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江苏省淮安市2015届高三数学第五次模拟考试试题


淮安市 2014—2015 学年度高三年级信息卷 数 学 试 题
数学Ⅰ 必做题部分

(本部分满分 160 分,时间 120 分钟)

注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题) 。本卷满分为 160 分,考试时 间为 120 分钟

。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题 卡的规定位置。 3.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其它位置作答 一律无效。 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等加黑、加粗。

1 参考公式:锥体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 是锥体的底面面积, h 是高. 3 一、填空题:本题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡上 . ....

1.已知集合 A ? ?1, 2,3, 4? ,集合 B ? ?x | x ≤ a, a ? R? ,若 A ? B ? ? ??,5? ,则 a 的值是 ▲ . 2.若复数

a?i 是实数( i 为虚数单位) ,则实数 a 的值是 1? i





3.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四 个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为 N,其中甲社区有驾驶员 36 人.若在甲、 乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,42,则这四个社区驾驶员的总人数 N 为 ▲ .
2

开始

4.若抛物线 y ? 8ax 的焦点与双曲线 合,则双曲线的离心率为 ▲ . 5.如右图所示的流程图的运行结果是

x ? y 2 ? 1的右焦点重 2 a
▲ .

2

a ? 5, S ? 1

S ? S ?a a ? a ?1

a≥ 4 Y

N
输出S

6.某校有 A, B 两个学生食堂,若 a , b, c 三名学生各自随机选择其 中的一个食堂用餐,则三人不在同一个食堂用餐的概率为 ▲ . 7.在 ?ABC 中,若 a ? 2, b ? 2 3, B ?

结束

?
3

,则 ?ABC 的面积为 ▲ .

第 5 题图

8.已知正四棱锥的底面边长是 3 2 ,侧棱长为 5,则该正四棱锥的体积为 ▲ .
1

9.已知 sin ? ?

1 ? cos 2? 的值为 ? cos? ,且 ? ? (0, ) ,则 ? 2 2 sin(? ? ) 4
3 2





10. 已知函数 f ( x) ? x ? x ? mx ? 2 , 若对任意 x1 , x2 ? R , 均满足 (x1 ? x2) ? f (x1) ? f (x2 )? ? 0 , 则实数 m 的取值范围是 ▲ .

11.已知 ? O : x2 ? y 2 ? 1.若直线 y ? k x ? 2 上总存在点 P ,使得过点 P 的 ? O 的两条切线互 相垂直,则实数 k 的最小值为__▲__. 12. 已知 ?an ? ,?bn ? 均为等比数列, 其前 n 项和分别为 S n , Tn , 若对任意的 n ? N* , 总有 则

S n 3n ? 1 , ? Tn 4

a3 ? b3





13.已知正△ ABC 的边长为1,点 G 为边 BC 的中点,点 D, E 是线段 AB, AC 上的动点, DE 中点 ???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? 为 F .若 AD ? ? AB , AE ? (1 ? 2? ) AC (? ? R) ,则 FG 的取值范围为 ▲ . 14.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? (2b ? 1) x ? a ? 2 在区间 [3, 4] 上至少有一个零点,则 a ? b 的最
2 2

小值为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、 ....... 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 函数 f ( x) ? cos( πx ? ? )(0 ? ? ? (1)求出 ? 及图中 x0 的值; (2)求 f ( x) 在区间 [? , ] 上的最大值和最小值. 16. (本题满分14分) 如图,边长为 2 的正方形 ABCD 是圆柱的中截面,点 E 为线段 BC 的中点,点 S 为圆柱的下 底面圆周上异于 A , B 的一个动点. (1)在圆柱的下底面上确定一定点 F ,使得 EF // 平面 ASC ; (2)求证:平面 ASC ? 平面 BSC .
y 3 2

π ) 的部分图象如图所示. 2

O

x0

x

1 1 2 3

第 15 题图

D

C

E A
S 第 16 题图
2

B

17. (本小题满分 14 分) 如图, 有一景区的平面图是一半圆形, 其中 AB 长为 2km, C、 D 两点在半圆弧上, 满足 BC=CD. 设

?C O B ?? .
(1)现要在景区内铺设一条观光道路,由线段 AB、BC、CD 和 DA 组成,则当 θ 为何值时,观 光道路的总长 l 最长,并求 l 的最大值. (2) 若要在景区内种植鲜花, 其中在 ?AOD 和 ?BOC 内种满鲜花, 在扇形 COD 内种一半面积的鲜花,则当 θ 为何值时,鲜花 种植面积 S 最大.
B O A C D

第 17 题图

18. (本小题满分 16 分) . 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的左,右顶点分别为 a 2 b2

A1 ? 2,0 , A2

?

? ?

2,0 ,若直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 上有且仅有一个点 M ,使得 ?F1MF2 ? 90? .

?

⑴ 求椭圆 C 的标准方程; ⑵ 设圆 T 的圆心 T ? 0, t ? 在 x 轴上方,且圆 T 经过椭圆 C 两焦点.点 P , Q 分别为椭圆 C 和圆 T 上的一动点.若

??? ? ??? ? 5 ,求实数 t 的值. PQ ? QT ? 0 时, PQ 取得最大值为 2

第 18 题图

3

19. (本小题满分 16 分)

1 已知函数 f ( x) 满足 f ( x) ? 2 f ( x ? 2) , 且当 x ? ? 0, 2? 时,f ( x) ? ln x ? ax (a ? ? ) , 当 x ?? 4 ,2 ?? 2
时, f ( x) 的最大值为 ?4 . (1)求实数 a 的值;

?

1 ( 2)设 b ? 0 ,函数 g ( x) ? bx3 ? bx , x ? ?1, 2? .若对任意 x1 ? ?1, 2 ? ,总存在 x2 ? ?1, 2 ? ,使 3
f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,求实数 b 的取值范围.

20. (本小题满分 16 分) 在数列 ?an ? , ?bn ? 中,已知 a1 ? 2 , b1 ? 4 ,且 an , ?bn , an ?1 成等差数列, bn , ? an , bn ?1 也成等差数列. (1)求证: ?an ? bn ? 是等比数列; (2)设 m 是不超过 100 的正整数,求使

an ? m a ?4 ? m 成立的所有数对 (m, n) . an?1 ? m am?1 ? 4

4

淮安市 2014—2015 学年度高三年级信息卷 数 学 试 题 2015.5 数学Ⅱ 附加题部分

注意事项 1. 本试卷共 2 页,均为非选择题(第 21 题~第 23 题,共 4 题) 。本卷满分为 40 分,考试时间为 30 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2. 作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其它位置作答一 律无效。 21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题 ,并在相应的答题区域内作答 .若 ....... ............ 多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.(选修 4—1:几何证明选讲(本小题满分 10 分) 如图,已知 AB 是⊙ O 的直径, AC 是⊙ O 的弦, ?BAC 的 平分线 AD 交⊙ O 于 D ,过点 D 作 DE ? AC 交 AC 的延长线 E C F A O B D

AC 3 AF ? ,求 于点 E , OE 交 AD 于点 F .若 的值. FD AB 5

B.选修 4—2:矩阵与变换(本小题满分 10 分) 已知矩阵 A= ?

第 21-A 题图

?a b? ?1? ,若矩阵 A 属于特征值-1 的一个特征向量为 α 1= ? ? ,属于特征值 4 ? ? 2 1? ? ?1? ? 3? -1 的一个特征向量为 α 2= ? ? .求矩阵 A,并写出 A 的逆矩阵 A . 2 ? ?
C.选修 4—4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)
? x ? t cos ? ? m x ? 5 cos? 已知直线 l:? (t 为参数)恒经过椭圆 C:? (? 为参数)的右焦点 F. ? ? y ? t sin ? ? y ? 3 sin ?

(1)求 m 的值; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求 FA? FB 的最大值与最小值.

D.选修 4—5:不等式选讲(本小题满分 10 分)

y 已知 x,y,z 均为正数.求证: x + + z ≥1 + 1 + 1 . yz zx xy x y z

【必做题】第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应 .......
5

写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,已知三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M、N 分别是 CC1、

BC 的中点,点 P 在直线 A1B1 上,且满足 A1 P ? ? A1 B1 ( ? ? R) .
(1)证明:PN⊥AM; (2)若平面 PMN 与平面 ABC 所成的角为 45°,试确定点 P 的位置.

第 22 题图

23.在自然数列 1,2,3,?, n 中,任取 k 个元素位置保持不动,将其余 n ? k 个元素变动位置,得到 不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为 P n ?k ? . ⑴ 求 P3 ?1? ; ⑵ 求

? P ?k ? ;
k ?0 4

4

⑶ 证明

? kPn ? k ? ? n? Pn?1 ? k ? ,并求出 ? kPn ? k ? 的值.
k ?0 k ?0 k ?0

n

n ?1

n

6

淮安市 2014—2015 学年度高三年级第一次调研测试 数学试题参考答案与评分标准 数学Ⅰ部分 一、填空题: 1.5
14 2

2.1

3.300

4.2

5.20

6. 3 4 13. ? ,

7. 2 3

8.24

9. ?

10. ? , ?? ?

?1 ?3

? ?

11.1

12.9

?1

?2

7? ? 4 ?

14.

1 100

二、解答题: 15. (1)由图可知,当 f ? 0 ? ? f ? x0 ? ?
3 3 3 ,sin ?? x0 ? ? ? ? ,即 sin ? ? ,………………2 分 2 2 2

π 5 ? ?? 又 ? ? ? 0, ? , x0 ? 0 ,所以 ? ? . x0 ? .…………………………………………………6 分 6 3 ? 2?
(2)由(1)可知: f ( x ) ? cos( πx ? 所以 当 πx ? 当 πx ?

π 1 1 π π π ) .因为 x ? [? , ] ,所以 ? ≤ πx ? ≤ . 3 2 3 3 6 2

π 1 ? 0 ,即 x ? ? 时, f ( x) 取得最大值 1 ; 3 3

1 π π ? ,即 x ? 时, f ( x) 取得最小值 0. …………………………………14 分 3 6 2

16. (1)点 F 为线段 AB 的中点,又点 E 为线段 BC 的中点, 故 EF // AC ,…………………………………………2 分 又 AC ? 平面 ASC , EF ? 平面 ASC , 所以 EF // 平面 ASC .………………………………6 分 (2)因为正方形 ABCD 是圆柱的中截面,所以 BC ? 底面 ASB , 而 AS ? 底面 ASB ,故 BC ? AS ,…………………8 分 因为点 S 为圆柱的下底面圆周上异于 A , B 的一个动点, 所以 BS ? AS ,………10 分 又 BC ? BS ? B ,且 BC, BS ? 平面 BSC ,所以 AS ? 平面 BSC ,…………………12 分 又 AS ? 平面 ASC ,所以,平面 ASC ? 平面 BSC .…………………………………14 分

D

C

E A
S

B

? ?? 17. (1)由题 ?COD ? ? , ?AOD ? ? ? 2? , ? ? ? 0, ? ? 2?
取 BC 中点 M,连结 OM.则 OM ? BC , ?BOM ?

?
2


C M B

D
7

O

A

所以 BC ? 2BM ? 2sin 同理可得 CD ? 2sin 所以 l ? 2 ? 2sin

?
2



?
2

, AD ? 2sin

? ? 2?
2

? 2cos? .

?
2

? 2sin
2

?

?? ? ? ? 2cos ? ? 2 ?1 ? 2sin 2 ? ? 4sin ? 2 .………………………4 分 2 2? 2 ?

? 1 ? ? ? 1? ? ?? 即 l ? ?4 ? sin ? ? ? 5,? ? ? 0, ? .所以当 sin ? ,即 ? ? 时,有 lmax ? 5 .……6 分 2 2? 2 2 3 ? ? 2?
(2) S?BOC ? sin ? , S?AOD ? sin ?? ? 2? ? ? sin ? cos? , S扇形COD ? ? . 所以 S ? sin ? ? sin ? cos? ? ? . …………………………………………………………8 分 所以 S ' ? cos? ? cos2 ? ? sin 2 ? ?

1 2

1 2

1 2

1 2

1 4

1 2

1 1 ? ? 4cos? ? 3?? 2cos? ? 1? ………………………10 分 4 4

? ? ?? 因为 ? ? ? 0, ? ,随意解 S ' ? 0 得 ? ? ,列表得 3 ? 2?

?
S' S
所以当 ? ?

? ?? ? 0, ? ? 3?
+ 递增

? 3
0 极大值

?? ? ? ? , ? ?3 2?
- 递减

?
3

时,有面积 S 取得最大值.

答: (1)当 ? ? (2)当 ? ? 18.⑴ 因为椭圆 C :

?
3

时,观光道路的总长 l 最长,最长为 5km;

?
3

时,鲜花种植面积 S 最大. …………………………………………14 分

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 左,右顶点分别为 A1 ? 2,0 , A2 a 2 b2

?

? ?

2,0 ,

?

2 所以 a =2 . ………………………………………………………………………………1 分

又因为直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 上恰存在一个点 M ,使得 ?F1MF2 ? 90? , 即以原点 O 为圆心,半径为 r ? OF 1 ? c 作圆 O,使得圆 O 与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 相切即可.

8

又圆心 O 到直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 的距离 d ?

3? 0 ? 4 ? 0 ? 5 32 ? 42

? 1 , …………………3 分

所以 c ? 1 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ,………………………………………………………………5 分

x2 ? y 2 ? 1 ; …………………………………………………6 分 所以椭圆 C 的标准方程为 2 x2 2 ⑵设 P ? x0 , y0 ? ,因为点 P 在椭圆上,所以有 0 ? y0 ? 1 ,……………………………………7 分 2
因为圆 T 的圆心 T ? 0, t ? 在 x 轴上方,且圆 T 经过椭圆 C 两焦点.
2 2 所以圆 T 的方程为 x ? ? y ? t ? ? t ? 1 , 2

?t ? 0? ,…………………………………………8 分
2 2

由 PQ ? QT ? 0 得 PQ2 ? PT 2 ? QT 2 ? x0 ? ? y0 ? t ? ? t ? 1 ,
2
2 x0 2 2 ? y0 ? 1 ,所以 PQ 2 ? ? ? y0 ? t ? ? t 2 ? 1 , …………………………………………10 分 2 ①当 ?t ≤ ?1 即 t ≥ 1 时,当 y0 ? ?1 时, PQ 取得最大值 2t ,

??? ? ??? ?

?

?



因为 PQ 的最大值为

5 5 5 ,所以 2t ? ,解得 t ? ,又 t ≥ 1 ,故舍去. ……………12 分 2 8 2

②当 ?t ? ?1 即 0 ? t ? 1 时,当 y0 ? ?t 时, PQ 取最大值 t 2 ? 1 , 所以 t 2 ? 1 ?

1 1 5 2 ,解得 t ? ,又 0 ? t ? 1 ,所以 t ? . ……………………………14 分 4 2 2 1 5 时, PQ 的最大值为 .………………………………………………16 分 2 2
1 1 f ( x ? 2) ? f ( x ? 4) , 2 4

综上,当 t ?

19. (1)当 x∈(0,2)时, f ( x) ?

由条件,当 x ? 4∈(?4,?2), f ( x ? 4) 的最大值为 ? 4, 所以 f ( x) 的最大值为 ? 1.……………………………………………………………2 分 因为 f ?( x) ?
1 1 1 ? ax ,令 f ?( x) ? 0 ,所以 x ? ? .……………………………3 分 ?a? a x x

1 1 1 因为 a ? ? ,所以 ? ? (0, 2) .当 x∈(0, ? )时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 是增函数; 2 a a
1 当 x∈( ? ,2)时, f ?( x) ? 0 ; f ( x) 是减函数. a 1 1 1 则当 x ? ? 时, f ( x) 取得最大值为 f (? ) ? ln(? ) ? 1 ? ?1 .所以 a ? ? 1.……6 分 a a a

(2)设 f ( x) 在 x ? ?1,2? 的值域为 A, g ( x) 在 x ? ?1,2? 的值域为 B,则依题意知 A ? B. 因为 f ( x) 在 x ? ?1,2? 上是减函数,所以 A ? (ln 2 ? 2, ?1) .
9

又 g ?( x) ? bx2 ? b ? b( x2 ? 1) ,因为 x ? ?1,2? ,所以 x2 ? 1? ? 0,3? .
2 2 ① b ? 0 时, g ?( x) ? 0,g(x)是增函数,B ? (? b, b) . 3 3

2 3 因为 A ? B,所以 ? b≤ln 2 ? 2 .解得 b≥3 ? ln 2 . 3 2

2 2 ② b ? 0 时, g ?( x) ? 0,g(x)是减函数,B ? ( b, ? b) . 3 3
2 3 因为 A ? B,所以 b≤ln 2 ? 2 . b≤? 3 ? ln 2 . 3 2 3 3 由①,②知, b≤? 3 ? ln 2 ,或 b≥3 ? ln2 .……………………………………………16 分 2 2

20. (1)由 an , ?bn , an ?1 成等差数列可得, ?2bn ? an ? an ?1 ,① 由 bn , ? an , bn ?1 成等差数列可得, ?2an ? bn ? bn ?1 , ① ? ②得, an ?1 ? bn ?1 ? ?3(an ? bn ) , 所以 ?an ? bn ? 是以 6 为首项、 ?3 为公比的等比数列.………………………………………6 分 (2)由(1)知, an ? bn ? 6 ? (?3)n?1 ,③ ③ ? ④得, an ? 代入 ① ? ②得, an?1 ? bn?1 ? an ? bn ? ?2 ,④ ②

6 ? (?3) n ?1 ? 2 ? 3 ? (?3) n ?1 ? 1 , ……………………………………………8 分 2

an ? m a ?4 3 ? (?3) n ?1 ? 1 ? m 3 ? (?3) m ?1 ? 3 ? m ? ,得 , an ?1 ? m am ?1 ? 4 3 ? (?3) n ? 1 ? m 3 ? (?3) m ? 3

所以 [3 ? (?3)n?1 ? 1 ? m][3 ? (?3)m ? 3] ? [3 ? (?3)n ? 1 ? m][3 ? (?3)m?1 ? 3] , 整理得, (m ? 1)(?3)m ? 3 ? (?3)n ? 0 ,所以 m ? 1 ? (?3)n?m?1 ,……………………………10 分 由 m 是不超过 100 的正整数,可得 2 ≤ (?3)n?m?1 ≤101 ,所以 n ? m ? 1 ? 2 或 4 , 当 n ? m ? 1 ? 2 时, m ? 1 ? 9 ,此时 m ? 8 ,则 n ? 9 ,符合题意; 当 n ? m ? 1 ? 4 时, m ? 1 ? 81 ,此时 m ? 80 ,则 n ? 83 ,符合题意.

an ? m a ?4 ? m 成立的所有数对 ( m, n ) 为 (8,9) ,(80,83) .………………………16 分 an ?1 ? m am ?1 ? 4 E 数学Ⅱ部分 21.A. 连接 OD,BC,设 BC 交 OD 于点 M. C D
故使 因为 OA=OD,所以 ? OAD= ? ODA; 又因为 ? OAD= ? DAE,所以 ? ODA= ? DAE 所以 OD//AE;又 因为 AC ? BC,且 DE ? AC,所以 BC//DE. A F O B

10

所以四边形 CMDE 为平行四边形, 所以 CE ? MD ,…………………………………………………………………………………5 分 由

AC 3 3 5 ? ,设 AC ? 3x, AB ? 5x,则 OM ? x ,又 OD ? x , AB 5 2 2 5 3 x ? x ? x ,所以 AE ? AC ? CE ? 4 x , 2 2
AF AE 4 x 8 = ? ? . ………………………………………………10 分 FD OD 5 x 5 2
?1?

所以 MD ?

因为 OD // AE ,所以

B. 由矩阵 A 属于特征值-1 的一个特征向量为 α 1= ? ? 可得, ? ?1?

?a b? ? 1 ? ?1? ? 2 1 ? ? ?1? = ?1 ? ?1? ,即 a-b=-1;……………………………………………………3 分 ? ?? ? ? ? ? 3? 由矩阵 A 属于特征值 4 的一个特征向量为 α 2= ? ? , ?2? ?a b? ? 3? ? 3? = 4 ? ? ,即 3a+2b=12,…………………………………………………6 分 ? ? ? ? 2 1? ? 2 ? ?2? ?a ? 2 ? 2 3? 解得 ? .即 A= ? ? ,…………………………………………………………………8 分 ?b ? 3 ? 2 1?
可得 ?

1 ? 2 ? ……………………………………………………………10 分 ? 1 ? ? 2? ? x2 y 2 C. (1)椭圆的参数方程化为普通方程,得 ? ?1, 25 9
因为 a ? 5, b ? 3, c ? 4 ,则点 F 的坐标为 (4, 0) . 因为直线 l 经过点 (m, 0) ,所以 m ? 4 .………………………………………………4 分 (2)将直线 l 的参数方程代入椭圆 C 的普通方程,并整理得:

? 1 ?? 4 -1 所以 A 逆矩阵 A 是 ? ? 3 ? ? 4

(9 cos 2 ? ? 25sin 2 ? )t 2 ? 72t cos ? ? 81 ? 0 .……………………………………………6 分
设点 A, B 在直线参数方程中对应的参数分别为 t1 , t2 ,则

FA ? FB ?| t1t2 | =
当 sin

81 81 ? . 2 9 cos ? ? 25sin ? 9 ? 16sin 2 ?
2

? ? 0 时, FA ? FB 取最大值 9 ;

11

当 sin

? ? ?1 时, FA ? FB 取最小值

81 . 25

……………………………………………10 分

D. 因为 x,y,z 都是为正数,所以 同理可得

x y 1 x y 2 ? ? ( ? ) ≥ . ………………………………4 分 yz zx z y x z

y z 2 z x 2 ? ≥ , ? ≥ ,当且仅当 x=y=z 时,以上三式等号都成立. zx xy x xy yz y x y z 1 1 1 ? ? ≥ ? ? .………10 分 yz zx xy x y z

将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2,得

22. (1)证明:如图,以 AB,AC,AA1 分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系 A-xyz. 1 1 1 则 P(λ ,0,1) ,N( , ,0) ,M(0,1, ) , 2 2 2

??? ? ???? ? 1 1 1 从而 PN =( -λ , ,-1) , AM =(0,1, ) , 2 2 2
?? ? ? ? ? P NA M ?
1 1 1 =( -λ )×0+ ×1-1× =0,所以 PN 2 2 2

⊥AM;…4 分 (2)平面 ABC 的一个法向量为 n = AA . 1 =(0,0,1) 设平面 PMN 的一个法向量为 m =(x,y,z) ,

????

???? ?m ? NP ? 0 ?? ? ? 2 ? x ? 2 y ? z ? 0 1 ? ? ? 由(1)得 MP =(λ ,-1, ) .由 ? ???? ,得 ? ?
2
? ?m ? MP ? 0
?? x ? y ? 1 z ? 0 ? ? 2

??? ?

??

1?

1

2? ? 1 ? y? x ? 3 ? 解得 ? ,令 x ? 3 ,得 m ? ? 3, 2? ? 1, 2 ? 2? ? . ………………………………8 分 ? z ? 2 ?1 ? ? ? x ? 3 ?

因为平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 45°, 所以 cos m, n ? |2(1-λ )| 2 1 m?n = = ,解得 λ =- , 2 2 2 2 m n 9+(2λ +1) +4(1-λ )

1 故点 P 在 B1A1 的延长线上,且 A1P= .……………………………………………………10 分 2 23.⑴ 因为数列 1, 2,3 中保持其中 1 个元素位置不动的排列只有 1,3,2或3,2,1或2,1,3 , 所以 P 3 ?1? ? 3 ;………………………………………………………………………………2 分

12



? P ? k ? ? P ? 0? ? P ?1? ? P ? 2? ? P ? 3? ? P ? 4 ?
k ?0 4 4 4 4 4 4
1 1 1 1 2 =C0 4C3C3 +C4C2 +C4 +0+1=9+8+6+0+1=24 ;……………………………………………4 分

4

k ⑶ 把数列 1,2, ???, n 中任取其中 k 个元素位置不动, 则有 Cn 种;其余 n ? k 个元素重新排列,
k 并且使其余 n ? k 个元素都要改变位置,则有 P n ? k ? ? Cn P n ?k ? 0? ,………………………6 分
n n



? kPn ? k ? ? ? kCnk Pn?k ? 0? ,又因为 kCnk ? nCnk??11 ,
k ?0 k ?0

所以

? kPn ? k ? ? ? kCnk Pn?k ? 0? ? n?Cnk?1Pn?k ?1 ? 0? ? n? Pn?1 ? k ?. ,……………………8 分
k ?0 k ?0 k ?0 k ?0

n

n

n ?1

n ?1

令 an ?

? kP ? k ?, 则 a
k ?0 n

n

n

? nan ?1 , 且 a1 ? 1.

于是 a2 a3a4 ??? an?1an ? 2a1 ? 3a2 ? 4a3 ????? nan?1 , 左右同除以 a2 a3a4 ??? an ?1 ,得 an ? 2 ? 3 ? 4 ????? n ? n! 所以

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n

………………………………………………………………………10 分

13


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