tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

圆锥曲线竞赛考试题及答案


竞赛圆锥曲线专题阶段考试
(时间 120 分钟满分 140 分)
一 :填空题( 本题共 8 个小题,每题 8 分共计 64 分) 1.方程 6( x ? 4) ? 6( y ? 3) = | 2 x + y – 18 |所表示的曲线是
2 2

x2 y 2 ? ?1 6.若 a,b,c 成等差数列,则直线 ax+by+c =

0 被椭圆 2 8 截得

线段的中点的轨迹方程为 7.过直线 l :

y ? x ? 9 上的一点 P 作一个长轴最短的椭圆,使其焦点为
,则椭圆的方程为

F1 ? ?3,0? , F2 ?3,0?

2.过点 ( 2007,0) 的所有直线中,过两个有理点(纵坐标与横坐标都是有 理数的点)的直线条数为

a a 2 x 2 - y 2 =1 2 8 已知椭圆 的焦距是 4,则 a =

二:解答题(9 题 18 分,10 题 18 分,11 题 20 分,附加题 20 分共计 3.如图,从双曲线
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 引圆 x2 ? y 2 ? a2 的切线, 2 a b

76 分) 9(本题 18 分)设 F 是抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, A、B 为抛物线上异于原点
O 的两点,且满足 FA ? FB ? 0 .延长 AF、BF 分别交抛物线于点 C、D (如

切点为 T.延长 FT 交双曲线右支于 P 点若 M 为线段 FP 的中点,O 为坐 标原点,则 | MO | ? | MT | 与 b ? a 的大小关系为 图) .求四边形 ABCD 面积的最小值. 4. 对于每一个整数 n ,抛物线 y ? (n2 ? n) x2 ? (2n ? 1) x ? 1 与 x 轴交于两点 An , Bn , | An Bn 表示该两点间的距离,则 | | A1B1 | ? | A2 B2 | ? ? | A2008 B2008 | =

5.已知 ? ? (? , ? ) ,直线 l1 : x ? y 1 ? cos? ? b ? 0 ,直线 l 2 :

3 2

x sin ? ? y 1 ? cos? ? a ? 0 , l1 与 l 2 的位置关系是

10、 (本题 18 分)如图,椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,离心率
e? 2 ,过左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 A, A? 两点, AA? ? 4 。 2

附加题(本小题满分 20 分) x 2 y2 x 2 y2 ? ? 1 ? ? a ? b ? 0 设 A、 B 分别为椭圆 2 和双曲线 2 ? 2 ? 1 的公 a b2 a b 共的左、右顶点。P、Q 分别为双曲线和椭圆上不同于 A、B 的动点,且 满足 AP ? BP ? ? AQ ? BQ ?? ? R , ? ? 1? 。设直线 AP、 BP 、AQ 、BQ 的斜率分别为 k1、k2、k3、k4. (1)求证:k1+k2+k3+k4=0; ( 2 )设 F1 、 F2 分别为椭圆和双曲线的右焦点。若 PF2 // QF1 ,求 2 2 2 2 k1 ? k 2 ? k 3 ? k 4 的值。

(1)求该椭圆的标准方程; (2)取垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P, P? ,过 P, P? 作圆心 为 Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆 Q 外。若 PQ ? P?Q ,求圆 Q 的标准方 程。

?

?

竞赛圆锥曲线考试答案
1.椭圆 2. 解析: 显然直线 x ? 2007 上不存在有理点。假设斜率为 k 的直线

y ? k ( x ? 2007) 上存在两个不同的有理点 ( x1 , y1 )和( x2 , y 2 ) 。若 k ? 0, 则k ?

y 2 ? y1 x2 ? x1

11.(本题 20 分)已知抛物线 y 2 ? 4ax(a ? 0) 的焦点为 F,以点 A( a ? 4 , 0)为圆心, | AF | 为半径的圆在 x 轴的上方与抛物线交于 M、N 两点。 (1)求证:点 A 在以 M、N 为焦点,且过 F 的椭圆上。 (2) 设点 P 为 MN 的中点, 是否存在这样的 a, 使得 | FP | 是 | FM | 与 | FN | 的等差中项?如果存在,求 a 的值;如果不存在,说明理由。

必为有理数。由 y1 ? k ( x1 ? 2007) 可得 x1 ?

y1 ? 2007 ,此时等式左边是有理数而 k

右边是无理数,矛盾。另外当 k=0 时,对应的直线为 OX 轴,所以满足条件的直线有 且仅有 1 条。

3.. | MO | ? | MT |? b ? a

由根与系数的关系知: x1 ? x 2 ? 6. 2( x ? 1 ) 2 ? ( y ? 1) ? 1. 2 2
2

2k 2 ? 4 , x1 x2 ? 1 k2

……5 分

4.

2008 5.垂直 2009

2 (y1 ? y 2 ) 2 ? 1 ? k 2 (x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 于是 | AC |? (x1 ? x 2 ) ?

7.

x y ? ?1; 45 36

2

2

y Q P

? 1? k

2

? 2k 2 ? 4 ? 4(1 ? k 2 ) ? ? ? k2 ? ?4 ? k2 ? ?
1 , k

2

……10 分

l 解析:设直线 l 上的点为 P ? t , t ? 9? ,取 F 1 ? ?3,0 ? 关于直线 的
F1 O F2 x

又因为 AC ? BD ,所以直线 BD 的斜率为 ? 从而直线 BD 的方程为: y ? ?

对称点 Q ? ?9,6 ? ,据椭圆定义, 8

1? 5 4

1 ( x ? 1) ,同理可得 | BD |? 4(1 ? k 2 ) .……15 分 k

9.设 F 是抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, A、B 为抛物线上异于原点

故 S ABCD

1 8(1 ? k 2 ) 2 1 ? | AB | ? | CD |? ? 8(k 2 ? 2 ? 2) ? 8 ? (2 ? 2) ? 32 2 2 k k
……20 分

O 的两点,且满足 FA ? FB ? 0 .延长 AF、BF 分别交抛物线于点 C、D (如图) .求四边形
ABCD 面积的最小值.

当 k ? ?1 时等号成立.所以,四边形 ABCD 的最小面积为 32. 10、

9.解析:设 A(x1 , y1 )、C ( x2 , y 2 ) ,由题设知, 直线 AC 的斜率存在,设为 k . 因直线 AC 过焦点 F (1,0) ,所以,直线 AC 的方程为

y ? k ( x ? 1) .

联立方程组 ?

? y ? k ( x ? 1) 2 2 2 2 ,消 y 得 k x ? 2(k ? 2) x ? k ? 0 2 ? y ? 4x

11. 解 析 : ( 1) 因 为 点 A 的 坐 标 为 ( a ? 4 , 0) , 抛 物 线 y 2 ? 4ax(a ? 0) 的 焦 点 为
F( a, 0) , 准 线 为 l : x ? ?a , 所以 所以

| FA |? 4
以 A 为 圆 心 , |FA | 为 半 径 的 圆 在 x 轴 的 上 方 的 方 程 为

( x ? 0, y ? 0 ) ( x ? a ? 4) 2 ? y 2 ? 16 ,
2 ? ? y ? 4ax 由? 2 2 ? ?( x ? a ? 4) ? y ? 16, ( x ? 0, y ? 0)



x2 ? (2a ? 8) x ? a2 ? 8a ? 0
设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) ( 其 中 : xi , y i ( i ? 1, 2 ) 均 为 正 数 ) ,则有

x1 ? x2 ? 8 ? 2a, x1 x2 ? 8a
? x ? (2a ? 8) 2 ? 4(a 2 ? 8a) ? ?64a ? 64 ? 0 所以0 ? a ? 1
又 所以 抛物线上的点到焦点与准线的距离相等

| FM | ? | FN |?| x1 ? a | ? | x2 ? a |

? ( x1 ? a) ? ( x 2 ? a) ? ( x1 ? x 2 ) ? 2a
2 11.已知抛物线 y ? 4ax(a ? 0) 的焦点为 F,以点 A( a ? 4 ,0)为圆心, | AF | 为半径的圆在

?8
| MN |?| FM | ? | FN |? 8
因 为 点 F、 M、 N 均 在 ⊙ A 上 , 所 以 | AM |?| AN |?| AF |? 4 ,

x 轴的上方与抛物线交于 M、N 两点。 (1)求证:点 A 在以 M、N 为焦点,且过 F 的椭圆上。 (2) 设点 P 为 MN 的中点, 是否存在这样的 a, 使得 | FP | 是 | FM | 与 | FN | 的等差中项? 如果存在,求 a 的值;如果不存在,说明理由。

| AM | ? | AN |? 8
因 为 | AM | ? | AN |? 8, | FM | ? | FN |? 8 , 且 | MN |? 8 所 以 点 A 在 以 M、 N 为 焦 点 且 过 F 的 椭 圆 上 ( 2) 假 设 存 在 满 足 条 件 的 a, 则 有

所以 OP ? ? OQ ,O,P,Q 三点共线,于是得

x1 x 2 . ? y1 y 2

由①②得 kl+k2+k3+k4=0; ………………………………………(11 分)

x y (2) 由点 Q 在椭圆上,有 22 ? 22 =1. a b
由 OP ? ? OQ ,得(xl,y1)= ? (x2,y2).

2

2

2 | FP |?| FM | ? | FN |? 8 , 即 | FP |? 4
设 点 P 的 坐 标 为 ( x0 , y 0 ) ,则有

x ? x2 x0 ? 1 ? 4?a 2 y ? y2 y0 ? 1 ? a ( x1 ? x 2 ) 2
由 | FP |? 4 , 得

所以 x2=

1

?

x l,y2=

1

?

y l,从而
2

x1 y ? 12 = ? 2 2 a b
2

2

2



x y 又由点 P 在双曲线上,有 12 ? 12 =1 a b
由③④得



x1 ?

2

?2 ? 1
2
2

a 2 , y1 ?

2

?2 ? 1
2

b 2 ……………………(15 分)

(4 ? a ? a) ? a( x1 ? x2 ) ? 16
2 2

因为 PF2∥QF1,所以| OF2|= ? |OF1| ,所以

化 简 , 得 2a a 2 ? 8a ? ?2a(a ? 4) 所 以 a ? 0或a ? 1 , 与 0 ? a ? 1 矛 盾 故不存在满足条件的

a 2 ? b 2 x1 ?2 ? 1 a 2 a 4 ………………………………(18 分) ? ? 2 , ? 2 ? a ? b 2 y1 2 ? ?1 b2 b4
2

? ?

? ?

a , 即 不 存 在 a 值 , 使 得 点 P 为 MN 的 中 点 , 且 |FP | 是

|FM| 与 |FN | 的 等 差 中 项 。 12.解析:(1)设 P、Q 两点的坐标分别为 P(x1,y1),Q(x2,y2),则

由①得

?k 1 ? k 2 ?2 ? 4b4
a

4

?

x1 y1

2 2

? 4 .同理可得 ?k 3 ? k 4 ? ? 4 .另一方面,
2

y1 y1 2x1 y1 2b 2 x1 k1+k2= ? ? ? 2 ? x1 ? a x1 ? a x12 ? a 2 y1 a
2b 2 x 2 同理可得意 k3+k4= ? 2 ? y2 a


①……………(4 分)

klk2=

y1 y b2 b2 ? 1 ? 2 .类似地,k3k4= ? 2 . a x1 ? a x1 ? a a
2 2 2 2 2 2

…………………………(7 分)

故 k1 ? k 2 ? k 3 ? k 4 ? ?k1 ? k 2 ? ? ?k 3 ? k 4 ? -2(klk2+k3k4)=8 …(22 分)

设 O 为原点,则 2OP ? AP ? BP ? ? AQ ? BQ ? 2?OQ ,

?

?


推荐相关:

圆锥曲线竞赛考试题及答案

竞赛圆锥曲线专题阶段考试(时间 120 分钟满分 140 分)一 :填空题( 本题共 8 个小题,每题 8 分共计 64 分) 1.方程 6( x ? 4) ? 6( y ? 3) =...


江苏高考圆锥曲线专题

江苏高考圆锥曲线专题_学科竞赛_小学教育_教育专区。第 10 讲历年高考分析: 圆锥...(2)解答题中简单的直线椭圆位置关系问题; (3)以椭圆为背景考查直线方程、...


高中数学竞赛试题汇编八《圆锥曲线》讲义

高中数学竞赛试题汇编八《圆锥曲线》讲义_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛试题汇编八《圆锥曲线》 1. 设 F1 , F2 分别是双曲线 ? x2 y2 ? ? 1 ...


2013年理科全国各省市高考真题——圆锥曲线(解答题带答案)

2013年理科全国各省市高考真题——圆锥曲线(解答题带答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2013年理科全国各省市高考真题——圆锥曲线(解答题带答案)2013...


2007年全国高中数学联赛一、二试试题及答案

2007 年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案 一、选择题(本题满分 36 分,每...且离心率分别是 2c 2c 和 的圆锥曲线(当 r1=r2 时,O1O2 的中垂线是...


2007年全国高中数学联合竞赛一试试题及加试参考答案

且离 心率分别是 2c 2c 和 的圆锥曲线(当 r1=r2 时,O1O2 的中垂线是...二、(本题满分50分) 2007 年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案 5 http...


数学史知识点及复习题

数学史知识点及复习题_学科竞赛_小学教育_教育专区。...备选答案中,选出一个正确答案,并将正确答案的序号...下面的哪个问题时发现了圆锥曲线? ( ) A.不可公...


2007年全国高中数学联赛试题及解答(一试)

2007 年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案一、选择题(本题满分 36 分,每...且离心率分别是 2c 2c 和 的圆锥曲线(当 r1=r2 时,O1O2 的中垂线是...


北京2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编9:圆锥曲线

2012江苏省数学竞赛《提优... 暂无评价 10页 免费...圆锥曲线一、选择题 1 .(2013 北京东城高三二模...(2013 北京房山二模数学理科试题及答案)抛物线 C :...


直线和圆锥曲线竞赛专题精讲

直线和圆锥曲线竞赛专题精讲_学科竞赛_高中教育_教育专区。直线和圆锥曲线竞赛专题...13 【点评 点评】本小题主要考查轨迹的思想,求最小值的方法,考查综合运用...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com