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2016届河北省衡水中学高三上学期七调考试数学(理)试题


2015 ? 2016 学年度上学期高三年级七调考试 理数试卷 命题人 : 李桂省 本 试 卷 分 第 I 卷 (选 择 题 )和 第 Ⅱ卷 (非 选 择 题 )两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷 ( 选 择 题 共 60 分 ) 一、选择题(本 大 题 共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 。 在 下 列 四 个 选 项 中 , 只 有 一 个

是符合题目要求的) 1. 已 知 全 集 U=R , 集 合 A={X ( ) 0< x <1} x> 2 } B. {X X< 0 } D. {x 1<x<2}
I|,则

y=log2 (-x +2x)} , B={ Y

2

y=1+ 3 } ,那么 A ∩ CUB =

A. {X C. {x

2. 在复平面内,复数 Z 满足 Z(1 + I)= |1+ A. 第一象限 B. 第二象限

z 的共轭数对应的点 D. 第四象限

(

)

C. 第三象限

3. 在各项均为正数的等比数列 { A N } 中,若 am+1 ? am-1 = 2am(m(m≥ 2),数列 { A N } 的前 N 项 积为 TN ,若 T2m-1—1=512,则 M 的值为( ) A.4 B. 5 C. 6 D.7

4. 已知函数 f(x) = sin ? x+ 3sin( ? x + 区间 [0,

2? ] 上的值域为 ( ) 3 3 1 3 1 A. [0, ] B. [- , ] C. [- ,1] 2 2 2 2

? )( ? >0) 的最小正周期为 ? ,则 f(x) 在 2

D. [-

3 1 , ] 2 2

5.执 行 如 图 的 程 序 框 图 , 那 么 输 出 S 的 值 是 A. 2 B. 1
2

C. -1 D. 1 6. 在二项式( +

3 n ) 的展开式中,前三项的系数成等差数列,把展开式 2?4 x
)

中所有的项重新排成一列,有理项都互不相邻的概率为 (

A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

5 12

7.在△ ABC 中,A,B, C 分别是角 A, B, C 所对边的边长,若 cos A + sin A-

2 a?b =0,则 的值是 cos A ? sin B c
A. 1 C. B.

2

3

D. 2

8. 一 个 长 方 体 被 一 个 平 面 截 去 一 部 分 后 所 剩 几 何 体 的 三 视 图 如 右 图 所 示 (单 位 :cm) , 则 该 几 何 体 的 体 积 为 ( A. 120 cm B. 80 cm
3 3

)

C. 100 cm D. 60 cm
3

3

9.在△ ABC 中, BC=5, G, O 分别为 AABC 的重心和外心,且 ? =5 ,则△ABC 的形状 是

A. 锐 角 三 角 形 C. 直 角 三 角 形

B. 钝 角 三 角 形 D. 上 述 三 种 情 况 都 有 可 能

10.平行四边形 ABCD 中, AB · BD = 0 ,沿 BD 将四边形折起成直二面角 A — BD — C,且 2 AB A.
2

+| BD | =4,则三棱锥 A—BCD 的外接球的表面积为
2





? 2

B.

? 4
2 2

C.4 ?

D.2 ?

x
11.已 知 双 曲 线 C 的 方 程 为

y


4

4

= 1 , 其左、右焦点分别是 F1、F2 , 已知点 M 坐标

为(2,1),双曲线 C 上点 P(x0,y0 ) (x0 >0,y0>0)

满足

PF1 MF1 PF1

?

=

F 2 F ? MF F2F
1 1

1

F2 F1 MF1 F2 F1

?

,则 S△PMF1 - S△PMF2 = B. 1 C. 2 D.

( 4

)

A -1

12. 定义在 R 上 的 函 数

f ( X ) 满足 f (x + 2) =

1 f (X), 当 x ∈ [ 0 , 2 ) 时, 2

f (x)=

?1 2 ? 2 ? 2 x ,0 ? x ? 1 2 2 , 函数 G(x)=x +3x +m, 若 ? s ∈ [ - 4,-2), ? t ? 3 ? 1?|x? 2| ,1 ? x ? 2 ?? 2
B. ( ? ? , -4] D.( ? ? ,

∈ [ - 4,-2),不等式 F(S)—G(T)≥0 成立,则实数 M 的 取 值 范 围 是 ( ) A. ( ? ? ,-12] C. ( ? ? , 8]

31 ] 2
第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)

二、填空题(本 大 题 共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.设 a =
x 0

(sin x—1 + 2cos ( )

2

? 1 6 2 )dx,则(a) ? (x +2 ) 的 展 开 式 中 常 2 x

数 项 是

14.以下四个命题中: ①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检 测,这样的抽样是分层抽样, ②两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于 1, ③某项测量结果 ? 服从正态分布 N (1,a ),P( ? ≤5)=0.81,则 P ? ≤ 3) =0.19,
2

④对于两个分类变量 X 与 Y 的随机变量 K 的观测值 k 来说, k 越小, 判断“X 与 Y 有关系” 的把握程度越大。 以上命题中其中真命题的个数为 15.已知圆 C:(x -3)
2

2

.
2

+ (y —4)

= 1 和两点 A( -m,0),B(m,0) (m>0),若圆上存 .

在点 P,使得 ∠APB —90°,则 m 的取值范围是

16.f(x)是定义在 R 上的函数,其导函数为 f'(x),若 f(x)—f'(x) <1,f(0) = 2016, 则不等式 f(x) >2015 ? e
x

+ 1(其中 e 为自然对数的底数)的解集为

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤)

17.(本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ,向量 a= (S n ,1),b= (2 — 1, (1)求数列{an}的通项公式, (2)设函数 f(x)= (
n

1 ),满足条件 a∥b, 2

1 x 1 ) ,数列{bn}满足条件 b1=1,f(bn+1) = 2 f (?bn ? 1)

.

①求数列{bn}的通项公式,

bn ②设 Cn = n , 求数列{ Cn }的前 n 项和 Tn. a
18.(本小题满分 12 分)

如图,在四棱锥 S—ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,侧棱 SA 丄底面 ABCD, AB 垂 直于 AD 和 BC, SA=AB = BC=2,AD = 1.M 是棱 SB 的中点 . (1) 求证 :AM//平面 SCD, (2) 求 平 面 SCD 与 平 面 SAB 所 成 的 二 面 角 的 余 弦 值 , (3) 设 点 N 是 直 线 CD 上 的 动 点 ,MN 与平面 SAB 所成的角 为 0, 求 sin ? 的 最 大 值 .

19.(本 小 题 满 分 12 分 ) (1) 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结 论,从兴趣 小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学(男 30 女 20),给所有同学几何 题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答 . 选题情况如下表 ( 单位? 人): 几何题 男同学 女同学 总计 (1) 能否据此判 握认为视觉和空间能力与性别有关? (2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在 5 — 7 分钟,乙每次解答一道 几何题所用的时间在 6 - 8 分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概 22 8 30 代数题 8 12 20 总计 30 20 50 断有 97.5% 的把

率, (3)现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记 甲、 乙两女生被抽到的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望 E(X). 附表及公式

20.(本 小 题 满 分 12 分 ) 已知椭圆 C:

1 x2 y2 + = 1(a >b >0) 的 离 心 率 为 , 以 原 点 为 圆 心 , 椭 圆 的 短 半 2 2 2 a b

轴 长 为 半 径 的 圆与直线 x-y + 12 = 0 相切 . (1) 求 椭 圆 C 的 方 程 , (2) 设 A( -4,0),过 点 R ( 3,0)作 与 X 轴 不 重 合 的 直 线 L 交 椭 圆 C 于 P,Q 两 点 ,连 接 AP, AQ 分 别 交 直 线 X =

16 于 M,N 两 点 ,若 直 线 MR、NR 的 斜 率 分 别 为 k 1 ,K2 , 试 问 : k 1 3

K2 是 否 为 定 值 ? 若 是 , 求 出 该 定 值 , 若 不 是 , 请 说 明 理 由 .

21.(本小题满分 10 分)选修 4 一 5 :不等式选讲 已知函数 f(x)=ln(x+1)-x . (1)求 f(x)的单调区间, (2)若 k∈Z,且 f(x-1)+x>k (1-3 )对任意 x>1 恒成立,求 k 的最大值, (3)对于在区间(0,1)上的任意一个常数 a,是否存在正数 x。 ,使得 e 请说明理由.
f(x0 )

< 1-

a 2 x 成立? 2 0

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。

22.(本小题满分 10 分)选修 4 一 1:几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的 角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于点 D.

(1)证明:DB = DC; (2)设圆的半径为 1,BC= 3 ,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆 的半径.

23.(本 小 题 满 分 10 分 )选 修 4 一 4 坐 标 系 与 参 数 方 程 在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C: ? sin ? = 2acos ? (a>0),过点 P( —2,一 4)的直线 L 的参数方程为

? 2 t ? x ? ?2 ? ? 2 ? ?y ? 4 ? 2 t ? 2 ?

,T(为参数),直线 L 与 曲 线 C 分 别 交 于 M,两 点 .

(1) 写 出 曲 线 C 的 平 面 直 角 坐 标 方 程 和 直 线 L 的 普 通 方 程 ; (2) 若 PM, MN ,PN 成 等 比 数 列 , 求 实 数 A 的 值 .

24.( 本小题 满 分 10 分 ) 选 修 4 一 5 : 不 等 式 选 讲 已 知 函 数 f(x)=| x + 1 | + 2 |x — 1 | . (1) 解 不 等 式 ,f(x) <4 ; (2) 若 不 等 式 f(x) ≥ | a + 1| 对 任 意 的 x ∈R 恒 成 立 , 求 实 数 a 的 取 值 范 围 .

参考答案及解析


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