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2014届高考数学理科试题大冲关:10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理


2014 届高考数学理科试题大冲关:分类加法计数原理与分步乘法 计数原理
一、选择题 1.现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边 界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有 A.24 种 C.36 种 B.30 种 D.48 种 ( )

2.有 A、B 两种类型的车床各一台,现有甲、乙、丙三名工人,其中甲、 乙都会操作两种车床,丙只会操作 A 种车床,现在要从三名工人中选 2 名分别去操作以上车 床,不同的选派方法有 A.6 种 C.4 种 B.5 种 D.3 种 ( )

3.计划在 4 个体育馆举办排球、篮球、足球 3 个项目的比赛,每个项目的比赛只能安排 在一个体育馆进行,则在同一个体育馆比赛的项目不超过 2 项的安排方案共有 A.24 种 C.42 种 B.36 种 D.60 种 ( )

4.将 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数字填在如图的 9 个空格中,要求每一行从左到右、每一列 从 上 到 下 分 别 依 次 增 大 , 当 3,4 固 定 在 图 中 的 位 置 时 , 填 写 空 格 的 方 法 数 为 ( )

3

4

A.4 C.9

B.6 D.12 ( )

5.三边长均为整数,且最大边长为 11 的三角形的个数为 A.25 C.36 B.26 D.37

6.如图,花坛内有 5 个花池,有 5 种不同颜色的花卉可供栽种,每个花池 内只能种同种颜色的花卉,相邻两池的花色不同,则栽种方案的种数为 ( )

A.180 C.360 二、填空题

B.240 D.420

7.由数字 0,1,2,3,4,5 组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是________. 8.只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数,规定这三个数字必须同时使用,且同一数字不 能相邻出现,这样的四位数有________个. 9.如图所示的几何体是由一个正三棱锥 P-ABC 与一个正三棱柱 ABC -A1B1C1 组合而成,现用 3 种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面 A1B1C1 不染色),要求相邻的面均不同色,则不同的染色方案共有______ 种. 三、解答题 10.某电视台连续播放 6 个广告,其中有 3 个不同的商业广告、两个不同的世博会宣传 广告、一个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,且世博会宣传广告与公益广告不能 连续播放,两个世博会宣传广告也不能连续播放,则有多少种不同的播放方式?

11.某外语组有 9 人,每人至少会英语和日语中的一门,其中 7 人会英语,3 人会日语, 从中选出会英语和日语的各一人,有多少种不同的选法?

12.用 n 种不同的颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙),要求在①②③④四个区域中 相邻(有公共边界)的区域不用同一颜色.

(1)若 n=6,则为甲图着色的不同方法共有多少种; (2)若为乙图着色时共有 120 种不同的方法,求 n 的值.

详解答案
一、选择题 1.解析:共有 4×3×2×2=48 种着色方法. 答案:D 2.解析:若选甲、乙二人,包括甲操作 A 车床,乙操作 B 车床,或甲操作 B 车床,乙操 作 A 车床,共有 2 种选派方法; 若选甲、丙二人,则只有甲操作 B 车床,丙操作 A 车床这一种选派方法; 若选乙、丙二人,则只有乙操作 B 车床,丙操作 A 车床这一种选派方法,故共有 2+1+1 =4(种)不同的选派方法. 答案:C 3.解析:每个项目的比赛安排在任意一个体育馆进行,共有 43=64 种安排方案;三个项 目都在同一个体育馆比赛,共有 4 种安排方案;所以在同一个体育馆比赛的项目不超过 2 项 的安排方案共有 60 种. 答案:D 4.解析:如图所示,根据题意,1,2,9 三个数字的位置是确定的,余下的数中,5 只能在 a,c 位置,8 只能在 b,d 位置,依(a,b,c,d)顺序,具体有(5,8,6,7),(5,6,7,8),(5,7,6,8), (6,7,5,8),(6,8,5,7),(7,8,5,6),合计 6 种. 1 3 c 2 4 d a b 9

答案:B 5.解析:设另两边长分别为 x、y,且不妨设 1≤x≤y≤11,要构成三角形,必须 x+y≥12. 当 y 取 11 时,x=1,2,3,…,11,可有 11 个三角形;当 y 取 10 时,x=2,3,…,10,可 有 9 个三角形;……;当 y 取 6 时,x 只能取 6,只有 1 个三角形. ∴所求三角形的个数为 11+9+7+5+3+1=36. 答案:C

6. 解析:本题中区域 2,3,4,5 地位相同(都与其他四个区域中的 3 个区域相邻),故应先种 区域 1,有 5 种栽种方案,再种区域 2,有 4 种栽种方案,接着种区域 3,有 3 种栽种方案, 种区域 4 时应注意:区域 2 与 4 种同色花时,区域 4 有 1 种栽种方案,此时区域 5 有 3 种栽 种方案;区域 2 与 4 种不同色花时,区域 4 有 2 种栽种方案,此时区域 5 有 2 种栽种方案, 故共有 5×4×3×(1×3+2×2)=420 种栽种方案. 答案:D 二、填空题 7.解析:分两种情况:当首位为偶数时有 C1C1C1C1个,当首位为奇数时有 C1C1C1C1个, 2 3 2 2 3 3 2 2
1 1 因此总共有:C2C1C2C1+C1C1C1C1=60(个). 3 2 3 3 2 2

答案:60 8.解析:由题意知,1,2,3 中必有某一个数字重复使用 2 次,第一步:确定谁被使用 2 次, 有 3 种方法;第二步:把这 2 个相等的数字放在四位数不相邻的两个位置上,也有 3 种方法; 第三步:将余下的 2 个数放在四位数余下的 2 个位置上,有 2 种方法.故共可组成 3×3×2 =18 个不同的四位数. 答案:18 9. 解析:先涂三棱锥 P-ABC 的三个侧面,然后涂三棱柱 ABC-A1B1C1 的三个侧面,共 有 C1×C1×C1×C1=3×2×1×2=12 种不同的涂法. 3 2 1 2 答案:12 三、解答题 10.解:用 1、2、3、4、5、6 表示广告的播放顺序,则完成这件事有 3 类方法. 第 一 类 : 宣 传 广 告 与 公 益 广 告 的 播 放 顺 序 是 2 、 4 、 6. 分 6 步 完 成 这 件 事 共 有 3×3×2×2×1×1=36 种不同的播放方式. 第二类: 宣传广告与公益广告的播放顺序是 1、4、6,分 6 步完成这件事,共有 3×3×2×2×1×1=36 种不同的播放方式. 第三类:宣传广告与公益广告的播放顺序是 1、3、6,同样分 6 步完成这件事,共有 3×3×2×2×1×1=36 种不同的播放方式. 由分类加法计数原理得:6 个广告不同的播放方式有 36+36+36=108 种. 11.解:由题意得有 1 人既会英语又会日语,6 人只会英语,2 人只会日语. 第一类:从只会英语的 6 人中选 1 人说英语,共有 6 种方法,则说日语的有 2+1=3(种), 此时共有 6×3=18 种; 第二类:不从只会英语的 6 人中选 1 人说英语,则只有 1 种方法,则选会日语的有 2 种, 此时共有 1×2=2 种; 所以根据分类计数原理知共有 18+2=20 种选法.

12.解:(1)由分步乘法计数原理,对区域①②③④按顺序着色,共有 6×5×4×4=480 种方法. (2)与第(1)问的区别在于与④相邻的区域由 2 块变成了 3 块. 同样利用分步乘法计数原理, 得 n(n-1)(n-2)(n-3)=120.所以(n2-3n)(n2-3n+2)=120,即(n2-3n)2+2(n2-3n)-12×10 =0,所以 n2-3n-10=0,n2-3n+12=0(舍去),解得 n=5,n=-2(舍去).


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