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向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇


向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
一、四心的概念介绍 (1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成 2:1; (2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直; (3) 内心——角平分线的交点 (内切圆的圆心) 角平分线上的任意点到角两边的距离相等; : (4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心) :外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 (1) O

A ? OB ? OC ? 0 ? O 是 ? ABC 的重心. 证法 1:设 O ( x , y ), A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), C ( x 3 , y 3 )
? ( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ( x 3 ? x ) ? 0 ? ?( y1 ? y ) ? ( y 2 ? y ) ? ( y 3 ? y ) ? 0

OA ? OB ? OC ? 0 ?

x1 ? x 2 ? x 3 ? ?x ? ? 3 ? ? ? y ? y1 ? y 2 ? y 3 ? 3 ?

? O 是 ? ABC 的重心.

证法 2:如图
? OA ? OB ? OC

A

? OA ? 2 OD ? 0
? AO ? 2 OD ? A 、 O 、 D 三点共线,且 O 分 AD

O

E

为 2:1 ? O 是 ? ABC 的重心

B

D

C

(2) OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ? O 为 ? A B C 的垂心. 证明:如图所示 O 是三角形 ABC 的垂心,BE 垂直 AC,AD 垂直 BC, D、E 是垂足.
OA ? OB ? OB ? OC ? OB ( OA ? OC ) ? OB ? CA ? 0
? OB ? AC
O A

E

同理 OA ? BC , OC ? AB
? O 为 ? A B C 的垂心
B D C

(3)设 a , b , c 是三角形的三条边长,O 是 ? ABC 的内心
a OA ? b OB ? c OC ? 0 ? O 为 ? A B C 的内心.

证明:?
?

AB

AC 、 AC 分别为 AB 、 方向上的单位向量, c b

AB c

?

AC b

平分 ? BAC ,
AB c ? AC b

? AO ? ? (

),令 ? ?

bc a?b?c

?

AO ?

bc a?b?c



AB c

?

AC b

)

化简得 ( a ? b ? c ) OA ? b AB ? c AC ? 0
? a OA ? b OB ? c OC ? 0

(4) OA ? OB ? OC ? O 为 ? A B C 的外心。 典型例题: 例 1: O 是平面上一定点, A、 B、 C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足
OP ? OA ? ? ( AB ? AC ) , ? ? ?0 , ??

? ,则点 P 的轨迹一定通过 ? A B C 的(
D.垂心
A



A.外心 B.内心 C.重心 分析:如图所示 ? ABC , D 、 E 分别为边 BC 、 AC 的 中点.
? AB ? AC ? 2 AD

E
? OP ? OA ? 2 ? AD

? OP ? OA ? AP ? AP ? 2 ? AD

B

D

C

? AP // AD
? 点 P 的轨迹一定通过 ? A B C 的重心,即选 C .

例 2: (03 全国理 4)O 是平面上一定点,A 、 B 、 C 是平面上不共线的三个点, 动点 P 满足 OP ? OA ? ? ( A.外心 分析:?
AB AB 、 AC AC AB AB ? AC AC ) , ? ?0 , ?? ?

? , 则点 P 的轨迹一定通过 ? A B C 的 ( B )
C.重心 D.垂心

B.内心

AC 分别为 AB 、 方向上的单位向量,

?

AB AB

?

AC AC

平分 ? BAC ,

? 点 P 的轨迹一定通过 ? A B C 的内心,即选 B .

例 3: O 是平面上一定点, A、 B、 C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足
OP ? OA ? ? ( AB AB co s B ? AC AC co s C ) , ? ? ?0 , ??

? ,则点 P 的轨迹一定通过 ? A B C 的



) A.外心

B.内心

C.重心

D.垂心
A

分析:如图所示 AD 垂直 BC,BE 垂直 AC, D、E 是垂足.
( AB AB cos B AB ? BC AB cos B ? ? AC AC cos C AC ? BC AC cos C
B

) ? BC
E

=

D

C

? AB BC cos B

AC BC cos C ? AC cos C

=
AB cos B

= ? BC + BC =0
? 点 P 的轨迹一定通过 ? A B C 的垂心,即选 D .

练习: 1.已知 ? A B C 三个顶点 A 、 B 、 C 及平面内一点 P ,满足 PA ? PB ? PC ? 0 ,若实 数 ? 满足: AB ? AC ? ? AP ,则 ? 的值为( A.2 B.
3 2

) D.6 )

C.3

2. ? ABC 的外接圆的圆心为 O, 若 半径为 1,OA ? OB ? OC ? 0 , OA ? OB ? ( 则 A.
1 2

B.0

C.1

D. ?

1 2

3 . 点 O 在 ? ABC 内 部 且 满 足 OA ? 2 OB ? 2 OC ? 0 , 则 ? ABC 面 积 与 凹 四 边 形
ABOC 面积之比是(

) B.
3 2

A.0

C.

5 4

D.

4 3

4. ? ABC 的外接圆的圆心为 O,若 OH ? OA ? OB ? OC ,则 H 是 ? A B C 的( A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
2



5. O 是平面上一定点, A 、 B 、 C 是平面上不共线的三个点,若 OA
? CA
2

? BC

2

? OB

2

? OC

2

? AB

2

,则 O 是 ? A B C 的( B.内心

) D.垂心

A.外心

C.重心

? OH ? m ( OA ? OB ? OC ) , 6. ABC 的外接圆的圆心为 O, 两条边上的高的交点为 H,

则实数 m = → → → → AB AC AB AC 1 → → → 7. (06 陕西)已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0 且 · = , 则 → → → → 2 |AB| |AC| |AB| |AC| △ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 C.等腰非等边三角形 B.直角三角形 D.等边三角形
2

8.已知 ? A B C 三个顶点 A 、 B 、 C ,若 AB
? A B C 为(

? AB ? AC ? AB ? CB ? BC ? CA ,则

) A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.既非等腰又非直角三角形 练习答案:C、D、C、D、D、1、D、C


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