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2007-2014年全国新课标卷《坐标系与参数方程》高考题汇编


2007-2014 年全国新课标卷《坐标系与参数方程》高考题汇编 1. 【 2007 年 海 南 宁 夏 理 23 文 23 】

O1 和

O2 的 极 坐 标 方 程 分 别 为

? ? 4cos?,? ? ?4sin ? .
(Ⅰ)把

O1 和 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程

; O1 , O2 交点的直线的直角坐标方程.

(Ⅱ)求经过

解:以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐标系, 两坐标系中取相同的长度单位. (Ⅰ) x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,由 ? ? 4 cos ? 得 ? 2 ? 4? cos ? . 所以 x 2 ? y 2 ? 4 x . 即 x ? y ? 4x ? 0 为
2 2 2 2

O1 的直角坐标方程. O2 的直角坐标方程.

同理 x ? y ? 4 y ? 0 为

(Ⅱ)由

? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0, ? x1 ? 0, ? x2 ? 2 ? 解得 ? . ? 2 ? 2 ? ? y1 ? 0, ? y2 ? ?2 ?x ? y ? 4 y ? 0



0) 和 (2, ? 2) .过交点的直线的直角坐标方程为 y ? ? x . O1 , O2 交于点 (0,

2. 【 2008 年海南宁夏理 23 文 23 】 已知曲线 C1 : ?

? x ? cos ?, ( ? 为参数) ,曲线 C2: ? y ? sin ?

? ?x ? ? ? ?y ? ? ?

2 t ? 2, 2 (t 为参数) . 2 2

(Ⅰ)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (Ⅱ)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 C1?,C2? .写出

C1?,C2? 的参数方程. C1? 与 C 2? 公共点的个数和 C 1 与C2 公共点的个数是否相同?说明你
的理由. 解: (Ⅰ) C1 是圆, C2 是直线.

C1 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 1,圆心 C1 (0, 0) ,半径 r ? 1 . C2 的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 .

因为圆心 C1 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为1 , 所以 C2 与 C1 只有一个公共点. (Ⅱ)压缩后的参数方程分别为

? ? x ? cos ?, ?x ? ? ? ? ? C C1? : ? ( 为参数) ; : 1 ? 2 y ? sin ? ? ?y ? ? 2 ? ?

2 t ? 2, 2 (t 为参数) . 2 t 4
1 2 , x? 2 2

化为普通方程为: C1? : x2 ? 4 y 2 ? 1 , C 2? : y ? 联立消元得 2 x ? 2 2 x ? 1 ? 0 ,
2

其判别式 ? ? (2 2)2 ? 4 ? 2 ?1 ? 0 , 所以压缩后的直线 C 2? 与椭圆 C1? 仍然只有一个公共点,和 C1 与 C2 公共点个数相同. 3.【2009 年海南宁夏理 23 文 23】已知曲线 C 1 : ?

? x ? ?4 ? cos t , (t 为参数) , C2 : ? y ? 3 ? sin t ,

? x ? 8cos ? , ( ? 为参数) 。 ? ? y ? 3sin ? ,
(1)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t ?

?
2

,Q 为 C 2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线

? x ? 3 ? 2t , C3 : ? ? y ? ?2 ? t
2

(t 为参数)距离的最小值。

w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

解: (Ⅰ) C1 : ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 1, C2 :
2

x2 y 2 ? ? 1. 64 9

C1 为圆心是( ?4,3) ,半径是 1 的圆. C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆.
(Ⅱ)当 t ?

?
2

时, P(?4, 4).Q(8cos ? ,3sin ? ), 故M ( ?2 ? 4 cos ? , 2 ?

3 sin ? ). 2

C3 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0, M 到C3的距离d ?

5 | 4cos ? ? 3sin ? ? 13 | . 5

从而当 cos ? ?

4 3 8 5 ,sin ? ? ? 时, d 取得最小值 . 5 5 5

4. 【2010 年新课标卷理 23 文 23】 已知直线 C1 ? 为参数) , (Ⅰ)当 ? =

?x ? 1 ? t cos ? ? x ? cos ? (t 为参数) , C2 ? (? ? y ? t sin ? ? y ? sin ?

(Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 中点,当 ? 变化时,求 P 点的轨迹的 参数方程,并指出它是什么曲线。

? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3

解: (Ⅰ)当
联立方程组 ?

??

?
3 时, C 的普通方程为 y ? 3( x ?1) , C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 1。 1 2

? ? y ? 3( x ? 1)
2 2 ? ?x ? y ? 1

? ,解得 C1 与 C2 的交点为(1,0) ? ,

?1 ?2 ?

3? ?。 2 ? ?

2 (Ⅱ) C1 的普通方程为 x sin ? ? y cos ? ? sin ? ? 0 。A 点坐标为 sin ? ? cos ? sin ? ,

?

?

故当 ? 变化时,P 点轨迹的参数方程为:

1 ? x ? sin 2 ? ? ? 2 ??为参数 ? ? ? y ? ? 1 sin ? cos ? ? ? 2

1? 1 ? 2 ?x? ? ? y ? 4? 16 。 P 点轨迹的普通方程为 ?
故 P 点轨迹是圆心为 ? , 0 ? ,半径为

2

?1 ?4

? ?

1 的圆。 4

5. 【 2011 年新课标卷理 23 文 23 】 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为

uu u v uuuv ? x ? 2cos ? ( ? 为参数)M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 ? ? y ? 2 ? 2sin ?
(Ⅰ)求 C2 的方程 (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB .

? 与 C1 的异于极点 3

解析; (I)设 P(x,y),则由条件知 M(

x y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2

?x ? ? 2 cos ? , ? ? ?2 ? ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ? ?2 ? ? ?
从而 C 2 的参数方程为 ?



? x ? 4cos ? ? ? ? ? y ? 4 ? 4sin ? ?

? x ? 4cos ? ( ? 为参数) ? y ? 4 ? 4sin ?

(Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。 射线 ? ?

? ? 与 C 1 的交点 A 的极径为 ?1 ? 4sin , 3 3 ? ? 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin 。 3 3

射线 ? ?

所以 | AB |?| ? 2 ? ?1 |? 2 3 . 6.【2012 年新课标卷理 23 文 23】已知曲线 C1 的参数方程是 ?

?x ? 2cos? (?为参数) ,以坐 ?y ? 3sin?

标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形

ABCD 的顶点都在 C 2 上,
且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (2, (1)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围。 【解析】 (1)点 A, B, C , D 的极坐标为 (2,
2 2 2 2

?
3

)

?
3

), (2,

5? 4? 11? ), (2, ), (2, ) 6 3 6

点 A, B, C , D 的直角坐标为 (1, 3),(? 3,1),(?1, ? 3),( 3, ?1) (2)设 P( x0 , y0 ) ;则 ?
2 2

? x0 ? 2cos? (?为参数) ? y0 ? 3sin?
2 2

t ? PA ? PB ? PC ? PD ? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 40

? 56 ? 20sin 2 ? ?[56,76]
7.【2013 年新课标卷 1 理 23 文 23】已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t ( t 为参数) , ? y ? 5 ? 5sin t

以 坐 标 原 点 为 极 点 , x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为

? ? 2sin ? 。
(Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ) 。 【解析】将 ?

? x ? 4 ? 5cos t 消去参数 t ,化为普通方程 ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 25 , ? y ? 5 ? 5sin t ? x ? ? cos ? 代入 x2 ? y 2 ? 8x ?10 y ? 16 ? 0 得, ? y ? ? sin ?

即 C1 : x2 ? y 2 ? 8x ?10 y ? 16 ? 0 ,将 ?

? 2 ? 8? cos? ?10? sin ? ?16 ? 0 ,
∴ C1 的极坐标方程为 ? ? 8? cos? ?10? sin ? ? 16 ? 0 ;
2

(Ⅱ) C2 的普通方程为 x ? y ? 2 y ? 0 ,
2 2

由?

2 2 ? ?x ? 1 ?x ? 0 ? x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 解得 或? ,∴ C1 与 C2 的交点的极坐标分别为 ? 2 2 y ? 1 y ? 2 x ? y ? 2 y ? 0 ? ? ? ?

( 2,

?
4

, () ) ,2

?
2

.

8.【2013 年新课标卷 2 理 23 文 23】已知动点 P、Q 都在曲线 C : ?

? x ? 2cos t , ( t 为参数) ? y ? 2sin t

上,对应参数分别为 t =? 与 t =2? ( 0 ? ? ? 2? ) , M 为 PQ 的中点。 (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。

9.【2014 高考全国 1 第 23 题】 已知曲线 C1 :

? x ? 2 ? t, x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l :? ( t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t ,

(I)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (II)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30 ? 的直线,交 l 于点 A , PA 的最大值与最小 值.

当 sin(? ? ? ) ? 1 时, PA 取到最小值,最小值为

2 5 . 5

10. 【2014 高考全国 2 第 23 题】在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建 立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? ,

? ?. ? ?? ?0, ?
? 2?
(Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到 的参数方程,确定 D 的坐标.


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