什么关系吗?并由此归纳多面体的表面积如何求?

问题 2:想想下面多面体的侧面展开图都是什么样子,它们的表面积如何计算?

正六棱柱

正四棱台

正四棱锥

探究 2:圆柱、圆锥、圆台的表面积 问题 1:根据圆柱、圆锥的几何特征,它们的侧面展开图是什么图形?它们的表面积等于什 么?你能推导它们表面积的计算公式吗?

问题 2:圆台的侧面展开图叫扇环,扇环是怎么得到的呢?(能否看作是个大扇形减去个小 扇形呢)你能试着求出扇环的面积吗?从而圆台的表面积呢?

反思:想想圆柱、圆锥、圆台的结构,你觉得它们的侧面积之间有什么关系吗?

※ 典型例题 例 1 已知棱长为 a ,各面均为等边三角形的四面体 S ? ABC ,求它的表面积.

例 2 如图,一个圆台形花盆盆口直径为 20 cm ,盆底直径为 15 cm ,底部渗水圆孔直径为 1.5cm , 盆壁长 15 cm .为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用 100 毫升油漆,涂 100 个这样 的花盆需要多少油漆( ? 取 3.14,结果精确到 1 毫升)?

※ 练习 练 1. 一个正三棱锥的侧面都是直角三角形,底面边长为 a ,求它的表面积.

练 2. 粉碎机的上料斗是正四棱台形状,它的上、下底面边长分别为 80 mm 、440 mm ,高(上 下底面的距离)是 200 mm , 计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 棱柱、棱锥、棱台及圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式; 2. 将空间图形问题转化为平面图形问题,是解决立体几何问题最基本、最常用的方法. ※ 知识拓展 当柱体、锥体、台体是一些特殊的几何体,比如直棱柱、正棱锥、正棱台时,它们的展开 图是一些规则的平面图形,表面积比较好求;当它们不是特殊的几何体,比如斜棱柱、不规 则的四面体时,要注意分析各个面的形状、特点,看清楚题目所给的条件,想办法求出各个 面的面积,最后相加.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 正方体的表面积是 64,则它对角线的长为( ). A. 4 3 B. 3 4 C. 4 2 D. 16 2. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ). 1 ? 2? 1 ? 4? 1 ? 2? 1 ? 4? A. B. C. D. 2? 4? ? 2? 3. 一个正四棱台的两底面边长分别为 m , n (m ? n) ,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台 的高为( ). mn mn m?n m?n A. B. C. D. m?n mn m?n mn 4. 如果圆锥的轴截面是正三角形,则该圆锥的侧面积与表面积的比是_____________. 5. 圆台的上、 下底面半径和高的比为 1 ︰4︰4,母线长为 10,则圆台的侧面积为___________.

课后作业
r 1. 圆锥的底面半径为 r , 母线长为 l , 侧面展开图扇形的圆心角为 ? , 求证: . ? ? ? 360(度) l

2. 如图,在长方体中, AB ? b , BC ? c ,CC1 ? a ,且 a ? b ? c ,求沿着长方体表面 A 到 C1 的最短路线长.

D? A? D
A B

C?

B?

C

§ 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积(2)
学习目标
1. 了解柱、锥、台的体积计算公式; 2. 能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有关实际问题.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P25~ P26,找出疑惑之处) 复习 1:多面体的表面积如何计算? 复习 2:圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么? 若圆柱、圆锥底面和圆台上底面的半径都是 r ,圆台下底面的半径是 r ? ,母线长都为 l ,他们 的表面如何计算?

引入:初中我们学习了正方体、长方体、圆柱的体积公式 V ? Sh ( S 为底面面积, h 为高) , 是否柱体的体积都是这样求呢?锥体、台体的体积呢? 二、新课导学 ※ 探索新知 新知:经过证明(有兴趣的同学可以查阅祖暅原理) 柱体体积公式为: 锥体体积公式为: 台体体积公式为: 补充: 柱体的高是指两底面之间的距离; 锥体的高是指顶点到底面的距离; 台体的高是指上、 下底面之间的距离. 反思:思考下列问题 ⑴比较柱体和锥体的体积公式,你发现什么结论? ⑵比较柱体、锥体、台体的体积公式,你能发现三者之间的关系吗?

※ 典型例题 例 1 如图(1)所示,三棱锥的顶点为 P , PA, PB, PC 是它的三条侧棱,且 PA, PB, PC 分别是面 PBC, PAC, PAB 的垂线,又 PA ? 2 , PB ? 3, PC ? 4 ,求三棱锥 P ? ABC 的体积 V .
P

C

A
图(1)

B

变式:如图(2),在边长为 4 的立方体中,求三棱锥 B? ? A?BC? 的体积.

D? A? D
A
图(2)

C?

B?

C

B

小结:求解锥体体积时,要注意观察其结构特征,尤其是三棱锥(四面体),它的每一个面都可 以当作底面来处理.这一方法又叫做等体积法,通常运用此法可以求点到平面的距离(后面将 会学习),它会给我们的计算带来方便. 例 2 高 12 cm 的圆台,它的中截面(过高的中点且平行于底面的平面与圆台的截面)面积为 225 ? cm2 ,体积为 2800cm3 ,求截得它的圆锥的体积.

变式:已知正六棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4,高为 2,求截得它的的正六棱锥的体 积.

小结:对于台体和其对应锥体之间的关系,可通过轴截面中对应边的关系,用相似三角形的 知识来解. ※ 课堂练习 3 练 1. 在△ ABC 中, AB ? 2, BC ? , ?ABC ? 120 °,若将△ ABC 绕直线 BC 旋转一周,求所形 2 成的旋转体的体积.

A B

C

练 2. 直三棱柱高为 6 cm ,底面三角形的边长分别为 3 cm,4cm,5cm ,将棱柱削成圆柱,求削 去部分体积的最小值.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 柱体、锥体、台体体积公式及应用,公式不要死记,要在理解的基础上掌握; 2. 求体积要注意顶点、底面、高的合理选择. ※ 知识拓展 祖暅及祖暅原理 祖暅,祖冲之(求圆周率的人)之子,河北人,南北朝时代的伟大科学家. 柱体、锥体, 包括球的体积都可以用祖暅原理推导出来. 祖暅原理:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截, 如果截得的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 圆柱高增大为原来的 3 倍, 底面直径增大为原来的 2 倍, 圆柱的体积增大为原来的 ( A.6 倍 B.9 倍 C.12 倍 D.16 倍 2. 已知直四棱柱相邻的三个面的面积分别为 2 , 3 , 6 ,则它的体积为( ). A. 2 3 B. 3 2 C. 6 D.4 3. 各棱长均为 a 的三棱锥中,任意一个顶点到其对应面的距离为( ). 6 3 3 2 A. B. C. a a a D. a 3 6 3 6 4. 一个斜棱柱的的体积是 30 cm3 ,和它等底等高的棱锥的体积为________. 5.圆台两底面的半径分别为 a, b (a ? b) ,则圆台和截得它的圆锥的体积比为___________.

) .

课后作业
1. 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8 g / cm3 )六角螺帽共重 10 kg ,已知底面是正六边 形,边长为 12 mm ,内孔直径为 10 mm ,高为 10 mm ,问这堆螺帽大约有多少个( ? 取 3.14).

2. 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱,这个四棱锥的底面为正方形,且底 面边长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、 三棱柱的高分别为 h1 , h2 , h3 ,则 h1 ﹕ h2 ﹕ h3 = ?

§ 1.3.2 球的体积和表面积
学习目标
1. 了解球的表面积和体积计算公式; 2. 能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P27~ P28,找出疑惑之处) 复习 :柱体包括 _______ 和 _________, 它的体积公式为 ___________ ;锥体包括 _______ 和 _______,它的体积公式为_____________; 台体包括_________和__________,它可以看作是大 锥体上截去了一个小锥体,所以它的体积公式为____________________________. 二、新课导学 ※ 探索新知 新知:球的体积和表面积 球没有底面,也不能像柱体、锥体、台体那样展成平面图形,它的体积和表面积的求法涉 及极限思想(一种很重要的数学方法).经过推导证明: 球的体积公式 : 球的表面积公式:

※ 典型例题 例 1 木星的表面积约是地球的 120 倍,则体积约是地球的多少倍?

变式:若三个球的表面积之比为 1 ﹕ 2 ﹕ 3 ,则它们的体积之比为多少?

例 2 一种空心钢球的质量是 142 g ,外径是 5.0 cm ,求它的内径. (钢密度 7.9 g / cm3 )

例 3 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径(即圆柱内有一内切球),求证 2 (1)球的体积等于圆柱体积的 ; 3 (2)球的表面积等于圆柱的侧面积.

变式:半径为 R 的球内有一内接正方体,设正方体的内切球半径为 r ,则

R 为多少? r

小结: 两个几何体相接是指一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上; 两个几何体 相切是指一个几何体的各面与另一个几何体的各面相切.解决几何体相切或相接问题,要利 用截面来展现这两个几何体之间的相互关系,从而把空间问题转化为平面问题来解决. ※ 动手试试 练 1.长方体的一个顶点上的三条棱长为 3、 4 、 5 ,若它的八个顶点都在同一个球面上,求 出此球的表面积和体积.

练 2. 如图,求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积. A 2 D

4 C

B

5

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 球的表面积及体积公式的应用; 2. 空间问题转化为平面问题的思想. ※ 知识拓展 极限的思想推导球的表面积公式过程:

如图,将球的表面分成 n 个小球面,每个小球面的顶点与球心 O 连接起来,近似的看作是一 个棱锥, 其高近似的看作是球的半径.则球的体积约为这 n 个小棱锥的体积和, 表面积是这 n 个小球面的面积和.当 n 越大时,分割得越细密,每个小棱锥的高就越接近球的半径,于是 当 n 趋近于无穷大时(即分割无限加细),小棱锥的高就变成了球的半径(这就是极限的思想). 所有小棱锥的体积和就是球的体积.最后根据球的体积公式就可以推导出球的表面积公式.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 如果球的半径扩大 2 倍,则球的表面积扩大( ). 2 A. 2 倍 B. 2 倍 C. 倍 D.8 倍 2 2. 有相等表面积的球及正方体,它们的体积记为 V1 , V 2 ,球直径为 d ,正方体的棱长为 a , 则( ). A. d ? a,V1 ? V2 B. d ? a,V1 ? V2 C. d ? a,V1 ? V2 D. d ? a,V1 ? V2 3. 记与正方体各个面相切的球为 O1 , 与各条棱相切的球为 O2 , 过正方体各顶点的球为 O3 则 这 3 个球的体积之比为( ). A.1:2:3 B.1: 2 : 3 C.1: 2 2 : 3 3 D.1:4:9 4. 已知球的一个截面的面积为 9 π ,且此截面到球心的距离为 4 ,则球的表面积为 __________. 5. 把一个半径为 5 3 2 cm 的金属球熔成一个圆锥,使圆锥的侧面积为底面积的 3 倍, 则这个圆 锥的高应为_______ cm .

课后作业
1. 有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放入一个半径为 R 的球, 并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求此时容器中水的深度.

2. 半球内有一内接正方体,则这个半球的表面积与正方体表面积之比是多少?


推荐相关:

4.必修二 第一章《空间几何体》导学案

4.必修二 第一章空间几何体导学案_数学_高中教育_教育专区。数学必修 2 第一章 空间几何体 第一章 空间几何体 § 1.1 空间几何体的结构 § 1.1.1 ...


4.必修二 第一章《空间几何体》导学案修订稿

4.必修二 第一章空间几何体导学案修订稿_政史地_高中教育_教育专区。第...《步步高 学案导学设计》... 暂无评价 4页 免费 必修② 第一章 空间几何.....


【三维设计】2015高中数学 第一章 空间几何体学案 新人教A版必修2

【三维设计】2015高中数学 第一章 空间几何体学案 新人教A版必修2_数学_高中教育_教育专区。【三维设计】 2015 高中数学 第一章 空间几何体学案 新人教 A 版...


高中数学 第一章 第一节 空间几何体的结构(2)旋转体教学设计 新人教A版必修2

高中数学 第一章 第一节 空间几何体的结构(2)旋转体教学设计 新人教A版必修2_数学_高中教育_教育专区。1.1 空间几何体的结构-旋转体(第 2 课时)设计者:田...


数学必修二第1章《空间几何体》习题课教学案(人教A版必修2)

数学必修二第1章空间几何体》习题课教学案(人教A版必修2)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。空间几何体习题课学案习题课 空间几何体 【课时目标】 熟练掌握空...


【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第一章 空间几何体章末综合检测(A)新人教A版必修2

【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第一章 空间几何体章末综合检测(A)新人教A版必修2_数学_高中教育_教育专区。第一章 空间几何体章末检测(A) (...


【全国高中名校】2016年高二数学导学案必修二第一章:空间几何体

【全国高中名校】2016年高二数学导学案必修二第一章:空间几何体_数学_高中教育_教育专区。怀仁一中高二数学学案 周次 编号 1 编制 审核 五.导练: 1:如图,截面...


高一必修二数学学案1.1.1构成空间几何体的基本元素

高一必修二数学学案1.1.1构成空间几何体的基本元素_数学_高中教育_教育专区。第一章 立体几何 1.1.1 构成空间几何体的基本元素 【学习目标】 1、从运动的观点...


人教版数学必修二第一章空间几何体教案讲义说课

人教版数学必修二第一章空间几何体教案讲义说课_数学_高中教育_教育专区。必修二...教学设计 (一) 创设情景 ⑴教师提出问题: 球既没有底面, 也无法像在柱体、...


高一必修二:学案1空间几何体

高一必修二:学案1空间几何体_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高一必修二:学案1空间几何体必修2 第一章 空间几何体练习 一、柱、锥和台题型一:棱柱、棱锥、棱...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com