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一道2007女子竞赛题的简证及推广


4 8  

中学数学研究 

2 0 0 8年第 1 0期 



道2 0 0 7女 子 竞 赛题 的简 证及 推广 
陕西省武功县教育局教研 室   ( 7 1 2 2 0 0 )   李 歆 
+   +  

题目   已知n , b , C ≥0

, 且 。+ 6 + C =1 , 求证 :  
+   +   ≤   , ①. ( 2 0 0 7年女 子 

2 A)  尺 =R . 于是 得 ,  

≤厕

+厕


+历
=  

≤、  



=  

数学奥林 匹克竞赛试题 )   《 中学数学》 等报刊普遍采用换元法进行证明,  
方法 虽然 巧妙 , 但 学 生 理 解 起 来 却 有 一 定 的 困难 .  

( 1+2 A) ,即 ② 式得 证.   将 推广 1的证 明过 程 加 以简 化 , 我们 又很 容 易  得 到下列 推广 :   推广 2   已知 口 , 6 , C≥ 0 , 0 ≤ A ≤ mi n { 6 , C ,  

若利 用 放 缩 法 ,将 “ ̄ / 0+ 4  ( 6一c )   ”放 大 为 

“  ̄ / 口+ 2  (   一  )   ” , 再把  +   作相应变形, 则 
可利用熟知的不等式  +   +   ≤, / 3 (  + Y+  )  
获得一 种 简单证 明 , 并且容易被学生所接受 , 同 时 
从 中可 以把它 加 以推广.  

2 一   } , 且 0+6+c= 1 , 贝 0 √ 口 + 4 一   ( 6 一 c )  +  
6+A+  c +A≤2   v / ( 1+2 A ) , ③.  
证: 由于 ( b—c )   =(   6+A +  

证: 由2 一   ( √ 6+ √ c )  ≤ b+c=1—0≤ 1 , 得 
4  ( 6一c )   =2  (   +   )  ? 2  (   一   )  ≤  



)   (  

一  

)   ≤ 2 ( 6 +c+  

2  ) (  /  
一  

一、 /   _ =   )   =2 ( 1 一口十 2 A ) (   /  

2  (  一   , 于是得  ̄ / 口+ 4  ( 6 一 c )  十  +  ≤  

)  ≤2 ( 1 + 2 A ) (  ̄ / {  

一  

)   , 所 

 ̄ / o+ 2  (  一  )  + ̄ / 4  (  +  ) 。 +  


以, ③ 式左端 ≤ √ 2 口 +(  ̄ / 1  

一  

)  +  

/ 4  ( √ 6+ √ c )  ≤  

厂— ■— = _ —— = — 

√( 、 俪
2 E 2 a+(  
= ,

+、 而

)  ≤  
)   +(  而
2 、  



/ 3 [ n+2  (   一  )  + 2  (   +  )   ]=  

一 ̄ / 而

+  

) 。 ]  

、  

百可

=   , 即① 式得证.  

/ 2 [ 2 o+2 ( 6+c+2 A) ]  =

对 上述 证法 再 进 一步 探 究 , 我们 可 把 这道 竞 赛 
题作 如 下推 广 :  



2、 / 『  

, 即 ③ 式得证.  

推广 1   已知 0 , b , c , A≥0 , 且 口+6+c=1 , 则 

类似地方法 , 我们 同样可证下列两个推广 :   推广 3   已知 口≥0 , 6≥A, C≥A, 0≤ A≤ 1 / 2 ,  

 ̄ /  + 4  ( 1+ 2 A )  ( 6一c )  +  

+  

且 口+6+c=1 , 贝 0 , / a+ 4 一   ( 1 — 2 A ) 一   ( b —c )  +   _ 二  +   ≤   可  , ④ 
推广 4   已知 0≥0 , 6≥ A, c≥A, 0≤ A <1 / 2 ,  

≤   ( 1+ 2   ) , ②  证 :令 , P =4  ( 1+ 2 A )  ( b—c )  , 9 =  
2  (   +   )  , R : 2  (   一  

且 0+6+c=1 , 贝 0 , / 2 a+ 2 一   ( 1 — 2 A )  ( b —c )  +  
+   ≤ 2、   = 


c+A)   , 贝 0 由 Q≤ 6+c +2 A =1+2 A一0≤ 1+  

2 A得 , P = Q ?( 1+2 A ) 一   R≤ ( 1+2 A)?( 1+  

⑤ 





=  

=  

时等号成立.  

参 考 文 献 

[ 耋 ( r  + A   ) ] ≥   n (  + 鲁 )   , 所 以   垂 (   + A   ) ≥ (  + 鲁 )   , 当 且 仅 当  =  


[ 1 ]李永利. 一个不等式的推广[ J ] . 数学通讯 , 2 0 0 7 ( 1 7 )  


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