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1.3.2四种命题及其关系


1.1.3 四种命题间的相互关系

问题1:判断下面的语句的真假
(1)若xy=1,则x、y互为倒数 ; (2)相似三角形的周长相等; (3)2+4=5 ; (4)若A∪B=B,则 A ? B (5)3不能被2整除.
我们把用语言、符号或式子表达的, 可以判断真假的陈述句称为命题.

命题 (4)若A∪B=B,则 A

? B

是“若P, 则q”

的形式

也可写成 “如果P,那么q” 的形式
通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题 的条件,q叫做命题的结论. 记做:

p?q

问题2:将下列命题改写成“若P, 则q” 的形式,并判断真假. (1)垂直于同一条直线的两条直线平行;

(2)负数的立方是负数;
(3)对顶角相等. 解:(1)若两条直线垂直于同一条直线,则这两条直线平行 假命题 (2)若一个数是负数,则这个数的立方是负数 真命题 (3)若两个角是对顶角,则这两个角相等. 真命题

问题3:判断下列命题的真假, 发现各命题之间有什么关系? ①如果两个三角形全等,那么它们的面积相等;真 ②如果两个三角形的面积相等,那么它们全等;假

③如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等;假
④如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等;真

原命题:若p则q; 逆命题:若q则p; 否命题:若┐p则┐q; 逆否命题:若┐q则┐p.

例1 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题,并 判断它们的真假.
(1)若a=0,则ab=0 逆命题: 若ab=0,则a=0. 否命题:若a≠0,则ab≠0. 逆否命题:若ab≠0,则a≠0. (2) 若a2>b2,则a>b. 逆命题: 若a>b,则a2>b2. 否命题:若a2≤b2,则a≤b. 逆否命题:若a≤b,则a2≤b2. 假 假 假 假 真 假 假 真

命题①和② 的关系
(原命题) ①如果两个三角形全等,那么它们的面积相等; (逆命题) ②如果两个三角形的面积相等,那么它们全等; 原命题是真命题.逆命题是假命题 (原命题)同位角相等,两直线平行 (逆命题) 两直线平行,同位角相等 原命题是真命题.逆命题是真命题 两个命题为互逆命题,它们的真假性没有关系

命题①和③的关系 ①如果两个三角形全等,那么它们的面积相等; 真命题 假命题 ③如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等; (原命题)同位角相等,两直线平行 真命题 (否命题)同位角不相等,两直线不平行 真命题

两个命题为互否命题,它们的真假性没有关系

命题①和④的关系 ①如果两个三角形全等,那么它们的面积相等; 真命题

④如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等; 真命题
(原命题)同位角相等,两直线平行 真命题

(逆否命题) 两直线不平行,同位角不相等. 真命题
两个命题为互为逆否命题,它们的真假性相同

四种命题间的相互关系:
原命题 若 p则 q 互 否 否命题 若? p则 ? q
互逆 逆命题 若 q则 p 互 否

互逆

逆否命题 若? q则 ? p

四种命题的真假关系
原命题 逆命题 否命题 逆否命题


真 假 假


假 真 假


假 真 假


真 假 假

两个命题为互否命题或互为逆命题, 它们的真假性没有关系
两个命题为互为逆否命题,它们的真假性相同

例2、原命题: 若 x2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? y ? 0 写出它的逆命题、否命题与逆否命题,
并分别判断它们的真假.

练习、判断命题“若x ? y ? 5, 则x ? 2或y ? 3”的真假。
例3、设原命题:当c>0时,若a>b,则ac>bc; 写出它的逆命题、否命题与逆否命题, 并分别判断它们的真假.

课堂小结:
1、四种命题形式:

若p则q. 原命题:
否命题: 若? p则? q.

逆命题: 若q则p.
逆否命题: 若? q则? p.

2、四种命题间的相互关系及其真假性的关系:


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