2013安徽高中数学联赛初赛试卷

2013 年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷
（考试时间：2013 年 9 月 14 日上午 9:00—11:30） 一、填空题（每题 8 分，共 64 分） 1、函数

f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 ? 4 ? x
2013

2

的值域为____________________

2、方程 sin( 2013?x) 3、化简 sin 12
o

? x 的实根个数为____________________
o o

sin 48 sin 54

____________________（用数字作答）

4、设数列{an } 满足 a1 ? a2 ? 1 ， an ? 3an?1 ? an?2 (n ? 3) ，则 a 2013 5、设

? ______
， 则

?ABC

的 外 接 圆 圆 心

P

满 足

2 AP ? ( AB ? AC ) 5

c o? sB A C ? _____________ z ? 1 的实部与虚部之比为 3 。其中 i 是虚数单位， 6、设复数 z ? x ? yi 满足 z?2
则

y 的最大值为____________________ x
其中 c , c ? ? ? c 实常数， 则? c x ? x ) ? ?c x ，
2 150 k k ?0 k
0 1 300

7、设 (1 ?

300

300

k ?0

3k

_____________

8、随 机 选 取 正 11 边 形 3 个 不 同 顶 点 ， 它 们 构 成 锐 角 三 角 形 的 概 率 为
________________

二、解答题（第 9—10 题每题 21 分，第 11—12 题每题 22 分，共 86 分） 9.设正三棱锥的底面边长为 1，侧棱长为 2，求其体积和内切球半径.

10.求所有函数

f : R ? R ，使得对任意 x, y ? R 都有
2

f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ? 2 xy 且 x

? | x | ? f ( x) ? x ? | x | .
2

1 2

1 2

ab ? bc ? c 11.设 a, b, c 是不全为 0 的实数，求 F ? a ? 2b ? 3c 别满足什么条件时， F 取得最大值与最小值？
2 2 2

的取值范围.
2

a, b, c 分

12.设数列{an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 2 ， a ? (1 ? a n ?1 ) ( n ? 3). n
2

a

n?2

（1）求数列{an } 的通项公式； （2）求证：对任意正整数 k ，

a

2 k ?1

和

a 都是整数. 2
2k