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第一章


第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构 一、选择题 1、下列各组几何体中是多面体的一组是( ) A 三棱柱 四棱台 球 圆锥 B 三棱柱 四棱台 正方体 圆台 C 三棱柱 四棱台 正方体 六棱锥 D 圆锥 圆台 球 半球 2、下列说法正确的是( ) A 有一个面是多边形,其余各面是三角形的多面体是棱锥 B 有两个面互相平行,其余各面均为梯形的多面体是棱台 C 有两个面互相平

行,其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱 D 棱柱的两个底面互相平行,侧面均为平行四边形 3、下面多面体是五面体的是( ) A 三棱锥 B 三棱柱 C 四棱柱 D 五棱锥 4、下列说法错误的是( ) A 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成 B 一个圆台可以由两个圆台拼合而成 C 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成 D 一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成 5、下面多面体中有 12 条棱的是( ) A 四棱柱 B 四棱锥 C 五棱锥 D 五棱柱 6、在三棱锥的四个面中,直角三角形最多可有几个( ) A 1 个 B 2 个 C 3个 D 4个 二、填空题 7、一个棱柱至少有————————个面,面数最少的棱柱有————————个顶点, 有—————————个棱。 8、一个棱柱有 10 个顶点,所有侧棱长的和为 60,则每条侧棱长为———————————— 9、把等腰三角形绕底边上的高旋转 1800,所得的几何体是—————— 10、水平放置的正方体分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示。 图中是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面, “锦”表示右面, “程”表示下面。 则“祝” “你” “前”分别表示正 祝 方体的————— 你 前 程 似 锦

1

三、解答题: 11、长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=3,BC=2,BB1=1,由 A 到 C1 在长方体表面 上的最短距离为多少? D1 A1 A D B1 C1 C B

12、说出下列几何体的主要结构特征

(1)

(2)

(3)

2

1.2 空间几何体的三视图和直观图 一、选择题 1、两条相交直线的平行投影是( ) A 两条相交直线 B 一条直线 C 一条折线 D 两条相交直线或一条直线 2、如图中甲、乙、丙所示,下面是三个几何体的三视图,相应的标号是( ① 长方体 ② 圆锥 ③ 三棱锥 ④ 圆柱 A ②①③ B ①②③ C ③②④ D ④③②



。 正视图侧视图俯视图 正视图 侧视图 俯视图 正视图 侧视图 俯视图 甲 乙 丙 3、如果一个几何体的正视图和侧视图都是长方形,则这个几何体可能是( ) A 长方体或圆柱 B 正方体或圆柱 C 长方体或圆台 D 正方体或四棱锥 4、下列说法正确的是( ) A 水平放置的正方形的直观图可能是梯形 B 两条相交直线的直观图可能是平行直线 C 平行四边形的直观图仍然是平行四边形 D 互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直 5、若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,其直观图面积是原三角形面积的( A



1 倍 2

B

2 倍 4

C2倍

D

2倍


6、如图(1)所示的一个几何体, ,在图中是该几何体的俯视图的是( A B

C

D (1)

二、选择题 7、 当圆锥的三视图中的正视图是一个圆时, 侧视图与俯视图是两个全等的———————三角形。 8、三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在——————————————投影下画出来的。 9、有下列结论:①角的水平放置的直观图一定是角②相等的角在直观图中仍然相等③相等 的线段在直观图中仍然相等④若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行 其中正确的是—————————————— 10、①如果一个几何体的三视图是完全相同的,则这个几何体一定是正方体。②如果一个 几何体的正视图和俯视图都是矩形, 则这个几何体一定长方体。 ③如果一个几何体的三视图 都是矩形, 则这个几何体是长方体④如果一个几何体的正视图和俯视图都是等腰梯形, 则这 个几何体一定圆台。其中说法正确的是—————————
3

三、解答题 11、根据图中物体的三视图,画出物体的形状

正视图

侧视图

俯视图

12、室内有一面积为 3 平方米的玻璃窗,一个人站在离窗子 4 米的地方向外看,他能看到 窗前面一幢楼的面积有多大?(楼间距为 20 米)

4

1.3 空间几何体的表面积和体积(1) 一、选择题 1、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是(

)

1 ? 4? 4? 1 ? 4? C D ? 2? 2、已知圆锥的母线长为 8,底面圆周长为 6? ,则它的体积是(
A B A 9 55? C 3 55? B 9 55 D 3 55

1 ? 2? 2? 1 ? 2?

)

3、若圆台的上下底面半径分别是 1 和 3,它的侧面积是两底面面积的 2 倍,则圆台的母线 长是( ) A 2 B 2.5 C5 D 10 4、若圆锥的侧面展开图是圆心角为 1200,半径为 l 的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积 的比是( ) A 3:2 B 2 :1 C 4:3 D 5 :3 D1 C1 5、如图,在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是 A1B1 上一点, 且 PB1= A1 P B1

1 A1B1,则多面体 P-BCC1B1 4
) A C4 D B D 16 C

的体积为(

8 A 3

16 B 3

6、两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三部分,则圆锥被分成的三部分的体 积的比是( ) A 1:2:3 B 1:7:19 C 3:4:5 D 1:9:27 二、填空题 7、一个棱长为 4 的正方体,若在它的各个面的中心位置上,各打一个直径为 2,深为 1 的 圆柱形的孔,则打孔后几何体的表面积为—————————————— 8、半径为 15 cm ,圆心角为 2160 的扇形围成圆锥的侧面,则圆锥的高是——————————— 9、在三棱锥 A-BCD 中,P、Q 分别在棱 AC、BD 上,连接 AQ、CQ、BP、PQ,若三棱 锥 A-BPQ、B-CPQ、C-DPQ 的体积分别为 6、2、8,则三棱锥 A-BCD 的体积为———— 10、棱长为 a ,各面均为等边三角形的四面体(正四面体)的表面积为——————————体积 为—————————
5

三、解答题 11、直角梯形的一个底角为 450,下底长为上底长的 1.5 倍,这个梯形绕下底所在的直线 旋转一周所成的旋转体的表面积是 (5 ? 2 )? , 求这个旋转体的体积。

12、如图,一个三棱锥,底面 ABC 为正三角形,侧棱 SA=SB=SC=1, ?ASB ? 30 ,
0

M、N 分别为棱 SB 和 SC 上的点,求 ?AMN 的周长的最小值。 S M N A C

B

6

1.4 空间几何体的表面积和体积(2) 一、选择题 1、若三球的表面积之比为 1:2:3,则其体积之比为( A 1: 2 : 3 C 1: 2 2 : 2 3 B 1: 2 : 3 D 1: 4 : 7



2、已知长方体一个顶点上三条棱分别是 3、4、5,且它的顶点都在同一个球面上,则这个 球的表面积是( ) A 20 2 C 50? B 25 2? D 200? )

3、木星的体积约是地球体积的 240 30 倍,则它的表面积约是地 60 球表面积的( A C

60 倍 120 倍

B D

60 30 倍 120 30 倍


4、一个四面体的所有棱长为 2 ,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( A C

3?

B D

4?

3 3?

6?

5、等边圆柱(轴截面是正方形) 、球、正方体的体积相等,它们的表面积的大小关系是 ( ) A S正方体 ? S 球 ? S圆柱 C B D

S 球 ? S圆柱 ? S正方体
S 球 ? S正方体 ? S圆柱


S圆柱 ? S 球 ? S正方体
5? 6

6、半球内有一内接正方体, ,则这个半球的表面积与正方体的表面积的比为( A C B

? 2

5? 12

D 以上答案都不对

二、填空题 7、正方体表面积为 a ,它的顶点都在球面上,则这个球的表面积是———————————— 8、半径为 R 的球放置于倒置的等边圆锥(过轴的截面为正三角形)容器中,再将水注入 容器内到水与球面相切为止,则取出球后水面的高度是—————————————— 9、把一个直径为 40 cm 的大铁球熔化后做成直径是 8 cm 的小球,共可做——————————个 (不计损耗) 。 10、三个球的半径之比为1:2:3,则最大的球表面积是其余两个球的表面积的————— —————倍。
7
2

三、解答题 11、如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋,如果冰淇淋化了,会溢出 杯子吗?(半球半径等于圆锥底面半径)

4cm 12 cm

12、有三个球和一个边长为1的正方体,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体 各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比。

8

1.5 空间几何体综合检测 一、选择题 1、将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得的几何体包括( ) A 一个圆台,两个圆锥 B 两个圆台、一个圆柱 C 两个圆台、一个圆柱 D 一个圆柱、两个圆锥 2、中心角为 1350,面积为 B 的扇形围成一个圆锥,若圆锥的全面积为 A,则 A:B 等于 ( ) A 11:8 B 3:8 C 8:4 D 13:8 3、设正方体的表面积为 24,一个球内切于该正方体,则这个球的体积为( ) A

6?

B

32 ? 3

C

8 ? 3

D

4 ? 3

4、若干毫升水倒入底面半径为 2cm 的圆柱形器皿中,量得水面高度为 6cm ,若将这些水 倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,且恰好装满,则水面高度是( ) A 6 3cm C 23 18cm 5、64 个直径都为 B 6cm D 33 12cm

a 的球,记它们的体积之和为 V甲 ,表面积之和为 S甲 ,一个直径为 a 的 4


球,记其体积为 V乙 ,表面积为 S乙 ,则( A V甲 ? V乙 ,且 S甲 ? S乙 C V甲 = V乙 ,且 S甲 ? S乙 6、已知正方体外接球的体积是

B V甲 ? V乙 ,且 S甲 ? S乙 D V甲 = V乙 ,且 S甲 = S乙

32 ? ,则正方体的棱长为( 3
C



A 2 2

B

2 3 3

4 2 3

D

4 3 3

二、填空题 7、下列有关棱柱的说法:①棱柱的所有的面都是平的②棱柱的所有棱长都相等③棱柱的所 有的侧面都是长方形或正方形④棱柱的侧面的个数与底面的边数相等⑤棱柱的上、 下底面形 状、大小相等,正确的有—————————— 8、已知棱台两底面面积分别为 80 cm 和 245 cm ,截得这个棱台的棱锥高度为 35 cm , 则棱台的体积是———————— 9、一个横放的圆柱形水桶,桶内的水占底面周长的
2 2

1 ,则当水桶直立时,水的高度与桶的 4

高度的比为—————— 10、一个圆台上底半径为 5 cm ,下底半径为 10 cm ,母线 AB 长为 20 cm ,其中 A 在上 底面上,B 在下底面上,从 AB 中点 M 拉一条绳子,绕圆台的侧面一周转到 B 点,则这条 绳子最短长为————————
9

三、解答题 11、一个三棱柱的三视图如图所示,试求此三棱柱的表面积和体积。
2 3

2

12、如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, A 1 用截面截下一个棱锥 C-A1DD1,求棱锥 1 C-A1DD1 的体积与剩余部分的体积比。 A

D1 1 D B

B1 1

C1 1

C

10

第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的关系(1) 一、选择题 1、下列有关平面的说法正确的是( A 一个平面长是 10cm,宽是 5cm B 一个平面厚为 1 厘米 C 平面是无限延展的 D 一个平面一定是平行四边形 2、已知点 A 和直线 a 及平面 ? ,则: ① A ? a, a ? ? ? A ?? )

② A ? a, a ? ? ? A ? ?

③ A ? a, a ? ? ? A ?? ④ A ? a, a ? ? ? A ? ? 其中说法正确的个数是( ) A0 B1 C2 D3 3、下列图形不一定是平面图形的是( ) A 三角形 B 四边形 C 圆 D 梯形 4、三个平面将空间可分为互不相通的几部分( ) A 4、6、7 B 3、4、6、7 C 4、6、7、8 D 4、6、8 5、共点的三条直线可确定几个平面 ( ) A 1 B 2 C 3 D 1或3 6、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P、Q、R D 1 分别是 AB、AD、1B1C1 的中点, ? A1 则,正方体的过 P、Q、R 的 P B1 截面图形是( ) A 三角形 B 四边形 C 五边形 D 六边形 D Q

C1

?

R

?

C

A B 二、填空题 7、三个平面两两相交,交线的条数可能有———————————————— 8、不共线的四点可以确定——————————————————个平面。 9、正方体各面所在平面将空间分成——————————————部分。 10、下列说法①若一条直线和一个平面有公共点,则这条直线在这个平面内②过两条相交 直线的平面有且只有一个③若两个平面有三个公共点, 则两个平面重合④两个平面相交有且 只有一条交线⑤过不共线三点有且只有一个平面,其中正确的有——————————— 三、解答题 11、用符号语言描述图中所示内容,并画出平面 ABC 和平面 ? 及 ? 的交线。

?
l
C

A B

?

11

12、已知 ?ABC 在平面 ? 外,它的三边所在直线分别交平面 ? 于点 P、Q、R,求证:P、 Q、R 三点共线。 A C B Q P R

?

2.2 空间点、直线、平面之间的关系(2) 一、选择题: 1、空间两条互相平行的直线指的是( ) A 在空间没有公共点的两条直线 B 分别在两个平面内的两条直线 C 分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D 在同一平面内且没有公共点的两条直线 2、分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是( ) A 异面直线 B 相交直线 C 不平行直线 D 不相交直线 3、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与直线 BD 异面且成 600 角的面对角线有( A 4 B 3 C 2 D 1 4、设 A、B、C、D 是空间四个不同的点,下列说法中不正确的是( )

)条。

12

A 若 AC 和 BD 共面,则 AD 与 BC 共面 B 若 AC 和 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线 C 若 AB=AC,DB=DC,则 AD=BC D 若 AB=BC=CD=DA,则四边形 ABCD 不一定是菱形 5、经过空间一点 P 作与直线 l 成 450 的直线共有( ) A 0条 B1条 C 有限条 D 无数条 S 6、空间四边形 SABC 中,各边 及对角线长都相等,若 E、F E 分别为 SC、AB 的中点,那么异面 直线 EF 与 SA 所成的角为( ) C 0 0 B A 30 B 45 0 0 C 60 D 90 F A 二、选择题 7、和两条平行直线中的一条是异面直线的直线与另一条直线的位置关系是———————————
—————————

8、设 a、b、c 表示直线,给出四个论断:① a ? b ② c ? c ③ a ? c ④ a // c ,以其中任意 两个为条件,另外的某一个为结论,写出你认为正确的一个命题—————————————————— 9、ABCDEF 是正六边形,P 是它所在平面外一点,连接 PA、PB、PC、PD、PE、PF 后 与正六边形的六条边所在直线共十二条直线中,异面直线共有——————————对。 10、点 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点,且 BD =AC,则四边形 EFGH 是————————————。 三、解答题: 11、在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为边长为 2 的正方形,高 AA1 为 1,M、 N 分别为边 C1D1 与 A1D1 的中点。 (1)求证:四边形 MNAC 是等腰梯形 (2)求梯形 MNAC 的面积

12、已知 ABCD-A1B1C1D1 是正方体 (1)求 A1C1 与 B1C 所成角 (2)求 A1C 与 AD1 所成角 (3)若 EF 分别为 AB、AD 的中点,求 A1C1 与 EF 以及 AD1 与 EF 所成角的大小。

13

14

2.3 空间点、直线、平面之间的关系(3) 一、选择题 1、已知直线 a // ? , b ? ? ,则 a 与 b 的关系是( )

A 相交 B 平行 C 异面 D 平行或异面 2、过平面外一点,可作这个平面的平行线的条数是( ) A 1条 B 2条 C 无数条 D 有限条 3、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1D1 与平面 ADC1B1 的位置关系是( ) A 平行 B 相交 C 在平面 ADC1B1 内 D 以上都不正确 4、与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( ) A 都平行 B 至少和其中一个平行 C 在两个平面内 D 都相交 5、下列中四个命题中假命题的个数是( ) ①两条直线都和同一个平面平行, 则这两条直线平行②两条直线没有公共点, 则这两条直线 平行③两条直线都和第三条直线垂直, 则这两条直线平行④一条直线和一个平面内无数条直 线没有公共点,则这条直线和这个平面平行 A 4 B3 C2 D1 6、过平面外一条直线作平面的平行平面( ) A 必定可以并且只可以作一个 B 至多可以作一个 C 至少可以作一个 D 一定不能作 二、填空题 7、若直线 l 上有两点到平面 ? 的距离相等,则直线与平面 ? 的关系是——————————————— ———————。 8、经过平面外一点作该平面的平行平面可作——————个; 经过平面外两点作该平面的平行 平面可作——————个。 9、平面 ? // ? ,且 a ? ? ,下列四个命题中① a与? 内的所有直线平行② a与? 内无数条 直线平行③ a与? 内的任何一条直线都不垂直④ a与? 无公共点。其中的真命题是——————
———————

10、如图,已知平面 ? ? ? ? a, b ? ? ,

a
A

c ? ? , b ? a ? A, c // a ,则直线 b 与 c 的
关系是———————————— 三、解答题 11、已知 a ? ? , a // b, b ? ? , 求证:a // ?

b

c

?

?

15

12、空间四边形 ABCD 中,P、Q、R、S 分别是四条边 AB、BC、CD、DA 的中点,已 知 AC= 12 2 ,BD= 4 3 ,且四边形 PQRS 的面积是 12 3 ,求异面直线 AC、BD 所成 的角。 A P B Q C R S D

16

2.4 直线、平面平行的判定及其性质(1) 一、选择题: 1、 已知直线 a 平行于平面 ? , 直线 b // a , 点 A ? b, 且 A ? ? , 则 b 与 ? 的位置关系是 ( )

A b ?? ? A B b // ? 或 b ? ? C b ?? D b // ? 2、已知直线 a 与直线 b 垂直, a 平行于平面 ? ,则 b 与 ? 的位置关系是( ) A b // ? B b ?? C b 与 ? 相交 D 以上都有可能 3、下列命题中正确的是( ) A 平行于同一平面的两条直线平行 B 同时与两条异面直线平行的平面有无数个 C 如果一条直线上有两点在一个平面外,则这条直线与这个平面平行 D 直线 l 与平面 ? 不相交,则 l // ? 4、若 a 、 b 是异面直线,过 b 且与 a 平行的平面( ) A 存在但只有一个 B 只存在两个 C 无数个 D 不存在 5、与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( ) A 都平行 B 在这两个平面内 C 都相交 D 至少和其中一个平面平行 6、一条直线和一个平面平行,夹在这条直线和平面间的两条线段相等,则这两条线段的位 置关系是( ) A 平行 B 相交 C 异面 D 以上均有可能 二、填空题 7、在空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB 和 BC 上的点,若 AE:EB=CF:FB=1:3,则对角线 AC 和平面 DEF 的位置关系是 P
——————————————

8、如图,P 为 ?ABC 所在平面外一点, 点 M、N 分别是 ?PAB 、 ?PBC 的重心 M N 则 MN:AC=—————————— A C 9、直线 a // b 且 a 与平面 ? 相交,则 b 与 ? 的位置关系是—————————— B 10、下列说法:①一条直线和一个平面平行,则它和这个平面内的无数条直线平行②一条 直线和一个平面平行, 则它和这个平面内的任何直线无公共点③过直线外一点, 有且只有一 个平面和已知直线平行④如果一条直线和一个平面平行, 则过这个平面内一点和这条直线平 行的直线在这个平面内,其中正确的有————————— 三、解答题 11、如图,已知在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,面对角线 A1B、BC1 上分别有两点 E、F, 且 B1E=C1F,求证:EF//平面 ABCD D1 A1 E D A B
17

C1 B1 F

C

12、如图在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,E 为 BC 边中点(1)求 三棱锥 D1-DBC 的体积 D1 C1 (2)证明 BD1//平面 C1DE A1 B1 D A B C E

2.5 直线、平面平行的判定及其性质(2) 一、选择题 1、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列四对截面中互相平行的一对截面是( A 面 A1BC1 和面 ACD1 B 面 BDC1 和面 B1D1C C 面 B1D1D 和面 BDA D 面 A1DC1 和 AD1C 2、 )

18


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