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第32讲解析几何的基础题


第 32 讲 解析几何的基础题
在高考数学试题中 ,对解析几何基础知识和基本方法的考查主要是通过选择题和填空题 进行的,直线与圆的方程的基础知识,圆锥曲线的定义,方程,几何性质及图形等是支撑解析几 何的基石, 是高考命题的基本元素, 在解析几何的复习中首先就要抓好基础题和中档题的复 习.

新课标考试大纲对解析几何的考查要求
1.直线与方程

① 在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素. ② 理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. ③ 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. ④掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般 式),了解斜截式与一次函数的关系. ⑤ 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标. ⑥ 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. 2.圆与方程 ① 掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. ② 能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程, 判断两圆的位置关系. ③ 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. ④ 初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 空间直角坐标系 ① 了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置. ② 会推导空间两点间的距离公式. 3.圆锥曲线 ①了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. ②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质. ④了解圆锥曲线的简单应用. ⑤理解数形结合的思想. 4,曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 例题选讲 1.直线方程和圆的方程综合 【例 1】 ( 2008 海 南 、 宁 夏 卷 , 文 ) 点 P ? x,y ? 在 直 线 4 x ? 3y ? 0 上 , 且 满 足

?14 ? x ? y ? 7 ,则点 P 到坐标原点距离的取值范围是(
A. ? 0, 5? B. ?0, 10? C. ?5, 10?

) .

【分析及解】 P ? x, y ? 是夹在两平行线间的线段 AB 上的点, 易得 A ? ?6, ,? 4? , OA ? 10 , OB ? 5 ,∴ P 到原点距 8? , B ? 3 离最大为 10 ,最小为 0 ,即求的范围为 ?0, 10? .故选 B。

D. ?5, 15?

【例 2】(2007 四川卷,理,文)如图, l1 、 l2 、 l3 是同一平面内的三条平行直线, l1 与 l2 间

1

的距离是 1,l2 与 l3 间的距离是 2,正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1 、l2 、l3 上,则⊿ ABC 的边长是( A. 2 3 ) B.

4 6 3

C.

3 17 4

D.

2 21 3

【分析及解】解法 1.过点C作 l2 的垂线 l4 ,以 l2 、l4 为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系. 设 A(a,1) 、 B(b, 0) 、 C (0, ?2) ,设 AB ? BC ? AC ? x
l1 A y

则 (a ? b)2 ? 1 ? b2 ? 4 ? a2 ? 9 ? x2 , 检验 A: (a ? b)2 ? 1 ? b2 ? 4 ? a2 ? 9 ? 12 ,无解;

l2

O

B

x

32 l3 ,无解; 3 153 2 2 2 检验 C: (a ? b) ? 1 ? b ? 4 ? a ? 9 ? ,无解; 16 28 2 2 2 检验 D: (a ? b) ? 1 ? b ? 4 ? a ? 9 ? ,正确.故选 D. 3
检验 B: (a ? b) ? 1 ? b ? 4 ? a ? 9 ?
2 2 2

C l4

解法 2.建立坐标系及设通解法 1. 则?

? ( a ? b) 2 ? 1 ? b 2 ? 4,
2 2 ?b ? 4 ? a ? 9.

于是,由第 1 个方程得 a2 ? 2ab ? 3, 即 b ?
2

a2 ? 3 ,代入第 2 个方程得 2a

? a2 ? 3 ? 2 4 2 ? ? ? 4 ? a ? 9 ,整理得 3a ? 26a ? 9 ? 0 , ? 2a ?

? 3a

2

1 ? 1?? a 2 ? 9 ? ? 0 ,因为 a 2 ? 9 ? 0 ,则 a 2 ? . 3
2 2

因而, x ? a ? 9 ?

1 28 2 21 ?9 ? ,所以, x ? .故选 D. 3 3 3

【例 3】 (2008 广东 理)经过圆 x2 ? 2x ? y 2 ? 0 的圆心 C ,且与直线 x ? y ? 0 垂直的 直线方程是 . 【分析及解】易知圆心 C 为 ? ?1 , 0 ? ,又已知直线斜率为 k ? ?1 ,故所求直线斜率为 1 , 由点斜式得 y ? x ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 . 【例 4】 (2008 江苏卷)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,设 三角形 ABC 的顶点分别为 A ? 0,a ? , B ?b , 0? , C ? c, 0? ,点 ,设 a , b , c , p 均为非零实 P ? 0,p ? 在线段 AO 上(异于端点) 数,直线 BP 、 CP 分别交 AC 、 AB 于点 E 、 F ,某同学已正确算 B
2

y F

A P E x

O

C

1 1? ? 1 1? 出 OE 的方程为 ? ,请你求直线 OF 的方程: ? ? ?x ? ? ? ? ? ?y ? 0 ?b c? ? p a?

? 1 1? (_____) x ? ? ? ? y ? 0 . ? p a?
【分析及解】画草图后,由对称性可猜想填

1 1 ? .事实上,由截距式可得直线 AB : c b

x y ? ?1; b a
x y ?1 1? ? 1 1? 直线 CP : ? ? 1 ,两式相减,得 ? ? ? x ? ? ? ? y ? 0 ,显然直线 AB 与 CP 的 c p ?c b? ? p a?
交点 F 满足此方程, 又原点 O 也满足此方程, 故此式即为所求直线 OF 的方程. 应填

1 1 ? . c b 【例 5】 (2007 山东卷,理,文)与直线 x ? y ? 2 ? 0 和曲线 x2 ? y 2 ?12x ?12 y ? 54 ? 0 都

2 2

相切的半径最小的圆的标准方程是

【分析及解】 曲线 x ? y ?12x ?12 y ? 54 ? 0 表示以 ? 6, 6 ?
y

为圆心,以 3 2 为半径的圆,直线 x ? y ? 2 ? 0 与此圆相离,设 所 求 圆 的 圆 心 为 O1 ? x, y ? , 半 径 为 r , d 为 ? 6, 6 ? 到 直 线

x ? y ? 2 ? 0 的距离, d ?

?5 2. 2 d ?3 2 5 2 ?3 2 则r ? ? ? 2 2 2
由 O1 A 与直线 x ? y ? 2 ? 0 垂直,得
O1 O

6?6?2

A

6? y ? ? ?1? ? ?1 ,即 x ? y , 6? x

x

(6 ? x)2 ? (6 ? y)2 ? 2 ? 3 2 ? 4 2 ? 2 ? 6 ? x ? .
2

解得 x ? 2, y ? 2 ∴所求圆的标准方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 . 【例 6】已知点 B 是圆 x ? y ? 2 上的一点,点 A(1, 0) 为一定点, O 为坐标原点,则
2 2

?OBA 的最大值是

.

【 分 析 及 解 】 解 法 1. 设 B( x0 , y0 ) , ?OBA ? ? , 不 妨 设

x0 ? 0, y0 ? 0 . y y0 则 kOB ? 0 , k AB ? , x0 ? 1 x0
y0 y ? 0 x x0 ? 1 y0 y tan ? ? 0 ? ? 0 , y y 2 ? x0 2 ? x0 1? 0 ? 0 x0 x0 ? 1

y

B
?

O

A

x

3

设 tan ? ? u, x0 ? 2 cos ? , y0 ? 2 sin ? . 则 2 sin ? ? 2u cos ? ? 2u ,即 2 cos ? 于是,,

2u 2 ? 2 sin(? ? ? ) ? 2u,

2u 2u 2 ? 2

? 1 , u ? 1, umax ? ? tan ? ?max ? 1,

所以, ?OBA 的最大值是

? . 4

解法 2.利用圆的几何性质求解. 延长 BA 交圆周于 C ,则 ?OBC 是等腰三角形,于是,求 ?OBA 的 最大值转化为求 ?BOC 的最小值 , 即求过 A 点的最短弦 , 显然 , 当

y B
?

BC ? OA 时, BC 最短,此时, ?OBA ?
值是

?

? . 4

4

,

所以, ?OBA 的最大

O

A C

x

2.含参数的线性规划问题和用线性规划的方法解题

? x ? y ? 0, ? 2 x ? y ? 2, ? 【例 1】(2007 北京卷,理)若不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形,则 a ? y ? 0, ? ?x ? y ? a
的取值范围是( A. a ? ) B. 0 ? a ? 1 C. 1 ? a ?

4 3

4 3

D. 0 ? a ? 1 或 a ?

4 3

【分析及解】不等式表示的平面区域如图示 当 x ? y ? a 过 A? 当a ?

4 ?2 2? 此时 a ? ; , ? 时表示的区域是 ? AOB , 3 ?3 3?

4 时,表示区域是 ? AOB ; 3 当 x ? y ? a 过 B(1,0)时表示的区域是△DOB,此时 a ? 1 ;
当 0<a<1 时可表示三角形; 当 a>1 时不表示任何区域,当 1<a< 于是 0 ? a ? 1 或 a ?

4 时,区域是四边形. 3

4 .故选 D. 3

?x ? 0 ?y ? 0 ? 【例 2】 ( 2006 广 东 卷 ) 在约 束 条 件 ? 下 , 当 3 ? s ? 5 时 , 目 标 函数 ?x ? y ? s ? ? y ? 2x ? 4 z ? 3x ? 2 y 的最大值的变化范围是( ). A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] ?x ? y ? s ?x ? 4 ? s 【分析及解】由 ? 交点为 ?? ? y ? 2 x ? 4 ? y ? 2s ? 4 A(0,2), B(4 ? s,2s ? 4), C (0, s), C ?(0,4) , ( 1 )当 3 ? s ? 4 时 可行 域是四 边形 OABC , 此 时, 直线 z ? 3x ? 2 y 过 点 B , 则
4

7 ? z ? 3? 4 ? s ? ? 2 ? 2s ? 4? ? 4 ? s ? 8 . (2)当 4 ? s ? 5 时可行域是△OA C ? 此时, z max ? 8

由(1).(2), 目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最大值的变化范围是 7 ? z ? 8 ,故选 D. 这是一个线性规划问题,但是在约束条件中,给出了一个开放性的条件: x ? y ? s,3 ? s ? 5 ,从而,在可行域中,就出现了平行直线系,因而,对 s 的不同取值,就会有 不同的可行域, 目标函数的结果也是开放的,条件开放,引起了结论的开放. 【例 3】定义在 ? ?2, ?? ? 上的函数 f ? x ? 的部分值如表, f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? 的图象 如图, ,两正数 a , b 满足不等式 f ? 2a ? b ? ? 1,则

b?3 的取值范围是( a?3



A. ?

?6 4? , ? ?7 3?

B. ? ,

?3 7? ? ?5 3?

C. ?

?2 6? , ? ?3 5?

D. ? ? ,3 ?

? 1 ? 3

? ?

【分析及解】由导数图象可知, 当 ?2 ? x ? 0 时 , f ? ? x ? ? 0 ,

f ? x? 为 减 函 数 , 当

0? x?4 时 ,

f ? ? x? ? 0 , f ? x ? 为 增 函 数 , 所 以 , 当

x ?? ?2, 4? 时, f ? x ? 的值域为 ??1,1? ,
由 f ? 2a ? b ? ? 1 得 , ?2 ? 2a ? b ? 4 , 于是问题转化为在 可行域

? 2a ? b ? 4, ? ?2a ? b ? ?2, ? a ? 0, b ? 0. ?
5

下,求目标函数 k ?

b?3 的值域. a?3

k?


b?3 的几何意义是,点 E ? ?3, ?3? 与可行域中的任意点 ? a, b ? 的连线的斜率,可以求 a?3

3 7 ?3 7? k EA ? , k EB ? ,因此, k ? ? , ? . 5 3 ?5 3? 2 【例 4】已知方程 x ? nx ? 2m ? 0 和 x2 ? 2mx ? n ? 0 都不存在两个不等的实数根,其 中 n ? N? ,则 n ? m 的最大值是 . 最小值是 .
【分析及解】由题意,有

? ?1 ? n 2 ? 8m ? 0, ? ? ? 2 ? 4m ? 4n ? 0.
如图 , 画出可行域 , 如图 , 本题是在可行域的条件下, 求目标函数 u ? n ? m 的最大值和最小值. 因 为 n ? N? , 则 目 标 函 数 u ? n? m的 最 大 值 在

? 1? G ? 4,2? 处取得, 最大值为 6, 最小值在 A ?1, ? 处取得, ? 8?
最小值为

9 . 8
2

3.用圆锥曲线的定义解题.

? 1) 的 【例 1】 (2008 海南,宁夏卷,理)已知点 P 在抛物线 y ? 4 x 上, 那么点 P 到点 Q(2,
距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时, 点 P 的坐标为 ( A. ? , ? 1? )

?1 ?4

? ?

B. ? , 1?

?1 ? ?4 ?

C. (1 , 2)

, ? 2) D. (1

【分析及解】点 P 到抛物线焦点距离等于点 P 到抛物线准线距离, 如图

PF ? PQ ? PS ? PQ ,故最小值在 S , P, Q 三点共线时取得,
此时 P, Q 的纵坐标都是 ?1 ,点 P 坐标为 ? , ?1? .故选 A. 【例 2】(2008 山东卷,理)设椭圆 C1 的离心率为

?1 ?4

? ?

5 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26 .若曲 13

线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8 ,则曲线 C2 的标准方程为 ( )

x2 y 2 A. 2 ? 2 ? 1 4 3

x2 y2 B. 2 ? 2 ? 1 13 5

x2 y 2 C. 2 ? 2 ? 1 3 4

x2 y2 D. 2 ? 2 ? 1 13 12

【分析及解】 对于椭圆 C1 , a ? 13, c ? 5, 曲线 C2 为双曲线, c ? 5, a ? 4 , b ? 3, 标

6

准方程为:

x2 y 2 ? ? 1. 故选 A. 42 32
y A

【例 3】 ( 2007 安 徽 卷 , 理 ) 如 图 , F 1 和 F2 分 别 是 双 曲 线

x y ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的两个焦点,A 和 B 是以 O 为圆心, 以 OF1 2 a b 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且 △F2 AB 是等边三角形,则
双曲线的离心率为( A. 3 ) B. 5 C.

2

2

F1
B

O

F2

x

5 2

D. 1 ? 3

【分析及解】 设 F 1F 2 ? 2c , ∣ , 则 AF 1 ? c, AF2 ? 3c . 利 用 双 曲 线 定 义 知

3c ? c ? 2a ,∴ e ?

c ? 1 ? 3 .故选 D. a

x2 y 2 【例 4】 (2007 湖北卷,理)双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左准线为 l ,左焦 a b M, l 点和右焦点分别为 F 1 和 F2 ;抛物线 C2 的准线为 ,焦点为 F2;C1 与 C2 的一个交点为


F1F2 MF1

?

MF1 MF2

等于( B. 1

) C. ?

A. ? 1 【分析及解】

F1 F2 | MF1 | | MF1 | 2a ? | MF1 | ? | MF2 | ? ? ? ? ? ? ?1 . c MF1 | MF2 | | MF | | MF | | MF | 2 2 2 | MF2 | a
2

1 2 2c

D.

1 2

故选 A. 【例 5】 (2007 辽宁卷,理)设 P 为双曲线 x ?

y2 ? 1上的一点, F1,F2 是该双曲线的 12
) D. 24

两个焦点,若 | PF 1 |:| PF2 |? 3: 2 ,则 △PF 1 F2 的面积为( A. 6 3 B. 12 C. 12 3

【分析及解】因为 | PF 1 |? 3x, | PF 2 |? 2 x ,根据双曲线定义得 1 |:| PF2 |? 3: 2 ,设 | PF

| PF1 | ? | PF2 |? 3x ? 2 x ? x ? 2a ? 2 ,所以 | PF 1 |? 6, | PF 2 |? 4, | F 1 F2 |? 2 13 ,因为 1 (2 13) 2 ? 52 ? 62 ? 42 ,所以 △PF1F2 为直角三角形,其面积为 ? 6 ? 4 ? 12 .故选 B. 2
4.用圆锥曲线的几何性质解题. 【例 1】(2008 四川卷,文)已知双曲线 C: ?

x2 9

y2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1,F2 , P 为 16


C 的右支上一点,且 | PF2 |?| F1F2 | ,则 △PF1F2 的面积等于(
A.24 B.36 C.48 D.96

x2 y 2 ? ? 1中, 【分析及解】 解法 1.∵ 双曲线 C : 9 16
7

a ? 3 , b ? 4 ,c ? 5 ∴F 1 ? ?5,0? , F 2 ? 5,0? ,
∵ PF2 ? F 1F2 ∴ PF 1 ? 2a ? PF 2 ? 6 ? 10 ? 16 .

作 PF1 边上的高 AF2 , 则 AF 1 ?8
2 2 ∴AF2 ? 10 ? 8 ? 6 ,

∴?PF 1F 2 的面积为 解法 2.在双曲线 C :

1 1 PF1 ? PF2 ? ?16 ? 6 ? 48 . 2 2

故选 C.

x2 y 2 ? ? 1中, 9 16
∴F 1 ? ?5,0? , F 2 ? 5,0? ,
2

a ? 3, b ? 4, c ? 5

2 2 设 P ? x0,y0 ? , ? x0 ? 0? , 则由 PF2 ? F1F2 得 ? x0 ? 5 ? ? y0 ? 10 .

又∵P 为 C 的右支上一点 ∴

?x2 ? x0 2 y0 2 ? ? 1 , 所以, y0 2 ? 16 ? 0 ? 1 ? , 9 16 ? 9 ?

∴? x0 ? 5 ? ? 16 ?
2

? x0 2 ? ? 1? ? 100 即 25x02 ? 90x0 ? 819 ? 0 , ? 9 ?

解得 x0 ?

21 39 ? 0 (舍去). 或 x0 ? ? 5 5

?? 21 ?2 1 ? 48 ? x0 2 ? ∴ y0 ? 16 ? ? 1? ? 16 ?? ? ? ? 1? ? . ? ? 5 ? 9 ? ?? 5 ? 9 ? 1 1 48 F1 F2 ? y0 ? ? 10 ? ? 48 . 故选 C. ∴?PF 1F 2 的面积为 2 2 5 x2 y 2 【例 2】 (2007 天津卷,理,文)设双曲线 2 ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0? 的离心率为 3 ,且 a b 2 它的一条准线与抛物线 y ? 4 x 的准线重合,则此双曲线的方程为( ).
x2 y 2 ? ?1 A. 12 24 x2 2 y 2 ? ?1 C. 3 3
x2 y 2 ? ?1 B. 48 96 x2 y 2 ? ?1 D. 3 6

? a2 ? ? ?1, ? ? c 2 2 2 2 【分析及解】依题意,有 ? 解得 a ? c ? 3 , b ? c ? a ? 6 .故选 D. ? c ? 3. ? ? a
【例 3】(2005 全国卷Ⅲ)设椭圆的两个焦点分别为 F 过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭 1 , F2 ,

8

圆于点 P ,若 ?F 1PF 2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( A.

).

2 2

B.

2 ?1 2

C. 2 ? 2

D. 2 ? 1

【分析及解】 设椭圆方程为

x2 y2 b2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) PF ? , 则 , 2 a a2 b2

b2 ? 2c , 因为 ?F 2 ? F 1 F2 ,即 1PF 2 为等腰直角三角形, PF a
于是 a ? c ? 2ac ,可化为 e ? 2e ? 1 ? 0 ,解得 e ? 2 ? 1 ,故选 D.
2 2 2

5.与向量,数列,不等式等的综合题

x2 y 2 ? ?1 25 16 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线 交椭圆的上半部分于 P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7 七个点,
【例 1】 (2006 四川卷)如图,把椭圆

F 是椭圆的一个焦点,则 _____ PF ?P 1 2F ? P 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6F ? P 7F ?
【分析及解】 由对称性, P 1与P 7,P 2与P 6,P 3与P 5 ,关于 y 轴对称,故 P 1 到右焦点的距离 与P 7 到左焦点的距离是相等的,因此有

PF ?P 1 7 F ? 2a, P 2F ? P 6 F ? 2a, P 3F ? P 5 F ? 2a,
又P 4 为短轴的端点,则 P 4 F ? a ,于是得

PF ?P 1 2F ? P 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6F ? P 7 F ? 7a ? 35.
【例 2】2007 辽宁卷,理)设椭圆 椭圆的左焦点,若点 M 满足 OM ?

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到左准线的距离为 10, F 是该 25 16


1 (OP ? OF ) ,则 | OM | = 2

【分析及解】解法 1.椭圆

25 x2 y 2 ? ? 1 左准线为 x ? ? ,左 3 25 16
M

y P

焦 点 为 ? ?3,0? , P ? , ? ?

?5

?3

8 2? ? , 由 已 知 M 为 PF 的 中 点 , 3 ? ?

F

O

F1

x

? 2 4 2? M? ?? 3 ,? 3 ? ? ,所以 | OM |? ? ?
解法 2.由题设 e ?

2 4 2 2 (? ) 2 ? (? ) ? 2. 3 3

PF 3 3 ? e ? ,则 PF ? 6 ,又设右焦点 ,则 5 10 5

9

OM 是 ?PFF1 的中位线,则 OM ? 2 . 为F 1 ,则 PF ? PF 1 ? 2a ? 10, PF 1 ? 4 .而

x2 y 2 【例 3】 (2007 湖南卷,理)设 F1,F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右 a b 焦点,若在其右准线上存在 P, 使线段 PF1 的中垂线过点 F2 ,则椭圆离心率的取值范围是
( ) A. ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ?

B. ? 0, ? ?

? ?

? 2 ? 3? , 1? C. ? ? 3 ? ? 2 ?
2

D. ?

? 3 ? , 1? ? ? 3 ?

? ? a2 ? c ? ? ? ?a ? y c , 0 ?, P , y M 【分析及解】 F , , ? c ,0 , F c ,0 ? ? ? ? ? ? 0? 1 2 2 2 ? ? c ? ? ? ? ? ? y0 y k PF1 ? 2 0 , kMF2 ? 2 2 .由 kPF1 kMF2 ? ?1 , a a c ?c ? ?c c 2c 2 2 y0 2 y0 (a 2 ? c 2 )(a 2 ? 3c 2 ) 2 ? 0. ∴ 2 =- 1 ∴ =- 2 2c a ? c 2 a 2 ? 3c 2 ? c 2c 2 2 ∴ ?1 ? e ??1 ? 3e ? ? 0 .
1 . 3 ? 3 ? , 1? 又 0 ? e ? 1 所以, e ? ? ? ,故选 D. ? 3 ? ? a2 ? , y0 ? , F 解法 2. 设 P ? 1 ? ?c,0? , F 2 ? c,0? . ? c ?
2 ∴ 1 ? 3e ? 0 ,∴ e ?
2

由题设,有 PF2 ? F 1F2 ,则

? a2 ? 2 2 PF2 ? ? ? c ? ? y0 ? F1 F2 ? 4c 2 , ? c ? 4 1 2 2 2 2 a 4 2 整理得 y0 ? 3 c ? 2 a ? 2 ?0 ,即 3e ? 2 ? 2 ? 0 , 3e ? 2e ? 1 ? 0 , e c , ? 3e2 ? 1?? e2 ? 1? ? 0 ,解得 e2 ? 1 3 ? 3 ? 3 1? ? e ? 1, e? ? , 又 0 ? e ? 1 ,所以 ? ,故选 D. 3 ? 3 ?
2

2

【练习题】
2 2 1.(2007 湖北卷,文)由直线 y ? x ? 1 上的一点向圆 ( x ? 3) ? y ? 1引切线,则切线长的 最小值为( )

A.1

B. 2 2

C. 7

D. 3

10

?2 x ? y ? 40, ? x ? 2 y ? 50, ? 2.(2008 广东卷,理 4)若变量 x, y 满足 ? 则 z ? 3x ? 2 y 的最大值是( x ? 0 , ? ? ? y ? 0,
A.90 B.80 C.70 D.40



3.(2008 山东卷,理 11)已知圆的方程为 x2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 0 .设该圆过点 (3, 5) 的最长 弦和最短弦分别为 AC 和 BD ,则四边形 ABCD 的面积为( A. 10 6 B. 20 6 C. 30 6 )

D. 40 6

4. (2007 全国Ⅰ卷,理,文) 抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F , 准线为 l , 经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A , AK ⊥ l ,垂足为 K ,则 △ AKF 的面积是 ( ) A. 4 B. 3 3 C. 4 3 D. 8

x2 y 2 5.(2008 天津卷,文)设椭圆 2 ? 2 ? 1? m ? 0, n ? 0 ? 右焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点相 m n
同,离心率为

1 ,则此椭圆的方程为( 2

).

A.

x2 y 2 ? ?1 12 16

B.

x2 y 2 ? ?1 16 12

x2 y 2 ? ?1 C. 48 64

x2 y 2 ? ?1 D. 64 48

6.(2007 四川卷,理,文)已知抛物线 y ? ? x2 ? 3 上存在关于直线 x ? y ? 0 对称的相异 两点 A, B ,则 AB 等于( (A)3 (B)4 ) (C) 3 2 (D) 4 2

7. (2006 湖北卷) 设过点 P?x, y ?的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A 、B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称, O 为坐标原点,若 BP ? 2 PA ,且 OQ ?AB ? 1,则 P 点 的轨迹方程是(D) A. 3 x ?
2

3 2 y ? 1?x ? 0, y ? 0? 2

B. 3x ?
2

3 2 y ? 1?x ? 0, y ? 0? 2

C.

3 2 x ? 3 y 2 ? 1?x ? 0, y ? 0? 2

D.

3 2 x ? 3 y 2 ? 1?x ? 0, y ? 0? 2

8.(2008 浙江卷,理,文)若双曲线 则双曲线的离心率是( )

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3 : 2 , a 2 b2

11

A.3

B.5

C. 3

D. 5

9.(2008 重 庆 卷 , 理 ) 已 知 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的 一 条 渐 近 线 为 a 2 b2


y ? kx(k ? 0) ,离心率 e ? 5k ,则双曲线方程为(
A.

x2 y 2 ? ?1 a 2 4a 2 x2 y 2 ? ?1 4b 2 b 2

B.

x2 y 2 ? ?1 a 2 5a 2 x2 y 2 ? ?1 5b 2 b 2

C.

D.

10.(2008 福建卷,理)双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上 a 2 b2

一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3) B. ?1,3? C.(3,+ ? ) D. ?3, ?? ?

11.(2008 湖北卷,理 10,文 10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球, 在月球附近一点 P 轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ 绕月飞行,之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ 绕月飞行,最终卫星在 P 点第三次变轨 进入以 F 为圆心的圆形轨道Ⅲ 绕月飞行, 若用 2c1 和 2c2 分别表示椭 轨道Ⅰ 和Ⅱ 的焦距,用 2a1 和 2a2 分别表示椭圆轨道Ⅰ 和Ⅱ 的长轴的 长,给出下列式子: ①a1 ? c1 ? a2 ? c2 ; ②a1 ? c1 ? a2 ? c2 ;

③c1a2 ? a1c2 ; 其中正确式子的序号是 A. ① ③



c1 c2 < . a1 a2

B. ② ③

C. ① ④

D. ② ④

12.(2003 全国卷,理)已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F 相交于 M、N 两点,MN 中点的横坐标为 ?

?

直线 y ? x ? 1 与其 7, 0 , )

?

2 ,则此双曲线的方程是( 3

x2 y 2 ? ?1 3 4 x2 y2 (C) ? ?1 5 2
(A)

(B)

x2 y2 ? ?1 4 3 x2 y2 (D) ? ?1 2 5
12

13. ( 2007 海 南 和 宁 夏 卷 , 理 , 文 ) 已 知 抛 物 线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的 焦 点 为 F , 点

P , y1) , P2( x , y2), P ,y3 ) 在抛物线上,且 2 x2 ? x1 ? x3 , 则有( 1 ( x1 2 3 ( x3
A. FP 1 ? FP 2 ? FP 3 C. 2 FP 2 ? FP 1 ? FP 3 B. FP 1 ? FP 2 D. FP2
2
2 2 2



? FP3

2

? FP 1 ? FP 3

14. (2007 全国Ⅱ卷,理) 设 F 为抛物线 y ? 4 x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点, 若 FA ? FB ? FC ? 0 ,则 FA ? FB ? FC ? ( A.9 B.6 15.(2005 年江西卷,理,文) 以下四个关于圆锥曲线的命题中 C.4 ) D.3

①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数, PA ? PB ? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线; ②设定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB,O 为坐标原点,若 OP ? 动点 P 的轨迹为椭圆; ③方程 2 x ? 5x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
2

1 (OA ? OB ), 则 2

④双曲线

x2 y2 x2 ? ? 1与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点. 25 9 35
(写出所有真命题的序号)

其中真命题的序号为

0) 和 16. ( 2007 年江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 △ ABC 的顶点 A(? 4,

C (4, 0) , 顶 点 B 在 椭 圆
sin A ? sin C ? _____. sin B
【练习题参考答案】 引的切线的长为 d ,则有

x2 y 2 ? ?1 上 , 则 25 9
A O

y B

C

x

1. 设 P ?t, t ? 1? 为直线 y ? x ? 1 上的一点 , 点 P 向圆所

d 2 ? ? t ? 3? ? ? t ? 1? ? 12 ? 2 ? t ? 1? ? 7 ? 7
2 2 2

所以, 切线长的最小值为 7 .故选 C. 2.根据约束条件画出可行域(如图), 可知, z ? 3x ? 2 y 在 A 处取得最大值,解

?2 x ? y ? 40, 得 A?10,20? .所以 zmax ? 70. 故选 C. ? ? x ? 2 y ? 50.
2 3.圆的方程可化为 ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 5 ,画出圆, 2 2
y C

显然,圆心为 E ?3,4? ,又 M ? 3,5? 则直线 ME 与 y 轴平行.
D M(3,5) E(3,4) B

13
O A x

于是 AC ? 10, 由勾股定理得 MB ? 52 ? 12 ? 2 6, 因而 BD ? 4 6.

1 A C? B D? 2 0 6故选 . B. 2 4.如图,直线 FA : y ? 3( x ?1) ,代入 y 2 ? 4 x , 解得 xA ? 3 , AK ? 4 , SA B C D ?
又直线的斜率为 3 , 则 ?KAF ? ?AFx ? 60? , 再由抛物线的定 义知 AF ? AK ,从而 ?AFK 是边长为 4 的正三角形. ∴ S?AFK ?

3 2 ? 4 ? 4 3 .故选 C. 4
1 ,则 2

5. 抛 物 线 y 2 ? 8x 的 焦 点 为 ? 2, 0 ? , 所 以 c ? 2 , 由 e ?

m ? 4, n2 ? 12.
所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,故选(B). 16 12

6.由于点 A, B 关于直线 x ? y ? 0 对称,则可设直线 AB 的方程为 y ? x ? b ,由

? y ? ? x2 ? 3 ? x 2 ? x ? b ? 3 ? 0 ? x1 ? x2 ? ?1 , ? ?y ? x ?b
进而可求出 AB 的中点 M ( ?

1 1 1 1 , ? ? b) ,又由 M ( ? , ? ? b) 在直线 x ? y ? 0 上可求出 2 2 2 2

b ? 1 ,∴x 2 ? x ? 2 ? 0 ,由弦长公式可求出 AB ? 1 ? 12 12 ? 4 ? (?2) ? 3 2 .故选 C.
7. 选 D. 由

BP ? 2PA 及 A, B 分 别 在 x 轴 的 正 半 轴 和 y 轴 的 正 半 轴 上 知 ,

3 3 A( x, 0), B(0,3 y) , AB ? ( ? x,3 y ) , 由 点 Q 与 点 P 关 于 y 轴 对称 知 , Q(? x, y ) , 2 2

OQ = (? x, y ) ,则 OQ ? AB ? (?

3 3 x,3 y ) ? (? x, y ) ? x 2 ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 2 2

a2 ? ? ?c ? c 3 c 8.设此准线为右准线,于是又 ? ,即 c 2 ? 5a 2 , e ? ? 5 .故选 D. 2 a a 2 c? c

14

? b ? a ?k ? c x2 y 2 ? c ? 5k , 所以 a 2 ? 4b2 ,双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 .故选 C. 9. e ? ? 5k ? ? a 4b b ? 2a 2 2 ?a ? b ? c ? ?
10. 如 图 , 设 PF2 ? m , ?F 1PF2 ? ? (0 ? ? ? ? ) , 当 P 在 右 顶 点 处 ? ? ? ,

e?

m2 ? (2m)2 ? 4m2 cos ? 2c ? ? 5 ? 4cos ? 2a m
∵?1 ? cos ? ? 1 ,∴e ? ?1,3? .故选 B. 11.由焦点到顶点的距离可知② 正确,由椭圆的离心率知③ 正确,故应选B.

12. 设 双 曲 线 方 程 为
2 2 设, a ? b ? 7 , x1 ? x2 ? ?

x2 y 2 ? ?1 , a 2 b2

M ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ? , 则 由 题

4 ,由方程组 3

? x2 y 2 ? 2 ? 2 ? 1, 2 2 2 2 2 2 2 得 ? b ? a ? x ? 2a x ? a ? a b ? 0 . ?a b ? y ? x ? 1. ?
4 2a 2 2a 2 ? 2 于是, x1 ? x2 ? ? ? 2 ,解得 a2 ? 2, b2 ? 5 , 2 3 a ?b 2a ? 7
因而, 此双曲线的方程是

x2 y2 ? ? 1 ,故选 D. 2 5

p , P1A⊥l, P2B⊥l, P3C⊥l. 2 p 由抛物线定义知: P 1F ? P 1 B ? x1 ? 2 p p P2 F ? P2 B ? x2 ? , P3 F ? P3 B ? x3 ? , 2 2
13.如图 y2=2px 的准线为 x ? ? ∴ 2P 2 F ? 2 x2 ? p ,

p? ? p? ? FP 1 ? FP 3 ? ? x1 ? ? ? ? x3 ? ? ? x1 ? x3 ? p 2? ? 2? ?
又∵ 2 x2 ? x1 ? x3 , ∴ 2 FP 2 ? FP 1 ? FP 3 .故选 C.

14. 焦点 F 坐标为(1,0),设 A、B、C 坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).

15

∴ FA =(x1-1,y2), FB =(x2-1,y2), FC =(x3-1,y3) ∵ FA + FB + FC =0,∴x1-1+x2-1+x3-1=0, ∴x1+x2+x3=3 用抛物线的定义,由准线方程 x ? ?1 ,可得 FA ? x1 ? 1 , FB ? x2 ? 1 FC ? x3 ? 1 ,于是有

FA ? FB ? FC ? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? x3 ? 1 ? 6 .故选 B.
15.对于①,还需满足 PA ? PB ? k ,动点 P 的轨迹才能为双 曲线; 所以, ①是假命题; 对于②,如图,设圆的方程半径为 x ? y ? r
2 2 2

y B P(x,y) O

? r ? 0? , 设

?

A? r,0? ,
由 OP ?

D

A

x

1 (OA ? OB ), 可 知 , P ? x, y ? 是 弦 AB 的 中 点 , 再 设 2
2 2

? x ? r cos 2 ? , ? 2 x ? r ? r cos 2? , r? ? ?r? ?P O A? ? ,则 ? 即? 于是有 ? x ? ? ? y 2 ? ? ? ,所 2? ? ? 2? ? y ? r cos ? ? sin ? . ?2 y ? r sin 2? .
以, 动点 P 的轨迹为圆. 所以, ②是假命题; 对于③,方程的两个正根一个 1 ,一个小于 1 ,所以, ③是真命题; 对于④, 双曲线

x2 y2 x2 ? ? 1与椭圆 ? y 2 ? 1 的焦点都是 ? 34, 0 ,所以, ④是真 25 9 35

?

?

命题. 即真命题的序号为③, ④.

x2 y 2 ? ? 1 上取一点 B 使∠ABC 16.采用特殊化策略.因答案具有一般性,不妨在椭圆 25 9
=90°则在△ABC 中,

BC AB sin C? , sin B ? 1 . AC AC sin A ? sin C BC ? AB 2a 10 5 ? ? ? ? , ∴ sin B AC 2c 8 4 sin A ?

16


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