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2015年高考南通市数学学科基地命题密卷10套


2015 年 江苏高考南通密卷
(南通市数学学科基地命题)
共十套

2015 年高考模拟试卷(1)
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . a ? bi 1.设 a, b ? R , ? 2 ? 3i ,其中 i 是虚数单位,则 a

? b ? 1? i

. .

2.已知集合 P ? ?x x ? a? ,Q ? ? y y ? sin ? ,? ? R? .若 P ? Q ,则实数 a 的取值范围是 3.为了了解一片 经济林的生长情况,随机测量了其中 100 株树木 的底部周长(单位: cm ),所得数据如图.则在这 100 株树木 中,底部周长不小于 100cm 的有 株.

r r r r r r r 4.设向量 a ? (1, m) , b ? (m ? 1,2) ,且 a ? b ,若 (a ? b) ? a ,
第 3 题图

则实数 m ?

. .

开始
a ? 5, S ? 1

5.如图所示的流程图的运行结果是

6.将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使 BD ? a , 则三棱锥 D ? ABC 的体积为 .

a?4

N
输出 S 结束

S ? S ?a a ? a ?1
第 5 题图

Y

7.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 9 , a4 ? a6 ? 2 . 当 S n 取最大值时, n ? 8.已知 ? . .

?
4

?? ?

?

1 ,且 cos 4? ? ,则 cos 4 ? ? sin 4 ? ? 4 5

9.若在区间 ( ?1,1) 内任取实数 a ,在区间 (0,1) 内任取实数 b ,则直线 ax ? by ? 0 与圆
( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 相交的概率为

. .

1 ? ? 10.设函数 f ( x) ? sin(2x ? ), x ?[? , a] 的值域是 [? ,1] ,则实数 a 的取值范围为 2 6 6

1 1 11.已知函数 f ( x) 满足:当 x ? ?1,3? 时, f ( x) ? ln x ,当 x ?[ ,1) 时, f (x) ?2 f ( ) .若在区间 3 x 1 [ ,3] 3
内,函数 g ( x) ? f ( x) ? ax(a ? 0) 恰有一个零点,则实数 a 的取值范围是 12.设椭圆 C : .

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 和圆 O : x 2 ? y 2 ? b2 ,若椭圆 C 上存在点错误!未找到引 a 2 b2

用源。,使得过点 P 引

圆 O 的两条切线,切点分别为 A 、 B ,满足 ?APB ? 60? ,则椭圆错误!未找到引用源。 的离心率的取值范围是 .

n n 3 3 13 .设数列 {an } 的通项公式为 an ? ( )n?1 ,则满足不等式 ? ? ? ai 的正整数 n 的集合 2 i ?1 ai i ?1



. .
2

14.设函数 f ( x) ? 3x ? 3? x ? 2 x ,则满足 ( x ? 2) f (log 1 x) ? 0 的 x 的取值范围是

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说 ....... 明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,且 b tan A ? (2c ? b) tan B . (1)求角 A 的大小; uuu r uuu r (2)设 AD ? BC , D 为垂足,若 b ? 2 , c ? 3 ,求 AD ? AC 的值.

16. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PD ? BC , G 为 PA 上一点. (1)求证:平面 PCD ? 平面 ABCD ; (2)若 PC ∥平面 BDG ,求证: G 为 PA 的中点. P

G
D
A

C

B

17. (本小题满分 14 分) 如图,某城市有一条公路从正西方 AO 通过市中心 O 后转向东偏北 ? 角方向的 OB .位 于该

市的某大学 M 与市中心 O 的距离 OM ? 3 13km ,且 ?AOM ? ? .现要修筑一条铁路 L, L 在 OA 上设一站 A ,在 OB 上设一站 B,铁路在 AB 部分为直线段,且经过大学 M .其 中 , AO ? 15km . 13 (1)求大学 M 与站 A 的距离 AM ; (2)求铁路 AB 段的长 AB .
L L M
?

tan ? ? 2 , cos ? ?

3

B

L

?
O

A

18. (本小题满分 16 分) x2 y 2 3 设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,直线 y ? x ? 2 与以原点为圆心、椭 a b 2 圆C 的短半轴长为半径的圆 O 相切. (1)求椭圆 C 的方程; 1 (2) 设直线 x ? 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N , 以线段 MN 为直径作圆 D . 若圆 D 与 y 2 轴相交于不同的两点 A, B ,求 ?ABD 的面积; (3) 如图, A1 、 A2 、B1 、B 2 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点, 直线 B2 P 交 x 轴于点 F , 直线 A1 B2 交 A2 P 于点 E . 设 A2 P 的斜率为 k ,EF 的斜率为 m , 求证: 2m ? k 为定值. E y
B2

P
A1

O

A2

F x

B1
第 18 题图

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? ax 2 ? bx ,其中函数 y ? g ( x) 的图象在点 (1, g (1)) 处的 切线平行于 x 轴. (1)确定 a 与 b 的关系;

(2)若 a ? 0 ,试讨论函 数 g ( x) 的单调性; (3) 设斜率为 k 的直线与函数 y ? f ( x) 的图象交于两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) , 求证: 1 1 ?k? . x2 x1

20. (本小题满分 16 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 an ? Sn ? An 2 ? Bn ? C ( A ? 0, n ? N * ) . (1)当 C ? 1 时, ①设 bn ? an ? n ,若 a1 ? 数列; ②若数列 ?an ? 是等差数列,求
B ?1 的值; A
n 3 1 1 ? ? 1? 2 ? 2 , n ? 1 i ?1 ai ai ?1

3 9 , a2 ? .求实数 A, B 的值,并判定数列 ?bn ? 是否为等比 2 4

?? (2) 当 C ? 0 时, 若数列 ?an ? 是等差数列, 且 ?n ? N * , a1 ? 1 ,
求实数 ? 的取值范围.

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题 ............... 区域 .. 内作答 . ... A. (选修4-1:几何证明选讲) 如图,设 AB 、 CD 是圆 O 的两条弦,直线 AB 是线段 CD 的垂直平分线.已知 AB ? 6, CD ? 2 5 ,求线段 AC 的长度.
D A C B

B. (选修4-2:矩阵与变换) ?1 a ? 若点 A(2,1) 在矩阵 M ? ? ? 对应变换的作用下得到点 B(4,5) ,求矩阵 M 的逆矩阵. ?b ?1?

C. (选修4-4:坐标系与参数方程)

? ? 3 在极坐标系中,设圆 C 经过点 P ,圆心是直线 ? sin( ? ?) ? 与极轴的交点,求圆 ( 3, ) 6 3 2 C的 极坐标方程.

D. (选修4-5:不等式选讲) 设 a , b, c 均为正数, abc ? 1 .求证:

1 1 1 ? ? ? a? b? c. a b c

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. (本小题满分 10 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? ?1 , an?1 ?

(3n ? 3)an ? 4n ? 6 , n ? N* . n

?a ? 2? (1)求证:数列 ? n ? 是等比数列; ? n ? 3n ?1 4 1 , n ? N * ,求证:当 n ? 2 , n ? N * 时, bn?1 ? bn? 2 ? ? ? b2n ? ? (2)设 bn ? . an ? 2 5 2n ? 1

23. (本小题满分 10 分) 如图,已知点 F (0, p) ,直线 l : y ? ? p(其中p为常数且p ? 0) ,M 为平面内的动点,过 M uuu u r uuu r uuur uuu r 作 l 的垂线,垂足为 N ,且 NM ? NF ? FM ? FN . (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2)设 Q 是 l 上的任意一点,过 Q 作轨迹 C 的切线,切点为 A 、 B . ①求证: A 、 Q 、 B 三点的横坐标成等差数列; y ②若 Q (?4, ? p ) , AB ? 20 ,求 p 的值. M

F

O

x

l

N

2015 年高考模拟试卷(1) 参考答案
南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷(必做题,共 160 分)
一、填空题

2 3 15 ; a ; 7. 5 ; 8. 12 5 1 1 5 ? ? 1 9. ; 10. [ , ] ; 11. ( ,6ln 3] ; 【 解 析 】 当 x ?[ ,1) 时, ? (1, 3] ,由条件得, 16 6 2 e x 3 1 1 ) ax ( ?a 恰 0 )有 一 个 零 点 ? 方 程 f ( x) ? 2 f ( ) ? 2ln ? ?2ln x , 函 数 g ( x)? f ( x? x x
1. 6 ; 2. [1, ??) ; 3. 70 ; 4. 1 ; 5. 20 ; 6.
f ( x) ? ax (a ? 0 有唯一解,在直角坐标系内分别作出 ) y ? f ( x) 与 y ? ax (a ? 0) 的图象,当

1 直线 y ? ax 经过点 ( , 2ln 3) 时, a ? 6 ln 3 6ln3 ,当直线 y ? ax 和曲线 f ( x) ? ln x 相切时,切 3
1 1 点为 (e,1) ,此时 a ? ,由图象可知,当 ? a ? 6ln 3 时,函数 y ? f ( x) 与 y ? ax (a ? 0) 的图 e e
象由唯一的交点. 12. [

3 【解析】 在四边形 OAPB 中,?APB ? 60? ,?OAP ? ?OBP ? 90? ,OA ? OB ? b , ,1) ; 2 c 3 ? OP ? 2b ,由题意得, 2b ? a ,即 2 a 2 ? c2 ? a ,化解得 ? ,又在椭圆中 e ? 1, a 2 3 3 【解析】由于数列 {an } 的通项公式为 an ? ( )n?1 ,所以 ? ? e ? 1 . 13. {1,2,3}; 2 2 1 3 3 2 数列 {an } 为等比数列, 首项为 a1 ? , 公比 q1 ? ; 数列 { } 也是等比数列, 首项为 , a 2 2 3 n 2 3 1 ?( ) n 1 ?( ) n n n n n 3 1 2 3 2 ,解之得 公比 q2 ? .不等式 ? ? ? ai 等价于 3? ? ? ai ,即 3 ? ? 2 3 a a 3 i ?1 i i ?1 i ?1 i i ?1 1? 1? 3 2 2 2 n ? ? ( ) ? 1 , ? n ? N , ?n 只 能 取 1, 2,3 . 14. (0,1) ? (2, ??) ;【 解 析 】 9 3 ? f ?( x) ? 3x ln 3 ? 3? x ln 3 ? 2 ? (3x ? 3? x )ln 3 ? 2 ? 2ln 3 ? 2 ? 0 ,? 函数 f ( x) 在 (??, ??) 上 x?2?0 ?x ? 2 ? 0 ? ? ? 单调递增,且 f (0) ? 0 ,? ( x ? 2) f (log 1 x) ? 0 ? ?log x ? 0 或 ?log x ? 0 ,解得 x ? 2 或 1 1 2 ? ? ? 2 ? 2 0 ? x ? 1.
sin A sin B , ? (2sin C ? sin B) ? cos A cos B 又? 在 ?ABC 中, sin B ? 0 , ? sin A cos B ? 2sin C cos A ? cos A sin B , 1 即 sin( A ? B) ? 2sin C cos A , 又? sin( A ? B) ? sin C ? 0 , ? cos A ? , 2
又 ? 0 ? A ? ? ,? A ?

二、解答题 15. (1)? b tan A ? (2c ? b) tan B , ? 由正弦定理,得 sin B ?

?

3



(2) 由余弦定理, a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A , ? b ? 2 , c ? 3 , A ?

, 3 1 1 3 ? a ? 7 ,? BC ? AD ? AB ? AC ? sin A ,即 7 ? AD ? 3 ? 2 ? , 2 2 2 ???? ???? ???? ???? ???? 2 3 21 , ? AD ? AC ? AD ? AC cos ?CAD ? AD ? 27 . ? AD ? 7 7

?

16.(1)? 底面 ABCD 为矩形,? BC ? CD ,又? PD ? BC , CD, PD ? 平面PCD , PD ? CD ? D , ? BC ? 平面 PCD , 又? BC ? 平面ABCD , ? 平面 ABCD ? 平面 PCD ; (2)连接 AC ,交 BD 于 O ,连接 GO , ? PC / / 平面 BDG , 平面 PCA ? 平面 BDG ? GO , ? PC / / GO , PG CO ,? 底面 ABCD 为矩形, ? O 是 AC 的中点,即 CO ? OA , ? ? GA OA ? PG ? GA , ? G 为 PA 的中点. 3 17. (1)在 ?AOM 中, AO ? 15 , ?AOM ? ? 且 cos ? ? , OM ? 3 13 , 13 由余弦定理得, AM 2 ? OA2 ? OM 2 ? 2OA ? OM ? cos ?AOM 3 ? (3 13) 2 ? 152 ? 2 ? 3 13 ? 15 ? 13 ? 13 ? 9 ? 15 ?15 ? 2 ? 3 ?15 ? 3

? 72. ? AM ? 6 2 ,即大学 M 与站 A 的距离 AM 为 6 2km ; 3 2 (2)? cos ? ? ,且 ? 为锐角,? sin ? ? , 13 13 AM OM 在 ?AOM 中,由正弦定理得, , ? sin ? sin ?MAO
6 2 3 13 ? 2 ,? sin ?MAO ? ,??MAO ? , ? 2 sin ?MAO 4 2 13 2 1 ? ? tan ? ? 2 ,? sin ? ? , cos ? ? , ??ABO ? ? ? , 4 5 5 ? 1 ?AOB ? ? ? ? ? sin ?ABO ? sin(? ? ) ? , 又 4 10 2 ? sin ?AOB ? sin(? ? ? ) ? , 5 AB AO 在 ?AOB 中, AO ? 15 , 由正弦定理得, , ? sin ?AOB sin ?ABO AB 15 即 ,? AB ? 30 2 ,即铁路 AB 段的长 AB 为 30 2km . ? 2 1 5 10
即 18. (1)圆 O 的方程为 x 2 ? y 2 ? b2 , ? 直线 y ? x ? 2 与圆 O 相切,
b2 3 3 , ? 1? 2 ? , a 2 2 2 x2 ? a ? 2 , ? 椭圆 C 的方程为 ? y 2 ? 1 ; 4
? 2 ? b ,即 b ? 1 ,又? e ?



1 15 1 15 (2)由题意,可得 M ( , ), N ( , ? ), 2 4 2 4 15 1 11 15 ? ? ,? AB ? 2 , ? 圆 D 的半径 r ? 16 4 2 4 1 11 1 11 ; ? ?ABD 的面积为 S ? ? ? ? 2 2 2 8 (3)由题意可知 A1 (?2,0), A2 (2,0), B1 (0, ?1), B2 (0,1) ,
? A2 P 的斜率为 k ,? 直线 A2 P 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,

? y ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 ,得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 , 2 ? y ? 1 ? ?4 8k 2 ? 2 8k 2 ? 2 ?4k 其中 x A ? 2 ,? xP ? ,? P( , ), 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 2k ? 1 则直线 B2 P 的方程为 y ? ? x ?1, ( 2 2k ? 1) 2(2k ? 1) 2(2k ? 1) 令 y ? 0 ,则 x ? , 即 F( ,0) , 2k ? 1 2k ? 1 ? 直线 A1 B2 的方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 ,
4k ? 2 ? x? ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0 4k ? 2 4k ? 2k ? 1 由? ,解得 ? ,? E ( , ), 2k ? 1 2k ? 1 ? y ? k ( x ? 2) ? y ? 4k ? 2k ? 1 ? 4k ? 2k ? 1 2 k ?1 , ? EF 的斜率 m ? ? 2(2k ? 1) 4k ? 2 4 ? 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 1 . ? 2m ? k ? 2 ? ? k ? (定值) 4 2 1 19. (1)? g ( x) ? f ( x) ? ax 2 ? bx ? ln x ? ax 2 ? bx , ? g ?( x) ? ? 2ax ? b , x 由题意得 g ?(1) ? 1 ? 2a ? b ? 0 , ? b ? ?2a ? 1 ; 1 1 (2ax ? 1)( x ? 1) (2)? g ?( x) ? ? 2ax ? b ? ? 2ax ? 2a ? 1 ? ( x ? 0) , x x x ?( x ? 1) ①当 a ? 0 时, g ?( x) ? ( x ? 0) , x 当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,? 函数 g ( x) 在 (1, ??) 单调减; 当 0 ? x ? 1时, g ?( x) ? 0 ,? 函数 g ( x) 在 (0,1) 单调增; 1 2a( x ? )( x ? 1) 1 1 2a ②当 0 ? a ? 时,即 ? 1 , g ?( x) ? ( x ? 0) , x 2a 2 1 ? 函数 g ( x) 在 (1, ) 上单调减; 2a 1 函数 g ( x) 在 ( , ??) 和 (0,1) 单调增; 2a 1 ( x ? 1) 2 ③当 a ? 时,即 2a ? 1 , g ?( x) ? ? 0( x ? 0) , x 2 ? 函数 g ( x) 在 (0, ??) 单调增;

1 2a( x ? )( x ? 1) 1 1 2a ④当 a ? 时.即 ? 1 , g ?( x) ? ( x ? 0) , x 2a 2 1 ? 函数 g ( x) 在 ( ,1) 单调减区间; 2a 1 函数 g ( x) 在 (1, ??) 和 (0, ) 单调增; 2a (3)由题设 x2 ? x1 ? 0 , 1 1 1 ln x2 ? ln x1 1 ? ?k? ? ? ? x2 x1 x2 x2 ? x1 x1 x2 ? x1 x ? x1 ? ? ln x2 ? ln x1 ? 2 x2 x1 x x 1 ?1? ? ln 2 ? 2 ? 1 ① x2 x1 x1 x1 1 1? x 令 h( x) ? ln x ? x ? 1( x ? 1) ,则 h?( x) ? ? 1 ? ( x ? 1) , x x ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 , ? 函数 g ( x) 在 (1, ??) 是减函数, 而 h(1) ? 0 ,? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 x x x x x x ? x2 ? x1 ? 0 ,? 2 ? 1 , ? h( 2 ) ? ln 2 ? 2 ? 1 ? 0 ,即 ln 2 ? 2 ? 1 , ② x1 x1 x1 x1 x1 x1 1 1 1 x ?1 令 H ( x) ? ln x ? ? 1( x ? 1) ,则 H ?( x) ? ? 2 ? 2 ( x ? 1) , x x x x ? x ? 1 时, H ?( x) ? 0 , ? H ( x) 在 (1, ??) 是增函数, x x 1 ?1 ? 0, ? x ? 1 时, H ( x) ? H (1) ? 0 , ? H ( 2 ) ? ln 2 ? x x1 x1 2 x1 x 1 1 1 即1 ? ? ln 2 ③由①②③得 ? k ? . x2 x2 x1 x1 x1

20.(1)? C ? 1 ,? an ? Sn ? An 2 ? Bn ? 1 , ①令 n ? 1 ,可得 2a1 ? A ? B ? 1 ,即 A ? B ? 2 , 令 n ? 2 ,可得 a1 ? 2a2 ? 4 A ? 2 B ? 1 ,即 4 A ? 2 B ? 5 , 1 3 1 3 ① ? A ? , B ? ,? an ? Sn ? n2 ? n ? 1, 2 2 2 2 1 3 当 n ? 2 时,? an?1 ? Sn?1 ? (n ? 1)2 ? (n ? 1) ? 1 , ② 2 2 ①-②,得 2an ? an?1 ? n ? 1 (n ? 2) , 1 1 ? an ? n ? [an?1 ? (n ? 1)] ,即 bn ? bn ?1 , 2 2 1 又 b1 ? a1 ? 1 ? ? 0 , bn ? 0 , 2 bn 1 ? ? , ? 数列 ?bn ? 是等比数列; bn ?1 2 ②
? 数列 ?an ? 是等差数列,

? 设 an ? a1 ? (n ? 1)d , S n ? na1 ?

n(n ? 1) d, 2

? an ? Sn ? An 2 ? Bn ? 1 , d d ? n2 ? (a1 ? )n ? a1 ? d ? An2 ? Bn ? 1 , n ? N * 2 2 d ? ?A ? 2 ? d ? ? ? B ? a1 ? , 2 ? ? a1 ? d ? 1 ? ? d d d a ? ? 1 a1 ? 1 ? d? B ?1 1 2 2 ? 2 ? 3; ? ? ? d d d A 2 2 2 2 (2)当 C ? 0 时, an ? Sn ? An ? Bn

? 数列 ?an ? 是等差数列, a1 ? 1 ,

? an ? 1 ? (n ? 1)d , Sn ? n ?

n(n ? 1) d, 2

d d ? n2 ? (1 ? )n ? 1 ? d ? An2 ? Bn , 2 2 ? d ? 1 ,? an ? n ,
? 1?
n

1 1 1 1 n(n ? 1) ? 1 1 1 ? 2 ? 1? 2 ? ? ?1? ? , 2 2 an an ?1 n (n ? 1) n(n ? 1) n n ?1 1 1 1 ? 2 ? n ?1? , 2 ai ai ?1 n ?1

?? 1 ?
i ?1

?? ?

n 3 1 1 3 1 ? ? 1? 2 ? 2 ? ? ? ? n ?1? , n ? 1 i ?1 ai ai ?1 n ?1 n ?1

2 2 , ??n ? N * , ? ? n ? 1 ? , n ?1 n ?1 2 x2 ? 2 2 令 f ( x) ? x ? , ? f ?( x) ? 1 ? 2 ? , x x x2 当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 , ? f ( x) 在 [2, ??) 上是增函数,而 n ? 1 ? 2 , 2 ? (n ? 1 ? )min ? 3 , ? ? ? 3 . n ?1
即 ? ? n ?1?

第Ⅱ卷(附加题,共40分)
21. A.连接BC, AB , CD 相交于点 E .因为AB是线段CD的垂直平分线, 所以 AB 是圆的直径,∠ACB=90° .设 AE ? x ,则 EB ? 6 ? x ,由射影定理得 CE2=AE·EB,又 CE ? 5 ,即有 x(6 ? x) ? 5 ,解得 x ? 1 (舍)或 x ? 5 所以,AC2=AE·AB=5×6=30, AC ? 30 . B. M ? ? ? ? ? ,即 ? ? ? ? ? , ? ?2b ? 1 ? 5. ?1 ? ?5 ? ? 2b ? 1? ? 5 ? ?
? ?1 ? 1 2 ?1 ? ?7 , M ? ? ?7 解法一:? det( M ) ? 3 ?1 ? ?3 ? ? ?7
?2? ?4? ?2?a? ?4? ?2 ? a ? 4,

解得 ?

? a ? 2, ?1 2 ? ,? M ? ? ?, ?b ? 3. ?3 ?1?

?2 ? ? 1 ?7 ? ? 7 ??? 1 ? ?3 ?7 ? ? ? ?7

2 ? 7 ?. ? 1 ? ? 7? ?

?c 解法二:设 M ?1 ? ? ?e

d? ? c ? 3d ?1 0 ? ,由 M ?1M ? ? ,得 ? ? ? f? ?0 1 ? ?e ? 3 f
1 ? ?c ? 7 , ? ?1 ?d ? 2 , ?7 ? 7 ? M ?1 ? ? 解得 ? ?3 ?e ? 3 , ? ? 7 ?7 ? 1 ?f ?? . 7 ?

2c ? d ? ?1 0? ?? ? 2e ? f ? ? ?0 1 ?

?c ? 3d ?e ? 3 f ? ?? ? 2c ? d ? ? 2e ? f

? 1, ? 0, ? 0, ? 1.

2 ? 7 ? ?. 1? ? 7? ?

? 2? C.因为圆心为直线 ? sin( ? ? ) ? sin 与极轴的交点,所以令 ? ? 0 ,得 ? ? 1 ,即圆心是 3 3 (1,0) ,
又圆 C 经过点 P , ? 圆的半径 r ? 3 ? 1 ? 2 3 cos ( 3, )

?

?
6

? 圆 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos? .
(说明:化为普通方程去完成给相应的分数) 1 1 D.由 a , b, c 为正数,根据平均值不等式,得 ? ? a b 1 1 1 2 2 ? ? 将此三式相加, 得 2( ? ? ) ? a b c ab bc 由 abc ? 1 ,则有 abc ? 1 .所以, 22.(1)令 cn ?

6

? 1 ,? 圆过原点,

1 1 2 1 1 2 , ? ? , ? ? . b c a c ab bc ac 2 1 1 1 1 1 1 ? ? , 即 ? ? ? . a b c ac ab bc ac

2

1 1 1 abc abc abc ? ? ? ? ? ? a? b? c. a b c ab bc ac

an ? 2 , n (3n ? 3)an ? 4n ? 6 ?2 an ?1 ? 2 (3n ? 3)(an ? 2) a ?2 n 则 cn ?1 ? ? ? ?3 n ? 3cn , n ?1 n ?1 n(n ? 1) n c ? c1 ? a1 ? 2 ? 1 ? 0 ,? cn ? 0 ,? n ?1 ? 3 , cn

?a ? 2? ? 数列 ?cn ? ,即 ? n ? 是等比数列; ? n ? a ?2 3n ?1 1 ? , (2)由(1)得 n ? 3n ?1 ,? an ? n ? 3n?1 ? 2 ,? bn ? an ? 2 n n

4 1 . ? 5 2n ? 1 7 3 1 1 7 4 1 3 ①当 n ? 2 时,不等式的左边 ? b3 ? b4 ? ? ? ,右边 ? ? ? ,而 ? , 12 5 3 4 12 5 5 5 ? n ? 2 时,不等式成立; 4 1 ②假设当 n ? k (k ? 2) 时,不等式成立,即 bk ?1 ? bk ? 2 ? ? ? b2k ? ? ; 5 2k ? 1 当 n ? k ? 1 时,bk ?1?1 ? bk ?1?2 ? ? ? b2( k ?1) ? (bk ?1 ? bk ?2 ? ? ? b2k ) ? (b2k ?1 ? b2k ?2 ? bk ?1 )
下面用数学归纳法证明当 n ? 2 , n ? N * 时, bn?1 ? bn? 2 ? ? ? b2n ?

?

4 1 1 1 1 ? ? ? ? 5 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1

4 1 1 ? ? 5 2k ? 2 k ? 1 4 1 ? ? 5 2(k ? 1) 4 1 ? ? 5 2(k ? 1) ? 1 ?

? 当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由①②可得,
当 n ? 2 , n ? N * 时, bn?1 ? bn? 2 ? ? ? b2n ?

???? ? 23. (1)设 M ( x, y ) ,则 N ( x, ? p) ,? NM ? (0, y ? p) , ???? ???? ? ???? NF ? (? x, 2 p) , FM ? ( x, y ? p) , FN ? ( x, ?2 p) , ???? ? ???? ???? ? ???? ? NM ? NF ? FM ? FN ,? 2 p( y ? p) ? x2 ? 2 p( y ? p) ,

4 1 . ? 5 2n ? 1

? x2 ? 4 py ,即动点 M 的轨迹 C 的方程为 x2 ? 4 py ; ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ???? ? ???? ? 另解:设 M ( x, y ) ,则 N ( x, ? p) ,? NM ? NF ? FM ? FN ,? NF ? (MN ? MF ) ? 0 , ? 以 MN , MF 为邻边的平行四边形是菱形,? MF ? MN ,

? x2 ? ( y ? p)2 ? y ? p ,? x2 ? 4 py ,
即动点 M 的轨迹 C 的方程为 x2 ? 4 py ; (2)①设 Q( x0 , ? p) , A( x1 , 切线 QA 的方程 y ?
?? p ?
x12 x2 ) , B ( x2 , 2 ) ,则 4p 4p

x12 x ? 1 ( x ? x1 ,) , 4p 2p

x12 x ? 1 ( x0 ? x1 ) ,? x12 ? 2 x0 x1 ? 4 p 2 ? 0 , ① 4p 2p

同理? x22 ? 2 x0 x2 ? 4 p2 ? 0 , ② 方法 1:①②得 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ? 2 x0 ) ? 0 ,
? x1 ? x2 ,? x1 ? x2 ? 2 x0 ? 0 ,? x1 ? x2 ? 2 x0 , 即 A 、 Q 、 B 三点的横坐标成等差数列.

方法 2:由①②得 x1 , x2 是方程 x2 ? 2 x0 x ? 4 p2 ? 0 的两根, ? x1 ? x2 ? 2 x0 ,即 A 、 Q 、 B 三点的横坐标成等差数列.
? x ? x ? 2 x0 ②由①②得 x1 , x2 是方程 x2 ? 2 x0 x ? 4 p2 ? 0 的两根,? ? 1 2 , 2 ? x1 ? x2 ? ?4 p ? x ? x2 ? ?8 ? Q(? 4 ? ,p , ) ?? 1 , 2 ? x1 ? x2 ? ?4 p
? AB ? 20 ,? ( x1 ? x2 )2 ? (

x12 x2 2 2 ? ) ? 20 , 4p 4p

? ( x1 ? x2 )2 [1 ?

( x1 ? x2 )2 4 ] ? 20 ,? (64 ? 16 p 2 )(1 ? 2 ) ? 20 , p 16 p 2

? p4 ? 17 p2 ? 16 ? 0 ,? p ? 1 或 p ? 4 .

2015 年高考模拟试卷(2)
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . 2 } ,则实数 k 的值为 1.已知集合 A ? {1, k ? 1} ,B ? {2,3} ,且 A ? B ? { 2.设 (1 ? 2i) ? a ? bi(a, b ? R) ,其中 i 是虚数单位,则 ab ?
2
2



s ? 0, n ? 1



( ) 6? , 3. 已知函数 y ? f ( x) 是奇函数, 当 x ? 0 时,f ( x) ? x ? ax(a ? R) , 且 f2 则a? . 4.右图是某算法流程图,则程序运行后输出的结果是 . 5.设点 P , A , B , C 是球 O 表面上的四个点, PA , PB , PC 两两互相垂 cm 2 . 直,且 PA ? PB ? PC ? 1cm ,则球的表面积为 6.已知 ? ? {( x, y) | x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0} , A ? {( x, y) | x ? 4, y ? 0, x ? 2 y ? 0} , 若向区域 ? 上随机投掷一点 P ,则点 P 落入区域 A 的概率为 . 7.将参加夏令营的 500 名学生编号为: 001, 002,? ,500 ,采用系统抽样的方

第 4 题图

法抽取一个容量为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003 ,这 500 名学生分 住在三个营区,从 001 到 200 在第一营区,从 201 到 355 在第二营区,从 356 到 500 在第 三营区,则第三个营区被抽中的人数为 .

8. “角 A, B, C 成等差数列”是“ sin C ? ( 3 cos A ? sin A)cos B ”成立的的 条件. ?ABC 中, (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一) x2 y 2 9.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,以右顶点为圆心,实半轴长为半径的圆被双曲线的 a b 一条 渐近线分为弧长为 1: 2 的两部分,则双曲线的离心率为 . 2 ? 2 ? 10.已知 cos4 ? ? sin 4 ? ? ,? ? (0, ) ,则 cos(2? ? ) ? . 3 3 2 11.已知正数 a1 , a2 , a3 , a4 依次成等比数列,且公比 q ? 1 .将此数列删去一个数后得到的数列 (按 原来的顺序)是等差数列,则公比 q 的取值集合是 . AB / / CD , AD ? DC ? 2 , 12.如图, 梯形 ABCD 中, AB ? 6 , D C uuu r uuu r uuu r uuu r 若 AC ? BD ? ?12 ,则 AD ? BC ? . 13.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边 a , b, c 成等比数列,则 sin B 的取值范围是 . sin A A B
第 12 题图

14.设函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f (3x) ,且当 x ? [1,3) 时, f ( x) ? ln x .若在区间 [1,9) 内,存在 3 个不同的实数 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) ? ? ? t ,则实数 t 的取值范围为 x1 , x2 , x3 ,使得 x1 x2 x3 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, C ? A ?



二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域 内作答,解答时应写出文字 .......

?
2

, sin A ?

3 . 3

(1)求 sin C 的值; (2)若 BC ? 6 ,求 ?ABC 的面积.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 A1 ACC1 是边长为 2 的菱形, ?A1 AC ? 60? .在 面 ABC 中, AB ? 2 3 , BC ? 4 , M 为 BC 的中点,过 A1 , B1 , M 三点的平面交 AC 于点 N. (1)求证: N 为 AC 中点; (2)求证:平面 A1 B1MN ? 平面 A1 ACC1 . A1 B1

C1

A B M
第 16 题图

N C

17. (本小题满分 14 分) 某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品, 用半径为 10cm 的圆形包装纸包装. 要 求如下:正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合,包装纸不能裁剪,沿底边向上翻折, 其边缘恰好达到三棱锥的顶点, 如图所示. 设正三棱锥的底面边长为 xcm , 体积为 Vcm3 . (1)求 V 关于 x 的函数关系式; (2)在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中,V 的最大值是多少?并求此时 x 的

值.

(第 17 题图) 图

18. (本小题满分 16 分) x2 y 2 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,并且椭圆经过点 (1,1) ,过原点 O 的直 a b 2 线l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,椭圆上一点 M 满足 MA ? MB . (1)求椭圆 C 的方程; 1 1 2 (2)证明: 为定值; ? ? 2 2 OA OB OM 2 (3)是否存在定圆,使得直线 l 绕原点 O 转动时, AM 恒与该定圆相切,若存在,求出 该定圆的方程,若不存在,说明理由. y

B

O
A
第 18 题图

x

19. (本小题满分 16 分) 已知数列 {an } 是等差数列, {bn } 是等比数列,且满足 a1 ? a2 ? a3 ? 9 , b1b2b3 ? 27 . (1)若 a4 ? b3 , b4 ? b3 ? m . ①当 m ? 18 时,求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; ②若数列 {bn } 是唯一的,求 m 的值; (2)若 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 均为正整数,且成等比数列,求数列 {an } 的公差 d 的最 大值.

20. (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? ax2 ? ex (a ? R) 有且仅有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) . (1)求实数 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a 满足 f ( x1 ) ? e 3 x1 ?如存在,求 f ( x) 的极大值;如不存在,请说明 理由.
2

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题 ............... 区域 .. 内作答 . ... A. (选修4-1:几何证明选讲) 如图,AD 是∠BAC 的平分线,圆 O 过点 A 且与边 BC 相切于点 D,与边 AB、AC 分别 交于点 E、F,求证:EF∥BC.
E B · O A

F C

D

B. (选修4-2:矩阵与变换) ?1 0 ? ? ?4 3 ? B?? 已知 ? ? ? ,求矩阵 B . ?1 2 ? ?4 ?1 ?

C. (选修4-4:坐标系与参数方程) 在极坐标系中,圆 C 是以点 C (2, ? ) 为圆心, 2 为半径的圆. 6 (1)求圆 C 的极坐标方程; 5? (2)求圆 C 被直线 l : ? ? ? 所截得的弦长. 12

?

D. (选修4-5:不等式选讲) 设正数 a , b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ,求
1 ? 1 ? 1 的最小值. 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. (本小题满分 10 分) 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已知 AB ? AC , AB ? 2 , AC ? 4 , AA1 ? 3 . D 是 BC 的中 点. (1)求直线 DB1 与平面 A1C1 D 所成角的正弦值; (2)求二面角 B1 ? A1 D ? C1 的大小的余弦值.
B1 A1 C1

A D B

C

23.(本小题满分 10 分) 设 n ? N * 且 n ? 4 ,集合 M ? ?1, 2,3,?, n? 的所有 3 个元素的子集记为 A1 , A2 ,?, AC3 .
n

(1)求集合 A1 , A2 ,?, AC3 中所有元素之和 S ;
n
3 C2015

3 (2)记 m i 为 Ai (i ? 1,2,?, Cn ) 中最小元素与最大元素之和,求

?m
C
i ?1 3 2015

i

的值.

2015 年高考模拟试卷(2) 参考答案
南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷(必做题,共 160 分)
一、填空题 1. 3 ; 2. ?12 ; 3. 5 ; 4. 27 ; 5. 3? ; 6. 条 件 “ 角 A, B, C 成 等 差 数 列 ” ? B ?

; 结 论 “ sin C ? ( 3 cos A ? sin A)cos B ” 3 ? sin( A ? B) ? 3 cos A cos B ? sin Acos B ? cos A sin B ? 3 cos A cos B ? cos A ? 0 或

?

2 ; 7.14 ; 8.充分不必要; 【解析】 9

.所以条件是结论的充分不必要条件. 2 3 2 3 15 ? 2 9. ; 10. ? ; 3 6 ? ? ?1 ? 5 1 ? 5 ? ? 11. ? 【解析】若删去 a 2 ,则 a1 , a3 , a4 成等差数列,? 2a3 ? a1 ? a4 , , ?; 2 2 ? ? ? ?

sin B ? 3 cos B ? A ?

?

或B?

?

1? 5 1? 5 或q ? (舍去);若删去 a3 , 2 2 ?1 ? 5 ?q ? 1 ? 2a2 ? a1 ? a4 , 则 a1 , a2 , a4 成等差数列, 即 2aq (舍去) 或q ? a 1 aq ?1 3 , 1 ? 2 ?1 ? 5 ?1 ? 5 1? 5 或q ? (舍去)? q ? 或 . 2 2 2 ???? ???? ??? ? ??? ? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? 12. 0 ; 【解析】? AD ? DC ? CB ? BA ? 0 ,? AD ? BC ? AB ? CD , ???? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? 2 ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?2 ?( AD ? DC) ? (BC ? CD) ? AD ? BC ? CD ? ( AD ? BC) ? CD ? AD ? BC ? CD ? ( AB ? CD) ? CD , ???? ??? ? ???? ??? ? ? AC ? BD ? ?12 , AB / / CD , AB ? 6 , AD ? DC ? 2 ,? AD ? BC ? 0 . b2 5 ?1 5 ?1 13 . ( 【解析】由条件得 b 2 ? ac ,不妨设 a ? b ? c ,则 c ? ? a ? b ,即 , ); a 2 2 sin B sin B b b2 b 5 ?1 b 的取值范围 ? ,? ? ? 1 ? 0 ;同理得当 a ? b ? c 时, ? ? 1 .而 sin A sin A a a2 a 2 a 5 ?1 5 ?1 是( , ). 2 2 ln 3 1 x x x ? f ( x) ? f (3x) , 9 ) , 3 [ 14. 【解析】 当 x? 时, ?[1,3) , ( , ). ? f ( x) ? f ( ) , ? f ( x) ? ln , 9 3e 3 3 3 f ( x) 在直角坐标系内作出函数 f ( x) 的图象, 而 表示的是该图象上的点与原点的连线的 x ln 3 斜率.图象上的点 (9, ln 3) 与与原点的连线的斜率为 ;当过原点的直线与曲线 9 1 x .? 由图可知,满足题意得实 f ( x) ? ln , x ?[3,9) 相切时,斜率为 (利用导数解决) 3e 3 ln 3 1 数 t 的取值范围为 ( , ). 9 3e
即 2a1q 2 ? a1 ? a1q3 , ? q ? 1 (舍去)或 q ? 二、解答题 15. (1) 因为在 ?ABC 中, C? A?

?
2

, 所以 A 为锐角, 且 cos A ? 1 ? sin 2 A ? 1 ? (

3 2 6 ) ? . 3 3

所以 sin C ? sin( A ?

?
2

) ? cos A ?

6 ; 3

BC sin C BC AB (2)由正弦定理得 ,所以 AB ? ? ? sin A sin A sin C

6? 3 3

6 3 ?2 3.

因为在 ?ABC 中, C ? A ?

?

2 因为在 ?ABC 中, B ? ? ? ( A ? C ) ,

,所以 C 为钝角,且 cos C ? ? 1 ? sin 2 C ? ? 1 ? (

6 2 3 . ) ?? 3 3

3 3 6 6 1 ? (? ) ? ? ? . 3 3 3 3 3 1 1 1 所以 ?ABC 的面积为 S?ABC ? AB ? BC ? sin B ? ? 2 3 ? 6 ? ? 2 . 2 2 3 16. (1)由题意,平面 ABC / / 平面 A1 B1C1 ,平面 A1 B1M 与平面 ABC 交于直线 MN ,

所以 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C ?

与平面 A1 B1C1 交于直线 A1 B1 ,所以 MN / / A1 B1 . CN CM 因为 AB / / A1 B1 ,所以 MN / / AB ,所以 . ? AN BM CN 因为 M 为 AB 的中点,所以 ? 1 ,所以 N 为 AC 中点. AN (2)因为四边形 A1 ACC1 是边长为 2 的菱形, ?A1 AC ? 60? . 在三角形 A1 AN 中, AN ? 1 , A1 A ? 2 ,由余弦定理得 A1 N ? 3 , 故 A1 A2 ? AN 2 ? A1 N 2 ,从而可得 ?A1 NA ? 90? ,即 A1 N ? AC . 在三角形 ABC 中, AB ? 2 3 , AC ? 2 , BC ? 4 , 则 BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ,从而可得 ?BAC ? 90? ,即 AB ? AC . 又 MN / / AB ,则 AC ? MN . 因为 MN ? A1 N ? N , MN ? 面 A1 B1MN , A1 N ? 面 A1 B1MN , 所以 AC ? 平面 A1 B1MN . 又 AC ? 平面 A1 ACC1 ,所以平面 A1 B1MN ? 平面 A1 ACC1 . 17.正三棱锥展开如图所示.当按照底边包装时体积最大. 设正三棱锥侧面的高为 h0 ,高为 h . 由题意得
D' D C

3 3 x ? h0 ? 10 ,解得 h0 ? 10 ? x. 6 6
x2 3 2 x2 10 3 ? (10 ? x) ? ? 100 ? x, 12 6 12 3

O A B

则 h ? h02 ?

D''

x ? (0,10 3) .
1 1 3 2 10 3 3 2 10 3 x ? 100 ? x? x 100 ? x. 所以,正三棱锥体积 V ? Sh ? ? 3 3 4 3 12 3

设 y ?V2 ?

x4 10 3 100 x 4 10 x5 (100 ? x) ? ? , 48 3 48 48 3

求导得 y ? ?

100 x3 50 x 4 ? ,令 y ? ? 0 ,得 x ? 8 3 , 12 48 3

当 x ? (0,8 3) 时, y ? ? 0 ,? 函数 y 在 (0,8 3) 上单调递增, 当 x ? (8 3,10 3) 时, y ? ? 0 ,? 函数 y 在 (8 3,10 3) 上单调递减, 所以,当 x ? 8 3cm 时, y 取得极大值也是最大值. 此时 y ? 15360 ,所以 Vmax ? 32 15cm3 . 答:当底面边长为 8 3cm 时,正三棱锥的最大体积为 32 15cm3 .

? b2 2 , ? 1? 2 ? ? a 2 解得 a 2 ? 3, b2 ? 3 , 18. (1)由题设: ? 2 ? 1 ? 1 ? 1, 2 2 ? b ? a

? 椭圆 C 的方程为

x2 2 y 2 ? ? 1; 3 3

(2)①直线 l 的斜率不存在或为 0 时,

1 1 2 2 2 2 4 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2; 2 2 2 OA OB OM a b 3 3 ②直线 l 的斜率存在且不为 0 时,设直线 l 的方程为 y ? kx(k ? 0) , 1 则?MA ? MB ,? 直线 OM 的方程为 y ? ? x , k ? y ? kx 3 由? 2 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 3 ,? xA2 ? xB 2 ? , 2 1 ? 2k 2 ?x ? 2 y ? 3
同理? xM 2 ?

3k 2 , k2 ? 2 1 1 1 2 ? 2 ? ? ? 2 2 OA OB O M (1 ? k 2 ) ?

3 3 (1 ? k 2 ) ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2(1 ? 2k 2 ) 2( k 2 ? 2) ? ? 3(1 ? k 2 ) 3(1 ? k 2 ) ? 2,

?

1

? (1 ?

2 1 3k 2 )? 2 2 k k ?2

1 1 2 ? ? ? 2 为定值; 2 2 OA OB OM 2 (3)由(2)得: ?
①直线 l 的斜率不存在或为 0 时,

1 1 1 1 1 2 ? ? 2 ? 2 ? ? ?1 ; 2 2 OA OM a b 3 3

②直线 l 的斜率存在且不为 0 时, 1 1 1 1 1 ? 2k 2 k2 ? 2 ? ? ? ? ? ?1 1 3k 2 OA2 OM 2 (1 ? k 2 ) ? 3 3(1 ? k 2 ) 3(1 ? k 2 ) (1 ? ) ? 1 ? 2k 2 k2 k2 ? 2

? 原点 O 到直线 AM 的距离 d ? ? 直线 AM 与圆 x2 ? y 2 ? 1 相切,

OA ? OM OA ? OM
2 2

?

1 ?1, 1 1 ? OA2 OM 2

即存在定圆 x 2 ? y 2 ? 1,使得直线 l 绕原点 O 转动时, AM 恒与该定圆相切. 19. (1)①由数列 {an } 是等差数列及 a1 ? a2 ? a3 ? 9 ,得 a2 ? 3 , 由数列 {bn } 是等比数列及 b1b2b3 ? 27 ,得 b2 ? 3 . 设数列 {an } 的公差为 d ,数列 {bn } 的公比为 q ,

9 ? ?3 ? 2d ? 3q, ?d ? 3, ?d ? ? , 若 m ? 18 ,则有 ? 2 ,解得 ? 或 ? 2 . ?q ? 3 ?3q ? 3q ? 18 ? ?q ? ?2

9 ? ? ?an ? 3n ? 3, ? an ? ? n ? 12, 所以, {an } 和 {bn } 的通项公式为 ? 或? 2 n ?1 ? ?bn ? 3 ?b ? 3(?2) n ? 2 ? n
② 由题设 b4 ? b3 ? m ,得 3q2 ? 3q ? m ,即 3q 2 ? 3q ? m ? 0 (*) . 因为数列 {bn } 是唯一的,所以 若 q ? 0 ,则 m ? 0 ,检验知,当 m ? 0 时, q ? 1 或 0 (舍去) ,满足题意;

3 1 若 q ? 0 ,则 (?3)2 ? 12m ? 0 ,解得 m ? ? ,代入(*)式,解得 q ? , 4 2
又 b2 ? 3 ,所以 {bn } 是唯一的等比数列,符合题意.

3 所以, m ? 0 或 ? . 4
(2)依题意, 36 ? (a1 ? b1 )(a3 ? b3 ) ,
3 设 {bn } 公比为 q ,则有 36 ? (3 ? d ? )(3 ? d ? 3q ) , (**) q

记m ? 3? d ?

3 , n ? 3 ? d ? 3q ,则 mn ? 36 . q

将(**)中的 q 消去,整理得 d 2 ? (m ? n)d ? 3(m ? n) ? 36 ? 0 ,
n ? m ? (m ? n)2 ? 12(m ? n) ? 144 n ? m ? (m ? n ? 6)2 ? 36 ? 2 2

d 的大根为

而 m, n ? N ? ,所以 ( m, n) 的可能取值为:
(1, 3 6 ) , ( 2 , 1 8 ) , ( 3 , 1 2 ) , ( 4 , 9 1) 2, , (3 6),, 6 (1 ) ,8(,92, )4 , )( ,3(6 , 1 ) .

所以,当 m ? 1, n ? 36 时, d 的最大值为 20.(1) f ?( x) ? 2ax ? e x .

35 ? 5 37 . 2

显然 a ? 0 , x1 , x2 是直线 y ? ? 由 g ?( x) ?

x 1 与曲线 y ? g ( x) ? x 两交点的横坐标. e 2a

1? x ? 0 ,得 x ? 1 .列表: ex
x
g ?( x) g ( x)

(??,1)

1

(1, ??)
?

?


0
g ( x)max ? 1 e



此外注意到: 当 x ? 0 时, g ( x) ? 0 ;

1 1 当 x ? [0,1] 及 x ? (1, ??) 时, g ( x) 的取值范围分别为 [0, ] 和 (0, ) . e e
于是题设等价于 0 ? ?

e e 1 1 ? < ? a ? ? ,故实数 a 的取值范围为 (??, ? ) . 2 2 2a e

(2)存在实数 a 满足题设.证明如下: 由(1)知, 0 ? x1 ? 1 ? x2 , f ?( x1 ) ? 2ax1 ? e x1 ? 0 , 故 f ( x1 ) = ax12 + e x1 ? e x1 ? 记 R( x) ?
2 2 x1 x1 e x1 1 x1 e ? e 3 x1 ,故 ? e ? e3 ? 0 . 2 x1 2

2 ex 1 x ex ( x ? 1) 1 x ? e ? e 3 (0 ? x ? 1) ,则 R?( x) ? ? e ?0, x 2 x2 2

于是, R( x) 在 (0,1) 上单调递减.

2 2 又 R( ) ? 0 ,故 R( x) 有唯一的零点 x ? . 3 3
从而,满足 f ( x1 ) ? e 3 x1 的 x1 ?
2
2

e x1 3 2 2 ? ? e3 . .所以, a ? ? 2 x1 4 3
2

3 3 此时 f ( x) ? ? e 3 x 2 ? e x , f ?( x) ? ? e 3 x ? e x , 4 2 2 又 f ?(0) ? 0 , f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 ,而 x1 ? ? (0,1) , 3 3 2 故当 a ? ? e 3 时, f ( x)极大 ? f ( x1 ) ? e 3 . 4 3
2 2

第Ⅱ卷(附加题,共40分)
21.A. 如图,连结 DF . 因为 BC 与圆相切, 所以 ?CDF ? ?DAF .
E · O F A

B

D

C

因为 ?EFD 与 ?EAD 为弧 DE 所对的圆周角, 所以 ?EFD ? ?EAD . 又因为 AD 是 ?BAC 的平分线, 所以 ?EAD ? ?DAF . 从而 ?CDF ? ?EFD . 于是 EF / / BC .
b ? ?a b ? ?1 0 ? ?a , 则? B.设 B ? ? B?? ? ? ?, ?c d ? ?1 2? ? a ? 2c b ? 2d ?
?a ? ?4, ?a ? ?4, ?b ? 3, ?b ? 3, ? ?4 3 ? ? 解得? 故B ? ? 故? ? ?. ? 4 ? 2? ?a ? 2c ? 4, ?c ? 4, ? ? ?b ? 2d ? ?1, ?d ? ?2.

C. (1)圆 C 是将圆 ? ? 4cos? 绕极点按顺时针方向旋转 方程是 ? ? 4cos(? ? ) . 6 (2)将 ? ? ?

? 而得到的圆,所以圆 C 的极坐标 6

?

5? ? 代入圆 C 的极坐标方程 ? ? 4cos(? ? ) ,得 ? ? 2 2 , 12 6

所以,圆 C 被直线 l : ? ? ?

5? 所截得的弦长为 2 2 . 12

D. 因为 a , b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 , 所以 (3a ? 2) ? (3b ? 2) ? (3c ? 2) ? 9 . 于是由均值不等式可知

? 3a1? 2 ? 3b1? 2 ? 3c1? 2 ??(3a ? 2) ? (3b ? 2) ? (3c ? 2)?
? 33 1 ? 33 (3a ? 2)(3b ? 2)(3c ? 2) ? 9 , (3a ? 2)(3b ? 2)(3c ? 2)

当且仅当 a ? b ? c ? 1 时,上式等号成立. 3 从而 故
1 ? 1 ? 1 ?1. 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2

1 ? 1 ? 1 的最小值为 1 .此时 a ? b ? c ? 1 . 3 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2

22.? 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ,

? 分别以 AB 、 AC 、 AA1 所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系,
则 A(0,0,0), B(2,0,0), C(0, 4,0), A1 (0,0,3), B1 (2,0,3), C1 (0, 4,3) ,
? D 是 BC 的中点,? D(1, 2,0) ,

????? ???? ? (1) AC 1 1 ? (0,4,0), A 1 D ? (1,2, ?3) ,

? ? ? ????? ? ? ? ?n1 ? AC ? 1 1 ?0 设平面 A1C1 D 的法向量 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则 ?? , ? ? ???? ? ? ?n1 ? A1 D ? 0
? x1 ? 3 ?4 y1 ? 0 ? 即? ,取 ? y1 ? 0 , x ? 2 y ? 3 z ? 0 ? 1 1 1 ?z ? 1 ? 1

? ? ? ? 平面 A1C1 D 的法向量 n1 ? (3,0,1) ,
而 DB1 ? (1, ?2,3) ,
???? ?

? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? n1 ? DB1 3 35 , ? cos ? n1 , DB1 ?? ? ? ? ???? ? ? 35 n1 ? DB1
? 直线 DB1 与平面 A1C1 D 所成角的正弦值为
???? ? ???? ? (2) A1 B1 ? (2,0,0) , DB1 ? (1, ?2,3)

3 35 ; 35

?? ? ????? ?? ? ? ?n2 ? A1 B1 ? 0 设平面 B1 A1 D 的法向量 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则 ??? , ? ???? ? ? ?n2 ? DB1 ? 0
? x2 ? 0 ?2 x2 ? 0 ? 即? ,取 ? y2 ? 3 , ? x2 ? 2 y2 ? 3z2 ? 0 ?z ? 2 ? 2

?? ? ? 平面 B1 A1 D 的法向量 n2 ? (0,3, 2) ,

? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? n1 ? n2 130 , ? cos ? n1 , n2 ?? ? ? ? ?? ? ? 65 n1 ? n2
? 二面角 B1 ? A1 D ? C1 的大小的余弦值

130 . 65

23. (1)因为含元素 1 的子集有 Cn2?1 个,同理含 2,3, 4,?, n 的子集也各有 Cn2?1 个,于是所求 1 2 2 元素之和为 (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? Cn (n ? 2n)(n2 ? 1) ; ?1 ? 4 (2)集合 M ? ?1,2,3, ?, n? 的所有 3 个元素的子集中: 以 1 为最小元素的子集有 Cn2?1 个,以 n 为最大元素的子集有 Cn2?1 个; 以 2 为最小元素的子集有 Cn2? 2 个,以 n ?1为最大元素的子集有 Cn2? 2 个; ?? 2 2 以 n ? 2 为最小元素的子集有 C2 个,以 3 为最大元素的子集有 C2 个.
? ? mi ? m1 ? m2 ? ? ? mC3
i ?1
n
3 Cn

2 2 2 ? (n ? 1)(Cn ?1 ? Cn ? 2 ? ? ? C2 ) 2 2 2 3 ? (n ? 1)(Cn ?1 ? Cn ? 2 ? ? ? C3 ? C3 ) 2 2 2 3 ? (n ? 1)(Cn ?1 ? Cn ? 2 ? ? ? C4 ? C4 )
3 , ? ? ? (n ? 1)Cn

?

? mi
i ?1 3 Cn

3 Cn

3 C2015

? n ?1. ?

?m
C
i ?1 3 2015

i

? 2015 ? 1 ? 2016 .

2015 年高考模拟试卷(3)
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . 1.已知集合 M ? x | x2 ? 2x ? 0 , N ? ?x | x ? 1? ,
开始

?

?

( ?R M) ?N = 则

.

a

1, b

1 N

2.如果 a ? 1 ? bi 与 -b ? i 互为共轭复数( a, b ? R, i 为虚数单位) , 则 | a ? bi | = . .
b

a< 4 Y 2b + a

输出 b

结束

3.如右图,该程序运行后输出的结果为

a

a +1

1 4.在△ABC 中,∠C=90° ,M 是 BC 的中点, AC ? 1 .若 sinB= , 3 则 AM =________. 5.某单位有 A, B, C 三部门,其人数比例为 3∶4∶5,现欲用分层抽样方法抽调 n 名志愿者 支援西部大开发 .若在 A 部门恰好选出了 6 名志愿者,那么 n=________. 6.函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0, 且 | ? |?
f (0) 的值为

?
2

) 的部分图像如图所示,则

.

7.连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是 a,b,则函数
f ( x) ? ax2 ? bx 在 x ? 1 处取得最值的概率是

.

8. 在等差数列 ?an ? 和等比数列 ?bn ? 中, 已知 a1 ? ?8, a2 ? ?2, b1 ? 1, b2 ? 2 , 那么满足 an ? bn 的
n

的所有取值构成的集合是

.
E

9.已知如图所示的多面体 EF ? ABCD 中,四边形 ABCD 是菱形,四 边形 BDEF 是矩形,ED⊥平面 ABCD,∠BAD=

? .若 BF=BD 3
A

D F

C

B

=2,则多面体的体积
10.如果关于 x 的方程 x ?



a ? 3 有两个实数解,那么实数 a 的值是 x2



?? x ? a ?2 , x? 0, ? 11.设 f ? x ? ? ? 若 f ? 0 ? 是 f ? x ? 的最小值,则实数 a 的取值范围为 1 x ? ? a, x ? 0. ? ? x

.

12.已知椭圆

a2 x2 y 2 O , F , G , x ? 的中心、右焦点、右顶点依次为 直线 与 ? ? 1( a ? 3) a2 3 a2 ? 3

x轴
交于 H 点,则
FG OH

取得最大值时 a 的值为

.

??? ? ???? ??? ? BA 13.在四边形 ABCD 中, AB ? 2 , AD ? BC , ??? ? ? BA
是 .

??? ? ??? ? BC 3 BD ??? ? ? ??? ? ,则四边形 ABCD 的面积 BC BD

?log 1 ( x ? 1), x ? ?0,1? ? 14. f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,若当 x ? 0 时, f ( x) ? ? 2 ,则关于 x 的 ? 1 ? x ? 3 , x ? 1, ?? ? ? ?
函 数 F ( x) ? f ( x) ? a(?1 ? a ? 0) 的所有零点之和为 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15. (本小题满分 14 分)如图,在 xoy 平面上,点 A(1, 0) ,点 B 在单位圆上, ?AOB ? ? (0 ?? ?? ) (用 a 表示)

3 4 ? (1)若点 B(? , ) ,求 tan(? ? ) 的值; 5 5 4 ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? 18 ? (2)若 OA ? OB ? OC , OB ? OC ? ,求 cos( ? ? ) . 13 3

y

B

C

O

A

x

第 15 题图

16 . ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 平面PAC ? 平 面 , ?ABC 是边长为 4 的正三角形, AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点,又 ?ADC ? 120? , ABCD

P N

A D

点 N 在线段 PB 上,且

PN 1 ? . NB 3

(1)求证: PA ? BD ; (2)求证: MN / / 平面 PDC .

17.(本小题满分 14 分)2014 年 8 月以“分享青春,共筑未来”为口号的青奥会在江苏南京举 行, 为此某商店经销一种青奥会纪念徽章, 每枚徽章的成本为 30 元, 并且每卖出一枚徽章需 向相关部门上缴 a 元( a 为常数, 2 ? a ? 5 ) ,设每枚徽章的售价为 x 元(35 ? x ? 41 ). 根据市场调查,日销售量与 e x ( e 为自然对数的底数)成反比例.已知当每枚徽章的售价 为 40 元时,日销售量为 10 枚. (1)求该商店的日利润 L( x) 与每枚徽章的售价 x 的函数关系式; (2)当每枚徽章的售价为多少元时,该商店的日利润 L( x) 最大?并求出 L( x) 的最大值.

18.(本小题满分 16 分) 已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 a 2 b2

?

2,1 ,离心率为

?

2 . 2

(1)若 A 是椭圆 E 的上顶点, F1 , F2 分别是左右焦点,直线 AF1 , AF2 分别交椭圆于 B , C , 直线 BO 交 AC 于 D,求证 S?ABD : S?ABC ? 3 : 5 ; (2)若 A1 , A2 分别是椭圆 E 的左右顶点,动点 M 满足 MA2 ? A1 A2 ,且 MA1 交椭圆 E 于点

P.
??? ? ???? ? 求证: OP ? OM 为定值.

1 19.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? ln x , g ( x) ? ?bx ,设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) . 2
(1)若 f ( x) 在 x ?

2 处取得极值,且 f ?(1) ? g (?1) ? 2 ,求函数 h(x)的单调区间; 2
x1 x2 ? 1. e2

(2)若 a ? 0 时函数 h(x)有两个不同的零点 x1,x2. ①求 b 的取值范围;②求证:

20.(本小题满分 16 分)若数列 ?Cn ? 满足① cn cn? 2 ? cn?1 ,②存在常数 M ( M 与 n 无关) ,使
cn ? M .则称数列 ?cn ? 是“和谐数列”.

(1)设 S n 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a4 ? 2, S4 ? 30 ,求证:数列 ?Sn ? 是“和谐数 列” ; (2) 设 ?an ? 是各项为正数, 公比为 q 的等比数列,S n 是 ?an ? 的前 n 项和, 求证: 数列 ?Sn ? 是“和谐数列”的充要条件为 0 ? q ? 1 .

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题 ............... 区域内作答 . ..... A. (选修4-1:几何证明选讲)如图,AB 是圆 O 的直径,D 为圆 O 上一点,过 D 作圆 O 的切线交 AB 的延长线于点 C.若 AB = 2 BC , 求证: ?A ? ?C .
A O D

B

C

?2 a ? B. (选修4-2:矩阵与变换)已知矩阵 M ? ? ? ,其中 a , b 均为实数,若点 A(3, ?1) 在 ?b 1 ?

矩阵 M 的变换作用下得到点 B(3,5) ,求矩阵 M 的特征值.

C. (选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极
3 ? x ?2? t ? ? 5 轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度.已知曲线 C1 : ? ( t 为参数) 4 ?y ? t ? 5 ?

和曲线 C2 : ? sin 2 ? ? 2cos? 相交于 A、B 两点,求 AB 中点的直角坐标.

3, D. (选修4-5:不等式选讲)已知实数 a,b,c,d 满足 a? b? c? d ?

a 2 ? 2b2 ? 3c 2 ? 6d 2 ? 5 ,求 a 的取值范围.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. (本小题满分 10 分)甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游,甲提议去古都西安,乙 提议去海上花园厦门, 丙表示随意. 最终, 三人商定以抛硬币的方式决定结果. 规则是: 由丙抛掷硬币若干次,若正面朝上,则甲得一分、乙得零分;若反面朝上,则乙得一分、 甲得零分,先得 4 分者获胜.三人均执行胜者的提议.若记所需抛掷硬币的次数为 X. (1)求 X ? 6 的概率; (2)求 X 的分布列和数学期望.

23. (本小题满分 10 分) 在数学上, 常用符号来表示算式, 如记 ? ai = a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ,
i ?0

n

其中 i ? N , n ? N ? .
i (1)若 a 0 , a1 , a 2 ,…, a n 成等差数列,且 a0 ? 0 ,求证: ? ? ai Cn ? ? an ? 2n?1 ; i ?0 i ] ,且不 (2)若 ? (1 ? x) k ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? a2 n x 2 n , bn ? ? a2i ,记 d n ? 1 ? ? [(?1)i bi Cn n

2n

n

n

k ?1

i ?0

i ?1

等式 t ? (dn ? 1) ? bn 恒成立,求实数 t 的取值范围.

2015 年高考模拟试卷(3)参考答案
南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题 1. ? 0,1? ; 2. 5 ; 3.1027; 由流程图, b 和 a 的值依次为 1,1;3, 2;10,3;1027, 4 ,结束 循环. 4. 3 ;5.24;6. ? 3 ;7

1 ; 8. ?3,5? ; 【解析】 由已知得, an ? 6n ? 14, bn ? 2n?1 , 12

令 an ? bn ,可得 6n ? 14 ? 2n ?1 ,解得 n ? 3 或 5,所以满足 an ? bn 的 n 的所有取值构成的集合 是 ?3,5? . 9.
E

8 3; 【解析】如图,连接 AC,AC∩BD=O.因为四边形 ABCD 是 3
A

D O F

C

菱形,所以,AC⊥BD,又因为 ED⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,

B

所以,ED⊥AC.因为,ED,BD?平面 BDEF,且 ED∩BD=D,所以,AC⊥平面 BDEF,所 以, AO 为四棱锥 ABDEF 的高.又因为,四边形 ABCD 是菱形,∠BAD=

? ,所以, △ABD 3

为等边三角形.又因为,BF=BD=2,所以,AD=2,AO= 3 ,S 四边形 BDEF=4,所以,V 四
棱锥 ABDEF



4 8 3 ,即多面体的体积为 3 . 3 3
??? ? BC ? ??? ? ?b, BC

10. ?2 ; 11. ? 0, 2? ; 12.2;

??? ? BA ? 13. 2 3 ; 【解析】 设 ??? ? ? a, BA
得 cos<a,b>=

??? ? BD ? ??? ? ? c ,则|a|=|b|=|c|=1,a+b= 3 c,所以, BD

???? ???? 1 ? , 又由 AD ? BC ,所以,可得图形为有一个 角的菱形,所以,其面积 2 3

S ? 2? 2?

3 ?2 3. 2
a
-3 x3 -4 -2 x4-1

y 1 1 2 x1 3 x2 4 -1 x y=-a

?1? 14. 1 ? ? ? ; 【解析】 根据对称性,作出 R 上的函数图象, ?2?
由 F ( x ) ? f ( x) ? a , 所以, 零点就是 f ( x) 与 y ? ?a ? ? 0,1? 交 点的横坐标,共有 5 个交点,根据对称性,函数 f ( x) 的图象与

y ? ?a ? ? 0,1? 的 交 点 在 ? 2 , 4 ? 之 间 的 交 点 关 于 x ? 3 对 称 , 所 以 , x1 ? x2 ? 6 , 在

? ?5 , ? 4 ??

? 3 ,?? 2

之间的两个交点关于 x ? ?3 对称,所以, x3 ? x4 ? ?6 ,设 x ? ? ?1,0 ? ,则 ? x ? ?0,1? ,所以,

f (? x) ? log 1 (? x ? 1) ? ? f ( x) ,即 f ( x) ? ? log 1 (? x ? 1) ,由 f ( x) ? a ? 0 ,所以,
2 2

?1? ?1? ? log 1 (? x ? 1) ? a ? 0 ,即 x5 ? 1 ? ? ? ,所以, x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 1 ? ? ? . ?2? ?2? 2
二、解答题

a

a

3 4 3 4 15. (1)由于 B(? , ) , ?AOB ? ? ,所以 cos? ? ? , sin ? ? , 5 5 5 5
4 ? 1 ? tan ? 1 所以 tan ? ? ? , 所以 tan(? ? ) ? ?? ; 3 4 1 ? tan ? 7 ??? ? ??? ? (2)由于 OA ? (1,0) , OB ? (cos? ,sin ? ) ,

???? ??? ? ??? ? 所以 OC ? OA ? OB ? (1 ? cos? ,sin ? ) ,

???? ??? ? 18 OC ? OB ? cos? ? (1 ? cos? ) ? sin 2 ? ? cos? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? . 13
所以 cos ? ? 所以 cos(

5 12 ,所以 sin ? ? , 13 13

?
3

? ? ) ? cos

?
3

cos ? ? sin

?
3

sin ? ?

5 ? 12 3 . 26

16. (1)因为 ?ABC 是正三角形, M 是 AC 中点, 所以 BM ? AC ,即 BD ? AC , 又 平面PAC ? 平面ABCD , 平面PAC ? 平面ABCD ? AC, BD ? 平面 ABCD , BD ? AC , 所以 BD ? 平面 PAC . 又 PA ? 平面 PAC ,所以 PA ? BD . . (2)在正三角形 ABC 中, BM ? 2 3 在 ? ACD 中,因为 M 为 AC 中点, DM ? AC ,所以 AD ? CD , 因为 ?ADC ? 120? ,所以 ?ADM ? 60? . 所以, DM ?
B N P

A D M C

2 3 ,所以 BM : MD ? 3 :1 , 3

所以 BN : NP ? BM : MD ,所以 MN // PD . 又 MN ? 平面 PDC , PD ? 平面 PDC , 所 以 MN // 平面 PDC . 17. (1)设日销售量为

k k ,则 40 ? 10 , x e e

所以 k ? 10e40 ,则日销售量为

10e40 枚. ex

每枚徽章的售价为 x 元时,每枚徽章的利润为 ( x ? 30 ? a) 元,

10e40 x ? 30 ? a ? 10e40 ? (35 ? x ? 41) . x e ex 31 ? a ? x (2) L?( x) ? 10e40 ? (35 ? x ? 41) . ex
则日利润 L( x) ? ( x ? 30 ? a) ①当 2 ? a ? 4 时, 33 ? 31 ? a ? 35 ,而 35 ? x ? 41 , 所以 L?( x) ? 0, L( x) 在 ?35, 41? 上单调递减, 则当 x ? 35 时, L( x) 取得最大值为 10(5 ? a)e5 . ②当 4 ? a ? 5 时, 35 ? 31 ? a ? 36 ,令 L?( x) ? 0 ,得 x ? a ? 31 , 当 x ??35, a ? 31? 时, L?( x) ? 0, L( x) 在 ?35, a ? 31? 上单调递增; 当 x ? ? a ? 31,41? 时, L?( x) ? 0, L( x) 在 ? a ? 31, 41? 上单调递减. 所以当 x ? a ? 31 时, L( x) 取得最大值为 10e9 ? a . 综 上 , 当 2 ? a ? 4 时 , 每 枚 徽 章 的 售 价 为 35 元 时 , 该 商 店 的 日 利 润 L( x) 最 大, L( x)max ? 10(5 ? a)e5 ; 当 4 ? a ? 5 时 , 每 枚 徽 章 的 售 价 为 ( a ? 31 ) 元 时 , 该 商 店 的 日 利 润 L( x) 最 大 ,
9? a . L( x)m a x ? 1 0e

1 ?2 ? ? 1, ? ? a 2 b2 18. (1)易得 ? 且 c2 ? a 2 ? b2 , c 2 ? ? , ? 2 ?a
?a 2 ? 4, ? 解得 ? 2 ? ?b ? 2,
F1 B

y
A

D

o

F2 C

x

所以,椭圆 E 的方程为

x2 y 2 + = 1; 4 2

所以, A(0, 2), F1 (? 2,0), F2 ( 2,0) , 所以,直线 AB : y ? x ? 2 ,直线 AC : y ? ? x ? 2 将 y ? x ? 2 代入椭圆方程可得 3x2 ? 4 2 x ? 0 , 所以 B(?

4 1 4 1 2, ? 2) ,同理可得 C ( 2, ? 2) , 3 3 3 3

所以直线 BO 为 y ?

1 x, 4

1 ? 4 1 ?y ? x 联立 ? ,得交点 D( 2, 2) , 2 5 5 ? y ? ?x ? 2 ?
8 8 所以, AD ? , AC ? ,即 AD : AC ? 3 : 5 5 3
所以, S? ABD : S? ABC ? 3: 5 ;
y0 ) , P( x1, y1 ) , (2)设 M (2,
A1 F1

y
P M

o

F2

A2

x

易得直线 MA1 的方程为 y ? 代入椭圆

y0 y x? 0 , 4 2

y2 y2 y2 x2 y 2 + = 1 ,得 1 ? 0 x 2 ? 0 x ? 0 ? 4 ? 0 , 8 2 2 4 2

?

?

由 ?2 x1 ? 从而 y1 ?

4 ? y0 2 ? 8? y0 2 ? 8
8 y0 , y0 2 ? 8

得, x1 ?

?2 ? y0 2 ? 8? y0 2 ? 8



??? ? ???? ? ? ?2 ? y02 ? 8? 8 y0 ? ?4 ? y02 ? 8? 8 y02 所以 OP ? OM ? ? , ? (2 , y ) ? ? ?4. 0 2 y02 ? 8 ? y02 ? 8 y02 ? 8 ? y0 ? 8 ?
19. (1)因为 f ?( x) ? ax ?

1 ,所以 f ?(1) ? a ? 1 , x

由 f ?(1) ? g (?1) ? 2 可得 a=b-3. 又因为 f ( x) 在 x ? 所以 f ?(

2 处取得极值, 2

2 2 )? a ? 2 ? 0, 2 2

所以 a= -2,b=1 . 所以 h( x) ? ? x2 ? ln x ? x ,其定义域为(0,+ ? )

1 ?2x2 ? x ? 1 ?(2x ? 1)( x ? 1) ? 1= ? x x x 1 令 h?(x) ? 0 得 x1 ? ? , x2 ? 1 , 2 h?(x) ? ?2x ?
当 x ? (0,1)时, h?(x)>0 ,当 x ? (1,+ ? ) h?(x)<0 , 所以函数 h(x)在区间(0,1)上单调增;在区间(1,+ ? )上单调减. (2)当 a ? 0 时, h(x) ? ln x ? bx ,其定义域为(0,+ ? ).

①由 h(x) ? 0 得 b ? 所以 ? (x) ? ?

ln x ln x ln x ? 1 ,记 ? (x) ? ? ,则 ??(x) ? , x x x2

ln x 在 (0, e) 单调减,在 (e, ??) 单调增, x 1 ln x 取得最小值 ? . e x

所以当 x ? e 时 ? (x) ? ?

又 ? (1) ? 0 ,所以 x ? (0,1) 时 ? (x) ? 0 ,而 x ? (1, ??) 时 ? (x) ? 0 ,

1 所以 b 的取值范围是( ? ,0). e
②由题意得 ln x1 ? bx1 ? 0,ln x2 ? bx2 ? 0 , 所以 ln x1 x2 ? b(x1 ? x2 ) ? 0,ln x2 ? ln x1 ? b(x2 ? x1 ) ? 0 ,

ln x1 x2 x ?x ? 1 2 ,不妨设 x1<x2, ln x2 ? ln x1 x2 ? x1 x ?x 要证 x1 x2 ? e2 , 只需要证 ln x1 x2 ? 1 2 (ln x2 ? ln x1 ) ? 2 . x2 ? x1
所以 即证 ln x2 ? ln x1 ? 则 F (t ) ? ln t ?

2( x2 ? x1 ) x ,设 t ? 2 (t ? 1) , x2 ? x1 x1

2(t ? 1) 4 ? ln t ? ?2, t ?1 t ?1 1 4 (t ? 1) 2 ? ? 0, 所以 F ?(t ) ? ? t (t ? 1) 2 t (t ? 1) 2
所以函数 F (t ) 在(1,+ ? )上单调增,而 F (1) ? 0 , 所以 F (t ) ? 0 即 ln t ? 所以 x1 x2 ? e2 .
?a4 ? a1q3 ?a1 ? 16 ? ? 4 ? 20. (1)设公比为 q ,则 ? 1 , a1 (1 ? q ) ? q? s ? ? 4 ? ? 2 1? q ?

2(t ? 1) , t ?1

所以 sn ? 32 ?

1 2
n ?5

.
1 2
n ?5

因为 sn ?sn ? 2 ? (32 ? = 322 ? 32?( = (32 ?
1 2
n ?5

)(32 ? 1 2
2 n ?8

1 2
n ?3

)

?

1 2
n ?3

)?

1 1 ? 322 ? 2? 32? n ? 4 ? 2 n ?8 2 2

1 2 1 ) ? 32 ? n ? 4 ? Sn ?1 . 2n ? 4 2

且 Sn ? 32 ?

1 2
n ?5

? 32. 即存在常数 32,

所以,数列 ?Sn ? 是“和谐数列” .

(2)充分性 设等比数列 ?an ? 的公比 q ,且 0 ? q ? 1. 则 Sn ? 令M ?
a1 (1 ? q n ) a a qn a ? 1 ? 1 ? 1 . 1? q 1? q 1? q 1? q

a1 ,则 Sn ? M . 1? q a a 因为 Sn ?Sn ? 2 ? ( 1 ) 2 (1 ? q n )(1 ? q n ? 2 ) ? ( 1 ) 2 (1 ? q n ? q n ? 2 ? q 2 n ? 2 ) 1? q 1? q
a a ? ( 1 ) 2 ?(1 ? 2q n ?1 ? q 2 n ? 2 ) ? ( 1 ) 2 (1 ? q n ?1 ) 2 ? Sn ?12 1? q 1? q

所以 ?Sn ? 是“和谐数列” 必要性 等比数列 ?an ? 各项为正,且 S n 是“和谐数列”. 因为 an ? 0. 所以, q ? 0. 下面用反证法证明, q ? 1 (1)当 q ? 1, 则 Sn ? na1 , 因为 a1 ? 0, 所以,不存在 M ,使 na1 ? M 对 n ? N ?1 恒成立; 当 q ? 1 ,则 Sn ?
a1 (q n ? 1) a a ? 1 ?q n ? 1 q ?1 q ?1 q ?1

a1 n a q ? 1 ? M, q ?1 q ?1 q ?1 因为, q ? 1 ,所以, n ? log q ( M ? 1). a1 q ?1 即当 n ? log q ( M ? 1) 时,有 Sn ? M . a1
所以,对于给定的正数 M ,若 所以,不存在常数 M ,使 Sn ? M . 所以, 0 ? q ? 1. 综上,数列 ?Sn ? 是“和谐数列”的充要条件为其公比为 0 ? q ? 1 . 第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21. A. 连结 OD,BD, 因为 AB 是圆 O 的直径,所以 ?ADB ? 90o,AB ? 2OB . 由 AB = 2 BC, A D

· O

B

C

所以, AB ? OC , 因为 DC 是圆 O 的切线,所以 ?CDO ? 90o . 于是△ADB ? △CDO, 所以, AD ? DC 所以, ?A ? ?C .
? 2 a ? ? 3 ? ? 3? ?2 ? 3 ? a ? 3, B.由条件可知 ? , ? ? ? ,所以 ? ? ? ? ?b 1 ? ? ?1? ?5? ?3b ? 1 ? 5

则 a ? 3, b ? 2 . 矩阵的特征多项式为 f (? ) ?
? ?2
?2 ?3

? ?1

? (? ? 2)(? ? 1) ? (?2)(?3) ? ? 2 ? 3? ? 4

令 f (? ) ? 0 ,得两个特征值分别为 ?1 ? ?1, ?2 ? 4 . C. 将 C1 化为直角坐标方程为 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 将 C2 化为直角坐标方程为 y 2 ? 2 x 将直线方程代入 y 2 ? 2 x 可得 2 y 2 ? 3 y ? 8 ? 0
2 y 2 ? y2 3 41 , y1 y2 ? ?4 ,所以, x1 ? x2 ? 1 ? 2 2 8 ? 3 41 ? 所以,中点坐标为 ? , ? ? 4 16 ? D. 由柯西不等式,得 (2b2 ? 3c2 ? 6d 2 ) 1 ? 1 ? 1 ≥ (b ? c ? d )2 , 2 3 6

解之可得 y1 ? y2 ?

?

?

即 2b2 ? 3c2 ? 6d 2 ≥ ?b ? c ? d ? .
2

由条件,得 5 ? a2 ≥ ?3 ? a ? ,
2

解得 1 ≤ a ≤ 2 ,当且仅当

2b 1 2

?

3c 1 3

?

6d 1 6

时等号成立,

1 1 2 1 代入 b ? 1, c ? , d ? 时, amax ? 2 ; b ? 1, c ? , d ? 时, amin ? 1 , 3 6 3 3

所以 a 的取值范围是 [1, 2] . 22. (1)抛掷硬币正面向上、反面向上的概率都为
?1? ?1? 1 5 3 P ? X ? 6 ? ? 2 ? C5 ?? ? ?? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 16
3 2

1 , 2

(2)X 的分布列为:

X P

4

5

6

7

1 8

1 4

5 16

5 16

1 1 5 5 93 所以, EX ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 7 ? ? . 8 4 16 16 16
23. (1)设等差数列的通项公式为 an ? a0 ? nd ,其中 d 为公差
i 则 ? ? ai Cn ? ? a0 ? a1Cn1 ? a2Cn2 ? ? ? anCnn ? a0 (Cn0 ? Cn1 ? ? ? Cnn ) ? d (Cn1 ? 2Cn2 ? ?nCnn ) i ?0 n

k k ?1 因为 kCn ? nCn ?1

1 2 n 0 1 n ?1 所以 Cn ? 2Cn ? ?nCn ? n(Cn ?1 ? Cn ?1 ? ? ? Cn ?1 )
i 所以 ? ? ai Cn ? ? a 0 ?2n ? nd ? 2n?1 = an ? 2n?1 . i ?0 n

注:第(1)问也可以用倒序相加法证明. (2)令 x ? 1 ,则 ? ai ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 22 n ?
i ?0 2n

2(1 ? 4n ) ? 2 ? 4n ? 2 ?1

令 x ? ?1 ,则 ? [(?1)i ai ] ? 0 ,
i ?0

2n

1 所以 bn ? ? a2i ? (2 ? 4n ? 2) ? 4n ? 1 2 i ?0
0 1 2 3 n 根据已知条件可知, dn ? Cn ? (4 ? 1)Cn ? (42 ? 1)Cn ? (43 ? 1)Cn ? ? ? (?1)n (4n ? 1)Cn

n

0 1 2 3 n 0 1 2 3 4 n ? [Cn ? Cn (?4) ? Cn (?4)2 ? Cn (?4)3 ? ? ? Cn (?4)n ] ? [Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? (?1)n Cn ] ?1

n n ? ( 1? 4 ) ? (1 ? n 1 )? ? 1 ? ( , 3? )

1

所以 dn ? (?3)n ? 1 将 bn ? 4n ? 1 、 dn ? (?3)n ? 1 代入不等式 t ? (dn ? 1) ? bn 得, t ? (?3)n ? 4n ? 1

4 1 4 1 5 当 n 为偶数时, t ? ( )n ? ( )n ,所以 t ? ( )2 ? ( )2 ? ; 3 3 3 3 3 4 1 4 1 当 n 为奇数, t ? ?[( )n ? ( )n ] ,所以 t ? ?[( )1 ? ( )1 ] ? ?1 ; 3 3 3 3 5 综上所述,所以实数 t 的取值范围是 [?1, ] . 3

2015 年高考模拟试卷(4)
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . 1. 全集 U ? ?1,2,3,4,5? ,集合 A ? ?1,3, 4? , B ? ?3,5? ,则 CU ( A ? B) ? .

2. 已 知 复 数 z 满 足 (1 ? i ) z ? ?1 ? 5i , ( i 是 虚 数 单 位 ) , 则 复 数 z 的 共 轭 复 数

z=

.

3. 已知 4 瓶饮料中有且仅有 2 瓶是果汁饮料,从这 4 瓶饮料中随机取 2 瓶,则所取两瓶中 至少有一瓶是果汁饮料的概率是 .

4. 某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位:支)进行统计,统计时间是 4 月 1 日至 4 月 30 日,5 天一组分组统计,绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图.已知从左到右各长方 形的高的比为 2∶3∶4∶6∶4∶1,且第二组的频数为 180,那么该月共销售出的鲜花数(单 位:支)为
频率 组距



a ?1 b ?1 i?4

While i ? 5
a ? a?b b ? a ? 2b i ? i ?1

0 5

10 15 20 25 30 日期 (第 4 题图)

End While Print b . (第 5 题图) .

5. 如图程序运行的结果是 6. 顶点在原点且以双曲线 7. 给出下列命题:

x2 ? y 2 ? 1 的右准线为准线的抛物线方程是 3

(1)若两个平面平行,那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面; (2)若两个平面平行,那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面; (3)若两个平面垂直,那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面; (4)若两个平面垂直,那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面. 则其中所有真命题的序号是 8. 已知 f ( x) ? 3sin(2 x ? 立,则 ? = .

π π ) ,若存在 ? ? (0, ) ,使 f ( x ? ? ) ? ? f (? ? x) 对一切实数 x 恒成 6 2


? ?2x-y≥0, 9. 设实数 x, y, b 满足?y≥x, , 若 z=2x+y 的最小值为 3,则实数 b 的值为 ? ?y≥-x+b
10. 若 x ? 0, y ? 0, 则
x? y x? y



的最小值为



→ → 11. 在 Rt△ABC 中, CA=CB=2, M, N 是斜边 AB 上的两个动点, 且 MN= 2, 则 CM · CN 的取值范围为 .

12. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x-1)2+y2=4,P 为圆 C 上一点.若存在一个 定圆 M,过 P 作圆 M 的两条切线 PA,PB,切点分别为 A,B,当 P 在圆 C 上运动时,使 得∠APB 恒为 60 ?,则圆 M 的方程为 .

(x1 , f ( x1 ))与原点 重合, Q( x2 , f ( x2 )) 又 13.三次函数 y ? f ( x) 的两个极值点为 x1 , x2 . 且 P
在曲线 y ? 1 ? 2x ? x 2 上,则曲线 y ? f ( x) 的切线斜率的最大值的最小值为_________. 14. 设各项均为正整数的无穷等差数列{an},满足 a54=2014,且存在正整数 k,使 a1,a54, ak 成等比数列,则公差 d 的所有可能取值之和为 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15. (本小题满分 14 分)在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, tan C ? sin A ? sin B . cos A ? cos B (1)求 C ; (2)若△ABC 的外接圆直径为 1,求 a ? b 的取值范围. .

16.(本小题满分 14 分)在正四棱锥 S ? ABCD 中,底面边长为 a ,侧棱长为 2a , P 为侧 棱 SD 上的一点.

SP 6a 3 时,求 的值; PD 18 (2)在(1)的条件下,若 E 是 SC 的中点,求证: BE // 平面APC
(1)当四面体 ACPS 的体积为

S P A B C D

17. (本小题满分 14 分)如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图.已知 AB 为直径,且 且 CD AB ? 2 km, O 为圆心,C 为圆周上靠近 A 的一点,D 为圆周上靠近 B 的一点,

AC ,C 到 D ∥ AB . 现在准备从 A 经过 C 到 D 建造一条观光路线, 其中 A 到 C 是圆弧 ? 是线 段 CD .设 ?AOC ? x rad ,观光路线总长为 y km . (1)求 y 关于 x 的函数解析式,并指出该函数的定义域; (2)求观光路线总长的最大值.

C

D
O

A

B

(第 17 题图)

18. (本小题满分 16 分) 如图, 设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F 1 , F2 , a 2 b2

点 D 在椭圆上, DF 1

? F1F2 ,

2 | F1F2 | . ? 2 2 , ?DF1F2 的面积为 2 | DF1 |

(1)求该椭圆的标准方程; (2)是否存在圆心在 y 轴上的圆,使圆在 x 轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点 处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在, 求圆的方程, 若不存在, 请说明理由.

19. (本小题满分 16 分)已知函数 g ? x ? ? a ln x, f ? x ? ? x ? x ? bx .
3 2

(1)若 f ? x ? 在区间 ?1, 2? 上不是单调函数,求实数 b 的范围; (2)若对任意 x ??1, e? ,都有 g ? x ? ? ? x ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围;
2

(3)当 b ? 0 时,设 F ? x ? ? ?

? f (? x) x ? 1 ,对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F ? x? 上 ? g ( x) x ? 1

是否存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且 此三角形斜边中点在 y 轴上?请说明理由. 20. (本小题满分 16 分)已知 a,b 是不相等的正数,在 a,b 之间分别插入 m 个正数 a1, a2,?,am 和正数 b1,b2,?,bm,使 a,a1,a2,?,am,b 是等差数列,a,b1,b2,?, bm,b 是等比数列. a3 5 b (1)若 m=5,b =4,求a的值; 3 (2)若 b=λa(λ∈N*,λ≥2),如果存在 n (n∈N*,6≤n≤m)使得 an-5=bn,求 λ 的最小值及 此时 m 的值; (3)求证:an>bn(n∈N*,n≤m).

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题 ............... 区域内作答 . ..... A. (选修4-1:几何证明选讲)如图,⊙O 的直径 AB 的延长 线与弦 CD 的延长线相交于点 P,E 为⊙O 上一点,AE=AC,求证: ∠PDE=∠POC. A · O C
(第 21-A 题图)

E B D P

B. (选修4-2:矩阵与变换)若二阶矩阵 M 满足: M ? (Ⅰ)求二阶矩阵 M ;

?1 2? ?5 8 ? ??? ?. ?3 4? ?4 6?

(Ⅱ)若曲线 C : x ? 2 xy ? 2 y ? 1 在矩阵 M 所对应的变换作用下得到曲线 C ? ,求曲
2 2

线 C ? 的方程.

C. (选修4-4:坐标系与参数方程)已知点 P(?1 ? 2 cos ? , 2 sin ? ) (其中 ? ? ?0, 2? ?) , 点 P 的轨迹记为曲线 C1 ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点 Q 在 曲线 C2 : ? ?
1 2 cos(? ?

?
4

上.
)

(Ⅰ)求曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)当 ? ? 0 , 0 ? ? ? 2? 时,求曲线 C1 与曲线 C2 的公共点的极坐标.

y D. (选修4-5:不等式选讲)已知 x,y,z 均为正数.求证: x + + z ≥1 + 1 + 1 . yz zx xy x y z

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. (本小题满分 10 分) 从集合 M ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} 中任取三个元素构成子集 {a, b, c} (1)求 a , b, c 中任意两数之差的绝对值不小于 2 的概率; (2) 记 a , b, c 三个数中相邻自然数的组数为 ? (如集合 {3, 4,5} 中 3 和 4 相邻, 4 和 5 相邻,

? ? 2) ,求随机变量 ? 的分布率及其数学期望 E (? ) .

23. (本小题满分 10 分)设整数 n≥3,集合 P ? {1,2,3,?,n},A,B 是 P 的两个非空子 集.记 an 为所有满足 A 中的最大数小于 B 中的最小数的集合对(A,B)的个数. (1)求 a3; (2)求 an.

2014 年高考模拟试卷(4)参考答案 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题 1. {1, 2, 4,5}; 7 . ① ② 2. 2 ? 3i ; ; 8 . 3.

? 12

5 ; 6


4.1200; 9 .

5.14; ;

6. y 2 ? ?6 x ;

9 4

10 .

2 . 【 解 析 】 2

x? y x? y
号;

?

x? y x ? y ? 2 xy

? 1?

2 xy x ? y ? 2 xy

? 1?

2 xy 4 xy

?

2 ,当且仅当 x ? y 时,取等 2

?3 ? 11. ? ,2? . 【解析】 以 CA、 CB 所在直线为 x、 y 轴, 建立平面直角坐标系, 设 M(x,y), ?2 ? 则 x+y=2,y=2-x,即 M(x, 2-x),又 MN= 2,所以点 N 坐标为(x+1,2-x-1),即
3 (0≤x 2 ? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? 1 ???? 3 ≤1), 所以 x= 时 CM ? CN 取最小值 , x=0 或 1 时 CM ? CN 取最大值 2, 因此 CM ? CN 2 2 3 2 2 ? 的取值范围为? ?2,2?; 12.( x ?1) ? y ? 1 .【解析】∵当 P 在圆 C 上运动时∠APB 恒为
2 N(x+1,1-x),于是 CM ? CN =x(x+1)+(2-x) (1-x)=2x2-2x+2= 2( x ? ) ?

???? ? ????

1 2

60°, ∴圆 M 与圆 C 一定是同心圆, ∴可设圆 M 的方程为(x-1)2+y2=r2.当点 P 坐标是(3, 0)时, 设直线 AB 与 x 轴的交点为 H, 则 MH+HP=2, MH= +2× 13 .

1 1 3 r, r, AB=2× 所以 r 2 2 2

3 3 r× =2,解得 r=1,所以所求圆 M 的方程为(x-1)2+y2=1; 2 2
3 ' 3 2 . 【 解 析 】 设 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d , 依 题 意 知 f (0) ? 0且f (0) ? 0 , ∴ 4

c ? d ? 0 ,故 f ( x) ? ax3 ? bx2 , f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx ,由 y ? 1 ? 2x ? x 2 及点 Q 在
其上, 可设 Q 点的坐标为 (1 ? cos? ,1 ? sin ? ),? ? [0, ? ] . 由 Q 为 y ? f ( x) 的一个极值点得
3 2 ? ?1 ? sin ? ? a(1 ? cos? ) ? b(1 ? cos? ) , ? 2 ? ?0 ? 3a(1 ? cos? ) ? 2b(1 ? cos? )

? 2(1 ? sin ? ) ? a ? ? (1 ? cos? ) 3 2b ? 显然 cos? ? ?1,? ? ? ,∴ 1 ? cos ? ? ? ,∴ ? , 3a ?b ? 3(1 ? sin ? ) ? (1 ? cos? ) 2 ? 2b 1 ? cos ? 3 1 ? sin ? ' ' 2 ) ? f '( )? ? ∵ a ? 0 ,∴ f ( x) ? 3ax ? 2bx 存在最大值 f (? , 3a 2 2 1 ? cos ?

数形结合可求得

3 3 1 ? sin ? 3 ? ? ? k OQ ,其最小值为 . 4 2 1 ? cos ? 2

14.92. 【解析】易知 d=0,成立. 当 d>0 时, a54 ? a1 ? 53d ? 2014? a1 ? 2014? 53d

ak ? a54 ? ( k ? 54 )d ? 2014? ( k ? 54 )d

a54 ? a1ak ? ( 2014? 53d )?2014? ( k ? 54 )d ? ? 53( 38 ? d )?2014? ( k ? 54 )d ? ? 2014? 2014
2

( 38 ? d )?2014? ( k ? 54d )? ? 38? 2014

? ( k ? 54 )d 2 ? 38( k ? 107)d ? 0 ? ( k ? 54 )d ? 38( k ? 107)
kd ? 54d ? 38d ? 38? 107 ? ( d ? 38 )k ? 54 ? 38?107
k? 54 d ? 38 ? 107 54( d ? 38 ) ? 54 ? 38 ? 38 ? 107 38 ? 53 38 ? 53 ? ? 54 ? ? 54 ? ? N* d ? 38 d ? 38 d ? 38 38 ? d

又? ?

?a1 ? 2014? 53d ? 53( 38 ? d ) ? 0 ? 38 ? d ? 0 ?d ? 0

? 0 ? 38 ? d ? 38

?38 ? d ? 1, 2,19 , ? d ? 3 7 , 3 6 ,,所以公差 19 d 的所有可能取值之和为 92.
二、解答题 15. (1)因为 tan C ? sin A ? sin B ,即 sin C ? sin A ? sin B , cos A ? cos B cos C cos A ? cos B 所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) , 所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立). 即 2C ? A ? B , 得 C ? ? ; 3 (2)法一:由 C ? π , 设A ? π ? ? , B ? π ? ? , 0 ? A, B ? 2π , 知- π ? ? ? π . 3 3 3 3 3 3 因 a ? 2 R sin A ? sin A, b ? 2 R sin B ? sin B , 故 a ? b ? (sin A ? sin B) ? sin( ? ? ? ) ? sin( ? ? ? ) ? 3 cos ? , 3 3

1 3 ? cos? ? 1 , ?a?b? 3. 2 2 2? 3 3 ? ? A) ? sin A ? cos A ? 3 sin( A ? ) , 法二: a ? b ? sin A ? sin B ? sin A ? sin( 3 2 2 6 ? 3 ?? ? 3


?

?

0? A?

1 ? 3 2? ? ? 5? ?a?b? 3 . ,? ? sin( A ? ) ? 1,? , ? A? ? 2 6 2 3 6 6 6

16. (1)设 PD ? x ,设 P 作 PH ? BD 于 H ,? 平面SBD ? 平面ABCD 且 BD 为交线,

则 PH ? 平面 ABCD ,又 SO ? 平面ABCD ? PH // SO , 在 Rt ?SOB 中, SO ?

SB 2 ? BO 2 ?

6 a, 2

?

PH PD PD ? SO ? ? PH ? ? SO SD SD

x?

6 a 3 2 x, 2a 2

1 1 6 3 6 3 ?VSPAC ? VS ? ACD ? VP ? ACD ? ? ( ? a ? a)( a? x) ? a , 3 2 2 2 18
解得 x ?

SP 2 2 ? ? 2. a? PD 1 3

(2)取 SP 中点 Q ,连结 QE, BQ , 则 EQ / / PC, EQ ? 平面PAC,PC ? 平面PAC,? EQ / / 平面PAC , 则 BQ / / PO, BQ ? 平面PAC,PO ? 平面PAC,? BQ / / 平面PAC , 而 EQ与BQ 为平面 BEQ 内的两条相交直线,?平面BEQ // 平面PAC , 而 BE ? 平面BEQ ,? BE // 平面APC . 【注】第(2)问,也可以连结 ED,ED 交 CP 于 Q,用平几知识证明 Q 为 ED 中点,进 而证明 OQ∥BE,从而获证.

AC ? x ?1 ? x , CD ? 2 cos x ,因为 C 为圆周上靠近 A 的一点, D 为 17.(1)由题意知, ?
圆周上靠近 B 的一点,且 CD // AB ,所以 0 ? x ? 所以 y ? x ? 2 cos x , x ? ? 0,

? , 2

? ?? ? . ? 2? (2)记 f ? x ? ? x ? 2cos x ,则 f ?( x) ? 1 ? 2sin x ,
令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 列表 x (0, + 递增

? , 6 ? ) 6 ? 6
0 极大值 (

f ?( x )
f (x)

? ? , ) 6 2

- 递减

π 所以函数 f ? x ? 在 x ? 处取得极大值,这个极大值就是最大值, 6

即 f( )?

? 6

? ? 3, 6

答:观光路线总长的最大值为

? ? 3 千米. 6

2 2 2 18. (1)设 F 1 ? ?c,0? , F 2 ? c,0? ,其中 c ? a ? b ,



FF F1F2 2 c. ? 2 2 ,得 DF1 ? 1 2 ? 2 DF1 2 2
1 2 2 2 DF1 ? F1F2 ? c ? , 故c ?1. 2 2 2
9 2 3 2 2 2 2 ? DF1 ? F1 F2 ? ,因此 DF2 ? ,由 DF . 1 ?F 1F 2 得 DF2 2 2 2

从而 S?DF1F2 ?

从而 DF1 ?

2 2 2 所以 2a ? DF 1 ? DF 2 ? 2 2 ,故 a ? 2, b ? a ? c ? 1 .

x2 ? y 2 ? 1. 因此,所求椭圆的标准方程为 2

(2)如图,设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1相交, P 1 ? x1 , y1 ? , P 2 ? x2 , y2 ? 是两个 2

C 的切线,且 F1 P 交点, y1 ? 0, y2 ? 0 , F1 P 1 , F2 P 1 ? F2 P 2 是圆 2 由圆和椭圆的对称性,易
知 x2 ? ? x1 , y1 ? y2 , PP 1 2 ? 2 | x1 | , 由(1)知 F 1 ? ?1,0? , F 2 ?1,0? ,所以 F 1P 1 ? ? x1 ? 1, y1 ? , F 2P 2 ? ? ?x1 ?1, y1 ? ,
2 再由 F1 P 1 ? F2 P 2 得 ? ? x1 ? 1? ? y1 ? 0 , 2

???? ?

???? ?

由椭圆方程得 1 ?

x12 2 ? ? x1 ? 1? ,即 3x12 ? 4 x1 ? 0 , 2

解得 x1 ? ?

4 或 x1 ? 0 . 3

当 x1 ? 0 时, P 1, P 2 重合,此时题设要求的圆不存在. 当 x1 ? ?

4 C ,设 C ? 0, y0 ? 时,过 P 1P 1 , F2 P 1, P 2 分别与 F 2 垂直的直线的交点即为圆心 3
5 1 y1 ? y0 y1 ? ? ?1, 而 y1 ? x1 ? 1 ? , 故 y0 ? . 3 3 x1 x1 ? 1
2 2

由 CP 1 ? F 1P 1, 得

4 2 ? 4? ?1 5? 圆 C 的半径 CP . 1 ? ?? ? ?? ? ? ? 3 ? 3? ?3 3?
综上,存在满足条件的圆,其方程为 x 2 ? ? y ? ? ?

? ?

5? 3?

2

32 . 9

3 2 2 19.(1)由 f ?x? ? x ? x ? bx 得 f ??x ? ? 3x ? 2 x ? b ,因 f ?x ? 在区间 ?1,2 ?上不是单调函

数.
2 所以 f ??x ? ? 3x ? 2 x ? b 在 ?1,2 ?上最大值大于 0,最小值小于 0,

1? 1 ? f ??x ? ? 3x 2 ? 2 x ? b ? 3? x ? ? ? b ? , 3? 3 ?

2

? f ??x ?max ? 16 ? b ,? ?16 ? b ? ?5 . ?? ? f ??x ?min ? 5 ? b
(2)由 g ?x ? ? ? x ? ?a ? 2?x ,得 ?x ? ln x ?a ? x ? 2 x ,
2 2

? x ? ?1, e?,? ln x ? 1 ? x ,且等号不能同时取,? ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0 .
?a ?

? x2 ? 2x ? x2 ? 2x 恒成立,即 a ? ? ? x ? ln x ? ? . x ? ln x ? ? min
x2 ? 2x ?x ? 1??x ? 2 ? 2 ln x ? , , ?x ? ?1, e?? ,求导得 t ??x ? ? x ? ln x ?x ? ln x ?2

令 t ?x ? ?

当 x ? ?1, e?时, x ? 1 ? 0,0 ? ln x ? 1, x ? 2 ? 2 ln x ? 0 ,从而 t ??x ? ? 0 .

? t ? x ?在 ?1, e? 上是增函数,?tmax ?x? ? t ?1? ? ?1 .
? a ? ?1 .
(3)由条件, F ?x ? ? ?

?? x3 ? x 2 , x ? 1 ?a ln x, x ? 1

,

假设曲线 y ? F ?x ? 上存在两点 P, Q 满足题意,则 P, Q 只能在 y 轴两侧, 不妨设 P?t , F ?t ???t ? 0? ,则 Q ? t , t 3 ? t 2 ,且 t ? 1 ,

?

?

? ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,?OP ? OQ ? 0 ,

? ?t 2 ? F ?t ? t 3 ? t 2 ? 0

?

?

?*?

是否存在 P, Q 等价于方程 ?*? 在 t ? 0 且 t ? 1 是否有解.
2 3 2 3 2 ①当 0 ? t ? 1 时,方程 ?*? 为 ?t ? ? ?t ? t ??t ? t ? ? 0 ,化简 t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 ,此方程无

解;
2 3 2 ②当 t ? 1 时,方程 ?*? 为 ? t ? a ln t t ? t ? 0 ,即

?

?

1 ? ?t ? 1? ln t a

设 h?t ? ? ?t ? 1?ln t ?t ? 1? ,则 h??t ? ? ln t ? ? 1 , 显然,当 t ? 1 时, h??t ? ? 0 ,即 h ?t ? 在 ?1,??? 上为增函数.

1 t

? h?t ?的值域为 ?h?1?,??? ,即 ?0,??? ,? 当 a ? 0 时,方程 ?*? 总有解.
? 对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F ? x ? 上存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O 为坐
标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上. 20. (1)设等差数列的公差为 d,等比数列的公比为 q, b-a 则 d= 6 ,q=
6

b a .

a+b a3=a+3d= 2 ,b3=aq3= ab. a3 5 b 1 因为b =4,所以 2a-5 ab+2b=0,解得a=4 或4. 3 λ-1 λ-1 (2)因为 λa=a+(m+1)d,所以 d= a,从而得 an=a+ a×n. m+1 m+1 因为 λa=a×q
m+ 1

1 n m + 1 m + 1. ,所以 q=λ ,从而得 bn=a×λ

n (λ-1)(n-5) m + 1. 因为 an-5=bn,所以 a+ ×a=a×λ m+1 n (λ-1)(n-5) 因为 a>0,所以 1+ =λm+1(*) . m+1 (λ-1)(n-5) 因为 λ,m,n∈N*,所以 1+ 为有理数. m+1

n 要使(*)成立,则 λm+1必须为有理数. 因为 n≤m,所以 n<m+1. n m + 1为无理数,不满足条件. 若 λ=2,则 λ 同理,λ=3 不满足条件. n 2n 2n 2n m + 1 m + 1 m 当 λ=4 时,4 =2 .要使 2 +1为有理数,则 必须为整数. m+1 又因为 n≤m,所以仅有 2n=m+1 满足条件. 3(n-5) 所以 1+ =2,从而解得 n=15,m=29. m+1 综上,λ 最小值为 4,此时 m 为 29. (3)证法一:设 cn>0,Sn 为数列{cn}的前 n 项的和. Sn 先证:若{cn}为递增数列,则{ n }为递增数列. Sn nbn+1 证明:当 n∈N*时, n < n =bn+1. Sn n+1 S n S n +1 Sn 因为 Sn+1=Sn+bn+1>Sn+ n = n Sn,所以 n < ,即数列{ n }为递增数列. n+1 Sn 同理可证,若{cn}为递减数列,则{ n }为递减数列. Sm+1 Sn ①当 b>a 时,q>1.当 n∈N*,n≤m 时, > . m+1 n aq(qm 1-1) aq(qn-1) + q-1 q-1 aqm 1-a aqn-a 即 > ,即 > n . n m+1 m+1 b-a + 因为 b=aqm 1,bn=aqn,d= , m+1 bn-a 所以 d> n ,即 a+nd>bn,即 an>bn. Sm+1 Sn ②当 b<a 时,0<q<1,当 n∈N*,n≤m 时, < . m+1 n aq(qm 1-1) aq(qn-1) q-1 q-1 即 < . n m+1 aqm 1-a aqn-a 因为 0<q<1,所以 > n .以下同①. m+1 综上, an>bn(n∈N*,n≤m).
+ + +

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.A.因 AE=AC,AB 为直径, 故∠OAC=∠OAE. 所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC. 又∠EAC=∠PDE, M ? 所以,∠PDE=∠POC.

?1 2? ?5 8 ? ??? ? ?3 4? ?4 6?
? ?2 1 ? A? ? ?2 , ? A ? ? 3 , 1? ? ? ? 3 4 ?2 2?

?1 2 ? B . ( 1 ) 设 A?? ? , 则 3 4 ? ?
? ?2 1 ? ?5 8 ? ? ? ? ? 2 1? ?M ? ? 3 1 ? ? ? ? 4 6? ? ? ? ?1 1? ?2 2?
(2)? M ? ? ? ? ? ? ? ? ? M ? 即?

1 2

?1

? x ? ? x? ? ? y? ? y ?

?x ? ? y?

?1

? x? ? ? 1?1 ? ? x? ? ? y ? ? ? ? ? 1 2 ? ? y ?? , ? ? ? ?? ?

? x ? x? ? y?, ? y ? ? x? ? 2 y?,
2 2

代入 x ? 2 xy ? 2 y ? 1可得

? x? ? y ? ?

2

? 2 ? x? ? y? ?? ? x? ? 2 y? ? ? 2 ? ? x? ? 2 y? ? ? 1 ,即 x?2 ? 4 x?y? ? 5 y?2 ? 1,
2

故曲线 C ? 的方程为 x ? 4 xy ? 5 y ? 1.
2 2

C.(Ⅰ)曲线 C1 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 ,极坐标方程为 ? 2 ? 1 ? 2? cos? , 曲线 C2 的直角坐标方程为 y ? x ? 1 ; (Ⅱ) 曲线 C1 与曲线 C2 的公共点的坐标为 (0, ?1) ,极坐标为 (1, D.因为 x,y,z 都是为正数,所以 同理可得

3? ). 2

x y 1 x y 2 ? ? ( ? )≥ . yz zx z y x z

y z 2 z x 2 ? ≥ , ? ≥ . zx xy x xy yz y

将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2,得

x y z 1 1 1 ? ? ≥ ? ? . yz zx xy x y z

22. (1)从 9 个不同的元素中任取 3 个不同的元素,为古典概型. 记“ a , b, c 中任意两数之差的绝对值均不小于 2”为事件 A,
3 其基本事件总数为 n ? C9 .

3 由题意, a , b, c 均不相邻,利用插空法得,事件 A 包含基本事件数 m ? C7 ,

所以, a , b, c 中任意两数之差的绝对值均不小于 2 的概率为 (2)

5 . 12

?
P

0

1

2

5 12

1 2

1 12

E(? ) ? 0 ?

5 1 1 2 . ? 1? ? 2 ? ? 12 2 12 3

23. (1)当 n ? 3 时,P ? {1,2,3 }, 其非空子集为:{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}, 则所有满足题意的集合对(A,B)为:({1},{2}),({1},{3}),({2},{3}), ({1},{2,3}) , ({1,2},{3})共 5 对, 所以 a3 ? 5 ; (2)设 A 中的最大数为 k,其中 1≤k≤n ? 1 ,整数 n≥3, 则 A 中必含元素 k,另元素 1,2,?,k ?1 可在 A 中,故 A 的个数为:
1 k ?1 k ?1 , C0 k ?1 ? Ck ?1 ? ??? ? Ck ?1 ? 2

B 中必不含元素 1,2,?,k,另元素 k ? 1,k ? 2,?,n 可在 B 中,但不能
2 n?k n?k 都不在 B 中,故 B 的个数为: C1 ?1 , n ? k ? Cn ? k ? ??? ? Cn ? k ? 2

从而集合对(A,B)的个数为 2k ?1 ? 2n?k ? 1 ? 2n ?1 ? 2k ?1 , 所以 an ? ? ? 2n ?1 ? 2k ?1 ? ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 1 ? 2 ? (n ? 2) ? 2n ?1 ? 1 . 1? 2 k ?1
n ?1 n ?1

?

?

2015 年高考模拟试卷(5)
南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷(必做题,共 160 分)
一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . π 1.函数 y=2sin(3x+ )的最小正周期为 . 6 2. 设复数 z 满足 z(1+2i)=2-i,则|z|= .

1 3.集合{x|-1≤log110<- ,x∈N*}的真子集的个数是 2 x



4.从{1,2,3,?,18}中任取两个不同的数,则其中一个数恰好是另一 个数的 3 倍的概率为 . 5.运行如图的算法,则输出的结果是 .

x←0 While x<30 x ← x+2 x ← x2 End While Print x
第5题

6.某校从参加高三年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩 (均为整数)分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如图的频率分 布直方图,请你根据频率分布直方图中的信息,估计出本次考试数学成绩 的平均分为 .

7.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别为线段 AA1,B1C 上的点,则 三棱锥 D1-EDF 的体积为 .

8.已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上.直线 l:y=x-1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2,则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为 . 9. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 并且对任意正整数 n 均有 Sn+2=4Sn+3. 则 a2= . 2 2 10.已知集合 A={x|x +2x-8>0},B={x|x -2ax+4≤0}.若 a>0,且 A∩B 中恰有 1 个整数, 则 a 的取值范围是 . → → → 11.已知点 A(1,-1),B(4,0),C(2,2).平面区域 D 由所有满足 AP =λ AB +μ AC (1<λ≤a, 1<μ≤b)的点 P(x,y)组成的区域.若区域 D 的面积为 8,则 a+b 的最小值为 . 1 3 12.设函数 f(x)=ax+ sinx+ cosx 的图象上存在两条切线垂直,则 a 的值是 . 2 2 13.实数 x、y、z 满足 0≤x≤y≤z≤4.如果它们的平方成公差为 2 的等差数列,则 |x-y|+|y-z|的最小可能值 . 14.若实数x, y满足x-4 y=2 x-y,则x的取值范围是 . 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15.(本小题满分 14 分)已知△ABC 的内角 A 的大小为 120°,面积为 3 . (1)若 AB ? 2 2 ,求△ABC 的另外两条边长;
uuu r uuu r (2)设 O 为△ABC 的外心,当 BC ? 21 时,求 AO ? BC 的值.

16 . ( 本小题满分 14 分 ) 已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D, E 分别为 AA1 , CC1 的中点,
AC ? BE ,点 F 在线段 AB 上,且 AB ? 4AF .

⑴求证: BC ? C1 D ; ⑵若 M 为线段 BE 上一点,试确定 M 在线段 BE 上的位置, 使得 C1 D / / 平面 B1 FM .
B1

C1
A1

E C B
? F 第 16 题

D A

17.(本小题满分 14 分)汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间;所经过的距 离 叫 做 刹 车 距 离 . 某 型 汽 车 的 刹 车 距 离 s( 单 位 米 ) 与 时 间 t( 单 位 秒 ) 的 关 系 为
s ? 5t 3 ? k ? t 2 ? t ? 10 ,其中 k 是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量.

(1)当 k=8 时,且刹车时间少于 1 秒,求汽车刹车距离; (2)要使汽车的刹车时间不小于 1 秒钟,且不超过 2 秒钟,求 k 的取值范围.

18.(本小题满分 16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 T 的中心在坐标原点,一条准线 方程为 y ? 2 ,且经过点(1,0). (1)求椭圆 T 的方程; (2)设四边形 ABCD 是矩形,且四条边都与椭圆 T 相切.求证:满足条件的所有矩形 的顶点在一个定圆上;

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1(a ? R), f ? ( x)是f ( x) 的导函数. (1)若 x ?[?2, ?1] ,不等式 f ( x) ≤ f ?( x) 恒成立,求 a 的取值范围; (2)解关于 x 的方程 f ( x) ?| f ?( x) | ; (3)设函数 g ( x) ? ?

? f ?( x), f ( x) ≥ f ?( x) ,求 g ( x)在x ?[2, 4] 时的最小值. ? f ( x ), f ( x ) ? f ( x ) ?

20.(本小题满分 16 分) 已知数列{an}满足 a1=a(a>0,a∈N*),a1+a2+?+an-pan+1= 0(p≠0,p≠-1,n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)若对每一个正整数 k,若将 ak+1,ak+2,ak+3 按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成 等差数列,且公差为 dk.①求 p 的值及对应的数列{dk}. ②记 Sk 为数列{dk}的前 k 项和, 问是否存在 a, 使得 Sk<30 对任意正整数 k 恒成立?若存在, 求出 a 的最大值;若不存在,请说明理由.

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题 ............... 区域内作答 . ..... A. (选修4-1:几何证明选讲)如图,AB、CD 是圆的两条平行弦,BE//AC,BE 交 CD 于 E、 交圆于 F, 过 A 点的切线交 DC 的延长线于 P, PC=ED=1, PA=2. (1)求 AC 的长; (2)求证:BE=EF.

B. (选修4-2: 矩阵与变换) 已知二阶矩阵 M 有特征值 ? ? ?1 及对应的一个特征向量 e1 ? ? ? ,并且矩阵 M 对应的变换将 点 ?1,1? 变换成 ? 0, ?3? . (1)求矩阵 M; (2)已知向量 α ? ? ? ,求 M 5 α 的值.

?1 ? ?2?

? 2? ?8 ?

? 2 t ?x ? ? 2 (t是参数) , C. (选修4-4:坐标系与参数方程)已知直线 l 的参数方程是 ? 2 ? y? t?4 2 ? 2 ?

圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos(? ?

?
4

).

(1)求圆心 C 的直角坐标; (2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值.

D. (选修4-5:不等式选讲)已知函数 f ( x) = x - 1 + x - 2 . 若不等式
a + b + a - b ≥ a f ( x)

(a ? 0, a, b ? R) 恒成立,求实数 x 的范围.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.
1 22. (本小题满分 10 分) 某学生在校举行的环保知识大奖赛中, 答对每道题的概率都是 , 答 3 2 错每道题的概率都是 ,答对一道题积 5 分,答错一道题积-5 分,答完 n 道题后的总积分记 3 为 Sn .

(1)答完 2 道题后,求同时满足 S1=5 且 S 2 ? 0 的概率; (2)答完 5 道题后,设 ? ?| S5 | ,求 ? 的分布列及其数学期望.

23. (本小题满分 10 分) 一个非空集合中的各个元素之和是 3 的倍数, 则称该集合为 “好集” . 记集合 {1,2,3,?,3n}的子集中所有“好集”的个数为 f(n). (1)求 f(1),f(2)的值; (2)求 f(n)的表达式.

2014 年高考模拟试卷(5)参考答案 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题 2π 2 1 1. ; 2.1;3.290-1; 4. ; 5.36; 6.71; 7. ; 8.x+y-3=0; 3 51 6 9.2 或 6. 【解析】由 Sn+1=qSn+a1.得 Sn+2=q(qSn+a1)+ a1=q2Sn+a1(q+1),与已知条件比较得, q2=4,a1(q+1)=3.从而,(q,a1)=(2,1),或(q,a1)=(-2,-3). 13 5 10. [ , ).【解析】A={x|x<-4,或 x>2}.设 f(x)=x2-2ax+4,则 f(x)的对称轴 x=a>0,由 6 2 f(-4)=20+8a>0,知 B∩{x|x<-4}=?.因此,A∩B 中恰有一个整数为 3.故 f(3)≤0,f(4) 13 5 >0.即[ , ). 6 2 11. 4. 【解析】 由条件可知 D 是为平行四边形, 其面积为 8, 故得(a-1)(b-1)=1, 故 a+b≥4. π π 12 . 0. 【 解 析 】 f(x)=ax+sin(x+ ) , f ′(x)=a+cos(x+ ) 由 题 设 可 知 存 在 x1 , x2 使 3 3 (a+cos(x1+ π π π π ))(a+cos(x2+ ))=-1 , 不 妨 设 - cos(x1+ ) < - cos(x2+ ) , 则 3 3 3 3

π π π π (a+cos(x1+ ))(a+cos(x2+ ))=-1<0 得 , - cos(x1+ ) < a < - cos(x2+ ) , 所 以 - 1 = 3 3 3 3 π π (a+cos(x1+ ))(a+cos(x2+ ))≥(a+1)(a-1)=a2-1.故 a=0. 3 3 13.4-2 3. 【解析】|x-y|+|y-z|=z-x= z2-x2 4 4 2 = = ≥ =4-2 3. z+x z+x z+ z2-4 2+ 3

14.{0}? [4,20] . 【解析】令a= y,b= x-y,则a2+b2=x,已知条件即a2+b2-4a- 2b=0(a≥0,b≥0)?(a-2)2+(b-1)2=5(a≥0,b≥0)?以(2,1)为圆心, 5为半径,过原 点的圆满足a≥0,b≥0的点.即图中及原点.x为相应点与原点距离的平方,x∈{0}∪[4, 20]. 二、解答题 15. (1)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 于是 3 ? 1 bc sin A ? 3 bc ,所以 bc=4. 2 4 因为 c ? AB ? 2 2 ,所以 b ? CA ? 2 . 由余弦定理得 BC ? a ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b2 ? c2 ? 4 ? 2 ? 8 ? 4 ? 14 . (2)由 BC ? 21 得 b2 ? c 2 ? 4 ? 21 ,即 b2 ? 16 ? 17 ? 0 ,解得 b ? 1 或 4. b2
uuu r uuu r uuu r 设 BC 的中点为 D,则 AO ? AD ? DO , uuu r uuu r 因为 O 为△ABC 的外心,所以 DO ? BC ? 0 ,

uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r 2 2 于是 AO ? BC ? AD ? BC ? 1 AB ? AC ? AC ? AB ? b ? c . 2 2 uuu r uuu r 2 2 所以当 b ? 1 时, c ? 4 , AO ? BC ? b ? c ? ? 15 ; 2 2 uuu r uuu r b2 ? c2 15 当 b ? 4 时, c ? 1, AO ? BC ? ? . 2 2

?

??

?

16.⑴由直三棱柱可知 CC1 ? 平面 ABC ,所以 CC1 ? AC , 又因为 AC ? BE , CC1 ? BE ? E , AC ? 面 BCE , 故 AC ? BC , 又在直三棱柱中, CC1 ? BC, AC ? CC1 ? C , 故 BC ? 面 ACC1 , C1 D 在平面 ACC1 内,所以 BC ? C1 D ⑵连结 AE,在 BE 上取点 M,使 BE=4ME, 连结 FM, B1M ,F B1 ,在 ?BEA 中,由 BE=4ME,AB=4AF 所以 MF//AE, 又在面 AA1C1C 中,易证 C1D//AE,所以 C1 D / / 平面 B1 FM . 17. (1)当 k ? 8 时, s ? 5t 3 ? 8t 2 ? t ? 10 , 这时汽车的瞬时速度为 V= s ' ? 15t 2 ? 16t ? 1 , 1 令 s ' ? 0 ,解得 t ? 1 (舍)或 t ? , 15 当t ? B
B1
C1
A1

E M C D F A

22 1 时, s ? 10 , 15 675
22 米. 675

所以汽车的刹车距离是 10

(2)汽车的瞬时速度为 v ? s ' ,所以 v ? 15t 2 ? 2kt ? 1 汽车静止时 v ? 0 , 故问题转化为 15t 2 ? 2kt ? 1 ? 0 在 ?1, 2? 内有解 又 2k ?

15t 2 ? 1 1 ? 15t ? , t t

1 1 1 时取等号, Q 15t ? ? 2 15 ,当且仅当 15t ? , t ? t 15 t 1 1 ? ?1, 2? ,? 记 f (t ) ? 15t ? , Qt? 15 t

f ' (t ) ? 15 ?

1 1 ,? t ? [1, 2] ,? f ' (t ) ? 15 ? 2 ? 0 ,? f (t ) 单调递增, t2 t

? 61? ? 61? ? 61? ? f (t ) ? ?16, ? , 2k ? ?16, ? ,即 k ? ?8, ? , 2? 2? ? ? ? 4?

故 k 的取值范围为 k ? ?8,

? 61? ? 4? ?

18. (1)因为椭圆 T 的中心在坐标原点,一条准线方程为 y=2, x2 y2 所以椭圆 T 的焦点在 y 轴上,于是可设椭圆 T 的方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 因为椭圆 T 经过点(1,0),
? a2 ? 2, 2 ? 2 ? ? 2 ? a ? 2, 所以 ? a ? b 解得 ? 2 ? ? 0 ? 1 ? 1, ?b ? 1. ? ? a 2 b2

故椭圆 T 的方程为

y2 ? x2 ? 1 . 2 y2 ? 1 的外切矩形, 2

(2)由题意知,矩形 ABCD 是椭圆 x2 ?

(i) 若 矩 形 ABCD 的 边 与 坐 标 轴 不 平 行 , 则 可 设 一 组 对 边 所 在 直 线 的 方 程 为
y ? kx ? m(k ? 0) ,

? 2 y2 ?x ? ? 1, 则由 ? 消去 y 得 (k 2 ? 2) x2 ? 2kmx ? m2 ? 2 ? 0 , 2 ? ? y ? kx ? m
于是 ? ? 4k 2 m2 ? 4(k 2 ? 2)(m2 ? 2) ? 0 ,化简得 m ? ? k 2 ? 2 . 所以矩形 ABCD 的一组对边所在直线的方程为 y ? kx ? k 2 ? 2 ,即 y ? kx ? ? k 2 ? 2 , 则另一组对边所在直线的方程为 ky ? x ? ? 1 ? 2k 2 , 于是矩形顶点坐标(x,y)满足 ( y ? kx)2 ? (ky ? x) 2 ? (k 2 ? 2) ? (1 ? 2k 2) , 即 (1 ? k 2 )( x2 ? y 2 ) ? 3(1 ? k 2 ) ,亦即 x2 ? y 2 ? 3 . (ii)若矩形 ABCD 的边与坐标轴平行,则四个顶点 (?1 , ? 2) 显然满足 x2 ? y 2 ? 3 . 故满足条件的所有矩形的顶点在定圆 x2 ? y 2 ? 3 上. 19.(1)因为 f ( x) ≤ f ?( x) ,所以 x2 ? 2 x ? 1≤ 2a(1 ? x) ,又因为 ?2 ≤ x ≤ ?1 , 所以 a ≥

x2 ? 2 x ? 1 x2 ? 2 x ? 1 1 ? x 3 ? ≤ , 在 x ? [?2, ? 1] 时恒成立,因为 2(1 ? x) 2(1 ? x) 2 2

3 2 ⑵ 因为 f ( x) ? f ?( x) ,所以 x2 ? 2ax ? 1 ? 2 x ? a ,
所以 a ≥ . 所以 ( x ? a)2 ? 2 x ? a ? 1 ? a2 ? 0 ,则 x ? a ? 1 ? a 或 x ? a ? 1 ? a . ①当 a ? ?1 时, x ? a ? 1 ? a ,所以 x ? ?1 或 x ? 1 ? 2a ; ②当 ?1 ≤ a ≤ 1 时, x ? a ? 1 ? a 或 x ? a ? 1 ? a , 所以 x ? ?1 或 x ? 1 ? 2a 或 x ? ?(1 ? 2a) ; ③当 a ? 1 时, x ? a ? 1 ? a ,所以 x ? 1 或 x ? ?(1 ? 2a) .

? f ?( x), f ( x) ≥ f ?( x) , ⑶ 因为 f ( x) ? f ?( x) ? ( x ?1)[ x ? (1 ? 2 a)] , g ( x) ? ? ? f ( x), f ( x)? f ?( x),
① 若 a ≥ ? ,则 x ?? 2,4? 时, f ( x) ≥ f ?( x) ,所以 g ( x) ? f ?( x) ? 2 x ? 2a , 从而 g ( x) 的最小值为 g (2) ? 2a ? 4 ; ②若 a ? ? ,则 x ?? 2,4? 时, f ( x) ? f ?( x) ,所以 g ( x) ? f ( x) ? x2 ? 2ax ? 1 , 当 ?2 ≤ a ? ? 时, g ( x) 的最小值为 g (2) ? 4a ? 5 , 当 ?4 ? a ? ?2 时, g ( x) 的最小值为 g (?a) ? 1 ? a2 , 当 a ≤ ?4 时, g ( x) 的最小值为 g (4) ? 8a ? 17 .

1 2

3 2

3 2

? x2 ? 2ax ? 1, x ?[2,1 ? 2a) 3 1 ③若 ? ≤ a ? ? ,则 x ?? 2,4? 时, g ( x) ? ? 2 2 x ?[1 ? 2a,4] ?2 x ? 2a,
当 x ? [2,1 ? 2a) 时, g ( x) 最小值为 g (2) ? 4a ? 5 ; 当 x ? [1 ? 2a, 4] 时, g ( x) 最小值为 g (1 ? 2a) ? 2 ? 2a . 因为 ? ≤ a ? ? , (4a ? 5) ? (2 ? 2a) ? 6a ? 3 ? 0 ,

3 2

1 2

所以 g ( x) 最小值为 4a ? 5 .综上所述, ? ? g ? x ?? ? min

?8a ? 17, a ≤ ?4, ? 2 ? 4 ? a ? ?2 ?1 ? a , ? ? ?4a ? 5, ? 2 ≤ a ? ? 1 . 2 ? ? 1 ?2a ? 4, a ≥ ? 2 ?

20.(1)因为 a1+a2+?+an-pan+1=0,所以 n≥2 时,a1+a2+?+an-1-pan=0,两式相减, an+1 p+1 p+1 得 = (n≥2),故数列{an}从第二项起是公比为 的等比数列,又当 n=1 时,a1- an p p a pa2=0,解得 a2= , p a ?n=1?, ? ? 从而 an=?a?p+1?n-2 ?n≥2?. ?p? p ? ? a p+1?k-1 (2)①由(1)得 ak+1= ? , p? p ? a p+1?k a p+1?k+1 ak+2= ? ,ak+3= ? , p? p ? p? p ? 若 ak+1 为等差中项,则 2ak+1=ak+2+ak+3, p+1 p+1 1 即 =1 或 =-2,解得 p=- ; p p 3 此时 ak+1=-3a(-2)k 1,ak+2=-3a(-2)k,


所以 dk=|ak+1-ak+2|=9a· 2 k 1,


若 ak+2 为等差中项,则 2ak+2=ak+1+ak+3, p+1 即 =1,此时无解; p 若 ak+3 为等差中项,则 2ak+3=ak+1+ak+2, p+1 p+1 1 2 即 =1 或 =- ,解得 p=- , p p 2 3 3a 1?k-1 3a 1?k+1 - - 此时 ak+1=- ? ,ak+3=- ? , 2 ? 2? 2 ? 2? 所以 dk=|ak+1-ak+3|= 9a ?1?k-1 · , 8 ?2?

1 2 - 综上所述,p=- ,dk=9a· 2k 1 或 p=- , 3 3 9a ?1?k-1 dk= · . 8 ?2? 1 ②当 p=- 时,Sk=9a(2k-1). 3 10 则由 Sk<30,得 a< k , 3?2 -1? 10 当 k≥3 时, k <1,所以必定有 a<1, 3?2 -1? 所以不存在这样的最大正整数. 1 2 9a 当 p=- 时,Sk= ? 1-? ?k?, 3 4 ? ?2? ? 则由 Sk<30,得 a< 40 40 40 ,因为 > ,所以 a=13 满足 Sk<30 恒成立;但 1 1 ?k? 3 ? ?k ] 3? 1-? 3? 1 - 2 ? ? ?? ? ?2? 即 Sk<30, ?1?k? 3? 1 - ? ?2? ? 40

当 a=14 时,存在 k=5,使得 a>

所以此时满足题意的最大正整数 a=13. 第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)

21.A. (1)? PA2 ? PC ? PD, PA ? 2, PC ? 1 ,? PD ? 4 ,
又? PC ? ED ? 1,? CE ? 2 , ? ?PAC ? ?CBA, ?PCA ? ?CAB ,

PC AC , ? AC AB ? AC 2 ? PC ? AB ? 2 ,? AC ? 2 (2)? BE ? AC ? 2 , CE ? 2 , 2 ?1 ? 2 ,? EF ? BE . 而 CE ? ED ? BE ? EF ,? EF ? 2
? ?PAC ∽ ?CBA ,?

?a b ? ? a b ? ?1 ? ? ?1? ?a ? 2b ? ?1 B. (1)设 M ? ? ,则 ? . ? ? ? 2? ? ? ?2? ,故 ? c d c d ? ? ? ?? ? ? ? ?c ? 2d ? ?2

?a ?c ?

b ? ?1? ?0 ? ?a ? b ? 0 . ? ? ? ,故 ? ? ? ? d ? ?1? ? ?3? ? c ? d ? ?3

? 1 ?1? 联立以上方程组解得 a ? 1, b ? ?1, c ? ?4, d ? 1,故 M ? ? ?. ? ?4 1 ? ? 1 ?1? (2)由(1)知 M ? ? ? ? ?4 1 ?

则矩阵 M 的特征多项式为 f (? ) ?

? ?1
4

1 ? (? ? 1)2 ? 4 ? ? 2 ? 2? ? 3 ? ?1

令 f (? ) ? 0 ,得矩阵 M 另一个特征值为 3. 设矩阵 M 的另一个特征向量是 e2 ? ? ? ,
?x ? y 则 Me2 ? ? ? ?4 x ? ? ?3 x ? ? ?1? ? ? ? ,解得 2 x ? y ? 0 ,故 e2 ? ? ? . ? y ? ?3 y ? ?2 ? m?n?2 ? ne2 ,得 ? ,得 m ? 3, n ? 1 . ? ?m ? n ? 4

?x ? ? y?

由 α ? me1

?1 ? ? ?1? ? ?246? 5 ∴ A5 α ? M 5 (3e1 ? e2 ) ? 3(M 5e1 ) ? M 5e2 ? 3(?15 e1 ) ? ?2 e2 ? 3 ? (?1)5 ? ? ? 35 ? ? ? ? ?. ? 2? ? 2 ? ? 480 ?

C. (1)? ? ? 2 cos ? ? 2 sin? ,

? ? 2 ? 2? cos ? ? 2? sin? , ?圆C的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 ,
2 2 2 2 2 2 ) ? (y ? ) ? 1 ,?圆心直角坐标为 ( ,? ). 2 2 2 2 (2)方法 1:直线 l 上的点向圆 C 引切线长是
即 (x ?

2 2 2 2 2 t? ) ?( t? ? 4 2 ) 2 ? 1 ? t 2 ? 8t ? 40 ? (t ? 4) 2 ? 24 ? 2 6 , 2 2 2 2 ∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6 (
方法 2:直线的普通方程为 x ? y ? 4 2 ? 0

|
圆心 C 到 直线l 距离是

2 2 ? ?4 2| 2 2 ? 5, 2

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 52 ? 12 ? 2 6 | a ?b| ?| a ?b| D.由 a + b + a - b ≥ a f ( x) |,且 a ? 0 ,得 ≥f ( x) |a| | a ?b| ?| a ?b| | a ?b ? a ?b| 又因为 ≥ ? 2 ,则有 2 ≥f ( x) |a| |a| 解不等式 x ? 1 ? x ? 2 ≤2 ,得 1 ≤x≤ 5 2 2 22. (1)由题意“S1=5 且 S 2 ? 0 ”表示: “答完 2 题,第一题答对,第二题答错;或第一题答对,第二题也答对” 1 2 1 1 1 此时概率 P ? ? ? ? ? . 3 3 3 3 3

(2)因为答完 5 道题,结果可能是: 答对 0 道,此时 S5 ? ?25 , ? ? 25 ;答对 1 道,此时 S5 ? ?15 , ? ? 15 ; 答对 2 道,此时 S5 ? ?5, ? ? 5 ;答对 3 道,此时 S5 ? 5, ? ? 5 ; 答对 4 道,此时 S5 ? 15, ? ? 15 ;答对 5 道,此时 S5 ? 25, ? ? 25 , ∴ ? 的取值只能是 5,15,25 2 1 2 40 3 1 3 因此 P(? ? 5) ? C52 ( )3 ? ( )2 ? C5 , ( ) ? ( )2 ? 3 3 3 3 81 1 2 10 1 2 4 4 1 4 , P(? ? 15) ? C5 ( ) ? ? C5 ( ) ? ? 3 3 3 3 27 0 2 5 51 5 11 P(? ? 25) ? C5 ( ) ? C5 ( ) ? 3 3 81 ∴ ? 的分布列为:

?
P ∴ E? ?
925 81

5

15
10 27

25

40 81

11 81

23.(1)易得 f(1)=3; 当 n=2 时,集合{1,2,3,4,5,6}的子集中是“好集”的有: 单元集:{3},{6}共 2 个,双元集{1,2},{1,5},{2,4},{4,5},{3,6}共 5 个,三元 集有:{1,2,3},{1,2,6},{1,3,5},{1,5,6},{4,2,3},{4,2,6},{4,3,5},{4,5,6}共 8 个,四元集有{3,4,5,6},{2,3,4,6},{1,3,5,6},{1,2,3,6},{1,2,4 ,5}共五个,五元集 {1,2,4,5,6},{1,2,3,4,5}共 2 个,还有一个全集. 故 f(2)=1+(2+5)×2+8=23. (2)首先考虑 f(n+1)与 f(n)的关系. 集合{1,2,3,?,3n,3n+1,3n+2,3n+3}在集合{1,2,3,?,3n}中加入 3 个 元素 3n+1,3n+2,3n+3.故 f(n+1)的组成有以下几部分:①原还的 f(n)个集合;②含 有元素 3n+1 的“好集”是{1,2,3,?,3n}中各元素之和被 3 除余 2 的集合,含有 元素是 3n+2 的“好集”是{1,2,3,?,3n}中各元素之和被 3 除余 1 的集合,含有 元素是 3n+,3 的“好集”是{1,2,3,?,3n}中各元素之和被 3 除余 0 的集合,合 计是 23n;③含有元素是 3n+1 与 3n+2 的“好集”是{1,2,3,?,3n}中各元素之和 被 3 除余 0 的集合,含有元素是 3n+2 与 3n+3 的“好集”是{1,2,3,?,3n}中各 元素之和被 3 除余 1 的集合,含有元素是 3n+1 与 3n+3 的“好集”是{1,2,3,?, 3n}中各元素之和被 3 除余 2 的集合,合计是 23n;④含有元素是 3n+1,3n+2,3n+3 的“好集”是{1,2,3,?,3n}中“好集”与它的并,再加上{3n+1,3n+2,3n+3}。 所以,f(n+1)=2 f(n)+2×23n+1. f(n+1) f(n) 1 两边同除以 2n+1,得 n+1 - n =4n+ n+1, 2 2 2 所以
n f(n) n-1 n-2 1 1 1 3 4 -1 1 +1- n, n =4 +4 +?+4+ n+ n-1+?+ 2+ = 2 2 2 2 2 3 2

2n(4n-1) n 即 f(n)= +2 -1. 3

2015 年高考模拟试卷(6)
南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷(必做题,共 160 分)
一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . 1. 已知集合 U ? ??2, ?1,,, 0 2 3? , A ? ??2, ?1,3? , B ? ??1, 2? ,则 ? U ( A U B) ? 2. 已知复数 ( z ? 2)i ? 2 ? i ( i 为虚数单位) ,则复数 z 的模为 3. 某程序框图如下图所示,该程序运行后输出的 x 值是 . . .

甲 5 9 8 a 8 7 8 9

乙 6 5 9 8 7

4.如图所示茎叶图是甲乙两组各 5 名学生的数学竞赛成绩(70 分~99 分) ,若甲乙两组的 平均成绩一样,则 a= ;甲乙两组成绩中相对整齐的是 . 5. 假设在 6 分钟内的任意时刻,两架相同型号的飞机机会均等地进入同一飞机场,若这两 架飞机进入机场的时间之差不小于 2 分钟,飞机不会受到干扰;则飞机受到干扰的概率为 _______. π? π 6. 若将函数 y=sin? ?ωx+4?(ω >0)的图象向左平移 6 个单位长度后,与函数

p ) 的图象重合,则ω 的最小值为_____________. 4 ?y ? 1 ? 7. 实数 x, y 满足 ? y ? 2 x ? 1, 如果目标函数 z=x—y 的最小值为-2, 则实数 m 的值为______. ?x ? y ? m ? 2 8.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,轴截面的面积等于 8 3cm ,母线与轴的 ? 夹角为 30 ,则这个圆台的高为____________. y = cos(wx +
9. 在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 0 . 若直线 y ? 3x ?b 上存在一点 P , 使过 P 所作的圆的两条切线相互垂直,则实数 b 的取值范围是__________. 10. 在矩形 ABCD 中,已知 AB ? 3, AD ? 2 ,点 E 是 BC 的中点,点 F 在 CD 上,若 ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? . AB ? AF ? 3 则 AE ? BF 的值是 2 11.曲线 f ( x) ? f ?(2)ln x ? f (1) x ? 2 x 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为________. 12.在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2c cos B ? 2a ? b, 若 ?ABC 的面积为

S?

3 c ,则 ab 的最小值为_________. 2

13. 若对任意的 x∈D,均有 f1(x)≤f(x)≤f2(x)成立,则称函数 f(x)为函数 f1(x)到函数 f2(x)在区 间 D 上的“折中函数”.已知函数 f(x)=(k-1)x-1,g(x)=0,h(x)=(x+1)ln x,且 f(x)是 g(x) 到 h(x)在区间[1,2e]上的“折中函数”,则实数 k 的取值集合为________. 14. 已知 m ? R, n ? R 并且 m+3n=1 则 me ? 3ne 的最小值__________ .
m 3n

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15.(本小题满分 14 分)在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,已知向量 ?? ? ?? ? ? ,且 m ? n ? sin 2 A . m ? (sin(? ? C ),cos C ) ,
n ? (sin( B ? ),sin B) 2

(1)求 A; (2)若

c b ? ? 4 ,求 sinBsinC 的值. b c

16.(本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点. ⑴求证:PA∥平面 BDE; ⑵求证:平面 BDE⊥平面 PBC.

17.(本小题满分 14 分)如图是一块镀锌铁皮的边角料 ABCD ,其中 AB, CD, DA 都是线 段,曲线段 BC 是抛物线的一部分,且点 B 是该抛物线的顶点, BA 所在直线是该抛物线的 对称轴. 经测量, AB ? 2 米, AD ? 3 米, AB ? AD ,点 C 到 AD, AB 的距离 CH , CR 的 长均为 1 米. 现要用这块边角料裁一个矩形 AEFG (其中点 F 在曲线段 BC 或线段 CD 上, 点 E 在线段 AD 上,点 G 在线段 AB 上). 设 BG 的长为 x 米,矩形 AEFG 的面积为 S 平 方米. (1)将 S 表示为 x 的函数; (2)当 x 为多少米时, S 取得最大值,最大值是多少? D

C F

H E

18.(本小题满分 16 分) 已知圆 M : x2 ? ? y ? 4? ? 4 ,点 P 是直线 l : x ? 2 y ? 0 上的一
2

动点,过点 P 作圆 M 的切线 PA 、 PB ,切点为 A 、 B . (1)当切线 PA 的长度为 2 3 时,求点 P 的坐标; (2)若 ?PAM 的外接圆为圆 N ,试问:当 P 运动时,圆 N 是否过定点?若存在,求出所 有的定点的坐标;若不存在,说明理由; (3)求线段 AB 长度的最小值.
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

19.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x ) ? 数 g ( x)的导函数为g ( x)
'

1 2 2 3 x ? ax ,函数 g ( x) ? f ( x) ? 2ex ( x ?1) ,函 2 3

(1)当函数 y ? f ( x) 在 区间(1, ??) 时为减函数,求 a 的范围; (2)若 a=e(e 为自然对数的底数) ; ①求函数 g(x)的单调区间; ②证明: g ( x) ? 1 ? ln x
'

20.(本小题满分 16 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn+n=2an(n∈N*). (1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;

Tn-2 (2)若 bn=(2n+1)an+2n+1,数列{bn}的前 n 项和为 Tn.求满足不等式 >2 010 的 n 2n-1 的最小值.

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题 ............... 区域内作答 . ..... A. (选修4-1:几何证明选讲)如图在 ?ABC 中,AB=AC,过点 A 的直线与 ?ABC 的外 接圆交于点 P,交 BC 的延长线于点 D.求证 ?ABP ? ?D

B. (选修4-2:矩阵与变换) 已知矩阵 A ? ?

?1 ?2? ?1 ? , (1)求逆矩阵 A 错误!未找到 3 ? 5 ? ?

引用源。 ; (2)若矩阵 X 满足 AX ? ? ? ,试求矩阵 X .

?3? ?1 ?

C. (选修4-4:坐标系与参数方程) 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴 与 x 轴的正半轴重合.若直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? (1)把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标系方程;

?

4

)?2 2.

(2)已知 P 为椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 上一点,求 P 到直线 l 的距离的最小值. 3 9

1 1 D. (选修4-5:不等式选讲)已知 x,y∈R,且|x+y|≤ ,|x-y|≤ ,求证:|5x+y|≤1. 6 4

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.
1 。 7 现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取 1 球,甲先取,乙后取,然后甲再取……直到袋 中的球取完即终止。若摸出白球,则记 2 分,若摸出黑球,则记 1 分。每个球在每一次被取 出的机会是等可能的。用?表示甲,乙最终得分差的绝对值. (1)求袋中原有白球的个数; (2)求随机变量?的概率分布列及期望 E?.

22. (本小题满分 10 分) 袋中装有黑球和白球共 7 个, 从中任取 2 个球都是白球的概率为

23. (本小题满分 10 分) 已知 ( x ? 2) ? a0 ? a1 ( x ?1) ? a2 ( x ?1) ??+an ( x ?1) (n ? N*) .
n 2 n

⑴求 a 0 及 S n ? ? ai ;
i ?1

n

⑵试比较 S n 与 (n ? 2)3 ? 2n 的大小,并说明理由.
n 2

2015 年高考模拟试卷(6)参考答案 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题 1. ?0? ; 2.

9. - 17 #b 二、解答题

4 ; 9 3 ; 10. 1 ? 3 ; 11. 17 x ? y ? 16 ? 0 ;

5;

3. 8;

4.5,甲;

5.

6. 3;

7. 8;

8. 2 3 ;

12. 4; 13. {2}; 14.

e.

15. (1)? m ? n ? sin(? ? C ) sin( B ?

? ?

?
2

) ? cos C sin B

=sinCcosB+cosCsinB =sin(C+B)=sinA ?? ? ? m ? n ? sin 2 A =2sinAcosA? 2sinaAcosA=sinA

? 在△ABC 中,sinA≠0, ? cosA=2. ? A∈(0,π),? A=3.
c b b 2 ? c 2 a 2 ? 2bc cos A ? ? ? 4 , ? A ? ? a 2 ? 3bc . (2)? ? ? b c bc bc 3
由正弦定理可得 sin 2 A ? 3sin B sin C , ? A ? π 1

?

3

,?sin B sin C ?

1 4

16. ⑴连接 AC,设 AC 与 BD 的交点为 O,连接 OE. ∵在△PCA 中,OE 是△PCA 的中位线,∴PA∥OE. 又 PA 不在平面 BDE 内,∴PA∥平面 BDE. ⑵∵PD⊥底面 ABCD。∴CB⊥PD. 又 BC⊥DC, PD ? DC ? D, ∴BC⊥平面 PDC. DE ? 平面PDC ,∴DE⊥BC 在△PDC 中,PD=DC,E 是 PC 的中点,∴DE⊥PC. PC ? BC ? C , 因此有 DE⊥平面 PBC. ∵DE ? 平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 PBC. 17. (1)以点 B 为坐标原点, BA 所在直线为 x 轴, 建立平面直角坐标系. 设曲线段 BC 所在抛物线的方程为 y ? 2 px( p ? 0) , 将点 C (1,1) 代入,得 2 p ? 1 ,
2

即曲线段 BC 的方程为 y ? x (0 ? x ? 1) . 又由点 C (1,1), D(2,3) 得线段 CD 的方程 为 y ? 2 x ? 1(1 ? x ? 2) . 而 GA ? 2 ? x , ? x (2 ? x), 0 ? x ? 1, ? 所以 S ? ? ? ?(2 x ? 1)(2 ? x), 1 ? x ? 2. (2)①当 0 ? x ? 1 时,因为 S ? 所以 S ? ? x
? 1 2

D y

F

C

H E A

x (2 ? x) ? 2 x ? x ,

1 2

3 2

B

G R

x

3 1 2 ? 3x 2 ? x2 ? ,由 S ? ? 0 ,得 x ? , 3 2 2 x

当 x ? (0, ) 时, S ? ? 0 ,所以 S 递增;

2 3

2 4 6 时, Smax ? ; 3 9 5 2 9 ②当 1 ? x ? 2 时,因为 S ? (2 x ? 1)(2 ? x) ? ?2( x ? ) ? , 4 8 5 9 所以当 x ? 时, S max ? ; 4 8 5 9 9 4 6 综上,因为 ? ,所以当 x ? 米时, S max ? 平方米. 4 8 8 9
当 x ? ( ,1) 时, S ? ? 0 ,所以 S 递减,所以当 x ?

2 3

18. (1)由题可知,圆 M 的半径 r=2,设 P(2b,b) , 因为 PA 是圆 M 的一条切线,所以∠MAP=90° , 所以 MP=

? 0 ? 2b ? ? ? 4 ? b ?
2

2

? AM 2 ? AP 2 ? 4 ,解得 b ? 0或b ?

8 5

所以 P (0, 0)或P (

16 8 , ). 5 5
2 2 2

(2)设P(2b,b) ,因为∠MAP=90° ,所以经过A、P、M三点的圆 N 以MP为直径,
2 b ? 4 ? 4b ? ? b ? 4? ? 其方程为: ? x ? b ? ? ? y ? ? ? 2 ? 4 ?
2 2 即 (2 x ? y ? 4)b ? x ? y ? 4 y ? 0

?

?

2 2 ?x ? y ? 4 y ? 0 8 ? x? ? ?x ? 0 ? 5 ,所以圆过定点 (0, 4), ? 8 , 4 ? . 解得 ? 或? ? ? ?5 5? ?y ? 4 ?y ? 4 ? 5 ?

由?

?2 x ? y ? 4 ? 0



[

2 b ? 4 ? 4b ? ? b ? 4? ? (3)因为圆 N 方程为 ? x ? b ? ? ? y ? ? ? 2 ? 4 ? 2 2 即 x ? y ? 2bx ? (b ? 4) y ? 4b ? 0 . 2 2

2

圆 M : x2 ? ? y ? 4? ? 4 ,即 x ? y ? 8 y ? 12 ? 0 .
2
2 2

②-①得圆 M 方程与圆 N 相交弦AB所在直线方程为:

2bx ? (b ? 4) y ? 12 ? 4b ? 0
点M到直线AB的距离 d ?

4 5b2 ? 8b ? 16

,

相交弦长即:

AB ? 2 4 ? d 2 ? 4 1 ?

4 4 ? 4 1? 2 5b ? 8b ? 16 4 ? 64 ? 5? b ? ? ? 5? 5 ?
2

4 时,AB 有最小值 11 . 5 ' 19. (1)因为函数 y ? f ( x) 在 区间(1, ??) 时为减函数,所以 f ( x) ? 0 .
当b ?

f ' ( x) ? x ? 2ax2 ? x(1 ? 2ax) ? 0 .
因为 x ? 1 ,所以 1 ? 2ax ? 0 , a ? ② (i)当 a=e 时, g ( x) ?

1 1 即a ? . 2x 2

1 2 2 3 x ? ex ? 2e x ( x-1) 2 3 ' 2 x x 所以 g ( x) ? x ? 2ex ? 2 xe = x(1 ? 2ex ? 2e )
' x

当 x ?( e ? ) , 1 ,? ? ) 时, ( h )'x ? 0 , () hx ' 当 x ? (-?,1)时,h ( x) ? 0, h( x)为减函数; 所以 h( x) ? h(1) ? 1 >0. 记 h( x) ? 2e ? 2ex ? 1 , 则h ( x) ? 2 (e
x

为增函数;

所以在 (0, ??)上,g ( x) ? 0 ,在 (??,0)上,g ( x) ? 0 ;
' '

即 g(x)的单调増区间为 (0, ?? ); 单调减区间为 ( ??, 0). (ii)证明:由(i)得 g ( x) ? x ? 2ex ? 2 xe 欲证 g ( x) ? 1 ? ln x ,
' 2 x '

只需证 x(1 ? 2ex ? 2e ) ? 1 ? ln x
x
x 即证 1 ? 2ex ? 2e ?

ln x ? 1 ? ln x ' ,则 p ( x ) ? x x2 ' 当 x ? (0,1), p ( x) ? 0 , p( x)为增函数 ,
记 p( x) ?
' 当 x ? (1, ??), p ( x) ? 0 , p( x)为减函数 。即 p( x) ? p(1) ? 1

ln x ? 1 . x

由(i)得 h( x) ? h(1) ? 1 .所以 g ( x) ? 1 ? ln x .
'

20.(1)因为 Sn+n=2an,所以 Sn-1=2an-1-(n-1)(n≥2,n∈N*).两式相减,得 an=2an-1+ 1. 所以 an+1=2(an-1+1)(n≥2,n∈N*),所以数列{an+1}为等比数列. 因为 Sn+n=2an,令 n=1 得 a1=1. a1+1=2,所以 an+1=2n,所以 an=2n-1. (2)因为 bn=(2n+1)an+2n+1,所以 bn=(2n+1)· 2n. 所以 Tn=3×2+5×22+7×23+?+(2n-1)· 2n 1+(2n+1)· 2n, ①


2Tn=3×22+5×23+?+(2n-1)· 2n+(2n+1)· 2n 1,



n+1

①-②,得-Tn=3×2+2(2 +2 +?+2 )-(2n+1)· 2 22-2n 1 + =6+2× -(2n+1)· 2n 1 1-2


2

3

n

=-2+2n 2-(2n+1)· 2n 1=-2-(2n-1)· 2n 1.
+ + +

所以 Tn=2+(2n-1)· 2n 1.


若 则

Tn-2 >2 010, 2n-1 2+?2n-1?· 2n 1 + >2 010,即 2n 1>2 010. 2n-1


由于 210=1 024,211=2 048,所以 n+1≥11,即 n≥10.

Tn-2 所以满足不等式 >2 010 的 n 的最小值是 10. 2n-1

21.A. ? AB ? AC ??ABC ? ?ACB

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)

又?ACB ? ?APB ??ABC ? ?APB 又?BAD ? ?PAB ??ABD∽?APB即?ABP ? ?D ?a b ? ? a b ? ?1 ?2 ? ? a ? 3b ?2a ? 5b ? ?1 0 ? B. (1)设 A?1 = ? ,则 ? ?c d ? ? ?. ? =? ?=? ?c d ? ? ? ?3 ?5? ?c ? 3d ?2a ? 5d ? ?0 1 ? ?a ? 3b ? 1 ?a ? ?5 ??2a ? 5b ? 0 ?b ? 2 ? ?5 2 ? ? ? ∴? 解得 ? ∴ A?1 = ? ?, ? 3 1 c ? ? 3 c ? 3 d ? 0 ? ? ? ? ? ? ?d ? 1 ??2c ? 5d ? 1 ? ?5 2? ?3? ? ?13? (2) X ? ? ?? ? ? ? ? . ? ?3 1 ? ?1 ? ? ?8 ?
?? 2 2 ? ? sin ? ? ? cos? ? 2 2 , C.(1)直线 l 的极坐标方程 ? sin ? ? ? ? ? 2 2 ,则 4 2 2 ? ? 即 ? sin ? ? ? cos? ? 4 ,所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 ;

x2 y 2 ? ? 1 上一点,设 P( 3 cos? ,3sin ? ) ,其中 ? ? [0 ,2?) , 3 9 | 3 cos ? ? 3sin ? ? 4 | | 2 3 cos(? ? 600 ) ? 4 | ? 则 P 到直线 l 的距离 d ? , 2 2 所以当 cos(? ? 600 ) ? ?1 时, d 的最小值为 2 2 ? 6
(2)P 为椭圆 C : D. 因为|x+5y|=|3(x+y)+2(x-y)|. 由绝对值不等式性质,得 |x+5y|=|3(x+y)+2(x-y)|≤|3(x+y)|+|2(x-y)| 1 1 =3|x+y|+2|x-y|≤3× +2× =1. 6 4 即|x+5y|≤1. 1 C 2 n(n ? 1) ? 22. (1)设袋中原有 n 个白球,由题意,知 ? n , 7 C72 7?6 解之得 n=3 或 n=? 2(舍去) ,即袋中原有 3 个白球; (2)由(1)可知,袋中有 3 个白球、4 个黑球。甲四次取球可能的情况是:4 个黑球、3 黑 1 白、2 黑 2 白、1 黑 3 白.相应的分数之和为 4 分、5 分、6 分、7 分;与之对应的乙取球 情况:3 个白球、1 黑 2 白、2 黑 1 白、3 黑,相应分数之和为 6 分、5 分、4 分、3 分;即? 可能的取值是 0,2,4. C 3 ? C1 12 P(? ? 0) ? 4 4 3 ? ; C7 35
P(? ? 2) ?
4 2 1 3 C4 ? C4 ? C32 19 C4 ? C3 4 ? P ( ? ? 4) ? ? ; , 4 4 C7 35 C7 35

?

0

2

4

所以?的概率分布列为:

P

12 35

19 35

4 35

E? ? 0 ?

12 19 4 54 ? 2? ? 4? ? . 35 35 35 35
n

23.⑴令 x ? 1 ,则 a0 ? 3 ,令 x ? 2 ,则
n 2

? ai ? 4n ,所以 ? ai ? 4n ? 3n .
i ?0

n

n

i ?1

⑵要比较 S n 与 (n ? 2)3 ? 2n 的大小 ,只要比 较 4 与 (n ? 1)3n + 2n2 的大小.
n

当 n ?1 时, 4n ? (n ? 1)3n + 2n2 , 当 n ? 2 或 3 时, 4n ? (n ? 1)3n + 2n2 ,当 n=4 或 5 时, 4n ? (n ?1)3n + 2 n2 猜想:当 n ≥ 4 时, 4n ? (n ? 1)3n + 2n2 .下面用数学归纳法证明: ①由上述过程可知,当 n ? 4 时,结论成立. ②假设当 n ? k (k ≥ 4, k ? N* ) 时结论成立,即 4k ? (k ? 1)3k + 2k 2 ,
k 2 k +1 2 k 2 两边同乘以 4 ,得 4k +1 ? 4 ? ?(k ? 1)3 + 2k ? ? ? k 3 + 2(k + 1) + [(k ? 4)3 + 6k ? 4k ? 2] ,

而 (k ? 4)3k + 6k 2 ? 4k ? 2 ? (k ? 4)3k + 6(k 2 ? k ? 2) + 2k + 10

? (k ? 4)3k + 6(k ? 2)(k + 1) + 2k + 10 ? 0 ,
所以 4k +1 ? [(k + 1) ? 1]3k +1 + 2(k + 1)2 , 即 n ? k + 1 时结论也成立. 由①②可知,当 n ≥ 4 时, 4n ? (n ? 1)3n + 2n2 成立. 综上所述,当 n ? 1 时, Sn ? (n ? 2)3n + 2n2 ;当 n ? 2 或 3 时, Sn ? (n ? 2)3n + 2n2 ; 当 n ≥ 4 时, Sn ? (n ? 2)3n + 2n2 .

2015 年高考模拟试卷(7)
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 .

i?2 = . 1 ? 2i N= 2. 设全集 U ={1,2,3,4,5}, ? U N ={2,4},则
1.复数

. 3. 从 1,2,3,4 这四个数中一次随机地取两个数, 则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 . 4.某单位有职工 52 人,现将所有职工按 l,2,3,…,52 随机编号,若采用 系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本,已知 6 号,32 号,45 号职 工在样本中,则样本中还有一个职工的编号是________. 5.执行如图所示的程序框图,若输出 s 的值为 11,则输入自然数 n 的 值是 . 6.一个圆柱的轴截面是正方形,其侧面积与一个球的表面积相等, 那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为________.

7. 已知各项均为正数的等比数列 {an } 中, a4 与 a14 的等比中项为 2 2 ,则 2a7 ? a11 的

最小值为 . 8. 给出下列几个命题: ①若函数 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数,对于任意的 x ? R 都有 f ( x) ? f (2 ? x) ? 0 ,则函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 1 对称;
②已知 x1 , x2 是函数 f ( x ) 定义域内的两个值,当 x1 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x ) 是减 函数; ③设函数 y ? 1 ? x ? x ? 3 的最大值和最小值分别为 M 和 m ,则 M ? 2m ; ④若 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数,且 f ( x ? 2) 也为奇函数,则 f ( x ) 是以 4 为周期的周期 函数. 其中正确的命题序号是 . (写出所有正确命题的序号) 9. 设 F1、 F2 是双曲线 -y =1 的两个焦点, P 在双曲线上, 当△F1PF2 的面积为 2 时, PF1 ? PF2 3 的值为 .
2

x2

???? ???? ?

2 10 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? x ? a x? b ( a , b ? 的 R ) 值 域 为 (?? , 0 ], 若 关 于 x 的 不 等 式 f ( x) ? c? 1 的解集为 (m ? 4, m ? 1) ,则实数 c 的值为 .

11.已知正实数 a, c 满足 a ? c ? ac ? 3 ,则 2a ? c 的最大值为
2 2



12.已知圆 C: ( x ? 2) ? y ? 4 ,点 P 在直线 l: y ? x ? 2 上,若圆 C 上存在两点 A、B
2 2

使得 PA ? 3PB ,则点 P 的横坐标的取值范围是


?

13. 在 ?ABC 中, 内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,B ? 30 ,c ? 6 , 令 b ? f (a ) . 若函数 g (a) ? f (a) ? k ( k 是常数)只有一个零点.则实数 k 的取值范围是 .

? ? m 14.设两个向量 a ? (? ? 2, ? 2 ? cos2 ? ) 和 b ? ( m, ? sin ? ) ,其中 ? , m, ? ? R . 2 ? ? ? 若 a ? 2b ,则 的取值范围是 . m
二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, 角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , 已知 sin B ? 且 a、b、c 成等比数列.

5 , 13

1 1 ? 的值; tan A tan C (2)若 ac cos B ? 12 ,求 a ? c 的值.
(1)求

16. (本小题满分 14 分)如图,直角梯形 ABCD 中, AB ∥ CD, AB ?

1 CD , AB ? BC , 2

D N A

平 面 A B C D? 平 面 B C E , ?BCE 为 等 边 三 角 形 , M , F 分 别 是 B E, B C的 中 点 ,

DN ?

1 DC . 4

(1)证明 EF ? AD ; (2)证明 MN ∥平面 ADE ; (3)若 AB ? 1, BC ? 2 ,求几何体 ABCDE 的体积.

17. (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 心率为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离 a 2 b2

2 2 2 ,其焦点在圆 x ? y ? 1上. 2

(1)求椭圆的方程; (2)设 A, B, M 是椭圆上的三点(异于椭圆的顶点) ,且存在锐角 ? ,使

???? ? ??? ? ??? ? OM ? cos? OA ? sin ? OB . ① 求证:直线 OA 与 OB 的斜率的乘积为定值; 2 2 ② 求 OA ? OB 的值.

18. (本小题满分 16 分) 某小区想利用一矩形空地 ABCD建造市民健身广场,设计时决定 保留空地边上的一个水塘(如图中阴影部分) ,水塘可近似看作一个等腰直角三角形,其中 ? EGF ? 90? ,经测量得到 AE ? 10 m, EF ? 20m .为 , ,且 中, ?EFG AD ? 60m AB ? 40m 保证安全同时考虑美观,健身广场周围准备加设一个保护栏.设计时经过点 G 作一条直线 交 AB、DF 于 M、N ,从而得到五边形 MBCDN 的市民健身广场. (1)假设 DN ? x(m) ,试将五边形 MBCDN 的面积 y 表示为 x 的函数,并注明函数的定义 域; (2)问:应如何设计,可使市民健身广场的面积最大?并求出健身广场的最大面积. A M B C E G F N D

19. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? 2ln x ? x 2 ? ax ( a ? R ) . (1)当 a ? 2 时,求 f ( x) 的图象在 x ? 1 处的切线方程;
1 (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax ? m 在 [ , e] 上有两个零点,求实数 m 的取值范围; e

(3)若函数 f ( x) 的图象与 x 轴有两个不同的交点 A( x1, 0),B( x2 , 0) ,且 0 ? x1 ? x2 , 求证: f ?(
x1 ? x2 . ) ? 0 (其中 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数) 2

20. (本小题满分 16 分)设数列 {an } 的各项均为正数,若对任意的 n ? N * ,存在 k ? N * , 使得 an?k ? an an?2k 成立,则称数列 {an } 为“ J k 型”数列.
2

(1)若数列 {an } 是“ J 2 型”数列,且 a2 ? 8 , a8 ? 1 ,求 a2 n ; (2)若数列 {an } 既是“ J 3 型”数列,又是“ J 4 型”数列,证明数列 {an } 是等比数列.

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题 ............... 区域内作答 . ..... A. (选修4-1:几何证明选讲)如图, ? O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交 E 于点 P , E 为 ? O 上一点, AE ? AC ,求证: ?PDE ? ?POC .

A

O

B D

P

C
B. (选修4-2:矩阵与变换)已知二阶矩阵 M 有特征值 ? ? 3 ,及对应的一个特征向量

?? ?1? e1 ? ? ? ,并且 M 对应的变换将点 (?1, 2) .变换成 (9,15) ,求矩阵 M . ?1?

C. (选修4-4:坐标系与参数方程)在极坐标系中,圆 C 的圆心坐标为 C (2,

?
3

) ,半径

为 2. 以极点为原点,极轴为 x 的正半轴,取相同的长度单位建立平面直角坐标系,直线 l

? 3 x ? 1? t ? 2 ( t 为参数) 的参数方程为 ? ? ?y ? 3 ? 1 t ? ? 2

(1)求圆 C 的极坐标方程; (2)设 l 与圆 C 的交点为 A, B , l 与 x 轴的交点为 P ,求 PA ? PB

D. (选修4-5:不等式选讲) 已知 x1 , x 2 , x3 为正实数,若 x1 ? x2 ? x3 ? 1 ,求证:
2 x2 x2 x2 ? 3 ? 1 ?1. x1 x2 x3

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. (本小题满分 10 分)如图,在四棱锥 P - ABCD 中, PA ^ 底面 ABCD , AD ^ AB , AB // DC , AD = DC = AP = 2 , AB = 1 ,点 E 为棱 PC 的中点. (1)证明 BE ^ DC ; (2)若 F 为棱 PC 上一点,满足 BF ^ AC ,求二面角 F - AB - P 的余弦值.

23. (本小题满分 10 分)已知 an ? (1 ? 2)n (n ? N*) (1)若 an ? a ? b 2(a, b ? Z ) ,求证 a 是奇数; (2)求证对于任意 n ? N * ,都存在正整数 k ,使得 an ? k ?1 ? k .

2015 年高考模拟试卷(7)参考答案
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题 1 1. i ; 2. {1,3,5}; 3. ; 4. 19; 5. 4; 6. 3∶2. 【解析】设圆柱的底面半 3 径是 r,则该圆柱的母线长是 2r,圆柱的侧面积是 2π r·2r=4π r ,设球的半径是 R,则 球的表面积是 4π R , 根据已知 4π R =4π r , 所 以 R=r. 所以圆柱的体积是 π r ·2r=2π r , 4 3 2π r 球的体积是 π r ,所以圆柱的体积和球的体积的比是 =3∶2; 3 4 3 πr 3 9.3;10. ?
3 2 2 2 2 3 2

7.8;

8.③④;

21 ; 4

11. 2 7 . 【解析】

c 3?5 3(2a ? c) 2 3a 2 ? 5ac a ]. (2a ? c) ? 2 2 ? 3[1 ? 2 2 ] ? 3[1 ? c 2 c a ? c ? ac a ? c ? ac 1? ( ) ? a a c 3 ? 5k 3 ? 5k 2 ] ,令 f (k ) ? 3[1 ? ](k ? 0) 令 ? k ( k ? 0) ,则 (2a ? c) ? 3[1 ? 2 a 1? k ? k 1? k 2 ? k
2

得 f ?(k ) ?

3(k ? 2)(4 ? 5k ) 4 ,进而可求得 f (k ) max ? f ( ) ? 28 ,所以 (2a ? c)max ? 2 7 ; 2 2 5 (k ? k ? 1)

12 . ?? 2,2? ; 13 . k ? 6 或 k ? 3 .【 解 析 】 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 3 ? ,得 2ac 2

b ? f( a )?

2

a ?6

3 a? 3 6 ( a?

0)

函数 g (a) ? f (a) ? k 只有一个零点,即方程 (a ? 3 3)2 ? 9 ? k 2 在 (0, ??) 上只有一解,
2 即函数 y ? (a ? 3 3)2 ? 9(a ? 0) 与 y ? k 的图像只有一个交点,所以 k ? 36 或 k ? 9 ,
2
2

从而 k ? 6 或 k ? 3 ;14. ?6 ? 由 ? ? m ? cos
2 2

? ? ?? ? 2 ? 2m ? 1. 【解析】由 a ? 2b ,得 ? 2 2 m ?? ? cos ? ? m ? 2sin ?

?

? ? 2sin ? ? 2 ? (sin ? ?1)2 ,得

?2 ? ? 2 ? m ? 2 ,又 ? ? 2m ? 2 ,
则 ?2 ? 4(m ?1) ? m ? 2 ,∴ ?
2

? 4m 2 ? 9m ? 2 ? 0 ? 2 ? ? 4m ? 9m ? 6 ? 0

解得

? 1 ? 2m ? 2 2 ? m ? 2 ,而 ? ? 2 ? ,故 ?6 ? ? 1 . m 4 m m m

二、解答题 15. (1)根据题意得, b ? ac .
2

由正弦定理得 sin B ? sin A sin C ,
2

?

1 1 cos A cos C sin( A ? C ) ? ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin A sin C
sin B 1 13 ? ? , sin A sin C sin B 5

?

(2)? ac cos B ? 12 ? cos B ? 0

? sin B ?

5 12 ,? cos B ? . 13 13 12 ? b 2 ? ac ? ? 13 . cos B
由余弦定理得 b2 ? (a ? c)2 ? 2ac ? 2ac cos B

?a ? c ? 3 7
16.(1) ? ?BCE 为等边三角形, F 是 BC 的中点 ? EF ? BC , 又因为平面 ABCD ? 平面 BCE ,交线为 BC , EF ? 平面 BCE 根据面面垂直的性质定理得 EF ? 平面 ABCD ; 又? AD ? 平面 ABCD ? EF ? AD . (2)取 AE 中点 G,连接 MG, DG

? AG ? GE, BM ? ME

? GM ? AB ,且 GM ?

1 AB , 2

1 1 ? AB ? CD, AB ? CD , DN ? DC 2 4 1 ? DN ? AB ,且 DN ? AB , 2 ? 四边形 DGMN 是平行四边形

? DG ? MN

,

又? DG ? 平面 ADE , MN ? 平面 ADE

? MN ?平面 ADE .
(3)依题,直角梯形 ABCD 中, AB ? CD, AB ? BC, AB ? 1, CD ? 2, BC ? 2 ,

1 1 ( AB ? CD) ? BC ? (1 ? 2) ? 2 ? 3 , 2 2 由(1)可知 EF ? 平面 ABCD , EF 是四棱锥 E ? ABCD 的高,
则直角梯形 ABCD 的面积为 S梯形ABCD ? 在等边 ?BCE 中,由边长 BC ? 2 ,得 EF ? 2 ? sin 600 ? 3 , 故几何体 ABCDE 的体积为

V

E ? ABCD

1 1 ? ? S梯形ABCD ? EF ? ? 3 ? 3 ? 3 . 3 3

17. (1)根据题意得 c ? 1 ,于是 a ?

2, b ? 1,

所以椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

? x12 ? y12 ? 1 ? ? 2 (2)①设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则 ? 2 , ? x2 ? y 2 ? 1 2 ? ? 2
又设 M ( x, y ) ,由 OM ? cos? OA ? sin ? OB 得 ?

???? ?

??? ?

??? ?

? x ? x1 cos ? ? x2 sin ? , ? y ? y1 cos? ? y2 sin ?

又? M 在椭圆上,?

( x1 cos ? ? x2 sin ? ) 2 ? ( y1 cos ? ? y2 sin ? ) 2 ? 1 2

整理得 (

x12 x2 xx ? y12 ) cos 2 ? ? ( 2 ? y2 2 )sin 2 ? ? 2( 1 2 ? y1 y2 ) cos ? sin ? ? 1 , 2 2 2
x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 2

? cos ? sin ? ? 0 ,?

? kOA kOB ?

y1 y2 1 ? ? 为定值. x1 x2 2
x1 x2 2 x12 x2 2 ) ? ? (1 ? y12 )(1 ? y2 2 ) ? 1 ? ( y12 ? y2 2 ) ? y12 y2 2 2 2 2 x12 x2 ? y12 ) ? ( 2 ? y2 2 ) ? 2 ,? x12 ? x22 ? 2 , 2 2

② ( y1 y2 ) ? (?
2

? y12 ? y22 ? 1 ,又? (

?OA2 ? OB2 ? x12 ? y12 ? x22 ? y22 ? 3 .
18. (1)作 GH⊥EF,垂足为 H,因为 DN ? x ,所以
NH NA NH ? 40 ? x, NA ? 60 ? x ,因为 ? , HG AM
A E H F N D

G M T

B

C

所以

40 ? x 60 ? x 600 ? 10 x ,所以 AM ? ? 10 AM 40 ? x

过 M 作 MT // BC 交 CD 于 T,则
S
MBCDW

1 ? SMBCT ? SMTDN ? (40 ? AM ) ? 60 ? ( x ? 60) ? AM , 2

所以 y ? (40 ?

5?60 ? x ? 600 ? 10 x 1 ( x ? 60)(600 ? 10 x) ? 2400? ) ? 60 ? ? 40 ? x 2 40 ? x 40 ? x

2

由于 N 与 F 重合时, AM ? AF ? 30 适合条件,故 x ? ? 0,30? , (2) y ? 2400?

5?60 ? x ? 400 ? ? ? 2400? 5??40 ? x ? ? ? 40? , 40 ? x 40 ? x ? ?
2

所以当且仅当 40 ? x ?

400 ,即 x ? 20 ? ?0,30? 时, y 取得最大值 2000, 40 ? x

答:当 DN ? 20m 时,得到的市民健身广场面积最大,最大面积为 2000m 2 .
2 ,, ? 2 x ? 2 ,切点坐标为 (11) x 切线的斜率 k ? f ?(1) ? 2 ,则切线方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 y ? 2 x ? 1 .

19. (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? 2ln x ? x 2 ? 2 x , f ?( x) ?

(2) g ( x) ? 2ln x ? x 2 ? m ,则 g ?( x) ? 2 ? 2 x ? ?2( x ? 1)( x ? 1) ,
x x

1 1 ∵ x ? [ ,e] ,故 g ?( x) ? 0 时, x ? 1 .当 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ;当 1 ? x ? e 时, g ?( x) ? 0 . e e 故 g ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 g (1) ? m ? 1 . 1 1 1 1 1 又 g ( ) ? m ? 2 ? 2 , g (e) ? m ? 2 ? e 2 , g (e) ? g ( ) ? 4 ? e 2 ? 2 ? 0 ,则 g (e) ? g ( ) , e e e e e

所以, g ? x ? 在 ? , e ? 上的最小值是 g ? e ? e

?1 ?

? ?

? g ?1? ? m ? 1 ? 0 1 ? ?1 ? ,解得 1 ? m ? 2 ? 2 g ? x ? 在 ? , e ? 上有两个零点的条件是 ? ? 1 ? 1 e ?e ? ? g ? e ? ? m ? 2 ? e2 ? 0 ? ? ?
所以实数 m 的取值范围是 ?1, 2 ?

? ?

1? . e2 ? ?

(3)因为 f ? x ? 的图象与 x 轴交于两个不同的点 A ? x1 ,0? , B ? x2 ,0?
2 所以方程 2ln x ? x ? ax ? 0 的两个根为 x1 , x2 ,则 ?

?2 ln x1 ? x12 ? ax1 ? 0 ? ,两式相减得 2 2 ln x ? x ? ax ? 0 ? ? 2 2 2

a ? ? x1 ? x2 ? ?

2 ? ln x1 ? ln x2 ? 2 2 ,又 f ? x ? ? 2 ln x ? x ? ax, f ? ? x ? ? ? 2 x ? a ,则 x x1 ? x2

2 ? ln x1 ? ln x2 ? 4 4 ?x ?x ? f ?? 1 2 ? ? ? ? x1 ? x2 ? ? a ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 ? 2 ? x1 ? x2
下证

2 ? ln x1 ? ln x2 ? 2 ? x2 ? x1 ? x x 4 ,即证明 ? ? 0 (*) ? ln 1 ? 0, t ? 1 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x2 x2
2 ?1 ? t ? ? ln t ? 0 在 0 ? t ? 1 上恒成立 t ?1
2

?0 ? x1 ? x2 ,?0 ? t ? 1, 即证明 u ? t ? ?

?2 ? t ? 1? ? 2 ?1 ? t ? 1 1 ? t ? 1? 又 0 ? t ? 1 ,所以 u? t ? 0 4 因为 u? ? t ? ? ? ? ? ? ?? 2 2 (t ? 1) t t (t ? 1) t (t ? 1)2
所以, u ? t ? 在 ? 0,1? 上是增函数,则 u ?t ? ? u ?1? ? 0 ,从而知

2 ? x2 ? x1 ? x ? ln 1 ? 0 x1 ? x2 x2



2 ? ln x1 ? ln x2 ? 4 ?x ?x ? ? ? 0 ,即 f ? ? 1 2 ? ? 0 成立 x1 ? x2 x1 ? x2 ? 2 ?
a8 1 1 )3 ? , a2 2

20. (1)由题意得, a2 , a4 , a6 , a8 ,… 成等比数列,且公比 q ? (

1 ? a2 n ? a2 q n ?1 ? ( ) n ? 4 . 2
(2)由 {an } 是“ J 4 型”数列得 a1 , a5 , a9 , a13 , a17 , a21,?成等比数列,设公比为 t . 由 {an } 是“ J 3 型”数列得 a1 , a4 , a7 , a10 , a13 , ?成等比数列,设公比为 ?1 ;

a2 , a5 , a8 , a11 , a14 , ?成等比数列,设公比为 ? 2 ; a3 , a6 , a9 , a12 , a15 , ?成等比数列,设公比为 ?3 ;


a13 a a 4 ? ?14 ? t 3 , 17 ? ? 2 ? t 3 , 21 ? ? 34 ? t 3 , a1 a5 a9
4 3

??1 ? ? 2 ? ?3 ,不妨令 ? ? ?1 ? ?2 ? ?3 ,则 t ? ? .

?a3k ?2 ? a1? k ?1 ? a1 ( 3 a )(3k ?2)?1
a3k ?1 ? a5?
k ?2

? a1t?

k ?2

? a1?

k?

2 3

? a1 ( 3 a )(3k ?1)?1
1 3

? a3k ? a9? k ?3 ? a1t 2? k ?3 ? a1?
综上, an ? a1 ( 3 ? )
n?1

k?

? a1 ( 3 a )3k ?1 ,

,从而 {an } 是等比数列.

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21. A. ? AE ? AC , AB 为直径

??OAC ? ?OAE

??POC ? ?OAC ? ?OCA ? ?OAC ? ?OAC ? ?EAC
又? ?EAC ? ?PDE

??PDE ? ?POC .
B.设 M ? ?

?a b ? ?a b ? ?1? ?1? ?a ? b ? 3 ,由 ? =3 ? ? ,得 ? . ? ? ? ? 1 1 c d c d c ? d ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

由?

?a b ? ? ?1? ? 9 ? ??a ? 2b ? 9 = ? ? ,得 ? , ? ? ? ?c d ? ? 2 ? ?15? ??c ? 2d ? 15

?a ? ?1 ?b ? 4 ? 可以解得 ? , ?c ? ?3 ? ?d ? 6
故M ? ?

? ?1 4 ? ?. ? ?3 6?

C . ( 1 ) 法 一 : 在 直 角 坐 标 系 中 , 圆 心 的 坐 标 为 C (1, 3) , 所 以 圆 C 的 方 程 为

( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 即 x2 ? y2 ? 2x ? 2 3 y ? 0 ,
化为极坐标方程得 ? 2 ? 2? cos? ? 2 3? sin ? ? 0 ,即 ? ? 4 sin(? ? 法二:令圆C上任一点 P( ? ,? ) , 在 ? PCO 中(其中O为极点) , PO ? ? , CO ? 2, PC ? 2, ?POC ? ? ? 由余弦定理得 4 ? ? ? 4 ? 4 ? cos(? ?
2

?
6

).

?
3



?
3

) ).

从而圆C的极坐标方程为 ? ? 4 cos(? ?

?
3

? 3 x ? 1? t ? 2 代入 x2 ? y2 ? 2x ? 2 3 y ? 0 得 t 2 ? 4 ,所以点 A、B 对应的 (2)法一:把 ? ? ?y ? 3 ? 1 t ? ? 2
参数分别为 t1 ? 2, t2 ? ?2 ,

令 3?

1 t ? 0 得点 P 对应的参数为 t0 ? ?2 3 . 2

所以 PA ? PB ? t1 ? t0 ? t2 ? t0 ? 2 ? 2 3 ? ?2 ? 2 3 ? 2 ? 2 3 ? ?2 ? 2 3 ? 4 3 .

? 3 x ? 1? t ? 3 ? 2 法二:把 ? 化为普通方程得 y ? 3 ? ? ( x ? 1) , 3 1 ?y ? 3 ? t ? ? 2
令 y ? 0 得点P坐标为 P(4, 0) , 又因为直线 l 恰好经过圆C的圆心C, 故 PA ? PB ? 2 PC ? 2 (4 ? 1) ? ( 3 ? 0) ? 4 3 .
2 2

D.?

x2 x22 x2 ? x1 ? 3 ? x2 ? 1 ? x3 ? 2 x2 2 ? 2 x32 ? 2 x12 ? 2( x1 ? x2 ? x3 ) ? 2 , x1 x2 x3
?

x2 2 x32 x12 ? ? ? 1. x1 x2 x3

22. 依题意,以点 A 为原点建立空间直角坐标 系, 可得 B(1,0,0) , C (2,2,0), D(0,2,0) , P (0,0,2) .由 E 为棱 PC 的中点,得 E (1,1,1) . (1)向量 BE = (0,1,1), DC = (2,0,0),故 BE ?DC

??? ?

????

??? ? ????

0 . 所以, BE ^ DC .

(2)向量 BC = (1,2,0) , CP = (- 2,- 2,2) , AC = (2,2,0) , AB = (1,0,0) . 由点 F 在棱 PC 上,设 CF = l CP , 0 #l

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

1.

故 BF = BC + CF = BC + l CP = (1- 2l ,2 - 2l ,2l ) . 由 BF ^ AC ,得 BF ? AC

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

0,
3 . 4

因此, 2(1- 2l ) + 2(2 - 2l ) = 0 ,解得 l = 即 BF = (-

??? ?

1 1 3 , , ). 2 2 2

?? ??? ? ì n ? AB ?? ? 1 ? 设 n1 = (x, y, z )为平面 FAB 的法向量,则 í ?? ??? ? ? n ? BF ? 1 ?

0,

ì x = 0, ? ? 即? í 1 1 3 - x + y + z = 0. 0, ? ? ? 2 2 ? 2

不妨令 z = 1,可得 n1 = (0,- 3,1) 为平面 FAB 的一个法向量. 取平面 ABP 的法向量 n2 = (0,1,0) ,则

??

?? ?

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ×n2 cos n1 , n2 = ?? ?? = n1 × n1

- 3 10 ? 1

=-

3 10 . 10
3 10 . 10

易知,二面角 F - AB - P 是锐角, 所以其余弦值为

0 1 2 3 n 23. (1)由二项式定理得 an ? Cn ? Cn 2 ? Cn ( 2)2 ? Cn ( 2)3 ? … +Cn ( 2)n , 0 2 4 2 4 所以 a ? Cn ? Cn ( 2)2 ? Cn ( 2)4 ? … ? 1 ? 2Cn ? 22 Cn ? …,为奇数.

(2)由(1) ,设 an ? (1 ? 2)n ? a ? b 2(a, b ? Z )

(1 ? 2)n ? a ? b 2(a, b ? Z )
所以 a2 ? 2b2 ? (a ? b 2)(a ? b 2) ? (1 ? 2)n (1 ? 2)n ? (1 ? 2)n ? (?1)n .
2 2 2 当 n 为偶数时, a ? 2b ? 1 ,存在 k ? a ,使得 an ? a ? b 2 ? 2 2 2 当 n 为奇数时, a ? 2b ? 1 ,存在 k ? 2b ,使得 an ? a ? b 2 ?

a 2 ? 2b 2 ? k ? k ? 1 ; a 2 ? 2b 2 ? k ? 1 ? k ;

综上,对于任意 n ? N * ,都存在正整数 k ,使得 an ? k ?1 ? k .

2015 年高考模拟试卷(8)
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . 1.若复数 z 满足(1+i)z=2 (i 为虚数单位),则 z= . 2.已知集合 A={0,1,2},则满足 A∪B={0,1,2}的集合 B 的个数为 . 3.某时段内共有 100 辆汽车经过某一雷达测速区域,将测得的汽车时速绘制成如图所示 的频率分布直方图.根据图形推断,该时段时速超过 50km/h 的汽车辆数为 开始 4.右图是一个算法流程图,若输入的 x 的值为 1,则输出 S 的 值为 . 输入 x
频率 组距



S ?0
S ? S ? x3
x? x?2

0.039 0.028 0.018 0.010 0.005

S≥30





输出 S
30 40 50 60 70 80
时速(km/h)

(第3题图)

结束

(第 4 题图)

5.设函数 f ( x) ? log 2 (5 ? x) (0 ? x ? 5) ,则 f ( x ) ? 1 的概率为 . uur uu u r 6.在 OA 为边, OB 为对角线的矩形中, OA ? ? ?3,1? , OB ? ? ?2, k ? ,则实数 k ?
2



7.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,双曲线 C 与抛物线 y ? 16 x 的准线交于
A, B 两点, AB ? 4 3 ,则双曲线 C 的实轴长为 . π 8.已知函数 y=sinωx(ω>0)在区间[0, ]上为增函数,且图象关于点(3π,0)对称,则 ω 的 2 取值集合为 . 2 9.已知数列 ?an ? 为等比数列,前 n 项和为 S n ,若 a1 ? a2 , a5 ? a10 ,且 3S1 、 2 S 2 、 S 3

成等差数列,则数列 ?an ? 的通项公式 an ?
2

. .

10.若函数 f ( x) ? x ? a x ? 2 在 (0, ??) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 11.已知棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 , F 是棱 BC 的中点, M 是线段 A1 F 上的 动点,则△ MDD1 与△ MCC1 的面积和的最小值是 .

1 12.函数 f ? x ? 是定义域为 R 的奇函数,且 x≤0 时, f ? x ? ? 2x ? x ? a ,则函数 f ? x ? 的 2 零点个数是 . x ? 4y 13.设正实数 x , y 满足 xy ? ,则 y 的最大值是 . x? y
14.在直角坐标中 xOy ,圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 ,圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 16 ,点 M ?1,0 ? ,动点 P、Q 分别在圆 C1 和圆 C2 上,满足 MP ? MQ ,则线段 PQ 的取值范围是 . 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15. (本小题满分 14 分)已知△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2acos B =ccos B+bcos C. (1)求角 B 的大小; (2)设向量 m = (cos A,cos 2A), n = (12,-5),求当 m ? n 取最大值时,tan C 的值.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD // BC , ?ADC ? 90°, 1 BC ? AD , PA ? PD , M , N 分别为 AD 和 PC 的中点. 2 P (1)求证: PA // 平面 MNB ; (2)求证:平面 PAD ? 平面 PMB . N

D

C
B

M
A

17. (本小题满分 14 分)轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动.如图,助 跑道 ABC 是一段抛物线, 某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为 1 m 的平台上 E 处, 飞行的轨迹是一段抛物线 CDE(抛物线 CDE 与抛物线 ABC 在同一平面内), D 为这段抛物线的最高点.现在运动员的滑行轮迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系, x 轴在地面上,助跑道一端点 A(0,4),另一端点 C(3,1),点 B(2,0),单位:m. (1)求助跑道所在的抛物线方程; (2)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点 C 处有相同的切线,为使运动员安全和 空中姿态优美,要求运动员的飞行距离在 4 m 到 6 m 之间(包括 4 m 和 6 m),试求运动员飞 行过程中距离平台最大高度的取值范围. (注:飞行距离指点 C 与点 E 的水平距离,即这两点横坐标差的绝对值)

18. (本小题满分 16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? 与直线 a 2 b2 y ? kx ? k ? 0? 相交于 A, B 两点(从左至右) ,过点 B 作 x 轴的垂线,垂足为 C ,直线 AC 交
(1)若椭圆的离心率为

椭圆于另一点 D .

2 ,点 B 的坐标为 2,1 ,求椭圆的方程; 2 (2)若以 AD 为直径的圆恰好经过点 B ,求椭圆的离心率. y

?

?

B

O C
A

D
x

(第 18 题图)

19. (本小题满分 16 分)数列 {an } 的首项为 a ( a ? 0 ) ,前 n 项和为 S n ,且 Sn?1 ? t ? Sn ? a (t ? 0) . 设 bn ? Sn ? 1 , cn ? k ? b1 ? b2 ? ? ? bn ( k ? 0 ) . (1)求数列 {an } 的通项公式;
* (2)当 t ? 1 时,若对任意 n ? N , | bn | ≥ | b3 | 恒成立,求 a 的取值范围;

(3)当 t ? 1 时,试求三个正数 a , t , k 的一组值,使得 {cn } 为等比数列,且 a , t , k 成等差数列.

20. (本小题满分 16 分)已知函数 f ? x ? ? 2ln x ? x ? ax2 , g ? x ? ? x ? ln x ? 3? ? ?1 ? a ? x2 . (1)若函数 f ? x ? 在区间 ?1, 4? 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)若曲线 g ? x ? 在 x ? e 处的切线平行于直线 x ? y ? 0 ,求证: 对 ?x ? ? 0, ?? ? , g ? x ? ? x ?

e4 ? 0; 4x (3)设函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? ? x ? ,试讨论函数 y ? h ? x ? , x ? ?1, 4? 的零点个数.

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题 ............... 区域内作答 . ..... A. (选修4-1:几何证明选讲)如图,设 AB 、 CD 是圆 O 的两条弦,直线 AB 是线段 CD 的垂直平分线.已知 AB ? 6, CD ? 2 5 ,求线段 AC 的长度.
C B

D A

? ? B. (选修4-2:矩阵与变换)已知点 P(a,b),先对它作矩阵 M ? ? ? ? ?

1 2 3 2

? ? 3? 2 ? 对应的变 1 ? ? 2 ?

?2 0? 换,再作 N ? ? ? 对应的变换,得到的点的坐标为 (8, 4 3 ),求实数 a,b 的值. ?0 2?

C. (选修4-4:坐标系与参数方程)
? ? x ? 3 cos ? , 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为 ? 其中 ? 为参数.以 O 为 ? ? y ? sin ? , π 极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? 2 .求 3 椭圆 C 上的点到直线 l 距离的最大值和最小值.

? a, a ≤ b b? ? ? D. (选修4-5:不等式选讲)定义 min ?a, ,设 h ? min a, 2 2b 2 ,其中 a, b , a ? b a ?b ? b 均为正实数,证明:h ≤ 1.

?

?

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. (本小题满分 10 分)已知(1+x)2n=a0+a1x+a2x2+?+a2nx2n. (1)求 a1+a2+a3+?+a2n 的值; 1 1 1 1 1 1 (2)求 - + - +?+ - 的值. a1 a2 a3 a4 a2n-1 a2n

23. (本小题满分 10 分)设数列{an},{bn}满足 a1=b1,且对任意正整数 n,{an}中小于等于 n 的项数恰为 bn;{bn}中小于等于 n 的项数恰为 an. (1)求 a1; (2)求数列{an}的通项公式.

2015 年高考模拟试卷(8)参考答案
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题 1.1 ? i ; 2.8 ; 3.77 ; 4.153;

2 5. ; 6.4 ; 5

7.4 ;

1 2 8.{ , ,1}. 【解 3 3

? π ≥π, ?0<ω≤1 ? ? 1 2 2 ω 2 k ,其中 k∈Z,则 k= 或 k= 或 k=1. 析】 ? 即? 3 3 ω = ? 3 ?3ωπ=kπ, ? ?
9. 3 n ; 10. [?4, 0] ; 11.

65 ; 10

12.3 . 【解析】 f (0) ? 1 ? a ? 0 ,所以 a ? ?1 .所以

? x 1 2 ? x ? 1, x ≤ 0 ? 1 ? 2 f ? x? ? ? ,可以数形结合,先研究 x ? 0 时, y ? 2x 与y ? x ? 1 的交点只 1 1 2 ??( ) x ? x ? 1, x ? 0 ? ? 2 2

有 1 个,可以通过比较 y ? 2 x 在 (0,1) 处的斜率与 导数研究每一段的图象) 13. 5 ? 2 . 【解析】由 xy ?

1 的大小可得.故共有 3 个零点. (或直接 2

x ? 4y x ? 4y 1 4 ,得 x ? y ? ? ? ,所以 1 ? y ? x ? 4 ≥4 , y x x? y xy y x

解得 0 ? y ≤ 5 ? 2 .

? 14. ? ? 19 ? 1, 19 ? 1? .

2 2 ? ?x ? y ? 4 【解析】设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 ? 1 2 1 2 . ? ? x2 ? y2 ? 16

又 PQ 的中点 N ( x, y ) ,即 N ( 则有 x 2 ? y 2 ?

x1 ? x2 y1 ? y2 , ), 2 2

( x12 ? y12 ) ? ( x2 2 ? y2 2 ) ? 2( x1 x2 ? y1 y2 ) 1 ? 5 ? ( x1 x2 ? y1 y2 ) , 4 2

由条件, MP ? MQ ,得 x1 x2 ? y1 y2 ? x1 ? x2 ? 1 ? 2x ? 1 , 所以 x2 ? y 2 ? 5 ? x ?
? 19 ? 1 19 ? 1? 1 1 19 ,即 ( x ? )2 ? y 2 ? ,由于 PQ ? 2MN , MN ? ? , ?, 2 ? 2 2 4 ? 2

? 所以 PQ ? ? ? 19 ? 1, 19 ? 1? .

二、解答题 15. (1)由题意, 2sin Acos B=sin Ccos B+cos Csin B, 所以 2sin Acos B=sin(B+C)=sin(π-A)=sin A. 因为 0<A<π,所以 sin A≠0.所以 cos B= 2 π .因为 0<B<π,所以 B= . 2 4

(2)因为 m· n=12cos A-5cos 2A, 3?2 43 所以 m· n=-10cos2A+12cosA+5=-10? ?cos A-5? + 5 . 3 4 π 4 所以当 cos A= 时,m· n 取最大值.此时 sin A= (0<A< ),于是 tan A= . 5 5 2 3 所以 tan C=-tan(A+B)=- tan A+tan B =7. 1-tan Atan B

P

N
D

15. (1)连接 AC 交 MB 于 Q ,连接 NQ , MC . 因为 AM // BC , AM ?

1 AD ? BC , 2

C
Q

M
A

所以四边形 ABCM 是平行四边形, 所以 Q 是 AC 的中点. 又 N 是 PC 的中点,所以 NQ // PA . 因为 NQ ? 平面 MNB , PA ? 平面 MNB ,所以 PA // 平面 MNB . (2)因为 PA ? PD , AM ? MD ,所以 PM ? AD . 因为 MD // BC , MD ? BC , 所以四边形 BCDM 是平行四边形,所以 MB // DC , 因为 ?ADC ? 90°,即 AD ? DC ,所以 AD ? MB . 因为 PM ? MB ? M , PM , MB ? 平面平面 PMB , 所以 AD ? 平面 PMB . 因为 AD ? 平面 PAD 所以平面 PAD ? 平面 PMB . 17.(1)设助跑道所在的抛物线方程为 f(x)=a0x2+b0x+c0,
(第 16 题图)

B

?c0 ? 4 ? 依题意 ? 4a0 ? 2b0 ? c0 ? 0 , ?9a ? 3b ? c ? 1 0 0 ? 0
解得 a0=1,b0=-4,c0=4, 所以助跑道所在的抛物线方程为 f(x)=x2-4x+4,x∈[0,3]. (2)设飞行轨迹所在抛物线为 g(x)=ax2+bx+c(a<0), 依题意 ?

? ? f ? 3? ? g ? 3? , ? ? f 3 ? g 3 ? ? ? ? ? ?

即?

?9a ? 3b ? c ? 1 ?b ? 2 ? 6a ,解得 ? ?6a ? b ? 2 ?c ? 9a ? 5
2

所以 g(x)=ax +(2-6a)x+9a-5

=a ? x ?

? ?

1 3a ? 1 ? 2 ? +1- a . a ?

令 g(x)=1,得 ? x ? 因为 a<0,所以 x= 当 x=

? ?

3a ? 1 ? 2 1 ?= . a ? a2

3a ? 1 1 时,g(x)有最大值,为 1- , a a 2 2 -3=- , a a

3a ? 1 1 2 - =3- . a a a

则运动员的飞行距离 d=3-

飞行过程中距离平台最大高度

1 1 -1=- , a a 2 1 依题意,4≤- ≤6,即 2≤- ≤3, a a
h=1- 即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在 2 m 到 3 m 之间.
?c 2 ? ? 2 ?a 2 ? 1 ?2 x2 y 2 ?a ? 4 18. (1)由题意, ? 2 ? 2 ? 1 ,解得 ? 2 ,所以椭圆的方程为 ? ?1. b 4 2 ? ?a ?b ? 2 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?

(2)方法一:设 B ? x1 , y1 ? , D ? x2 , y2 ? ,则 A ? ? x1 , ? y1 ? , C ? x1 ,0 ? .
???? ???? 因为 A, C , D 三点共线,所以 AC // AD ,

??? ? ???? 由 AC ? ? 2x1 , y1 ? , AD ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ,
得 2 x1 ? y1 ? y2 ? ? ? x1 ? x2 ? y1 ,即 又 B, D 均在椭圆上,
? x12 y12 ? ?1 ① ? ? a 2 b2 有? 2 , 2 ? x2 ? y2 ? 1 ② ? ? a 2 b2

y1 ? y2 y k ? 1 ? . x1 ? x2 2 x1 2

, b2 y ? y2 b 2 x ? x2 2 b2 ?? 2 ? 1 ?? ? 2 , 所以直线 BD 的斜率 k ? ? 1 x1 ? x2 a y1 ? y2 k a
a
2

①—②,得

? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ?

??

? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ?

由于以 AD 为直径的圆恰好经过点 B ,

所以 AB ? BD ,即 k ? k ? ? ?1 ,所以 a 2 ? 2b 2 , 所以椭圆的离心率 e ?

c 2 . ? a 2

方法二:设 B ? t , kt ? ,则 A ? ?t , ?kt ? , C ? t ,0 ? , 所以直线 AD 的方程为 y ?

k ?x ? t?. 2

? x2 y 2 ? ?1 ? a2 k 2 ? 2 b2 2 由 ?a ,消 y ,得 b2 x2 ? ? x ? t ? ? a 2b2 , k 4 ?y ? ?x ? t? ? ? 2

即 4b2 ? a2 k 2 x2 ? 2a2 k 2tx ? a2 k 2t 2 ? 4a2b2 ? 0 , 所以 xA ? xD ? 从而 xD ?

?

?

2a2 k 2t , 4b2 ? a2 k 2

2a2 k 2t 3a2 k 2 ? 4b2 a2 k 3 ,即 ? t D ( t , t) , 4b2 ? a2 k 2 4b2 ? a2 k 2 4b2 ? a2 k 2

a2k 3 t ? kt 2 2b 2 a2k 2 ? ? 所以直线 BD 的斜率 k ? ? 4b2 ? , 3a k 2 ? 4b 2 a2k t ?t 4b 2 ? a 2 k 2

由于以 AD 为直径的圆恰好经过点 B , 所以 AB ? BD ,即 k ? k ? ? ?1 ,所以 a 2 ? 2b 2 , 所以椭圆的离心率 e ?

c 2 . ? a 2
① ②,

19. (1)因为 Sn?1 ? t ? Sn ? a 当 n≥2 时, Sn ? t ? Sn?1 ? a

①—②得, an?1 ? t ? an ( n≥2 ) , 又由 S 2 ? t ? S1 ? a ,得 a 2 ? t ? a1 , 所以, {an } 是首项为 a ,公比为 t 的等比数列,所以 an ? a ? t (2)当 t ? 1 时, an ? a , S n ? na , bn ? na ? 1 , 由 | bn | ≥ | b3 | ,得 | na ? 1| ≥ | 3a ? 1| , (n ? 3)a[(n ? 3)a ? 2]≥0 当 a ? 0 时, n ? 3 时, (*)不成立; 当 a ? 0 时, (*)等价于 (n ? 3)[(n ? 3)a ? 2] ≤ 0 (**) (*)
n ?1

(n?N ) .
*

n ? 3 时, (**)成立.
n≥4 时,有 (n ? 3)a ? 2 ≤ 0 ,即 a ≤ ?
1 2 ? 2 2? 综上, a 的取值范围是 ? ? , ? ? . ? 5 7?

2 2 恒成立,所以 a ≤ ? . 7 n?3
2 5

n ? 1 时,有 4a ? 2≥0 , a≥ ? . n ? 2 时,有 5a ? 2≥0 , a≥ ? .

a (1 ? t n ) a(1 ? t n ) a at n (3)当 t ? 1 时, S n ? , bn ? , ?1 ? 1? ? 1? t 1? t 1? t 1? t
cn ? k ? n ? an at (1 ? t n ) at n ?1 1 ? a ? t k (1 ? t ) 2 ? at ? ? ? ? n ? , 1? t (1 ? t ) 2 (1 ? t )2 1? t (1 ? t ) 2

?1 ? a ? t ?0, ?a ? t ? 1, ? ? 1? t ? 所以,当 ? 时,数列 {c n } 是等比数列,所以 ? t 2 k? , ? k (1 ? t ) ? at ? 0 ? t ?1 ? 2 ? (1 ? t ) ?

又因为 a , t , k 成等差数列,所以 2t ? a ? k ,即 2t ? t ? 1 ? 解得 t ?

t , t ?1

5 ?1 5 ?1 5 ?3 . 从而, a ? ,k ? . 2 2 2 5 ?1 5 ?1 5 ?3 所以,当 a ? ,t ? ,k ? 时,数列 {c n } 为等比数列. 2 2 2
20. (1)由题意, f ? ? x ? ? 即 2a ≤

2 ? 1 ? 2ax≥0 在 x ? ?1, 4? 上恒成立, x

2 1 ? 在 x ? ?1, 4? 上恒成立. x2 x

设 t ? x? ?

2 1 1 1 1 ?3 ? ? ? 2( ? )2 ? ? x ? ?1, 4?? ,所以 t ? x ? ? ? ,3? , 2 x x x 4 8 ?8 ?

3 3 所以 2a ≤ ,即 a ≤ . 8 16
(2)由 g ? x ? ? x ? ln x ? 3? ? ?1 ? a ? x 2 ,得 g ? ? x ? ? ln x ? 2 ?1 ? a ? x ? 2 . 由题意, g ? ? e ? ? ?1,即 ln e ? 2 ?1 ? a ? e ? 2 ? ?1 ,所以 a ? 1 . 所以 g ? x ? ? x ? ln x ? 3? . 不等式 g ? x ? ? x ?

e4 e4 ? 0 即为 g ? x ? ? ?( x ? ) . 4x 4x

由 g ? ? x ? ? ln x ? 2 ,知函数 g ? x ? 在 x ? e 2 处取最小值为 ? e 2 , 设 ? ? x ? ? ?( x ?
e4 e4 e4 ? ?e 2 , ) ,因为 x ? 0 ,所以 ?( x ? )≤-2 x ? 4x 4x 4x

1 1 当且仅当 x ? e2 时取“=” ,即当 x ? e2 时, ? ? x ? 的最大值为 ? e 2 , 2 2 1 因为 e2 ? e2 ,所以 g ? x ? ? ? ? x ? ,即原不等式成立. 2
(注:不等式 g ? x ? ? x ? 设 ? ? x ? ? ln x ?

e4 e4 ? 0 即为 ln x ? 2 ? 2 ? 0 , 4x x

e4 ? 2 ,证明 ? ? x ? ? 0 对 ?x ? ? 0, ??? 成立,证明略) x2

2 (3) h ? x ? ? 2ln x ? x ? ax2 ? ? ?ln x ? 2 ?1 ? a ? x ? 2? ? ? ln x ? ? 2a ? 1? x ? ax ? 2 ,

?

?

h? ? x ? ?

?2ax 2 ? ? 2a ? 1? x ? 1 ? x ? 1?? 2ax ? 1? 1 ? ? 2a ? 1? ? 2ax ? ?? . x x x

①当 a ≥ 0 时,由于 x ? ?1, 4 ? ,所以 h? ? x ?≤0 ,所以 h ? x ? 在 ?1, 4? 上递减, 由 h ?1? ? a ? 1 ? 0 , h ? 4? ? ln 4 ? 8a ? 2 ? 0 ,所以函数 h ? x ? 在 ?1, 4? 上的零点个数 1;

? ? 1 ?? ?2a ? ? x ? 1? ? x ? ? ? ?? ? ? 2a ?? , ②当 a ? 0 时, h? ? x ? ? x
1? 当 ?

1 1 ≤1 ,即 a≤ ? 时,当 x ? ?1, 4? 时, h? ? x ? ≥ 0 ,所以 h ? x ? 在 ?1, 4? 上递增, 2a 2

因为 h ?1? ? a ? 1 , h ? 4? ? ln 4 ? 8a ? 2 ? 0 ,

1 所以当 ?1 ? a≤ ? 时,函数 h ? x ? 在 ?1, 4? 上的零点个数 0; 2
当 a≤ ? 1 时,函数 h ? x ? 在 ?1, 4? 上的零点个数 1.
2? 当 ?

1 1 ≥ 4 ,即 ? ≤a ? 0 时, h? ? x ?≤0 ,所以 h ? x ? 在 ?1, 4? 上递减, 2a 8

因为 h ?1? ? a ? 1 ? 0 , h ? 4? ? ln 4 ? 8a ? 2 ,

1 1 所以当 h ? 4? ? 0 ,即 ? ≤a ? ? ln 2 ? 1? 时,函数 h ? x ? 在 ?1, 4? 上的零点个数 0; 8 4
当 h ? 4 ? ≤0 ,即
3? 当 1 ? ?

1 ? ln 2 ? 1?≤a ? 0 时,函数 h ? x ? 在 ?1, 4? 上的零点个数 1. 4

1 1 1 ? 4 ,即 - ? a ? ? 时, 2a 2 8

1 ? ? ? 1 ? 满足 x ? ?1, ? ? 时, h? ? x ?≤0 ; x ? ? , 4 ? 时, h? ? x ? ≥ 0 , ? 2a ? ? 2a ? 1 ? ? 1 ? ? 即函数 h ? x ? 在 ?1, ? ? 上递减,在 ? , 4 ? 上递增, ? 2a ? ? 2a ?

因为 h ?1? ? a ? 1 ? 0 , h ? 4? ? ln 4 ? 8a ? 2 ? 0 ,

? 1 ? ? 1 ? 1 ? 1, 而 h ? ? ? ? ln ? ? ? ? ? 2a ? ? 2a ? 4a

设t ? ?

1 1 ,则 ? ? t ? ? ln t ? t ? 1,且 1 ? t ? 4 , 2a 2

1 1 2?t 由 ?? ?t ? ? ? ? ,知 t ? ?1, 2 ? 时, ? ? ? t ? ? 0 , t ? ? 2,4? 时, ? ? ? t ? ? 0 , t 2 2t
即 ? ? t ? 在 ?1, 2 ? 上为增函数,在 ? 2, 4 ? 上为减函数, 因为 ? ?1? ? ln1 ?

1 1 ? 1 ? ? 0 , ? ? 4? ? ln 4 ? 2 ? 1 ? 0 , 2 2

? 1 ? 所以当 1 ? t ? 4 时, ? ?t ? ? 0 ,即 h ? ? ? ? 0 , ? 2a ?

1 1 所以当 - ? a ? ? 时,函数 h ? x ? 在 ?1, 4? 上的零点个数 0. 2 8
综上所述,当 ?1 ? a ? 当 a≤ ? 1 或 a ≥

1 ? ln 2 ? 1? 时,函数 h ? x ? 在 ?1, 4? 上的零点个数 0; 4

1 ? ln 2 ? 1? 时,函数 h ? x ? 在 ?1, 4? 上的零点个数 1. 4
第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)

21.A.连接 BC, AB , CD 相交于点 E . 因为 AB 是线段 CD 的垂直平分线, 所以 AB 是圆的直径,∠ACB=90° . 设 AE ? x ,则 EB ? 6 ? x ,由射影定理得 CE2=AE·EB,又 CE ? 5 , 即有 x(6 ? x) ? 5 ,解得 x ? 1 (舍)或 x ? 5 . 所以,AC2=AE·AB=5×6=30, AC ? 30 .
? 1 ?2 0? ? 2 B.依题意,NM ? ? ? ? ?0 2? ? 3 ? 2 ? ? ? 3 ? ? 1 ? 3? 2 ?, ? ?? 1 ? ? 1 ? ? ? 3 ? 2 ? 3? 4 ? ?, 1 ? ? 4 ?
A

C B E D

由逆矩阵公式得, (NM)

?1

? 1 ? 4 ?? ?? 3 ? 4 ?

? 1 ? 4 所以 ? ?? 3 ? 4 ?

3? 4 ?? 8 ? ? 5 ? ?? ??? ? ,即有 a ? 5 , b ? ? 3 . 1 ? ?4 3 ? ?? 3 ? ? 4 ?

π 1 3 C.由 ? cos(? ? ) ? 2 ,得 ? ( cos? ? sin ? ) ? 2 , 3 2 2
即 l 的直角坐标方程为 x ? 3 y ? 4 ? 0 .
? x ? 3 cos ? , ? 因为椭圆 C 的参数方程为 ? ? ? y ? sin ? ,

所以椭圆 C 上的点到直线 l 距离
3 cos? ? 3 sin ? ? 4 2 π 6 cos(? ? ) ? 4 4 ? 6 cos(? ? π ) 4 4 , ? 2 2

d?

?

所以 d 的最大值为 2 ?

6 6 ,最小值为 2 ? . 2 2

D.因为 a,b 均为正实数,所以 h2 ≤ 22ab 2 . a ?b 因为 a 2 ? b2≥2ab ,所以 22ab 2 ≤ 1 ,即 h 2 ≤ 1 . a ?b 22. (1)令 x=0 得,a0=1;令 x=1 得,a0+a1+a2+a3+?+a2n=22n. 于是 a1+a2+a3+?+a2n=22n-1. (2)ak=C2kn,k=1,2,3,?,2n, 首先考虑 k!(2n+1-k)! (k+1)!(2n-k)! k!(2n-k)!(2n+1-k+k+1) 1 1 + = k + k+ 1 = (2n+1)! (2n+1)! (2n+1)! C2n+1 C2n+1

k!(2n-k)!(2n+2) 2n+2 = = , (2n+1)! (2n+1) C2kn 则 2n+1 1 1 1 = ( + k+1 ), C2kn 2n+2 C2nk +1 C2n+1 2n+1 1 1 1 1 - k+1= ( k - +2 ). C2kn C 2n 2n+2 C2n+1 C2kn +1

因此

1 1 1 1 1 1 故 - + - +?+ - a1 a2 a3 a4 a2n-1 a2n 2n+1 1 1 1 1 1 1 = ( 1 - 3 + 3 - 5 +?+ 2n-1- n+1) 2n+2 C2n+1 C2n+1 C2n+1 C2n+1 C2n+1 C2 2n+1 2n+1 1 2n+1 1 1 n = ( - 2n+1)= ( -1)=- . 2n+2 C2n1 n+ 1 +1 C2n+1 2n+2 2n+1 23. (1)首先,容易得到一个简单事实:{an}与{bn}均为不减数列且 an∈N,bn∈N. 若 a1=b1=0,故{an}中小于等于 1 的项至少有一项,从而 b1≥1,这与 b1=0 矛盾. 若 a1=b1≥2,则{an}中没有小于或等于 1 的项,从而 b1=0,这与 b1≥2 矛盾. 所以,a1=1. (2)假设当 n=k 时,ak=bk=k,k∈N*. 若 ak+1≥k+2,因{an}为不减数列,故{an}中小于等于 k+1 的项只有 k 项,

于是 bk+1=k,此时{bn}中小于等于 k 的项至少有 k+1 项(b1,b2,?,bk,bk+1), 从而 ak≥k+1,这与假设 ak=k 矛盾. 若 ak+1=k,则{an}中小于等于 k 的项至少有 k+1 项(a1,a2,?,ak,ak+1), 于是 bk≥k+1,这与假设 bk=k 矛盾. 所以,ak+1=k+1. 所以,当 n=k+1 时,猜想也成立. 综上,由(1),(2)可知,an=bn=n 对一切正整数 n 恒成立. 所以,an=n,即为所求的通项公式.

2015 年高考模拟试卷(9)
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . 1.已知集合 M ? ?0,1,3? ,集合 N ? x x ? 3a, a ? M ,则 M ? N =

?

?



2.已知复数 z 在复平面内对应的点在第一象限,且虚部为 1,模为 2 ,则复数 z 的实部 为 . 3.采用系统抽样方法从 420 人中抽取 21 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1,2,?, 420, 则抽取的 21 人中, 编号落入区间 ? 241,360? 上的人数为 . .

S ?2
4.运行如图算法语句,则输出的结果为

5.将甲、乙两个球随机放入编号为 1,2,3 的 3 个盒子中,每个盒子的 放球数量不限,则在 1,2 号盒子中各有 1 个球的概率为 . 6.已知 {an } 是等差数列,满足 2a7 ? a5 ? 3 ? 0 ,则 a9 = 7.若圆锥底面半径为 1,高为 2,则圆锥的侧面积为 8.若双曲线 是 . . .

I ?1 While S ? 200 I ?I ?2 S ?S?I End While Pr int I

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 y ? 3x 无交点,则离心率 e 的取值范围 a 2 b2

9.若 cos(? -

?
3

)=

10. ?ABC 是直角边等于 4 的等腰直角三角形, D 是斜边

1 ? ,则 sin(2? - ) = 3 ?



???? ? 1 ??? ? ???? ???? ? BC 的中点, AM ? AB ? m ? AC ,向量 AM 的终点 M 4 ???? ? ???? ? 在 ?ACD 的内部(不含边界) ,则 AM ? BM 的取值范围是



2 2 11.已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? a ? 1 ,若关于 x 的不等式 f ( f ( x)) ? 0 的解集为空集,则 实数 a 的取值范围为 .

12. 已知直线 l 经过点 P ?1,1? ,且被两平行直线 l1: x ? y ? 1 ? 0 和 l2: x ? y ? 6 ? 0 截得的线段 之长为 37 ,则直线 l 的方程为 . 13.已知函数 f ( x) ? x ln x ,当 x2 ? x1 ? 0 时,给出以下几个结论: ① ( x1 ? x2 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 ;② ③ f ( x1 ) ? x2 ? f ( x2 ) ? x1 ; 其中正确的命题的序号是

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?1; x1 ? x2

④ x2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) , . .
??? ? ???? 1 AB=1, AB ? AC =1, 2

14.对于集合 A ? {a1 , a2 , ???, an } ( n ? N * , n ? 3) ,定义集合 S ? {x x ? ai ? a j ,1 ? i ? j ? n} , 若 an ? 2n ? 1,则集合 S 中各元素之和为 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15.(本小题满分 14 分)在四边形 ABCD 中,CA=CD=

3 sin ∠BCD= . 5 (1)求 BC 的长; (2)求三角形 ACD 的面积.

16.(本小题满分 14 分)如图,六面体 ABCDE 中,面 DBC⊥面 ABC,AE⊥面 ABC. (1)求证:AE //面 DBC; (2)若 AB⊥BC,BD⊥CD,求证:AD⊥DC. E D

A B

C

17.(本小题满分 14 分)如图,某小区有一矩形地块 OABC,其中 OC ? 2 , OA ? 3 ,单位百 米. 已知 OEF 是一个游泳池,计划在地块 OABC 内修一条与池边 EF 相切于点 M 的直路 l(宽度 不 计) ,交线段 OC 于点 D ,交线段 OA 于点 N .现以点 O 为坐标原点,以线段 OC 所在直线为 x
x 轴,建立平面直角坐标系,若池边 AE 满足函数 y ? ? x 2 ? 2 0剟

?

2

? 的图象.若点 M 到 y 轴

距 离记为 t . (1) 当 t ?
2 时,求直路 l 所在的直线方程; 3 (2) 当 t 为何值时, 地块 OABC 在直路 l 不含 泳池那侧的面积取到最大, 最大值是多少?

y B N E M F D C

O

(第 17 题)

x

18. (本小题满分 16 分)已知椭圆 C 中心在坐标原点,对称轴为 y 轴,且过点 M (4, 2) 、

N ( 6,3) .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 上的任一点 R( x0 , y0 ) ,从原点 O 向圆 R : ( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ? 8 作两条切
2 2

线,分别交椭圆于 P, Q .试探究 OP ? OQ 是否为定值,若是,求出其值;若不是,请说
2 2

明理由.

1 λ 19. (本小题满分 16 分)已知函数 f(x)= + (a,b,λ 为实常数). x-a x-b (1)若 λ=-1,a=1. ①当 b=-1 时,求函数 f(x)的图象在点( 2,f( 2))处的切线方程; 1 1 ②当 b<0 时,求函数 f(x)在[3,2]上的最大值. (2)若 λ=1,b<a,求不等式 f(x)≥1 的解集构成的区间 D 的长度. (定义区间 (c, d ) , [c, d ) , (c, d ] , [c, d ] 的长度均为 d ? c ,其中 d ? c .)

20. (本小题满分 16 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 数列{Mn} 满足条件:M1= St1 ,当 n≥2 时,Mn= Stn - Stn?1 ,其中数列{tn}单调递增,且 tn∈N*. (1)若 an=n, ①试找出一组 t1、t2、t3,使得 M22=M1M3; ②证明:对于数列 an=n,一定存在数列{tn},使得数列{Mn}中的各数均为一个整 数的平方; (2)若 an=2n-1,是否存在无穷数列{tn},使得{Mn}为等比数列.若存在,写出一个满 足条件的数列{tn};若不存在,说明理由.

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题 ............... 区域内作答 . ..... A. (选修 4-1:几何证明选讲) 如图, A, B, C 是⊙O 上的三点, BE 切⊙O 于点 B, D 是 CE 与⊙O 的交点. 若 ?BAC ? 60? , BE ? 2 , BC ? 4 ,求线段 CD 的长. A

O
B

C

B. (选修 4-2:矩阵与变换) 变换 T1 是逆时针旋转

D E

? 的旋转变换, 对应的变换矩阵是 M 1 ; 变换 T2 2 ?1 1? 对应用的变换矩阵是 M 2 ? ? ?. ?0 1? (1)求点 P(2,1) 在 T1 作用下的点 P ' 的坐标; 2 (2)求函数 y ? x 的图象依次在 T1 , T2 变换的作用下所得曲线的方程.

C. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程;
2 2

?
6



(2)设 l 与圆 x ? y ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积.

D. (选修 4-5:不等式选讲) 对任给的实数 a(a ? 0) 和 b,不等式 a ? b ? a ? b ≥ a ? ? x ? 1 ? x ? 2 ? 恒成立,求实数 x 的取值.

【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时 ....... 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分)抛掷甲,乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1,2,3,4 的正四面 体,其底面落于桌面,记所得数字分别为 x,y.设 ? 为随机变量,若 x 为整数,则 ? ? 0 ; y 若 x 为小于 1 的分数,则 ? ? ?1 ;若 x 为大于 1 的分数,则 ? ? 1 . y y (1)求概率 P(? ? 0) ; (2)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E (? ) .

23. (本小题满分 10 分)已知 a , b 为整数且 a ? b ? 0 , sin ? ?
n

An ? ? a 2 ? b 2 ? sin n? ,求证:对一切正整数 n , An 均为整数.

2ab ? ?? ,其中 ? ? ? 0, ? , 2 a ?b ? 2?
2

2015 年高考模拟试卷(9)参考答案
南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题 1. ?0,3? ; 7. 5? ; 2.1; 3.6; 4.7; 5.
2 ; 9

6.3 ;

???? ? 1 ??? ? ???? 7 8. (1,2] ; 9. ? ;10. ? ?2,6? . 【解析】 AM ? AB ? m ? AC ,根据 9 4

向量分解基本定理,可得 m ? ? , ? ,

?1 3? ?4 4?

所以 AM ? BM ? AM ? BA ? AM ? ?

???? ? ???? ?

???? ? ??? ? ???? ?

?

?

? ???? ?? 3 ??? ? ???? ? ? 1 ??? AB ? m ? AC ?? ? AB ? m ? AC ? ?4 ?? 4 ?

? ??? ? ?? 3 ??? ? ??? ?? ? 1 ??? ? ? AB ? m ? AC ?? ? AB ? m ? AC ? ? ?3 ? 16m2 ? ? ?2,6 ? ?4 ?? 4 ?
11. ? ??, ?2? . 【解析】 f ( x) ? 0 的解集为 (a ? 1, a ? 1) ,所以 f ( x) ? a ? 1 或 f ( x) ? a ? 1 恒成立,又 f ( x) ? ? ?1, ?? ? ,所以 ?1 ? a ? 1 ? a ? ?2 . 12.x ? 6 y ? 7 ? 0 或 6 x ? y ? 7 ? 0 . 【解析】 设直线 l 与 l1 和 l2 的交点为 A ? x1 , y1 ? ,B ? x2 , y2 ? ,

?x ? y ?1 ? 0 1 1 ? ? 根据题意可得 ? x2 ? y2 ? 6 ? 0 ,令 x1 ? x2 ? t ,可得 y1 ? y2 ? 5 ? t ,代入 ? 2 2 ? ?? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? ? 37

? x1 ? x2 ?
k?

2

? ? y1 ? y2 ? ? 37 可 得 t ? 6 或 t ? ?1 , 而 所 求 直 线 的 斜 率
2

1 y1 ? y2 5 ? t ,代入可得 k ? ? 或 k ? ?6 ,所以所求直线的方程为 x ? 6 y ? 7 ? 0 ? 6 x1 ? x2 t

或 6x ? y ? 7 ? 0 .
? 1? n x ?0 , 13. ④. 【解析】 f ( x) ? x ln x , 所以 f ? ? x ? ? 1 ? ln x , 令 f ? ?x ? ? 1? l 得 x ? ? 0, ? , ? e? ?1 ? ? 1? 所以 f ( x) ? x ln x 在 ? 0, ? 内单调递减,而在 ? , ?? ? 内是单调递增,可知①不正确, e e ? ? ? ?

令 F ? x ? ? f ? x ? ? x ,则 F ? ? x ? ? f ? ? x ? ? 1 ? ln x ,可得 F ? x ? ? f ? x ? ? x 在 ? 0, ?? ? 不是单调

的,所以②③不正确,令 G ? x ? ? 确.

f ? x? x

? ln x ,得 G ? x ? ?

f ? x? x

是单调递增,所以④正

14.4n2 ? 2n ? 12 . 【解析】 考察 ai ? a j (1 ? i ? j ? n) 中 i ? j ? ?3, 2n ? 1? , S 中的元素组成 2n ? 3 项的等差数列, a1 ? a2 ? 8, an ?1 ? an ? 4n ,所以各元素之和为 4n2 ? 2n ? 12 . 二、解答题 15. (1) AB ? AC ? AB ? AC cos ?BAC ? 1 ? cos ?BAC ?

1 2 2 2 2 在⊿ABC 中由余弦定理知 BC ? AC ? AB ? 2 AB ? AC ? cos ?BAC ? 3 所以 BC ? 3 .

??? ? ??? ?

(2)在⊿ABC 中, AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? ?ACB ?

?
2

,

? 3 4 sin ?BCD ? sin(?ACD ? ) ? cos ?ACD ? (?ACD ? (0,? )) ? sin ?ACD ? , 2 5 5 1 1 4 2 S?ACD ? CA CD sin ?ACD ? ?1?1? ? . 2 2 5 5
16. (1)过点 D 作 DO⊥BC,O 为垂足. 因为面 DBC⊥ 面 ABC,又面 DBC∩面 ABC=BC,DO ?面 DBC, 所以 DO⊥ 面 ABC.又 AE⊥ 面 ABC,则 AE//DO. 又 AE ? 面 DBC,DO ?面 DBC,故 AE // 面 DBC. (2)由(1)知 DO⊥ 面 ABC,AB?面 ABC,所以 DO⊥AB. 又 AB⊥ BC,且 DO∩BC=O,DO,BC?平面 DBC,则 AB⊥ 面 DBC. 因为 DC ?面 DBC,所以 AB⊥ DC.又 BD⊥ CD,AB∩DB=B,AB,DB?面 ABD,则 DC⊥ 面 ABD. 又 AD? 面 ABD,故可得 AD⊥ DC. 4 2 14 17.(1) 由题意得 M , ,又因为 y? ? ?2 x ,所以直线 l 的斜率 k ? ? , 3 3 9 14 4 2 4 22 故直线 l 的方程为 y ? ? ? x ? ,即 y ? ? x ? . 9 3 3 3 9 (2) 由(1)易知 l : y ? (2 ? t 2 ) ? ?2t ( x ? t ) ,即 y ? ?2tx ? t 2 ? 2 . 1 2 令 y ? 0 得 x ? t ? ,令 x ? 0 得 y ? t 2 ? 2 . 2 t 2 ?1 ? t ? ≤2 , 由题意 ? 2 解得 2 ? 2 ≤ t ≤1 . t 2 ? t ? 2 ≤ 3 ? 1 1 2 1 4 ? S?ODN ? ? t ? ? t 2 ? 2? ? t 3 ? 4t ? . 4 t 2 2 t 1 3 4 令 g ? t ? ? t ? 4t ? , 4 t 2 2 1 2 4 3t 4 ? 4t 2 ? 4 ? t ? 2 ?? 3t ? 2 ? ? 则 g ? ? t ? ? 3t ? 4 ? 2 ? . 4t 2 4 t 4t 2

? ?

? ?

? ?
? ?

? ?

? ?

?

?

?

?

当t ?

6 6 6 6 ? 0 ;当 t ? 2 ? 2, ? 0; 时, g ? 时, g ? 3 3 3 3

? ?

?

?

? ?

6 6 ,1) 时, g ?( ) ? 0 3 3 6 6 8 时, g (t ) min ? g ( )? 6. ?当 t ? 3 3 9 8 6. . ? 所求面积的最小值为 6 ? 9 18.(1)依题意,设此椭圆方程为 mx2 ? ny 2 ? 1 ,
当t ?( 过点 M (4, 2) 、 N ( 6,3) ,可得 ? 解之得 m ?

?16m ? 4n ? 1 , ?6m ? 9n ? 1

1 1 ,n ? , 24 12

x2 y 2 ? ?1. 所以椭圆 C 的方程为 24 12
(2)(i)当直线 OP, OQ 的斜率均存在时,不妨设直线 OP : y ? k1 x , OQ : y ? k2 x 依题意

| k1 x0 ? y0 | 1? k
2 1

2 2 ? 2 2 ,化简得 ( x0 ? 8)k12 ? 2x0 y0k1 ? y0 ?8 ? 0 ,

2 2 2 同理 ( x0 ? 8)k2 ? 2x0 y0k2 ? y0 ?8 ? 0. 2 2 所以 k1 , k2 是方程 ( x0 ? 8)k 2 ? 2x0 y0k ? y0 ? 8 ? 0 的两个不相等的实数根,

k1k2 ?

2 ?8 ?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac c y0 . ? ? ? 2 2a 2a a x0 ? 8



2 x0 y2 1 2 2 ? 12 ? x0 ? 0 ? 1 ,所以 y0 . 2 24 12

1 2 x0 1 ?? , 所以 k1k2 ? 2 2 x0 ? 8 2 4?
设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则

1 y1 y2 1 2 2 ? x12 x2 ? ? ? ,所以 y12 y2 , 4 x1 x2 2

? x12 y12 1 ? 2 y1 ? 12 ? x12 ? ?1 ? ? ? ? 24 12 2 因为 ? 2 ,所以 ? , 2 ? y 2 ? 12 ? 1 x 2 ? x2 ? y2 ? 1 2 2 ? ? ? 2 ? 24 12

所以 (12 ?

1 2 1 2 1 2 x1 )(12 ? x2 ) ? x12 x2 , 2 2 4

2 2 2 所以 x1 ? x2 ? 24 , y12 ? y2 ? 12 ,

所以 OP2 ? OQ2 ? 36 . (ii)当直线 OP, OQ 落在坐标轴上时,显然有 OP2 ? OQ2 ? 36 综上, OP2 ? OQ2 ? 36 . -4x 1 1 2 19. (1)①当 b=-1 时, f(x)= - = 2 , 则 f ′(x)= 2 , 可得 f ′( 2)=-4 2, x-1 x+1 x -1 (x -1)2 又 f( 2)=2, 故所求切线方程为 y-2=-4 2(x- 2),即 4 2x+y-10=0. 1 1 ②当 λ=-1 时,f(x)= - , x-1 x-b b+1 2(b-1)(x- 2 ) 2 2 (x-1) -(x-b) 1 1 则 f ′(x)=- + = = . 2 2 (x-1) (x-b) (x-1)2(x-b)2 (x-1)2(x-b)2 b+1 1 因为 b<0,则 b-1<0 ,且 b< 2 <2 b+1 b+1 故当 b<x< 2 时,f ′(x)>0,f(x)在(b, 2 )上单调递增; b+1 b+1 1 1 当 2 <x<2 时,f ′(x)<0,f(x)在( 2 ,2 )单调递减. b+1 1 1 1 1 1 9b-9 (Ⅰ)当 2 ≤3,即 b≤-3时,f(x)在[3,2]单调递减,所以[f(x)]max=f(3)= ; 2-6b b+1 1 b+1 1 1 4 (Ⅱ)当3< 2 <2,即-3<b<0 时,[f(x)]max=f( 2 )= . b-1

综上所述,[f(x)]max

? b-1,-3<b<0, =? 9b-9 1 ? 2-6b,b≤-3.
4 1

,

1 1 (2) f(x)≥1 即 + ≥1. (*) x-a x-b ①当 x<b 时,x-a<0,x-b<0,此时解集为空集. ②当 a>x>b 时,不等式(*)可化为 (x-a)+(x-b)≤(x-a)(x-b), 展开并整理得,x2-(a+b+2)x+(ab+a+b)≥0,

设 g (x)=x2-(a+b+2)x+(ab+a+b), 因为△ =(a-b)2+4>0,所以 g (x)有两不同的零点,设为 x1,x2(x1<x2), 又 g (a)=b-a<0,g (b)=a-b>0,且 b<a, 因此 b<x1<a<x2, 所以当 a>x>b 时,不等式 x2-(a+b+2)x+(ab+a+b)≥0 的解为 b<x≤x1. ③当 x>a 时,不等式(*)可化为 (x-a)+(x-b)≥(x-a)(x-b), 展开并整理得,x2-(a+b+2)x+(ab+a+b)≤0, 由②知,此时不等式的解为 a<x≤x2 , 综上所述,f(x)≥1 的解构成的区间为(b,x1]∪(a,x2], 其长度为(x1-b)+(x2-a)=x1+x2-a-b=a+b+2-a-b=2. n2+n 20. (1)若 an=n,则 Sn= 2 , ①取 M1=S1=1,M2=S4-S1=9,M3=S13-S4=81,满足条件 M22=M1M3, 此时 t1=1,t2=4,t3=13. ②由①知 t1=1,t2=1+3,t3=1+3+32,则 M1=1,M2=32,M3=92, 一般的取 tn=1+3+3 +…+3
2 n-1

3n-1 = 2 ,

3n-1 3n-1 3n-1-1 3n-1-1 (1 + ) (1 + ) 2 2 2 2 此时 Stn = , Stn?1 = , 2 2 3n-1 3n-1 3n-1-1 3n-1-1 (1 + ) (1 + ) 2 2 2 2 - 则 M n = Stn - Stn?1 = - =(3n 1)2, 2 2 所以 M n 为一整数平方. 因此存在数列{tn},使得数列{Mn}中的各数均为一个整数的平方. (2)假设存在数列{tn},使得{Mn}为等比数列,设公比为 q. 因为 Sn=n2,所以 Stn =tn2,则 M1=t12,当 n≥2 时,Mn=tn2-tn-12=qn r 因为 q 为正有理数,所以设 q=s(r,s 为正整数,且 r,s 既约). 因为
- rn 1 2 2 tn -tn-1 必为正整数,则 n-1t1 ∈N*,由于 -1

t12,

2

s

t12 r,s 既约,所以 n-1必为正整数. s

t12 t12 若 s≥2,且{tn}为无穷数列,则当 n>logst12+1 时, n-1<1,这与 n-1为正整数相矛盾.于是 s s

s=1,即 q 为正整数. 注意到 t32=M3+M2+M1=M1(1+q+q2)=t12 (1+q+q2),于是 t32 * 2∈N . t1 t32 2 2=1+q+q . t1

因为 1+q+q2∈N*,所以

t3 t3 又t 为有理数,从而t 必为整数,即 1+q+q2 为一整数的平方. 1 1 但 q2<1+q+q2<(q+1) 2,即 1+q+q2 不可能为一整数的平方. 因此不存在满足条件的数列{tn}. 第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.A.因为 BE 切⊙O 于点 B,所以 ?CBE ? ?BAC ? 60? , 因为 BE ? 2 , BC ? 4 ,所以 ?BEC ? 90? ,则 EC ? 2 3 .

2 3 , 3 2 3 4 3 ? 所以 CD ? EC ? ED ? 2 3 ? . 3 3
又因为 BE 2 ? EC ? ED ,所以 ED ?

?0 ?1? ?2? ?0 ?1? ?2? ??1? , M1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 0 ? ? 1 ? ?1 0 ? ? 1 ? ? 2 ? 所以点 P(2,1) 在 T1 作用下的点 P ' 的坐标是 P '(?1, 2) .
B. (1) M1 ? ? ( 2 ) M ? M 2 M1 ? ?

?x? ?1 ?1? ,设 ? ? 是变换后图像上任一点,与之对应的变换前的点是 ? ? y? ?1 0 ? ? x0 ? ? x0 ? ? x ? ? x0 ? y0 ? x ? x0 ? y ,即 ? , ? y ? ,则 M ? y ? ? ? y ? ,也就是 ? x ? y ? 0 ? y0 ? y ? x ? 0? ? 0? ? ?
2

所以所求曲线的方程是 y ? x ? y .
? ? ? 3 x ? 1 ? t cos x ? 1? t. ? C. (1)直线的参数方程为 ? 6 ,即 ? ? 2 ? ? ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2

? 3 x ? 1? t ? ? 2 2 2 (2)把直线 ? 代入 x ? y ? 4 , ? y ? 1? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 , t1t2 ? ?2 , 2 2

则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2 . D.由题知, x ? 1 ? x ? 2 ?

a ?b ? a ?b a

恒成立,

故 | x ? 1| ? | x ? 2 | 不大于

a ?b ? a ?b a

的最小值,

∵|a ? b | ? | a ? b | ≥|a ? b ? a ? b |? 2 | a | ,当且仅当 ? a ? b ?? a ? b ?≥0 时取等号, ∴

a ?b ? a ?b a

的最小值等于 2.

1 5 ∴x 的范围即为不等式|x-1|+|x-2|≤2 的解,解不等式得 ≤x≤ . 2 2 x 22. (1)依题意,数对(x,y)共有 16 种,其中使 为整数的有以下 8 种: y
(1, 1) , (2, 2) , (3, 3) , (4,4) , (2,1) , (3,1) , (4,1) , (4,2) ,所以 P(? ? 0) ? 8 ? 1 ; 16 2 (2)随机变量 ? 的所有取值为 ?1 , 0 , 1 , ? ? ?1 有以下 6 种: (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (3,4) , 故 P(? ? ?1) ? 6 ? 3 ; 16 8 ? ? 1 有以下 2 种: (3,2) , (4,3) ,故 P(? ? 1) ? 2 ? 1 ; 16 8 所以 ? 的分布列为: ? 0 1 ?1 3 1 1 P 8 8 2
E (? ) ? ?1? 3 ? 0 ? 1 ? 1? 1 ? ? 1 , 8 2 8 4 1 答: ? 的数学期望为 ? . 4

23. 构造 An 的对偶式 Bn ? a ? b
2

?

2 n

?

cos n? , 下面用数学归纳法证明更强的结论:An ,Bn

都是整数. ③ 当

n ? 1 时 , 由 sin ? ?

2ab 2 a ? b2



cos ? ?

a 2 ? b2 a 2 ? b2

, 则

A1 ? ? a 2 ? b 2 ? sin ? ? 2ab , B1 ? ? a 2 ? b 2 ? cos ? ? a 2 ? b 2 ,于是 A1 , B1 都是整数;
④ 假 设 当 n ? k 时 , Ak 、 Bk 都 是 整 数 , 则 当 n ? k ? 1 时 ,

Ak ?1 ? a 2 ? b2

?

?

k ?1

sin

?k ? 1?? ? ?a 2 ? b2 ?k ?1 ?sin k? cos ? ? cos k? sin ? ? ? Ak B1 ? Bk A1 ? Z .
同理可得, Bk ?1 ? Bk B1 ? Ak A1 ? Z .由(1) 、 (2)知 An 、 Bn 都是整数.

2015 年高考模拟试卷(10)
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . 1. 复数 z ? 3 ? 4i 的虚部为 . ? ? 2. 函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ) 的最小正周期为 ,其中 ? ? 0 ,则 ? ? 4 6

. .

3. 函数 y ? x ? 1 的值域为集合 A, 函数 y ? lg ? 2 ? x ? 的定义域为集合 B, 则 A? B =

x2 y 2 ,则实数 m = . ? ? 1 的一个焦点为(5,0) 9 m ⑤ 若五个数 1,2,3,4,a 的平均数为 3,则这五个数的标准差是 . ⑥ 执行右面的程序图,那么输出 n 的值为 . 7. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的横、纵坐标, 则点 P 在直线 x+y = 5 下方的概率为 . 8.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,又是周期为 2 的周期函数,当
4. 已知双曲线

开始 n ← 1 S ← 0 S > 20 N n ← n?1 S ← 2S ? 1 Y
(第 6 题)

x ?[0,1) 时, f ( x) ? 2x ? 1 ,则 f (log 0.5 6) 的值为_____.
9.已知正六棱锥 P ABCDEF 的底面边长为 1 cm,侧面积为 3 cm2,则该 棱锥的体积为________cm3.
??? ? ???? ??? ? 10.在△ABC 中, ( AB ? 3AC ) ? CB ? 0 ,则角 A 的最大值为_________.

Y 输出 n 结束

11. 已知圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 9 与直线 y ? tx ? 3 交于 A, B 两点,点 P ( a, b)

在直线 y ? 2 x 上,且

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