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2010届上海市十三校高三第一次联考数学试题2


上海市十三校 2010 届高三第一次联考
数 学 试 题(文)
一、填空题(本大题满分 56 分,共 14 小题,每小题满分 4 分) 1.已知集合 A ? {( x, y) | y ? x 2 ? 2x}, B ? {( x, y) | y ? 0}, 则A ? B = 2.函数 y ? arccos(x 2 ? 1) 的定义域为 3.函数 y ? ( )

。 。 。 。 ________ 。 ____ 。

1 8

? x?2

的值域是

4.函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的单调减区间为 5.不等式 (| x | ? x)(sin x ? 2) ? 0 的解集为 6.在等差数列 {an } , a5 ? 3, a6 ? ?2, 则a4 ? a5 ? ? ? a10 ? 中

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7.若方程 x 2 ? 2x ? lg(2a 2 ? a) ? 0 有一个正根和一个负根,则实数 a 的取值范围是

________ 。

8.若二次函数 f ( x) ? ax2 ? 2x ? c( x ? R)的值域为0,??? ,则 f (1) 的最小值为 __________ 。 ?

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9.已知定义在 R 上的函数 f (x) ,都有 f ( x ? 2) ? ? f ( x) 成立,设 an ?? f (n) ,则数列 {an } 中值不同 的项最多有 _____ 项。
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10.设函数 f (x) 在 R 上有定义,下列函数: ① y ? ? | f ( x) | ; 其中偶函数的有 11.设 S n ? ② y ?| x | ? f ( x 2 ) ; ③ y ? ? f (? x); ④ y ? f ( x) ? f ( ? x)

_____(写出所有正确的序号) _____ 。

1 1 1 1 3 ? ? ??? (n ? N * ),且S n ?1 ? S n ? 2 ? , 则 n 的值是 2 6 12 n(n ? 1) 4



12.用数学归纳法证明: (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? (n ? n) ? 等式左边与 n=k 时的等式左边的差等于 13.已知 an ? 2 14.从数列 {
? n?3

n(3n ? 1) (n ? N * ) 的第二步中,当 n ? k ? 1 时 2
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_



, bn ? 2n?1 , 则满足an bn ? 1 ? an ? bn 的正整数 n 的值为

__



1 1 }( n ? N * ) 中可以找出无限项构成一个新的等比数列 {bn } ,使得该新数列的各项和为 , n 7 2

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则此数列 {bn } 的通项公式为

二、选择题(本大题满分 16 分,共 4 小题,每小题满分 4 分)

? 15. “a=1”是“函数 f ( x) ?| x ? a | 在区间 ? ?,1?上为减函数”的
1

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
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16. Rt?POB中, ?PBO ? 90?, 以 O 为圆心,OB 为半径作圆弧交 OP 于点 A,若弧 AB 等分 ?POB 的面积, 且 ?AOB ? ? 弧度,则 A. tan ? ? ? C. sin ? ? 2 cos ? B. tan ? ? 2? D. 2 sin ? ? cos ?

17.设函数 f ( x) ? ( x 2 ? 10x ? c1 )(x 2 ? 10x ? c2 )(x 2 ? 10x ? c3 )(x 2 ? 10x ? c4 )(x 2 ? 10x ? c5 ) 设集合 M ? {x | f ( x) ? 0} ? {x1 , x2 ,? x9 } ? N * , 设c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? c5 ,则 c1 ? c5 为 A.20 B.18 C.16 D.14
a
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18.设实数 a1 , a2 , a3 , a4 是一个等差数列,且满足 1 ? a1 ? 3, a3 ? 4 。若定义 bn ? 2 n ,给出下列命题: (1) b1 , b2 , b3 , b4 是一个等差数列: (2) b1 ? b2 ; (5) b2 : b4 ? 256. 其中真命题的个数为 A.2 B.3
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(3) b2 ? 4 ;

(4) b4 ? 32 ;

C.4

D.5

三、解答题(本大题满分 78 分,共 5 小题) 19. (本题满分 14 分)

在 ?ABC 中,a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 所对边的长,已知 tan B ? 求边 AB 的长与 ?ABC 的面积。 20. (本题满分 14 分)
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3, cos C ?

1 ,b ? 3 6 。 3

某农村在 2003 年底共有人口 1500 人,全年农业生产总值为 3000 万元,从 2004 年起计划 10 年内该

x 要的总产值每年增加 50 万元, 人口每年净增 a 人。 设从 2004 年起的第 x 年年底 (2004 年为第一年, ? N )
*

该村人均产值为 y 万元。

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(1)写出 y 与 x 之间的函数关系式;

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(2)为使该村的人均产值年年都有增长,那么该村每年人口的净增量不能超过多少人? 21. (本题满分 16 分) 已知定义在区间 [ ?? ,

3? ? ? ] 上的函数 y ? f (x) 图像关于直线 x ? 对称, x ? 时,f ( x) ? ? sin x. 当 2 4 4
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(1)作出 y ? f (x) 的图像;

(2)求 y ? f (x) 的解析式;

(3)当 a ? [?1,1] 时,讨论关于 x 的方程 f ( x) ? a 的解的个数。

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2

22. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?

a ? 2x ? a2 ? 2 ( x ? R, x ? 0) ,其中 a 为常数,且 a ? 0. 2x ? 1
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(1)若 f (x) 是奇函数,求 a 的取值集合 A;

(2)当 a=-1 时, 求 f (x) 的反函数;

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(3)对于问题(1)中的 A,当 a ? {a | a ? 0, a ? A} 时,不等式 x 2 ? 10x ? 9 ? a( x ? 4) 恒成立,求 x 的取值范围。
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23. (本题满分 18 分) 已知函数 f ( x) ? kx ? m,当x ? [a1 , b1 ] 时, f (x) 的值域为 [a2 , b2 ] ,当 x ? [a2 , b2 ] 时,

f (x) 的值域为 [a3 , b3 ] ,依次类推,一般地,当 x ? [an?1 , bn?1 ] 时, f (x) 的值域为 [an , bn ] ,其中 k、m
为常数,且 a1 ? 0, b1 ? 1.
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(1)若 k=1,求数列 {an },{bn } 的通项公式; (2)项 m=2,问是否存在常数 k ? 0 ,使得数列 {bn } 满足 lim bn ? 4 ? 若存在,求 k 的值;若不存在,
n ??

请说明理由;

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(3)若 k ? 0 ,设数列 {an },{bn } 的前 n 项和分别为 Sn,Tn,求 T2010 ? S 2010 .

参考答案
一、填空题 1.{(0,0) (2,0)} 4. [2k? ? 7. (? 2. [? 2 , 2 ] 5. (0,??) 8.4 11.5 14。 bn ? ( ) 3. (0,??) 6.-49 9.4 12.3k+2`

?
4

,2k? ?

5? ]( k ? Z ) 4

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1 1 ,0) ? ( ,1) 2 2

10.②④ 13.2 二、选择题 15.A 三、解答题 16.B

1 8

n

17.C

18.C

3

19.解:在 ?ABC中,因为tan B ?

1 3 2 2 , 3, cosC ? , 则sin B ? , sin C ? 1 ? cos2 C ? 3 2 3

由正弦定理

c b c 3 6 ,解得 c=8,即 AB=8。又 A+B+C=π , ? 得 ? sin C sin B 2 2 3 3 2
1 2 2? 3 , 则 sin A ? , 2 6

则 sin A ? sin(C ? B) ? sin C cos B ? cosC sin B ,因 cos B ?

S ?ABC ?

1 bcs sin A ? 6 2 ? 8 3. 2



20. (1) 解: 由题意得, x 年总产值为 第 (3000+50x) 万元,人口数为 1500+ax, y ? f ( x) ? 则

3000 ? 50 x , 10 ? ax 50

x ? [1,10], x ? N * .考资源网
(2)由题意得,任取 x1 , x2 ? [1,10], x1 ? x2 ,

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

3000? 50x2 3000? 50x1 ( x2 ? x1 )(50 ? 1500? 3000a) ? ? ? 0 恒成立, 1500? ax2 1500? ax1 (1500? ax2 )(1500? ax1 )

则 50?1500? 3000 , 得a ? 25, 因 a 是自然数,则该每年人口的净增量不能超过 24 分。 a 方法二:由题意得, f ( x ? 1) ? f ( x) ? 0, x ? [1,9], x ? N * 恒成立. 又 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 0 ?

3000? 50( x ? 1) 3000? 50x ? ,所以 3000 ? 1500? 50得a ? 25, 因 a 是自 a 1500? a( x ? 1) `500 ? ax

然数,则该每年人口的净增量不能超过 24 分。 21.解: (1) y ? f (x) 的图像如图所示。(略) (2)任取 x ? [?? , 则 f ( x) ? f ( 资源网

?
4

], 则

?

?
2

? 3? ? ? x ? [ , ], 因函数 y ? f ( x) 图像关于直线 x ? 对称, 2 4 2 4
?
4 时, f ( x) ? ? sin x, 则f ( x) ? f (

? x) ,又当 x ?

?

2

? x) ? ? sin(

?

2

? x) ? ? cos x .高考资

? ?? ? ?? cos x, x ? ?? ? , 4 ? ? ? ?. 即 f ( x) ? ? ?? sin x, x ? [ ? , 3? ] ? 4 2 ?
(3)当 a ? (?1,?

? 2 ? 2 2 )时, 方程 4 解.当 a ? ? 时, 方程 3 解。当 a ? ? ? ? 2 ,1? ? {?1}时,. 方程 2 解。 2 2 ? ?
2

22.解: (1)由必要条件 f (?1) ? f (1) ? 0得a ? a ? 2 ? 0, a ? 0, 所以 a=-1,下面证充分性:
4

1? 2x 1 ? 2?x 1 ? 2 x 2 x ? 1 当 a=-1 时, f ( x) ? ,任取 x ? 0, x ? R , f (? x) ? f ( x) ? ? ? ? 0 恒成 1? 2x 1 ? 2?x 1 ? 2 x 2 x ? 1
立,由 A={-1}。 (2)当 a=-1 时, f ( x) ?

1? 2x , 其值域是(??,?1) ? (1,??) . 1? 2x

得 x ? log2

y ?1 x ?1 , 互换x, y得f ?1 ( x) ? log2 , x ? (??,?1) ? (1,??) . y ?1 x ?1

(3)原问题转化为 g (a) ? ( x ? 4)a ? ( x 2 ? 10x ? 9) ? 0, a ?{a | a ? 0, a ? ?1, a ? ?4} 恒成立,则

?x ? 4 ? 0 ?x ? 4 ? 0 或? ,则 x 的取值范围为[,4]. ? ? g (0) ? 0 ? g (0) ? 0
23.解: (1)因为 f ( x) ? x ? m,当x ? [an?1 , bn?1 ]时, f ( x)为单调增函数 所以其值域 , 为 [an?1 ? m, bn?1 ? m] .于是 an ? an?1 ? m, bn ? bn?1 ? m(n ? N * , n ? 2) . 又 a1 ? 0, b1 ? 1, 所以an ? (n ? 1)m, bn ? 1 ? (n ? 1)m. (2)因为 f ( x) ? x ? mf ( x) ? kx ? m(k ? 0),当x ? [an?1 , bn?1 ]时, f ( x)为单调增函数 所以 f ( x)的值域为 kan?1 ? m, kbn?1 ? m],因m ? 2, 则bn ? kbn?1 ? 2(n ? 2) . [ 假设存在常数 k ? 0 ,使得数列 {bn }满足 lim bn ? 4, 则 lim bn ? k lim bn ?1 ? 2 ,
n ?? n ?? n ??

得 4 ? 4k ? 2, 则k ?

1 符合。高 2
n??

方法二:假设存在常数 k>0,使得数列 {bn } 满足 lim bn ? 4. 当 k=1 不符合。

2 2 ? k (bn ?1 ? )( n ? 2) , k ?1 k ?1 2 2 2 1 )k n ?1 ? , 当 0 ? k ? 1时, lim bn ? ? 4, 得k ? 符合. 则 bn ? (1 ? n ?? k ?1 k ?1 1? k 2
当 k ? 1时, bn ? kb n ?1 ? 2(n ? 2) ? bn ? (3)因为 k ? 0,当x ? [an?1 , bn?1 ]时, f ( x)为单调减函数 所以 f (x) 的值域为 [kbn?1 ? m, kan?1 ? m] , 于是 an ? kbn?1 ? m, bn ? kan?1 ? m(n ? N , n ? 2) ,则 bn ? an ? ?k (bn?1 ? an?1 ) ,又 b1 ? a1 ? 1
*

则有 T2010 ? S 2010

, ?2010 (k ? ?1) ? 2010 ? ?1 ? k . , (k ? 0, k ? ?1) ? 1? k) ?

5


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