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江苏省常州市新桥中学2014-2015学年高二上学期第一次教研数学试卷


2014-2015 学年江苏省常州市新桥中学高二(上)第一次教研数 学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分. ) 1.已知三点 A(3,1) 、B(﹣2,k) 、C(8,11)共线,则 k 的取值是



2.直线 x﹣y+1=0 上一点 P 的横坐标是 3,若该直线绕点 P 逆时针旋转 90°得

直线 l,则直 线 l 的方程是 . 3.已知正三角形的边长为 6,那么△ABC 的直观图△A′B′C′的面积是 4.设两点 A(4,9) ,B(6,3) ,则以 AB 为直径的圆的方程为 5.直线 l1x+2y﹣4=0 与 l2:mx+(2﹣m)y﹣1=0 平行,则实数 m= 6.若 m 为任意实数,则直线(m+2)x+(m﹣3)y+4=0 必过定点 . . . .

7.在空间四边形 ABCD 中,已知 E、F 分别为边 AB 和 CD 的中点,且 EF=5,AD=6,BC=8,则 AD 与 BC 所成角的大小为 . 8.圆 x +y ﹣4x﹣4y﹣10=0 上的点到直线 x+y﹣14=0 的最大距离与最小距离之差 是 . 9. 过点 A (4, 1) 的圆 C 与直线 x﹣y﹣1=0 相切于点 B (2, 1) , 则圆 C 的方程为
2 2 2 2



10.已知圆 C: (x﹣a) +(y﹣a) =1(a>0)与直线 y=3x 相交于 P,Q 两点,若∠PCQ=90°, 则实数 a= . 11.已知直线 l 过点 P(﹣1,2) ,且与以 A(﹣2,﹣3) 、B(3,0)为端点的线段相交,求 直线 l 的斜率的取值范围是 . 12.已知过点(2,5)的直线 l 被圆 C:x +y ﹣2x﹣4y=0 截得的弦长为 4,则直线 l 的方程 为 .
2 2

13.若对于给定的正实数 k,函数 f(x)= 的图象上总存在点 C,使得以 C 为圆心,1 为半 径的圆上有两个不同的点到原点 O 的距离为 2,则 k 的取值范围是 14.如图,点 A,B 分别在 x 轴与 y 轴的正半轴上移动,且 AB=2,若点 A 从( 到( ,0) ,则 AB 中点 D 经过的路程为 . . ,0)移动

二、解答题(本大题共 6 小题,总分 58 分) 15.求经过点 A(0,4) ,B(4,6)且圆心在直线 x﹣2y﹣2=0 上的圆的方程. 16.如图,在正方体 AC′中,E,F,E′,F′分别是 AD,AB,B′C′,D′C′的中点. (1)求证:EF E′F′; (2)求直线 A′D 与 EF 所成角的大小.

17.已知实数 x、y 满足方程 x +y ﹣4x+1=0.求 (1) 的最大值和最小值; (2)y﹣x 的最小值; (3)x +y 的最大值和最小值. 18.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 M:x +y ﹣8x+6=0,过点 P(0,2)且斜率为 k 的直 线与圆 M 相交于不同的两点 A,B,线段 AB 的中点为 N. (1)求 k 的取值范围; (2)若 ON∥MP,求 k 的值. 19.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:x +y =r 和直线 l:x=a(其中 r 和 a 均为常数, 且 0<r<a) ,M 为 l 上一动点,A1,A2 为圆 C 与 x 轴的两个交点,直线 MA1,MA2 与圆 C 的另 一个交点分别为 P、Q. (1)若 r=2,M 点的坐标为(4,2) ,求直线 PQ 方程; (2)求证:直线 PQ 过定点,并求定点的坐标. 20.平面直角坐标系 xoy 中,直线 x﹣y+1=0 截以原点 O 为圆心的圆所得的弦长为 (1)求圆 O 的方程;
2 2 2 2 2 2 2

2

2

(2)若直线 l 与圆 O 切于第一象限,且与坐标轴交于 D,E,当 DE 长最小时,求直线 l 的 方程; (3)设 M,P 是圆 O 上任意两点,点 M 关于 x 轴的对称点为 N,若直线 MP、NP 分别交于 x 轴于点(m,0)和(n,0) ,问 mn 是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.

2014-2015 学年江苏省常州市新桥中学高二 (上) 第一次 教研数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分. ) 1.已知三点 A(3,1) 、B(﹣2,k) 、C(8,11)共线,则 k 的取值是 ﹣9 . 考点: 三点共线. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量共线定理即可得出. 解答: 解: , .

∵三点 A(3,1) 、B(﹣2,k) 、C(8,11)共线, ∴存在实数λ,使得 ∴ ,

,解得 k=﹣9.

故答案为﹣9. 点评: 熟练掌握向量共线定理是解题的关键. 2.直线 x﹣y+1=0 上一点 P 的横坐标是 3,若该直线绕点 P 逆时针旋转 90°得直线 l,则直 线 l 的方程是 x+y﹣7=0 . 考点: 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系. 专题: 计算题. 分析: 由题意得 直线 l 过点(3,4) ,且与直线 x﹣y+1=0 垂直,利用点斜式求得直线 l 的方程. 解答: 解:由题意得 直线 l 过点(3,4) ,且与直线 x﹣y+1=0 垂直,故直线 l 的斜率为﹣ 1, 利用点斜式求得直线 l 的方程是 y﹣4=﹣1(x﹣3) ,即 x+y﹣7=0, 故答案为 x+y﹣7=0. 点评: 本题考查两直线垂直的性质,用点斜式直线方程.

3.已知正三角形的边长为 6,那么△ABC 的直观图△A′B′C′的面积是



考点: 专题: 分析: 解答:

平面图形的直观图. 空间位置关系与距离. 按照斜二测画法规则画出直观图,进一步求直观图的面积即可. 解:如图①、②所示的实际图形和直观图.

由②可知,A′B′=AB=6,O′C′= OC=

, O′C′= , .

在图②中作 C′D′⊥A′B′于 D′,则 C′D′= ∴S△A′B′C′= A′B′? C′D′= ×6× 故答案为: =

点评: 本题考查水平放置的平面图形的直观图的画法,考查作图能力. 4.设两点 A(4,9) ,B(6,3) ,则以 AB 为直径的圆的方程为 (x﹣5) +(y﹣6) =10 . 考点: 圆的标准方程. 专题: 直线与圆. 分析: 设以 AB 为直径的圆的圆心为 C(a,b) ,利用中点坐标公式即可得到 a,b.再利用 两点间的距离公式可得圆的半径 r=|AC|,进而得到圆的标准方程.
2 2

解答: 解:设以 AB 为直径的圆的圆心为 C(a,b) ,则

,解得 a=5,b=6.∴C(5,

6) . ∴圆的半径 r=|AC|=
2

=
2



∴以 AB 为直径的圆的方程为(x﹣5) +(y﹣6) =10. 2 2 故答案为(x﹣5) +(y﹣6) =10. 点评: 本题考查了中点坐标公式、两点间的距离公式、圆的标准方程等基础知识与基本技 能方法,属于基础题.

5.直线 l1x+2y﹣4=0 与 l2:mx+(2﹣m)y﹣1=0 平行,则实数 m=



考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由直线的平行关系可得 1×(2﹣m)﹣2m=0,解之可得. 解答: 解:因为直线 l1x+2y﹣4=0 与 l2:mx+(2﹣m)y﹣1=0 平行,

所以 1×(2﹣m)﹣2m=0,解得 m= 故答案为: 点评: 本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系,属基础题.

6.若 m 为任意实数,则直线(m+2)x+(m﹣3)y+4=0 必过定点 (﹣ , ) .

考点: 恒过定点的直线. 专题: 直线与圆. 分析: 对于任意实数 m,直线(m+2)x+(m﹣3)y+4=0 恒过定点,则与 m 的取值无关,则 将方程转化为(x+y)m+(2x﹣3y+4)=0.让 m 的系数和常数项为零即可. 解答: 解:方程(m+2)x+(m﹣3)y+4=0 可化为(x+y)m+(2x﹣3y+4)=0, ∵对于任意实数 m,当 x+y=0 且 2x﹣3y+4=0 时,直线(m﹣1)x+(2m﹣1)y=m﹣5 恒过定点 由 x+y=0 且 2x﹣3y+4=0 得:x=﹣ ,y= . 故定点坐标是(﹣ , ) . 故答案为: (﹣ , ) 点评: 本题通过恒过定点问题来考查学生方程转化的能力及直线系的理解. 7.在空间四边形 ABCD 中,已知 E、F 分别为边 AB 和 CD 的中点,且 EF=5,AD=6,BC=8,则 AD 与 BC 所成角的大小为 90° . 考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 取 BD 中点 G,连接 EG、FG,根据三角形中位线定理可证出∠EGF 或其补角就是异面 直线 AD 与 BC 所成角,在△EFG 中,利用勾股定理的逆定理,可得∠EGF=90°,即得异面直 线 AD 与 BC 所成角. 解答: 解:取 BD 中点 G,连接 EG、FG ∵△ABD 中,E、G 分别为 AB、BD 的中点, ∴EG∥AD 且 EG= 同理可得 FG∥BC,且 FG= BC=4 ∴EG 与 FG 所成的直角或锐角就是异面直线 AD 与 BC 所成角 ∵△EFG 中,EG=3,GF=4,EF=5 ∴EG +FG =EF ,得∠EGF=90° 即异面直线 AD 与 BC 所成角等于 90° 故答案为:90°
2 2 2

点评: 本题给出特殊空间四边形,求相对的边所成的角,着重考查了三角形中位线定理、 勾股定理的逆定理和异面直线所成角定义等知识,属于基础题. 8. 圆 x +y ﹣4x﹣4y﹣10=0 上的点到直线 x+y﹣14=0 的最大距离与最小距离之差是 6
2 2



考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 把圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标和圆的半径,过圆心 M 作已知直线的垂线, 与圆分别交于 A 和 B 点,垂足为 C,由图形可知|AC|为圆上点到已知直线的最大距离,|BC| 为圆上点到已知直线的最小距离,而|AC|﹣|BC|等于圆的直径,由圆的半径即可求出直径, 即为最大距离与最小距离之差. 解答: 解:把圆的方程化为标准方程得: (x﹣2) +(y﹣2) =18, ∴圆心 M 坐标为(2,2) ,半径|AM|=|BM|=3 , 过 M 作出直线 x+y﹣14=0 的垂线,与圆 M 交于 A、B 两点,垂足为 C, 如图所示:
2 2

由图形可得|AC|为圆上点到直线 x+y﹣14=0 的最大距离,|BC|为圆上点到直线 x+y﹣14=0 的最小距离, 则最大距离与最小距离之差为|AC|﹣|BC|=|AB|=2|AM|=6 . 故答案为:6 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,点到直线的距离 公式,利用了数形结合的思想,其中找出|AC|为圆上点到直线 x+y﹣14=0 的最大距离,|BC| 为圆上点到直线 x+y﹣14=0 的最小距离是解本题的关键. 9.过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x﹣y﹣1=0 相切于点 B(2,1) ,则圆 C 的方程为 (x﹣3)
2

+y =2 .

2

考点: 圆的标准方程.

专题: 计算题;直线与圆. 分析: 求出直线 x﹣y﹣1=0 的斜率,利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1 求出过点 B 的直 径所在直线方程的斜率,求出此直线方程,根据直线方程设出圆心 C 坐标,根据|AC|=|BC|, 利用两点间的距离公式列出方程,求出方程的解确定出 C 坐标,进而确定出半径,写出圆的 方程即可. 解答: 解:∵直线 x﹣y﹣1=0 的斜率为 1, ∴过点 B 直径所在直线方程斜率为﹣1, ∵B(2,1) , ∴此直线方程为 y﹣1=﹣(x﹣2) ,即 x+y﹣3=0, 设圆心 C 坐标为(a,3﹣a) , ∵|AC|=|BC|,即 = ,

解得:a=3, ∴圆心 C 坐标为(3,0) ,半径为 , 2 2 则圆 C 方程为(x﹣3) +y =2. 2 2 故答案为: (x﹣3) +y =2. 点评: 此题考查了圆的标准方程,涉及的知识有:两点间的距离公式,两直线垂直时斜率 满足的关系,求出圆心坐标与半径是解本题的关键. 10.已知圆 C: (x﹣a) +(y﹣a) =1(a>0)与直线 y=3x 相交于 P,Q 两点,若∠PCQ=90°, 则实数 a= .
2 2

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 利用∠PCQ=90°? (d 为圆心 C 到直线 y=3x 的距离)即可得出.

解答: 解:设圆心 C 到直线 y=3x 的距离为 d, ∵∠PCQ=90°,∴ .



=

,又 a>0,解得 a=



故答案为

. (d 为圆心 C 到直线 y=3x 的距离)是解题的关键.

点评: 正确得出∠PCQ=90°?

11.已知直线 l 过点 P(﹣1,2) ,且与以 A(﹣2,﹣3) 、B(3,0)为端点的线段相交,求 直线 l 的斜率的取值范围是 (﹣∞,﹣ ]∪[5,+∞) .

考点: 直线的斜率. 专题: 计算题;直线与圆.

分析: 先由 A、B、P 的坐标求得直线 AP 和 BP 的斜率,再根据直线 l 的倾斜角为锐角或钝 角加以讨论,将直线 l 绕 P 点旋转并观察倾斜角的变化,由直线的斜率公式加以计算,分别 得到直线 l 斜率的范围,最后综合可得答案. 解答: 解:∵点 P(﹣1,2) 、A(﹣2,﹣3) , ∴直线 AP 的斜率 k1= =5.同理可得直线 BP 的斜率 k2=﹣ .

设直线 l 与线段 AB 交于 M 点, 当直线的倾斜角为锐角时,随着 M 从 A 向 B 移动的过程中,l 的倾斜角变大, l 的斜率也变大,直到 PM 平行 y 轴时 l 的斜率不存在,此时 l 的斜率 k≥5; 当直线的倾斜角为钝角时,随着 l 的倾斜角变大,l 的斜率从负无穷增大到 直线 BP 的斜率,此时 l 的斜率 k≤﹣ . 综上所述,可得直线 l 的斜率取值范围为: (﹣∞,﹣ ]∪[5,+∞) . 故答案为: (﹣∞,﹣ ]∪[5,+∞)

点评: 本题给出经过定点 P 的直线 l 与线段 AB 有公共点,求 l 的斜率取值范围.着重考查 了直线的斜率与倾斜角及其应用的知识,属于中档题. 12.已知过点(2,5)的直线 l 被圆 C:x +y ﹣2x﹣4y=0 截得的弦长为 4,则直线 l 的方程 为 x﹣2=0 或 4x﹣3y+7=0 . 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 求出圆的圆心与半径,利用弦心距、半径、半弦长满足勾股定理,求出所求直线的 斜率,然后求出直线方程. 解答: 解:圆 C:x +y ﹣2x﹣4y=0 的圆心坐标(1,2) ,半径为 , 2 2 过点(2,5)的直线 l 被圆 C:x +y ﹣2x﹣4y=0 截得的弦长为 4, ∴圆心到所求直线的距离为:1, 设所求的直线的向量为 k, 所求直线为:y﹣5=k(x﹣2) . 即 kx﹣y﹣2k+5=0, ∴ =1,
2 2 2 2

解得 k= , 所求直线方程为:4x﹣3y+7=0, 当直线的斜率不存在时,直线方程为 x﹣2=0,满足圆心到直线的距离为 1. 所求直线方程为:x﹣2=0 或 4x﹣3y+7=0. 故答案为:x﹣2=0 或 4x﹣3y+7=0. 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,弦心距与半径以及半弦长的关系,考查计算能力.

13.若对于给定的正实数 k,函数 f(x)= 的图象上总存在点 C,使得以 C 为圆心,1 为半 径的圆上有两个不同的点到原点 O 的距离为 2,则 k 的取值范围是 (0, ) .

考点: 圆方程的综合应用. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: 根据题意得:以 C 为圆心,1 为半径的圆与原点为圆心,2 为半径的圆有两个交点, 即 C 到原点距离小于 3,即 f(x)的图象上离原点最近的点到原点的距离小于 3,设出 C 坐 标,利用两点间的距离公式表示出 C 到原点的距离,利用基本不等式求出距离的最小值,让 最小值小于 3 列出关于 k 的不等式,求出不等式的解集即可得到 k 的范围. 解答: 解:根据题意得:|OC|<1+2=3, 设 C(x, ) ,

∵|OC|=







<3,即 0<k< ,

则 k 的范围为(0, ) . 故答案为: (0, ) . 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆与圆位置关系的判定,基本不 等式的运用,以及两点间的距离公式,解题的关键是根据题意得出以 C 为圆心,1 为半径的 圆与原点为圆心,2 为半径的圆有两个交点,即 C 到原点距离小于 3. 14.如图,点 A,B 分别在 x 轴与 y 轴的正半轴上移动,且 AB=2,若点 A 从( 到( ,0) ,则 AB 中点 D 经过的路程为 . ,0)移动

考点: 弧长公式. 分析: 首先设出求出中点的轨迹是以原点为圆心半径为 1 的圆,然后求出点 D 和点 D'的坐 标,再由弧长公式得出结果. 解答: 解:设 AB 的中点为 O(x,y) ,则 A(2x,0) ,B(0,2y) ∵AB=2 ∴(2x) +(2y) =4 即 x +y =1 所以中点是以原点为圆心半径为 1 的圆 ∵点 A 从( ,0)移动到( ,0) , ∴D( , ) D'( , )
2 2 2 2

tan∠D'OA=1 tan∠DOA= ∴∠D'OD= ∴ ∴l= 为中点走过的路径 ×1=

故答案为: 点评: 此题考查了轨迹方程的求法以及弧长公式的运用,求出中点的轨迹是解题的关键, 属于中档题. 二、解答题(本大题共 6 小题,总分 58 分) 15.求经过点 A(0,4) ,B(4,6)且圆心在直线 x﹣2y﹣2=0 上的圆的方程. 考点: 圆的标准方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 设圆方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,可得方程组,即可求出圆的方程.
2 2

解答: 解:设圆方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,则

2

2

可得 D=﹣8,E=﹣2,F=﹣8, 所以所求方程为 x +y ﹣8x﹣2y﹣8=0. 点评: 本题给出圆的圆心在定直线上,在圆经过两个定点的情况下求圆的方程.着重考查 了圆的标准方程及其应用的知识,属于基础题. 16.如图,在正方体 AC′中,E,F,E′,F′分别是 AD,AB,B′C′,D′C′的中点. (1)求证:EF E′F′; (2)求直线 A′D 与 EF 所成角的大小.
2 2

考点: 异面直线及其所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 计算题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)利用三角形中位线的性质,结合 BD B′D′,可得结论; (2)证明∠A′DB 是直线 A′D 与 EF 所成角,可求直线 A′D 与 EF 所成角的大小. 解答: (1)证明:连接 BD,B′D′,则, ∵E,F,E′,F′分别是 AD,AB,B′C′,D′C′的中点, ∴EF BD,E′F′ B′D′,

∵BD B′D′, ∴EF E′F′; (2)解:连接 A′B,则 ∵EF BD, ∴∠A′DB 是直线 A′D 与 EF 所成角, ∵△A′DB 是等边三角形, ∴∠A′DB=60°,即直线 A′D 与 EF 所成角是 60°. 点评: 本题考查直线与直线平行的证明,考查直线 A′D 与 EF 所成角,考查学生分析解决 问题的能力,比较基础. 17.已知实数 x、y 满足方程 x +y ﹣4x+1=0.求 (1) 的最大值和最小值; (2)y﹣x 的最小值; (3)x +y 的最大值和最小值. 考点: 圆方程的综合应用. 专题: 计算题;数形结合. 分析: (1)整理方程可知,方程表示以点(2,0)为圆心,以 为半径的圆,设 =k,
2 2 2 2

进而根据圆心(2,0)到 y=kx 的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值. (2)设 y﹣x=b,仅当直线 y=x+b 与圆切于第四象限时,纵轴截距 b 取最小值.进而利用点 到直线的距离求得 y﹣x 的最小值; (3)x +y 是圆上点与原点距离之平方,故连接 OC,与圆交于 B 点,并延长交圆于 C′,进 2 2 而可知 x +y 的最大值和最小值分别为|OC′|和|OB|,答案可得. 2 2 解答: 解: (1)如图,方程 x +y ﹣4x+1=0 表示以点(2,0)为圆心,以 为半径的圆.
2 2

设 =k,即 y=kx,由圆心(2,0)到 y=kx 的距离为半径时直线与圆相切,

斜率取得最大、最小值.由
2

=



解得 k =3. 所以 kmax= ,kmin=﹣ . (2)设 y﹣x=b,则 y=x+b,仅当直线 y=x+b 与圆切于第四象限时,纵轴截距 b 取最小值. 由点到直线的距离公式,得 = ,即 b=﹣2± ,

故(y﹣x)min=﹣2﹣ . 2 2 (3)x +y 是圆上点与原点距离之平方,故连接 OC,与圆交于 B 点,并延长交圆于 C′,可 知 B 到原点的距离最近,点 C′到原点的距离最大,此时有 OB= =
2 2

=2﹣

,OC′

=2+


2

则(x +y )max=|OC′| =7+4

, (x +y )min=|OB| =7﹣4

2

2

2



点评: 本题主要考查了圆的方程的综合运用.考查了学生转化和化归的思想和数形结合的 思想. 18.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 M:x +y ﹣8x+6=0,过点 P(0,2)且斜率为 k 的直 线与圆 M 相交于不同的两点 A,B,线段 AB 的中点为 N. (1)求 k 的取值范围; (2)若 ON∥MP,求 k 的值. 考点: 直线与圆的位置关系;点到直线的距离公式. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (1)求出已知圆的圆心与半径,设直线方程为 y=kx+2.根据直线与圆 M 相交,利 用点到直线的距离公式建立关于 k 的不等式,解之可得实数 k 的取值范围;
2 2

(2)由平行直线的斜率相等,得到直线 ON 的方程为

,与 y=kx+2 联解得到交点

,由圆的性质得 MN⊥AB,建立关于 k 的方程,解之即可得到实数 k 的值. 解答: 解: (1)设已知直线方程为 y=kx+2,即 kx﹣y+2=0, 将圆的方程化为(x﹣4) +y =10,可得圆心为 M(4,0) 、半径 r= ∵直线与圆 M 相交于不同的两点 A、B, ∴圆心 M 到直线的距离小于半径,即 ,
2 2

化简得(4k+2) <10(k +1) ,解得 (2)∵ON∥MP,且 MP 斜率为 ∴直线 ON 的斜率也等于 ,

2

2



,可得 ON 的方程为





,解得

,可得



又∵N 是 AB 中点,∴由圆的性质,得 MN⊥AB,

由此可得

,解之得



即当 ON∥MP 时,实数 k 的值等于



点评: 本题给出经过定点的直线与圆相交,求参数 k 的取值范围,并在满足两直线平行的 情况下求 k 值.着重考查了直线的基本量与基本形式、圆的标准方程、直线与圆的位置关系 和点到直线的距离公式等知识, 考查了学生的逻辑推理能力与计算能力, 考查了函数方程与 数形结合的数学思想,属于中档题. 19.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:x +y =r 和直线 l:x=a(其中 r 和 a 均为常数, 且 0<r<a) ,M 为 l 上一动点,A1,A2 为圆 C 与 x 轴的两个交点,直线 MA1,MA2 与圆 C 的另 一个交点分别为 P、Q. (1)若 r=2,M 点的坐标为(4,2) ,求直线 PQ 方程; (2)求证:直线 PQ 过定点,并求定点的坐标. 考点: 直线与圆的位置关系;恒过定点的直线. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (1)通过 r=2,M 点的坐标为(4,2) ,求出 A1(﹣2,0) ,A2(2,0) .然后推出 P、 Q 坐标,即可求直线 PQ 方程;
2 2 2

(2)证明法一:设 A1(﹣r,0) ,A2(r,0) .设 M(a,t) ,求出直线 MA1 的方程,直线 MA1 的方程,通过直线与圆的方程联立,求出直线 PQ 的方程,然后说明经过定点,求定点的坐 标. 法二:设得 A1(﹣r,0) ,A2(r,0) .设 M(a,t) ,求出直线 MA1 的方程,与圆 C 的交点 P 设为 P(x1,y1) .求出直线 MA2 的方程,与圆 C 的交点 Q 设为 Q(x2,y2) .点 P(x1,y1) ,Q (x2,y2)在曲线[(a+r)y﹣t(x+r)][(a﹣r)y﹣t(x﹣r)]=0 上,有 P(x1,y1) ,Q (x2,y2)在圆 C 上,求出公共弦方程,说明经过定点,求定点的坐标. 解答: 解: (1)当 r=2,M(4,2) ,则 A1(﹣2,0) ,A2(2,0) . 直线 MA1 的方程:x﹣3y+2=0,解 得 .…(2 分)

直线 MA2 的方程:x﹣y﹣2=0,解

得 Q(0,﹣2) . …(4 分)

由两点式,得直线 PQ 方程为:2x﹣y﹣2=0. …(6 分) (2)证法一:由题设得 A1(﹣r,0) ,A2(r,0) .设 M(a,t) , 直线 MA1 的方程是:y= 直线 MA2 的方程是:y= (x+r) , (x﹣r) .…(8 分)





.…(10 分)





. …(12

分) 于是直线 PQ 的斜率 kPQ= ,

直线 PQ 的方程为 分) 上式中令 y=0,得 x= 故直线 PQ 过定点 ,是一个与 t 无关的常数. . …(16 分)

.… (14

证法二:由题设得 A1(﹣r,0) ,A2(r,0) .设 M(a,t) , 直线 MA1 的方程是:y= 直线 MA2 的方程是:y= (x+r) ,与圆 C 的交点 P 设为 P(x1,y1) . (x﹣r) ;与圆 C 的交点 Q 设为 Q(x2,y2) .

则点 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)在曲线[(a+r)y﹣t(x+r)][(a﹣r)y﹣t(x﹣r)]=0 上,… (10 分) 化简得 (a ﹣r )y ﹣2ty(ax﹣r )+t (x ﹣r )=0. ① 2 2 2 又有 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)在圆 C 上,圆 C:x +y ﹣r =0.② 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ①﹣t ×②得 (a ﹣r )y ﹣2ty(ax﹣r )﹣t (x ﹣r )﹣t ( x +y ﹣r )=0, 2 2 2 2 化简得: (a ﹣r )y﹣2t(ax﹣r )﹣t y=0. 2 2 2 2 所以直线 PQ 的方程为(a ﹣r )y﹣2t(ax﹣r )﹣t y=0. ③…(14 分) 在③中令 y=0 得 x= ,故直线 PQ 过定点 .…(16 分)
2 2 2 2 2 2 2

点评: 本题考查直线与圆的位置关系,直线系方程的应用,考查计算能力与转化思想. 20.平面直角坐标系 xoy 中,直线 x﹣y+1=0 截以原点 O 为圆心的圆所得的弦长为 (1)求圆 O 的方程; (2)若直线 l 与圆 O 切于第一象限,且与坐标轴交于 D,E,当 DE 长最小时,求直线 l 的 方程; (3)设 M,P 是圆 O 上任意两点,点 M 关于 x 轴的对称点为 N,若直线 MP、NP 分别交于 x 轴于点(m,0)和(n,0) ,问 mn 是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由. 考点: 直线和圆的方程的应用;直线与圆相交的性质. 专题: 综合题. 分析: (1)求出 O 点到直线 x﹣y+1=0 的距离,进而可求圆 O 的半径,即可得到圆 O 的方 程; (2)设直线 l 的方程,利用直线 l 与圆 O 相切,及基本不等式,可求 DE 长最小时,直线 l 的方程; (3)设 M(x1,y1) ,P(x2,y2) ,则 N(x1,﹣y1) , 线 MP、NP 分别与 x 轴的交点,进而可求 mn 的值. 解答: 解: (1)因为 O 点到直线 x﹣y+1=0 的距离为 , (2 分) , ,求出直

所以圆 O 的半径为 故圆 O 的方程为 x +y =2. (2)设直线 l 的方程为 由直线 l 与圆 O 相切,得 ,即
2 2

, (4 分) ,即 bx+ay﹣ab=0, , (6 分)

, 当且仅当 a=b=2 时取等号,此时直线 l 的方程为 x+y﹣2=0. (10 分) (3)设 M(x1,y1) ,P(x2,y2) ,则 N(x1,﹣y1) , , ,

直线 MP 与 x 轴交点





直线 NP 与 x 轴交点



, (14 分)

=

=

=2, 故 mn 为定值 2. (16 分) 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,考查基本不等式的运用,考查学生的运算能力,属 于中档题.


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