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1.1.7柱、锥、台和球的体积


良乡中学数学组 良乡中学数学组 任宝泉

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普通高中课程标准数学2(必修 普通高中课程标准数学 必修) 必修

第一章 立体几何初步

1.1.7 柱、锥、台和球的体积 课时) (约2课时) 课时
良乡中学数学组 制作: 制作:任宝泉 2011年6月5日 年 月 日

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一、复习引入
在小学我们就已经知道长方体的体积V的计算 在小学我们就已经知道长方体的体积V 公式

V 长 方 体 = abc = Sh
其中a 分别是长方体的长、宽和高, 其中a,b,c分别是长方体的长、宽和高,S,h分 别是长方体的底面积和高。 别是长方体的底面积和高。 长方体的体积公式是计算其它几何体体积的基础, 长方体的体积公式是计算其它几何体体积的基础, 我们将上述结论作为已知事实来用。 我们将上述结论作为已知事实来用。
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二、提出问题
思考:如何求其它几何体的体积? 思考:如何求其它几何体的体积? 我国古代数学家祖暅( ng) 我国古代数学家祖暅(gèng)对几何体的体积 研究,取得了辉煌的成就, 研究,取得了辉煌的成就,他提出的祖暅原理是推 导其它几何体的体积公式的理论基础。 导其它几何体的体积公式的理论基础。

祖暅原理:幂势既同,则积不容异 祖暅原理:幂势既同,
Liangxiangzhongxue

意思是说: 意思是说: 夹在两个平行平面之间的两个几何体, 夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两 个平面的任意平面所截, 个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相 那么这两个几何体的体积相等. 等,那么这两个几何体的体积相等. Bqr6401@126.com

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二、提出问题
思考:如何求其它几何体的体积? 思考:如何求其它几何体的体积?

祖暅原理:幂势既同, 祖暅原理:幂势既同,则积不容异

点击演示 问题:两个底面积相等、高也相等的棱柱(圆柱) 问题:两个底面积相等、高也相等的棱柱(圆柱)的 体积如何? 体积如何? Bqr6401@126.com

三、概念形成
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概念1.柱体(棱柱和圆柱) 概念1.柱体(棱柱和圆柱)的体积 1.柱体
棱柱(圆柱)可由多边形( 棱柱(圆柱)可由多边形(圆)沿某一方向得到,因 沿某一方向得到, 两个底面积相等、高也相等的棱柱(圆柱) 此,两个底面积相等、高也相等的棱柱(圆柱)应该具有 相等的体积. 相等的体积.

V 柱 体 = Sh

h

h

S

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S

三、概念形成
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概念2.锥体(棱锥、圆锥) 概念2.锥体(棱锥、圆锥)的体积 2.锥体
在小学我们就通过比较容积的方法,验证了棱锥( 在小学我们就通过比较容积的方法,验证了棱锥(圆 的体积是两个底面积相等、高也相等的棱柱(圆柱) 锥)的体积是两个底面积相等、高也相等的棱柱(圆柱) 的体积的三分之一。利用祖暅定理也可分析得到。 的体积的三分之一。利用祖暅定理也可分析得到。

V锥 体

1 = Sh 3
h

h

S

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S

三、概念形成
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概念3.台体(棱台、圆台) 概念3.台体(棱台、圆台)的体积 3.台体
棱台和圆台分别是棱锥和圆锥用平行于底面的平面截 去一个锥体得到的。 去一个锥体得到的。因此台体的体积可以用两个锥体体积 的差来计算。体积公式如下: 的差来计算。体积公式如下:

V台 体

1 = h S+ 3

(

SS ' + S '

)

S

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S

三、概念形成
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1 1 ' S' = S S' = 0 ' V = Sh V = Sh V = (S + S S + S)h 3 3
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柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系? 柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?
上底扩大 上底缩小

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三、概念形成
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概念4.球的体积 概念4.球的体积 4.

H

h

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三、概念形成
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概念4.球的体积 概念4.球的体积 4.
r
l l l

R

R

S = π r2 = π (R2 ? l 2 )

R
1 V球 2



π R2 ? R ? π R2 ? R

1 3

4 3 V球 = π R 3
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四、应用举例
例1.已知棱长为 a ,各面均为等边三角形的四面 ABC,求它的体积。 体S-ABC,求它的体积。
分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成. 分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成. 连接BD并延长交AC BD并延长交AC于 过点S 解:过点S作 SD ⊥ 平面ABC 于D. 连接BD并延长交AC于M。 , 依据正棱锥的性质, 依据正棱锥的性质,则D为底面正三角形的中心,M为AC中 为底面正三角形的中心, AC中 点。 S
2 2 2 2 a2 3 BC2 ? CM2 = a ?( ) = a ∵BC = a,∴BD = BM = 3 3 3 2 3
? 3 ? 6 a? = a ∴ SD = SB2 ? BD2 = a2 ? ? 3 ? 3 ?
2

A M D B C

1 1 3 3 2 a= a ∴ S?ABC = AC ? BM = a × 2 2 2 4 1 1 3 2 6 2 3 VS?ABC = SABC ? SD = × a × a= a 3 3 4 3 12

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四、应用举例
例2.如图,长方体 ABCD ? A' B'C' D'中,用截面截下 如图, 一个棱锥 C ? A' DD' ,求棱锥 C ? A' DD'的体积与剩余 部分的体积之比。 部分的体积之比。

D' A' B'

C'

D
A
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C

B

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四、应用举例
例3.有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8g / cm )六角 有一堆规格相同的铁制( 螺帽共重5.8kg 已知底面是正六边形,边长为12mm, 5.8kg, 12mm,内孔 螺帽共重5.8kg,已知底面是正六边形,边长为12mm,内孔 π 直径为10mm 高为10mm 问这堆螺帽大约有多少个( 10mm, 10mm, 直径为10mm,高为10mm,问这堆螺帽大约有多少个( 取 3.14,可用计算器)? 3.14,可用计算器)? 解:六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差,即: 六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差,
V= 3 10 ×122 ×6×10 ?3.14×( )2 ×10 4 2
3

≈ 2956(mm3 ) = 2.956(cm3 )
所以螺帽的个数为

5.8×100 ÷ (7.8× 2.956) ≈ 252 个) (
答:这堆螺帽大约有252个. 这堆螺帽大约有252个 252 Bqr6401@126.com

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四、应用举例
例4.一个正三棱台的上下底面边长分别为3cm和 4.一个正三棱台的上下底面边长分别为3cm和 一个正三棱台的上下底面边长分别为3cm 6cm,高是1.5cm,求三棱台的体积。 1.5cm,求三棱台的体积 6cm,高是1.5cm,求三棱台的体积。

A1 O1 B1 D1

C1

A O E

C

D

B

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五、课堂练习
练习1.圆柱的底面直经与高都等于球的直经2R. 练习1.圆柱的底面直经与高都等于球的直经2R. 1.圆柱的底面直经与高都等于球的直经2R 求证:球的体积等于圆柱体积的2/3 求证:球的体积等于圆柱体积的2/3 证明: 证明:
4 V球 = π R3 ,V柱 = π R 2 ? 2 R = 2π R3 3

2 ?V球 = V柱 3
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五、课堂练习
练习2 已知正四棱锥底面正方形的边长4cm,高与 练习 2. 已知正四棱锥底面正方形的边长 4cm, 高与 斜高的夹角是30 30° 求正四棱锥的体积. 斜高的夹角是30°,求正四棱锥的体积.
P

D
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C

A

B

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五、课堂练习
练习3.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形, 练习3.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形, 3.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形 主视图是一个底边长为8 高为4的等腰三角形, 主视图是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,左 视图是一个底边长为6 高为4的等腰三角形。 视图是一个底边长为6,高为4的等腰三角形。 求该几何体的体积V (1)求该几何体的体积V; 该几何体的表面积S (2)该几何体的表面积S

6

8 Bqr6401@126.com

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六、课堂总结
1.几何体的体积就是它们占据空间的大小,掌握它 几何体的体积就是它们占据空间的大小, 几何体的体积就是它们占据空间的大小 们的体积公式及解有关问题的关键。 们的体积公式及解有关问题的关键。 2.对于台体、球体的公式,应强加记忆。 对于台体、球体的公式,应强加记忆。 对于台体 3.注意体积公式中量,以及各量的求法。 3.注意体积公式中量,以及各量的求法。 注意体积公式中量 4.三棱锥以任何一面都可以充当底面,在解题中 三棱锥以任何一面都可以充当底面, 三棱锥以任何一面都可以充当底面 要注意体会。 要注意体会。

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七、布置作业
课本第32页 练习A 课本第32页,练习A,1,2,3题,练习B,1,2,3 32 练习B 弹性作业: 弹性作业: 课本第32页 习题1 1A,习题1 课本第32页:习题1-1A,习题1-1B 32 优化设计,同步测控, 优化设计,同步测控,第 页,我夯基,我达标 我夯基,

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下课
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