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导数与函数的最值1


函数的最值与导数

复习 导数的应用二、求函数的极值
1)如果b是fˊ(x)=0的一个根,并且在b 的左侧附近 fˊ(x)>0,在b 右侧附近fˊ (x)<0,那么f (b)是函数f (x) 的一个极大值
2) 如果 a 是 fˊ(x)=0 的一个根,并且在 a 的左侧附近 fˊ(x)<0,在a 右侧附近fˊ (x)>0,那么是f (a)函数f (x) 的一个极小值.

(…,b) + f ’( x )
x f (x)

b

0
f(b)

(b, …) -

x f ’( x )

f (x)

(…,a) a (a, …) 0 + f(a)

注:导数等于零的点不一定是极值点.

复习
用导数法求解函数极值的步骤:
(1) 求导函数fˊ(x); (2) 求解方程fˊ(x)=0; (3) 检查fˊ(x)在方程fˊ(x)=0的根的左右的

符号,并根据符号确定极大值与极小值.

口诀:左负右正为极小,左正右负为极大.

新课 导数的应用之三、求函数最值.
1)在某些问题中,往往关心的是函数在整个 定义域区间上,哪个值最大或最小的问题这就 是我们通常所说的最值问题. 2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是 一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小 f(x3) y 值. f( x ) f(b)
1

a x1
g
f(a)

x2
0

g

x4 x3 b x

f(x2)

y y=f(x) o y y=f(x)

y

y=f(x)

a

b x

o a
y y=f(x)

b

x

o

a

b x

o a

b x

在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值, 在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.

新课
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤
(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值) (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)

比较,其中最大的一个为最大值,最小的
一个最小值.

应用
x3 例1、求函数 f ( x) ? 3- 4 x ? 4 在区间

[0,3] 内的最大值和最小值.

应用
例2:(2005年北京) 已知函数f (x)=-x3+3x2+9x+a (1)求f (x)的单调递减区间; (2)若f (x)在区间[-2,2]上的最大值 为20,求它在该区间上的最小值.

练习
求函数f (x)=3x-x3 在区间 [-3,3]内 的最大值和最小值.

注: 求函数最值的一般方法

一.是利用函数性质
二.是利用不等式 三.是利用导数

课后作业

课本33页 练习

习题1.3 第6 题


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