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海淀区12-13学年上学期高三期末考试数学(文)试卷及答案


北京市海淀区 2013 届高三第一学期期末考试数学(文)试 题
2013.1
本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合 题目要求的一项. 1. 复数

r />2 化简的结果为 1? i
B. ?1 ? i B. ?1 C. 1 ? i C. 1 D. ?1 ? i D. 2

A. 1 ? i A. ?2

2. 向量 a ? (1,1), b ? (2, t) , 若 a ? b , 则实数 t 的值为 3. 在等边 ?ABC 的边 BC 上任取一点 P ,则 S?ABP ? A.

1 3

B.

1 2

2 S?ABC 的概率是 3 2 5 C. D. 3 6

4.点 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上一点, P 到该抛物线焦点的距离为 4 ,则点 P 的横坐标为 A.2 B. 3 C. 4 D.5
开始 输入 p

5.某程序的框图如图所示, 执行该程序,若输入的 p 为 24 ,则输出 的 n , S 的值分别为 A. n ? 4, S ? 30 C. n ? 5, S ? 30 B. n ? 4, S ? 45 D. n ? 5, S ? 45

n ? 1,S ? 0
S?p
是 否

S = S + 3n n ? n ?1

输出 n ,S 结束

6.已知点 A( ?1,0), B(cos ? ,sin ? ) , 且 | AB |? 3 , 则直线 AB 的方程为 A. y ? 3x ? 3 或 y ? ? 3x ? 3 C. y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 7. 已知函数 f ( x) ? ? B. y ?

3 3 3 3 x? x? 或y?? 3 3 3 3

D. y ? 2 x ? 2 或 y ? ? 2 x ? 2

?sin x, sin x ? cos x, 则下面结论中正确的是 ?cos x, sin x ? cos x,

A. f ( x ) 是奇函数

B. f ( x ) 的值域是 [?1,1]

C. f ( x ) 是偶函数

D. f ( x ) 的值域是 [ ?

2 ,1] 2
D1 A1 B1 F D C1

8. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 E , F 分别是 棱 BC, CC1 的中点, P 是侧面 BCC1 B1 内一点,若 A1P / / 平面 AEF , 则线段 A1 P 长度的取值范围是
A

C E B

A. [1,

5 ] 2

B. [

3 2 5 , ] 4 2

C. [

5 , 2] 2

D. [ 2, 3]

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. tan 225? 的值为________. 10. 双曲线

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程为_____;离心率为______. 3 3

11. 数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列,且 a2 ? a6 ? a8 ,则

S5 ? _____ . a5

? x ? 0, ? 12. 不等式组 ? x ? y ? 3, 表示的平面区域为 ? , 直线 y ? kx ? 1 与区域 ? y ? x ?1 ?

D

4

? 有公共点,则实数 k 的取值范围为_________.
13. 三棱锥 D ? ABC 及其三视图中的主视图和左视图如 棱 BD 的长为______.
[

A

C

2 主视图

2

图所示, 则

2 3 左视图

B

, ? ?b a ?a ? b ? a, b, 定 义 a ? b ? ? a 14. 任 給 实 数 a ?b ? ?b , ?

0, ? 设 函 数 f ( x )? l nx 0.

x ,则

f ( 2? f )

1 ( =______;若 {an } 是公比大于 0 的等比数列,且 a5 ? 1 , ) 2
[

f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? f (a3 )? ? f (a7 ) ? f (a8)a1 , 则 a1 ? ___. =

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15. (本小题满分 13 分) 已 知 函 数 f ( x) ?
a, b, c,且 f ( A) ? 1 .

1 2 3 sinx cos ? cosx? , ?ABC 三 个 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 x 2

(I) 求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 7 , b ? 5 ,求 c 的值.

16. (本小题满分 13 分) 某汽车租赁公司为了调查 A, 两种车型的出租情况, B 现随机抽取这两种车型各 50 辆, 分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数,统计数据如下表: 出租天数 车辆数 出租天数 车辆数 A 型车 3 4 5 3 3 10 30 B 型车 4 10 5 15 6 10 7 5 5 6 7 7 5

(I) 试根据上面的统计数据,判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系(只 需写出结果) ; (Ⅱ)现从出租天数为 3 天的汽车(仅限 A,B 两种车型)中随机抽取一辆,试估计这辆汽 车是 A 型车的概率; (Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要购买一辆汽车,请你根据 所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由.

17. (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?BAC ? 90? ,
B1 A1 C1

AB ? AC ? AA1 ,且 E 是 BC 中点.
(I)求证: A1B / / 平面 AEC1 ; (Ⅱ)求证: B1C ? 平面 AEC1 .
B A E C

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 1 x ? 与函数 g ( x ) ? a ln x 在点 (1,0) 处有公共的切线,设 2 2

F ( x ) ? f ( x ) ? mg ( x) ( m ? 0) .
(I) 求 a 的值 (Ⅱ)求 F ( x ) 在区间 [1,e] 上的最小值. .

19. (本小题满分 14 分)

x2 y2 ? ? 1( a ? 0) 的一个焦点为 F ( ?1,0) ,左右顶点分别为 A , B . a2 3 经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C , D 两点. (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)当直线 l 的倾斜角为 45? 时,求线段 CD 的长;
已知椭圆 M : (Ⅲ)记 ?ABD 与 ?ABC 的面积分别为 S1 和 S2 ,求 | S1 ? S2 | 的最大值.

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,若 y ? “一阶比增函数”. (Ⅰ) 若 f ( x) ? ax 2 ? ax 是“一阶比增函数”,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ) 若 f ( x ) 是“一阶比增函数”,求证: ?x1 , x2 ? (0, ??) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ; (Ⅲ)若 f ( x ) 是“一阶比增函数”,且 f ( x ) 有零点,求证: f ( x ) ? 2013 有解.

f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数,则称 f ( x ) 为 x

海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学 (文) 2013.1

参考答案及评分标准
说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)

题号 答案

1 A

2 A

3 C

4 B

5 C

6 B

7 D

8 B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 30 分) 9.1 12. [3, ??) 10. y ? ? x; 13. 4 2

2

11. 3 14.0;

e

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (I)因为 f ( x) ? 3sin x cos x ? cos2 x ?

1 2

3 1 sin 2 x ? cos 2 x 2 2 π ? sin(2 x ? ) 6 π 又 f ( A) ? sin(2 A ? ) ? 1 , A ? (0, ? ) , 6 π π 7π π π π 所以 2 A ? ? (? , ) , 2 A ? ? , A ? 6 6 6 6 2 3 2 2 2 (Ⅱ)由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ?
得到 49 ? 25 ? c2 ? 2 ? 5c cos

??????6 分 ??????7 分 ??????9 分

π ,所以 c 2 ? 5c ? 24 ? 0 3

??????11 分

解得 c ? ?3 (舍)或 c ? 8 ??????13 分 所以 c ? 8 16. (本小题满分 13 分) 解: (I)由数据的离散程度可以看出,B 型车在本星期内出租天数的方差较大

??????3 分 (Ⅱ)这辆汽车是 A 类型车的概率约为

出租天数为3天的A型车辆数 3 3 ? ? 出租天数为3天的A,B型车辆数总和 10 ? 3 13
这辆汽车是 A 类型车的概率为

3 13

??????7 分

(Ⅲ)50 辆 A 类型车出租的天数的平均数为

xA ?

3 ? 3 ? 4 ? 30 ? 5 ? 15 ? 6 ? 7 ? 7 ? 5 ? 4.62 50 3 ? 10 ? 4 ? 10 ? 5 ? 15 ? 6 ? 10 ? 7 ? 5 ? 4.8 50

??????9 分

50 辆 B 类型车出租的天数的平均数为

xB ?

??????11 分

答案一: 一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为 4.62, 类车型一个星期 B 出租天数的平均值为 4.8,选择 B 类型的出租车的利润较大,应该购买 B 型车 ??????13 分 答案二: 一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为 4.62, 类车型一个星期 B 出 租 天 数 的 平 均 值 为 4.8 , 而 B 型 车 出 租 天 数 的 方 差 较 大 , 所 以 选 择 A 型 车 ??????13 分 17. (本小题满分 14 分) 解:(I) 连接 A1C 交 AC1 于点 O ,连接 EO 因为 ACC1 A1 为正方形,所以 O 为 A1C 中点 又 E 为 CB 中点,所以 EO 为 ?A1BC 的中位线, 所以 EO / / A1B 又 EO ? 平面 AEC1 , A1B ? 平面 AEC1 所以 A1B / / 平面 AEC1 (Ⅱ)因为 AB ? AC ,又 E 为 CB 中点,所以 AE ? BC 又因为在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, BB1 ? 底面 ABC , 又 AE ? 底面 ABC , 所以 AE ? BB1 , 又因为 BB1 ? BC ? B ,所以 AE ? 平面 BCC1 B1 , ??????6 分 ??????8 分 ??????3 分

又 B1C ? 平面 BCC1 B1 ,所以 AE ? B1C 在矩形 BCC1 B1 中, tan ?CB1C1 ? tan ?EC1C ? 所以 ?CB1C1 ? ?EC1B ? 90 ,即 B1C ? EC1
?

??????10 分

2 ,所以 ?CB1C1 ? ?EC1C , 2
??????12 分 ??????14 分

又 AE ? EC1 ? E ,所以 B1C ? 平面 BCC1 B1 18. (本小题满分 13 分) 解: (I)因为 f (1) ? g (1) ? 0, 所以 (1,0) 在函数 f ( x ), g ( x ) 的图象上 又 f '( x) ? x, g '( x) ? 所以 a ? 1 (Ⅱ)因为 F ( x) ?

a ,所以 f '(1) ? 1, g '(1) ? a x
??????3 分

1 2 1 x ? ? m ln x ,其定义域为 {x | x ? 0} 2 2 2 m x ?m F '( x ) ? x ? ? x x m x2 ? m ?0, 当 m ? 0 时, F '( x ) ? x ? ? x x 所以 F ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增 所以 F ( x ) 在 [1,e] 上最小值为 F (1) ? 0
当 m ? 0 时,令 F '( x ) ? x ?
2

??????5 分

??????7 分

m x ?m ? ? 0 ,得到 x1 ? m ? 0, x2 ? ? m ? 0 (舍) x x

当 m ? 1 时,即 0 ? m ? 1 时, F '( x ) ? 0 对 (1,e) 恒成立, 所以 F ( x ) 在 [1,e] 上单调递增,其最小值为 F (1) ? 0 ??????9 分 当 m ? e 时,即 m ? e2 时, F '( x ) ? 0 对 (1,e) 成立, 所以 F ( x ) 在 [1,e] 上单调递减, 其最小值为 F (e) ? e2 ?

1 2

1 ?m 2

??????11 分

当 1 ? m ? e ,即 1 ? m ? e 2 时, F '( x ) ? 0 对 (1, m ) 成立, F '( x ) ? 0 对 ( m ,e) 成立 所以 F ( x ) 在 (1, m ) 单调递减,在 ( m ,e) 上单调递增 其最小值为 F ( m ) ? 综上,当 m ? 1 时,

1 1 1 1 m m ? ? m ln m ? m ? ? ln m ???13 分 2 2 2 2 2 F ( x ) 在 [1,e] 上的最小值为 F (1) ? 0 1 1 m m ? ? ln m 2 2 2

当 1 ? m ? e 2 时, F ( x ) 在 [1,e] 上的最小值为 F ( m ) ?

当 m ? e2 时, 19. (本小题满分 14 分)

1 1 F ( x ) 在 [1,e] 上的最小值为 F (e) ? e2 ? ? m . 2 2

解: (I)因为 F ( ?1,0) 为椭圆的焦点,所以 c ? 1, 又 b2 ? 3,

x2 y2 ? ?1 4 3 (Ⅱ)因为直线的倾斜角为 45? ,所以直线的斜率为 1, 所以直线方程为 y ? x ? 1 ,和椭圆方程联立得到
所以 a 2 ? 4, 所以椭圆方程为

??????3 分

? x2 y2 ?1 ? ? ,消掉 y ,得到 7 x 2 ? 8 x ? 8 ? 0 3 ?4 ? y ? x ?1 ?
所以 ? ? 288, x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 所以 | CD |? 1 ? k | x1 ? x2 |?
2

??????5 分

8 7

8 7
??????7 分

24 7

(Ⅲ)当直线 l 无斜率时,直线方程为 x ? ?1 , 此时 D(?1, ), C(?1, ? ) ,

当直线 l 斜率存在(显然 k ? 0 )时,设直线方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) , 设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y2 )

3 2

3 2

?ABD, ?ABC 面积相等,| S1 ? S2 |? 0

??????8 分

? x2 y2 ?1 ? ? 和椭圆方程联立得到 ? 4 ,消掉 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 3 ? y ? k ( x ? 1) ?
显然 ? ? 0 ,方程有根,且 x1 ? x2 ? ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x1 x2 ? ??????10 分 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

此时 | S1 ? S2 |?| 2 || y2 | ? | y1 ||? 2 | y2 ? y1 | ? 2 | k ( x2 ? 1) ? k ( x1 ? 1) |

? 2 | k ( x2 ? x1 ) ? 2k |?
因为 k ? 0 ,上式 ?

12 | k | 3 ? 4k 2

??????12 分

12 3 ?4|k | |k |

?

12 12 3 ? ? 3, k ?? ( 时等号成立) 2 3 2 12 2 ?4 | k | |k |
??????14 分

所以 | S1 ? S2 | 的最大值为 3

20. (本小题满分 13 分) 解: (I)由题 y ?

f ( x ) ax 2 ? ax ? ? ax ? a 在 (0, ??) 是增函数, x x

由一次函数性质知 当 a ? 0 时, y ? ax ? a 在 (0, ??) 上是增函数, 所以 a ? 0 (Ⅱ)因为 f ( x ) 是“一阶比增函数” ,即 ??????3 分

f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数, x

又 ?x1 , x2 ? (0, ??) ,有 x1 ? x1 ? x2 , x2 ? x1 ? x2 所以

f ( x1 ) f ( x1 ? x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ) , ? ? x1 x1 ? x2 x2 x1 ? x2

??????5 分

所以 f ( x1 ) ?

x f ( x1 ? x2 ) x1 f ( x1 ? x2 ) , f ( x2 ) ? 2 x1 ? x2 x1 ? x2
x1 f ( x1 ? x2 ) x2 f ( x1 ? x2 ) ? ? f ( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x1 ? x2
??????8 分

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) (Ⅲ)设 f ( x0 ) ? 0 ,其中 x0 ? 0 . 因为 f ( x ) 是“一阶比增函数” ,所以当 x ? x0 时,

f ( x ) f ( x0 ) ? ?0 x x0

法一:取 t ? (0, ??) ,满足 f (t ) ? 0 ,记 f (t ) ? m 由(Ⅱ)知 f (2t ) ? 2m ,同理 f (4t ) ? 2 f (2t ) ? 4m , f (8t ) ? 2 f (4t ) ? 8m 所以一定存在 n ? N* ,使得 f (2n t ) ? 2n ? m ? 2013 , 所以 f ( x ) ? 2013 一定有解 法二:取 t ? (0, ??) ,满足 f (t ) ? 0 ,记 因为当 x ? t 时, 只要 x ? ??????13 分

f (t ) ?k t

f ( x ) f (t ) ? ? k ,所以 f ( x ) ? kx 对 x ? t 成立 x t

2013 ,则有 f ( x ) ? kx ? 2013 , k 所以 f ( x ) ? 2013 一定有解

??????13 分


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