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高中数学(人教A版 选修2-2)Word版活页训练:2-2-2直接证明与间接证明(Word有详解答案)


2.2.2

反证法 ?限时20分钟?
( ).

双基达标
1.实数 a,b,c 不全为 0 等价于

A.a,b,c 均不为 0 B.a,b,c 中至多有一个为 0 C.a,b,c 中至少有一个为 0 D.a,b,c 中至少有一个不为 0 解析 不全为 0 即至少有一个不为 0,故选 D. 答案

D 2.下列命题错误的是 ( A.三角形中至少有一个内角不小于 60° B.四面体的三组对棱都是异面直线 C.闭区间[a,b]上的单调函数 f(x)至多有一个零点 D.设 a、b∈Z,若 a、b 中至少有一个为奇数,则 a+b 是奇数 解析 a+b 为奇数?a、b 中有一个为奇数,另一个为偶数,故 D 错误. 答案 D 1 1 1 3.设 x,y,z 都是正实数,a=x+y,b=y+ z ,c=z+ x,则 a,b,c 三个数 ( A.至少有一个不大于 2 C.至少有一个不小于 2 B.都小于 2 D.都大于 2 ). ).

解析 若 a,b,c 都小于 2,则 a+b+c<6①, 1 1 1 而 a+b+c=x+x +y+ y+z+ z ≥6②, 显然①,②矛盾,所以 C 正确. 答案 C 4.命题“△ABC 中,若 A>B,则 a>b”的结论的否定应该是________.

答案 a≤b 5.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是________. 答案 至少有两个内角是直角 6.设 SA、SB 是圆锥 SO 的两条母线,O 是底面圆心,C 是 SB 上一点,求证:AC 与平面 SOB 不垂直. 证明 假设 AC⊥平面 SOB,如图, ∵直线 SO 在平面 SOB 内, ∴SO⊥AC. ∵SO⊥底面圆 O,∴SO⊥AB. ∴SO⊥平面 SAB. ∴平面 SAB∥底面圆 O. 这显然出现矛盾,所以假设不成立,即 AC 与平面 SOB 不垂直.

综合提高

?限时25分钟?
( ).

7.已知 α∩β=l,a?α,b?β,若 a,b 为异面直线,则

A.a,b 都与 l 相交 B.a,b 中至少有一条与 l 相交 C.a,b 中至多有一条与 l 相交 D.a,b 都不与 l 相交 解析 逐一从假设选项成立入手分析,易得 B 是正确选项,故选 B. 答案 B 8.以下各数不能构成等差数列的是 ( A.3,4,5 C.3,6,9 B. 2, 3, 5 D. 2, 2, 2 ).

解析 假设 2, 3, 5成等差数列,则 2 3= 2+ 5,即 12=7+2 10,此等式不成立, 故 2, 3, 5不成等差数列. 答案 B 9.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________.

解析 “任何三角形”的否定是“存在一个三角形”,“至少有两个”的否定是“最多有 一个”. 答案 存在一个三角形,其外角最多有一个钝角 10.用反证法证明命题“若 a2+b2=0,则 a,b 全为 0(a、b 为实数)”,其反设为________. 解析 “a,b 全为 0”即是“a=0 且 b=0”,因此它的反设为“a≠0 或 b≠0”. 答案 a,b 不全为 0 11.设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,a、b、c 均为整数,且 f(0),f(1)均为奇数.求证: f(x)=0 无整数根. 证明 设 f(x)=0 有一个整数根 k,则 ak2+bk=-c.① 又∵f(0)=c,f(1)=a+b+c 均为奇数, ∴a+b 为偶数,当 k 为偶数时,显然与①式矛盾; 当 k 为奇数时,设 k=2n+1(n∈Z), 则 ak2+bk=(2n+1)· (2na+a+b)为偶数,也与①式矛盾,故假设不成立,所以方程 f(x)=0 无整数根. x2 12.(创新拓展)已知函数 f(x)= ,如果数列{an}满足 a1=4,an+1=f(an),求证:当 n≥2 2x-2 时,恒有 an<3 成立. 证明 法一(直接证法) ∴ 1
2 an 由 an+1=f(an)得 an+1= , 2an-2

2 2 ? 1 1? 1 1 =-a2+a =-2?a -2?2+2≤2, ? n ? an+1 n n

∴an+1<0 或 an+1≥2; (1)若 an+1<0,则 an+1<0<3, ∴结论“当 n≥2 时,恒有 an<3”成立; (2)若 an+1≥2, 则当 n≥2 时,有 an+1-an= -an+2an -an?an-2? a2 n -an= = ≤0, 2an-2 2?an-1? 2?an-1?
2

∴an+1≤an,即数列{an}在 n≥2 时单调递减; a2 16 8 1 由 a2= = =3<3, 2a1-2 8-2

可知 an≤a2<3,在 n≥2 时成立. 综上,由(1)、(2)知:当 n≥2 时,恒有 an<3 成立. 法二 (用反证法) 假设 an≥3(n≥2), a2 n 则由已知得 an+1=f(an)= , 2an-2 1 ? 1? an+1 1? 3 an 1? ?1+a -1?≤ ?1+2?= <1,(∵an-1≥3-1), ∴当 n≥2 时, a = =2· 2 ? ? 4 2 a - 2 ? n ? n n 又易证 an>0,∴当 n≥2 时,an+1<an, ∴当 n>2 时,an<an-1<?<a2; 而当 n=2 时,a2= a2 16 8 1 = =3<3, 2a1-2 8-2

∴当 n≥2 时,an<3; 这与假设矛盾,故假设不成立, ∴当 n≥2 时,恒有 an<3 成立.


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