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天津五区县2013-2014学年高二下学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案(新人教A版)


2013-2014 学年天津市五区县高二(下)期末数学试卷(文 科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1.设 i 是虚数单位,则 A. i+ i =( ) C. + i D. ﹣ i

B. i﹣ i

2.用最小二乘法得到一组数据(xi,yi) (i=1,2,3,4,5)的线性回归方程为 =2x+3,



xi=25,则

yi 等于( B.13

) C.53 D.65

A.11

3.直角△ A1B1C1 的斜边为 A1B1,面积为 S1,直角△ A2B2C2 的斜边为 A2B2,面积为 S2,若 △ A1B1C1∽ △ A2B2C2,A1B1:A2B2=1:2,则 S1:S2 等于( ) A.2:1 B.1:2 C.1: D.1:4 4.不等式|2x﹣1|>3 的解集是( ) A.{x|﹣1<x<2} B.{x|﹣2<x<1} C.{x|x>2 或 x<﹣1}D.{x|x>﹣1 或 x<2} 5.某同学证明 < ,∴ + < < + 的过程如下:∵ ,∴ + < ﹣ + > ﹣ >0,∴

,则该学生采用的证明方法是

( ) A.综合法 B.比较法 C.反证法 D.分析法 6.路灯距地面 8m,一身高 1.6m 的人站立在距灯底部 4m 处,则此时人影的长为( A. B. C.1m D.5m m m 7.阅读如图程序框图,运行相应的程序,则输出 s 的值为( )



A.1 B.10 8.下列说法正确的是( ) 2 2 ① 若 a,b,c∈R 且 ac >bc ,则 a>b; 3 3 ② 若 a,b∈R 且 a>b,则 a >b ;

C.90

D.720

③ 若 a,b∈R 且 ab≠0,则 + ≥2; ④ 函数 f(x)=x+ (x≠0)的最小值是 2. ② ③ ④ ④ A.① B.② C.③ D.① 9. 如图, 四边形 ABCD 内接于圆 O, 点 E 在 CB 的延长线上, AE 切圆于 O 于点 A, 若 AB∥ CD, AD=4 ,BE=2 ,则 AE 等于( )

A.36

B.6

C.24

D.2 ) D.6

10.已知 m>0,n>0, + =1,则(m+1) (n+4)的最小值为( A.49 B.7 C.36

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.如图是两个分类变量 X、Y 的部分 2×2 列联表,则 K 的观测值为 _________ . y1 y2 10 50 x1 20 40 x2 12.如图,在△ ABC 中,M,N 是 AB 的三等分点,E,F 是 AC 的三等分点,若 BC=1,则 ME+NF= _________ .
2

13.观察下列式子:1+ 猜想 1+ + +…+

< ,1+

+

< ,1+ .

+

+

< ,…,根据以上式子可以

< _________

14.如图,C 是圆 O 上一点,AB 是圆 O 的直径,CD⊥ AB,D 是垂足,CD=2,以 AD、BD 为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为 _________ .

15.已知集合 A={x||x﹣1|+|x+2|=3},B={x||x﹣a|<1},若 A∩ B=B,则实数 a 的取值范围是 _________ . 三、解答题(共 5 小题,共 60 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (12 分)已知复数 z=(1+2i) (﹣2+i)﹣ .

(1)计算复数 z; 2 (2)若 z +(2a﹣1)z﹣(1﹣i)b﹣16=0,求实数 a,b 的值. 17. (12 分)如图是一个扇环(圆环的一部分) ,两段圆弧的长分别为 l1,l2,另外两边的长 为 h,先把这个扇环与梯形类比,然后根据梯形的面积公式写出这个扇环的面积并证明其正 确性.参考公式: 扇形面积公式 S= lr(l 是扇形的弧长,r 是扇形半径) . 弧长公式 l=rα(r 是扇形半径,α 是扇形的圆心角) .

18. (12 分) 如图, 已知 AB 为圆 O 的直径, PA、 PC 是圆 O 的切线, A、 C 为切点, ∠ BAC=30°, PB 交圆 O 于点 D. (1)求∠ APC 的大小; (2)若 PA= ,求 PD 的长.

19. (12 分)已知各项为正数的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1a2=48,a3=20. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

20. (12 分)已知 a>0,b>0,求证下列各式: (1) ≥ .

(2)a+b≥

+



天津市五区县 2013~2014 学年度第二学期期末考试 高二数学(文科)试卷参考答案
1.A 11. 2.D 3.D 4.C 5.A 6.C 7.D 8.A 9.B 10.C

40 4027 12.1 13. 9 2014

14. ? 15. ? 1 ? a ? 0

16. (1) z ? (1 ? 2i )( ?2 ? i ) ?

(3 ? i )(1 ? i ) 4 ? 2i …………………………3 分 ? ?4 ? 3i ? (1 ? i )(1 ? i ) 2
………………………………………………………5 分

= ? 4 ? 3i ? (2 ? i) ? ?6 ? 2i

(2)∵ (?6 ? 2i) 2 ? (2a ? 1)(?6 ? 2i) ? (1 ? i)b ? 16 ? 0 ∴ 32 ? 24i ? 6(2a ? 1) ? 2(2a ? 1)i ? b ? bi ? 16 ? 0 ……………………………7 分 ∴ 22 ? 12a ? b ? (26 ? 4a ? b)i ? 0 ………………………………………………9 分

[来

?22 ? 12a ? b ? 0 ∴ ? ?26 ? 4a ? b ? 0

………………………………………………………………10 分

解得 a ? 3, b ? ?14 …………………………………………………………………12 分 17.解:梯形的面积公式为 S 梯形 ?

(上 底?下 底) ? 高 2

将 l1 , l 2 类比为梯形的上、下底, h 为梯形的高 则扇环的面积为

S 扇环 ?

(l1 ? l 2 )h 2

……………………………………………………

………………4 分 将扇环补成扇形(如图) ,设其圆心角为 ? ,小扇形的半径为 a , 则大扇形的半径为 a ? h , ∵ l1 ? a?, l2 ? (a ? h)? ………………………………………………………6 分 ∴ a?

l1 h l 2 ? l1

………………………………………………………………………7 分

∴ S 扇环 ?

1 1 1 1 l 2 (a ? h) ? l1a ? (l 2 ? l1 )a ? l 2 h ………………………………9 分 2 2 2 2
lh (l ? l )h 1 1 (l 2 ? l1 ) ? 1 ? l2 h ? 1 2 2 l 2 ? l1 2 2

[来

?

………………………………11 分

∴ S 扇环 ?

(l1 ? l 2 )h 2

………………………………………………………………12 分

18. (1)∵ PA 是⊙ O 的切线,AB 为⊙ O 的直径, ∴∠ BAP=90°. ∵∠ BAC=30°,∴ ∠ CAP=∠ PAB-∠ CAB=60°.…………………2 分 ∵ PA、PC 是⊙ O 的切线,∴ PA=PC,∴ △PAC 是等边三角形.…………………4 分

∴ ?APC ? 60 0 …………………………………………………………………………5 分

[

(2)∵ △PAC 是等边三角形 ∴ AC ? PA ? 21 …………………………………………6 分
O 的直径 ∴ ∠ ∵ AB 是⊙ ACB=90°…………………………………………………7 分

连接 BC,在直角 ?ABC 中,∵ ?BAC ? 30 0 ∴ AB ? 2 7 ……………………8 分

[

∴ 在直角 ?PAB 中, PB ? PA2 ? AB 2 ? 7 …………………………………………9 分
O 的切线,∴ PA 2 ? PD ? PB …………………………………………11 分 ∵ PA 是⊙

∴ 21 ? PD ? 7 ,即 PD ? 3 ……………………………………………………………12 分 19. (1)设等差数列 ?a n ? 的公差为 d ,∵ a1 a 2 ? 48 ,∴ a1 (a1 ? d ) ? 48 ……………1 分

1 a1 …………………………………………2 分 2 1 2 ∴ a1 (10 ? a1 ) ? 48 即 a1 ? 20a1 ? 96 ? 0 …………………………………………3 分 2
∵ a 3 ? 20

a1 ? 2d ? 20 ∴ d ? 10 ?

∵ 数列 ?a n ? 的各项为正数,∴ 解得 a1 ? 4 , a1 ? ?24 (舍)……………………4 分

1 a1 ? 8 ……………………………………………………………………5 分 2 ∴ 数列 ?a n ? 的通项公式为 a n ? 8n ? 4 ………………………………………………6 分
∴ d ? 10 ?

(2) S n ? 4n 2 ………………………………………………………………………………7 分 ∴ bn ?

1 4n ? 1
2

?

1 1 1 1 ? ( ? ) ………………………………9 分 (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn?1 ? bn

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) …………10 分 2 3 3 5 5 7 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n …………………………………………………………12 分 ? (1 ? )? 2 2n ? 1 2n ? 1

20.证明: (1)∵ a ? 0, b ? 0 ∴ a ? b ? 0 且 a 2 ? b 2 ? 2ab …………………………1 分



a2 ? b2 a2 ? b2 ? a2 ? b2 a 2 ? b 2 ? 2ab ? ? ……………………………3 分 2 4 4 ? ( a ? b) 2 a ? b ? (当且仅当 a ? b 时等号成立) …………………5 分 4 2
…………………………………………………………………6 分



a2 ? b2 a ? b ? 2 2

(2)∵ a ? 0, b ? 0 ∴ 由(1)可知, a ? b ? 2

a2 ? b2 ……………………………7 分 2



ab ?

a ?b ?2 2
2 2

ab ?

a2 ? b2 ( a ? b) 2 2 ?2 ? a ? b ………………………9 分 2 4

当且仅当 ab ?

a2 ? b2 即 a ? b 时等号成立 ……………………………………11 分 2 a2 ? b2 …………………………………………………………12 分 2

∴ a ? b ? ab ?



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