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2015届高考数学热点题型训练:第6章 第2节 一元二次不等式及其解法含解析


第二节

一元二次不等式及其解法

高频考点

考点一

一元二次不等式的解法

1.一元二次不等式的解法是高考的常考内容,题型多为选择题或填空题,难度适中, 属中档题. 2.高考对一元二次不等式解法的考查常有以下几个命题角度: (1)直接考查一元二次不等式的解法; (2)与函数的

奇偶性等相结合,考查一元二次不等式的解法; (3)已知一元二次不等式的解集求参数. 2 [例 1] (1)(2013·广东高考)不等式 x +x-2<0 的解集为______________. 2 (2)(2013·江苏高考)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时,f(x)=x -4x,则 不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为________________. 2 2 (3)(2013·重庆高考)关于 x 的不等式 x -2ax-8a <0(a>0)的解集为(x1,x2),且 x2- x1=15,则 a=( ) 5 7 15 15 A. B. C. D. 2 2 4 2 2 2 [自主解答] (1)由 x +x-2<0,得(x-1)(x+2)<0,∴-2<x<1,即不等式 x +x-2<0 的解集为{x|-2<x<1}. 2 (2)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=0,又当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=x + 4x. 又 f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), 2 ∴f(x)=-x -4x(x<0),

x -4x, ? ? ∴f(x)=?0, ? ?-x2-4x,
2

2

x>0, x= 0, x<0.

①当 x>0 时,由 f(x)>x,得 x -4x>x,解得 x>5; ②当 x=0 时,f(x)>x 无解; 2 ③当 x<0 时,由 f(x)>x,得-x -4x>x,解得-5<x<0. 综上得不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为(-5,0)∪(5,+∞). 2 2 (3)法一:∵不等式 x -2ax-8a <0 的解集为(x1,x2), 2 2 ∴x1,x2 是方程 x -2ax-8a =0 的两根. ?x1+x2=2a, ? 由韦达定理知? 2 ? ?x1x2=-8a , ∴x2-x1= =15, 5 又∵a>0,∴a= . 2 2 2 法二:由 x -2ax-8a <0,得(x+2a)(x-4a)<0,∵a>0, 2 2 ∴不等式 x -2ax-8a <0 的解集为(-2a,4a), 2 2 又∵不等式 x -2ax-8a <0 的解集为 (x1,x2), ∴x1=-2a,x2=4a.
1

x1+x2

2

-4x1x2=

a

2



-8a

2

5 ∵x2-x1=15,∴4a-(-2a)=15,解得 a= . 2 [答案] (1){x|-2<x<1} (2)(-5,0)∪(5,+∞) (3)A 一元二次不等式的解法问题的常见类型及解题策略 (1)直接求解一元二次不等式.①对于常系数一元二次不等式,可以用因式分解法或判 别式法求解;②对于含参数的不等式,首先需将二次项系数化为正数,若二次项系数不能确 定,则需讨论它的符号,然后判断相应的方程有无实根,最后讨论根的大小,即可求出不等 式的解集. (2)与函数的奇偶性相结合的一元二次不等式的解法.先借助函数的奇偶性确定函数的 解析式,然后求解,或直接根据函数的性质求解. (3)已知一元二次不等式的解集求参数.根据根与系数的关系求解. 1. 已知关于 x 的不等式 x -ax+2a>0 在 R 上恒成立, 则实数 a 的取值范围是________. 2 2 解析:不等式 x -ax+2a>0 在 R 上恒成立,即 Δ=(-a) -8a<0,∴0<a<8,即 a 的取 值范围是(0,8). 答案:(0,8) 2 2.已知函数 f(x)=x +ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为________. 2 解析:∵f(x)=x +ax+b 的值域为[0,+∞),∴Δ=0, ∴b- =0,∴f(x)=x +ax+ =?x+ ? . 4 4 ? 2? 又∵f(x)<c 的解集为(m,m+6),
2 2

a2

a2 ?

a?2

∴m,m+6 是方程 x +ax+ -c=0 的两根. 4 2m+6=-a, ? ? 由一元二次方程根与系数的关系,得? a2 m m + = -c, ? 4 ? 解得 c=9.

2

a2

答案:9 2 3.解关于 x 的不等式:x -(3+a)x+3a>0. 2 解:∵x -(3+a)x+3a>0,∴(x-3)(x-a)>0. ①当 a<3 时,x<a 或 x>3,不等式的解集为{x|x<a 或 x>3}; 2 ②当 a=3 时,不等式为(x-3) >0,不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠3}; ③当 a>3 时,x<3 或 x>a,不等式的解集为{x|x<3 或 x>a}. 考点二
2

一元二次不等式的恒成立问题

[例 2] 设函数 f(x)=mx -mx-1. (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围. 2 [自主解答] (1)要使 mx -mx-1<0 恒成立, 若 m=0,显然-1<0; ? ?m<0, 若 m≠0,则? ? -4<m<0. 2 ?Δ=m +4m<0 ? 所以 m 的取值范围为(-4,0]. 2 (2)要使 f(x)<-m+5 在[1,3]上恒成立,只需 mx -mx+m<6 恒成立(x∈[1,3]),

2

? 1?2 3 2 又因为 x -x+1=?x- ? + >0, ? 2? 4 6 所以 m< 2 . x -x+1 6 6 令 y= 2 = , x -x+1 ? 1?2 3 ?x-2? +4 ? ? 1 3 ? ?2 因为 t=?x- ? + 在[1,3]上是增函数, ? 2? 4 6 所以 y= 2 在[1,3]上是减函数. x -x+1 6 因此函数的最小值 ymin= . 7 6? ? 所以, m 的取值范围是?-∞, ?. 7? ? 【互动探究】 在本例条件下,求使 f(x) <0,且|m|≤1 恒成立的 x 的取值范围. 2 解:将不等式 f(x)<0 整理成关于 m 的不等式为(x -x)m-1<0. 2 令 g(m)=(x -x)m-1,m∈[-1,1]. 2 ?g - ?-x +x-1<0, , ? ? 则? 即? 2 ?g ?x -x-1<0, , ? ?
1- 5 1+ 5 解得 <x< , 2 2 即 x 的取值范围为? 【方法规律】 不等式恒成立问题的求解方法 (1)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是 主元,求谁的范围,谁就是参数. (2)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区 间上全部在 x 轴上方,恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下 方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值.

?1- 5 1+ 5? , ?. 2 ? ? 2

已知 f(x)=x -2ax+2(a∈R),当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范 围. 2 2 解:法一:f(x)=(x-a) +2-a ,此二次函数图象的对称轴为 x=a. ①当 a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(-1)=2a+3. 要使 f(x)≥a 恒成立,只需 f(x)min≥a, 即 2a+3≥a,解得-3≤a<-1; 2 ②当 a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a ,由 2 2-a ≥a,解得-1≤a≤1. 综上所述,所求 a 的取值范围为[-3,1]. 2 法二:令 g(x)=x -2ax+2-a,由已知, 2 得 x -2ax+2-a≥0 在[-1,+∞)上恒成立,

2

Δ>0, ? ? 即 Δ=4a -4(2-a)≤0 或?a<-1, ? ?g -
2

3

解得-3≤a≤1. 故 a 的取值范围是[-3,1]. 考点三 一元二次不等式的实际应用

[例 3] 某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出售, 每天可销售 100 件. 现 在他采用提高售价,减少进货量的办法增加利润.已知这种商品每件销售价每提高 1 元,销 售量就要减少 10 件,则他将销售价每件定为多少元时,才能使得每天所获的利润最大?销 售价每件定为多少元时,才能保证每天所获的利润在 300 元以上? [自主解答] 设每件提高 x 元(0≤x≤10), 则每件获利润(2+x)元,每天可销售(100-10x)件, 又设每天获的利润为 y 元, 2 由题意有 y=(2+x)(100-10x)=-10x +80x+200. 当 x=4 时,y 取得最大值 360. ∴当售价定为每件 14 元时, 每天所获利润最大,为 360 元. 要使每天所获的利润在 300 元以上,则有 2 -10x +80x+200>300, 2 即 x -8x+10<0, 解得 4- 6<x<4+ 6. 故每件定价在(4- 6)元到(4+ 6)元之间[不含(4- 6)元和(4+ 6)元]时,才能保 证每天所获的利润在 300 元以上. 【方法规律】 求解不等式应用题的四个步骤 (1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系. (2)引进数学符号,将文字信息转化为符号语言,用不等 式表示不等关系,建立相应的数学模型. (3)解不等式,得出数学结论,要注意数学模型中自变量的实际意义. (4)回归实际问题,将数学结论还原为实际问题的结果. 某农贸公司按每担 200 元收购某农产品,并每 100 元纳税 10 元(又称征税率为 10 个百 分点),计划可收购 a 万担,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低 x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加 2x 个百分点. (1)写出降税后税收 y(万元)与 x 的函数关系式; (2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的 83.2%,试确定 x 的取值范围. 解:(1)降低税率后的税率为(10-x)%, 农产品的收购量为 a(1+2x%)万担, 收购总金额为 200a(1+2x%)万元. 1 依题意得 y=200a(1+2x%)(10-x)%= a(100+2x)·(10-x)(0<x<10). 50 (2)原计划税收为 200a·10%=20a(万元). 1 依题意得 a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%, 50 2 化简得 x +40x-84≤0, 解得-42≤x≤2. 又∵0<x<10, ∴0<x≤2.即 x 的取值范围为(0,2]. ———————————[课堂归纳——通法领 悟]————————————————
4

个过程——一元二次不等式的求解过程 解一元二次不等式的一般过程是:一看(看二次项系数的符号),二算(计算判别式, 判断方程根的情况),三写(写出不等式的解集). 种思想——分类讨论和转化思想 (1)分类讨论的思想:含有参数的一元二次不等式一般需要分类讨论.在判断方程根 的情况时,判别式是分类的标准;需要表示不等式的解集时,根的大小是分类的标准. (2)转化思想: 不等式在指定范围的恒成立问题, 一般转化为求函数的最值或值域问题. 个注意点——解含参数不等式应注意的问题 (1)二次项系数中含有参数时, 参数的符号影响不等式的解集; 不要忘了二次项系数 为零的情况. (2)解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨论;若 不能因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏. (3)不同参数范围的解集切莫取并集,应分类表述.

5


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