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均值不等式练习题


均值不等式求最值及不等式证明 2013/11/23
题型一、均值不等式求最值 例题:1、凑系数:当 0 ? x ? 4 时,求 y ? x (8 ? 2 x ) 的最大值。 2、凑项:已知 x ? 3、分离:求 y ?

5 1 ,求函数 f ( x ) ? 4 x ? 2 ? 的最大值。 4 4x ? 5

x 2 ? 7 x ? 10 ( x≠ ? 1) 的值域。 x ?1
1 1 ? 的最小值。 a b

4、整体代换:已知 a ? 0,b ? 0,a ? 2b ? 1 ,求 t ? 5、换元:求函数 y ?

x?2 的最大值。 2x ? 5
1 5 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( ? x ? ) 的最大值。 2 2

6、取平方:求函数 y ? 练习: 1、若 0 ? x ? 2 ,则 y ? 2、函数 y ? 3、函数 y ?

x(6 ? 3x) 的最大值是

1 ? x ( x ? 3) 的最小值是 x?3

x2 ? 8 ( x ? 1) 的最小值是 x ?1

x 4 ? 4x 2 ? 5 4、函数 y= 的最小值是 x2 ? 2
5、 f(x)=3+lgx+

4 (0<x<1)有最 lg x
1 16 x ? 2 的最小值是 x x ?1

值等于

6、若 x>0,则 x+

7、已知 x 为锐角,则 sin x ? cos x 的最大值是 8、函数 sin xcos x 的最大值是 9、函数 y ?
4 2

4 9 ? 的最小值是__________ cos2 x sin 2 x
1 1 ? ? 9 ,则 x ? y 的最小值是 x y
b

10、已知 x ? 0,y ? 0 ,且

11、a,b ? R,且 a+b=3 则 2 +2 的最小值是
a

12、已知 x,y 为正实数,3x+2y=10,则函数 W= 3x + 2y 的最值是
1

13、已知 a>0,b>0 且 a+b=1,则(

1 1 ? 1 )( 2 ? 1 )的最小值是 2 a b

y2 14、已知 x,y 为正实数,且 x 2+ =1,则 x 1+y 2 的最大值 2 15、已知 a ? b ? 0 ,则 a ?

1 的最小值是 ( a ? b) ? b

16、若正数 a , b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是___________ 17、若 a、b ? R , ab ? (a ? b) ? 1 ,则

?

a ? b 的最小值是________

18、设实数 x , y , m , n 满足条件 m ? n ? 1 , x 2 ? y 2 ? 9 ,则 mx ? ny 的最大值是
2 2

19、若 x, y ? 0 ,则 ( x ?

1 2 1 ) ? ( y ? ) 2 的最小值是 2y 2x
1 1 )( b ? ) 的最小值是 a b
2

20、若 a, b ? 0, a ? b ? 1 ,则 ( a ? 题型二、利用均值定理证明不等式

例题:1、求证:(1)已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a

? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca

(2)正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc

(3)已知 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 ,求证: ?

?

? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

4 4 4 2 2 2 2 2 2 2、已知 x, y, z ? 0 , x ? y ? z ? x y ? y z ? z x ? xyz( x ? y ? z)

3、若 a ? b ? c ? 1 ,求证: 4a ? 1 ? 4b ? 1 ? 4c ? 1 ? 5

2



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