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5.相切条件


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高考数学母题
[母题]Ⅰ(8-05):相切条件(167)

481

相切条件 [母题]Ⅰ(8-05):(2012 年江苏高考试题)已知正数 a,b,c 满足:5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+cl

nc,则 b 的取值 a
范围是 .
c c c c

[解析]:因 5c-3a≤b≤4c-a ? 5-3 a ≤ b ≤4- a ;clna≥a+clnc ? cln b
≥a ? ln
? ?
b a b a b b y ≥ ? ≥ e c ;令 =x, =y,则 = ,本题等价于在约束条 c c c c c a x
a

件?

3x ? y ? 5 y y 1 7 x? y?4 下,求 的取值范围;约束条件所满足的平面区域如图:其中,C( , ) ? 的最大值在点 C 处取得 7; x x 2 2 x ? y ? e , x ? 0. y ? 0 ?
x

最小值在直线 y=kx 与曲线 y=e 相切时取得 e,所以,

y b 即 的取值范围是[e,7]. x a

[点评]:解决切线问题,首先要设出切点 P(xo,yo),并灵活使用切线方程:y-f(xo)=f'(xo)(x-xo).要注意点 P 一定在曲线上;
其次是根据以下相切条件,列方程解决问题:①切点在曲线上;②切点在切线上;③在切点处的导数值等于切线斜率.

[子题](1): (2009 年全国Ⅰ高考试题)己知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为(
(A)1 (B)2 (C)-1
y? =

)

(D)-2

[解析]:设切点 P(t,t+1),则 t+1=ln(t+a);由 y=ln(x+a) ?
0 ? t=-1 ? a=2.故选(B).

1 1 1 =1 ? t+a=1 ? t+1=ln(t+a)= ? y? |x=t= ? x?a t?a t?a

注:为减少未知数的个数,设切点有两种:一是切线 y=kx+b 已知,设切点 P(t,kt+b);二是曲线 y=f(x)已知,设切点 P(t, f(t)).

[子题](2): (2009 年江西高考试题)若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 和 y=ax2+ 15 x-9 都相切,则 a 等于(
4

)

(A)-1,或-

25 64

(B)-1,或

21 4

(C)-

7 25 ,或4 64

(D)-

7 ,或 7 4

[解析]:设 Q(1,0),曲线 y=x3 上的切点 P(t,t3),则 kPQ=
ax +
2

3 t3 t3 2 2 ;又由 y? |x=t=3t ? =3t ? t=0, ;①当 t=0 时,切线 y=0 ? 2 t ?1 t ?1

3 27 27 9 15 25 2 x-9=0 的Δ =0 ? a=;②当 t= 时,切线 y= x? ax -3x- 的Δ =0 ? a=-1.故选(A). 2 4 4 4 4 64

注:切点 P(t,f(t))与切线一点 Q(不同于 P)的斜率 kPQ= f ? (t),这是切线的又一条件.

[子题](3): (2013 年全国高中数学联赛山东预赛试题)假设实数 b,c 满足 b2+c2=1,且 f(x)=ax+bsinx+ccosx 的图像上
存在两条切线垂直,则实数 a 的取值范围是
2

.
f ? (x)=a+cos(x+ φ ) ? [a+cos(x,+
2

[解析]:设两切点分别为 x1、x2,由 f(x)=ax+sin(x+φ ),其中 sinφ =c,cos φ =b ?
2

φ )][a+cos(x2+φ )]=-1 ? a +[cos(x,+φ )+cos(x2+φ )]a+cos(x,+φ )cos(x2+φ )+1=0 ? Δ =[cos(x,+φ )+cos(x2+φ )] 4[cos(x,+φ )cos(x2+φ )+1]=[cos(x,+φ )-cos(x2+φ )] -4≥0 ? |cos(x,+φ )-cos(x2+φ )|≥2;又由|cos(x,+φ )|≤1, |cos(x2+φ )|≤1 ? |cos(x,+φ )-cos(x2+φ )|≤2 ? cos(x,+φ )+cos(x2+φ )=0,cos(x,+φ )cos(x2+φ )=-1 ? a=0 ? a 的取 值范围是{0}.

482
[子题系列]:

[母题]Ⅰ(8-05):相切条件(167)

注:曲线上两切线垂直是导数应用的特例问题,利用两切线的斜率之积等于-1 分析求解. 1.(2008 年全国Ⅱ高考试题)(文)设曲线 y=ax 在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0 平行,则 a=( (A)1 (B)
1 2
2

)

(C) ?

1 2

(D)-1
1 1 (C) ? (D)-2 2 2

2.(2008 年全国Ⅰ高考试题)设曲线 y=

x ?1 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a=( x ?1
ax

)(A)2(B) .

3.(2008 年全国Ⅱ高考试题)(理)设曲线 y=e 在点(0,1)处的切线与直线 x+2y+1=0 垂直,则 a= 4.(2010 年全国Ⅱ高考试题)若曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线方程式 x-y+1=0,则( (A)a=1,b=1 (B)a=-1,b=1 (C)a=1,b=-1
2 2

) (D)a=-1,b=-1

5.(2006 年福建高考试题)己知直线 x-y-1=0 与抛物线 y=ax 相切,则 a= 6.(2008 年江苏高考试题)设直线 y=

. . .

1 x+b 是曲线 y=lnx(x>0)的一条切线,则实数 b 的值为 2
x x+a

7.(2010 年第二十一届 “希望杯” 全国数学邀请赛高二试题)如果函数 y=e 的图象与直线 y=kx(k>0)只有一个交点,则 k= 8.(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)若直线y=x?3与曲线y=e 相切,则实数a的值是 . 9.(2010 年全国高中数学福建初赛联赛试题)当实数 a 为何值时,关于的 ax=lnx 方程无解、一解、两解.

10.(《中等数学》.2012 年 4 期.数学奥林匹克高中训练题(152))若函数 f(x)=ax+sinx 的图像上存在互相垂直的切线,则 实数 a= ,
x 的两条互相垂直的切线交于 P 点,则 P 点的坐标不可能 2

11.(2013 年全国高中数学联赛天津预赛试题)如果曲线 y=2sin 是( )

(A)(π ,π )

(B)(3π ,?π )
2 2

(C)(5π ,?π )

(D)(7π ,?π )

12.(2003 年复旦大学保送生考试试题)已知过两抛物线 C1:x+1=(y-1) ,C2:(y-1) =-4x+a+1 的交点的各自的切线垂直,求 a.

[子题详解]:
1.解:由 y? =2ax ? y? |x=1=2a=2 ? a=1.故选(A).
ax 3.解:由 y? =ae ? y? |x=0=a ? a=2.

2.解:由 y? =-

2 ( x ? 1)2

? y? |x=3=-

1 ? a=-2.故选(D). 2

4.解:由 y? =2x+a ? y? |x=0=a=1,b=1.故选(A). 6.解:由 y? =
1 1 = ? 切点 P(2,ln2) ? b=ln2-1. x 2

5.解:由 y? =2ax=1 ? 切点 P(
x

1 1 1 1 1 , )? -1=0 ? a= . 2a 4a 2a 4a 4

7.解:由 y? =e =k ? 切点 P(lnk,k) ? k=e. 9.解:令 f(x)=lnx ? f ? (x)=

8.解:由 e x ? a =1 ? 切点 P(-a,1) ? a=?4.

1 ln x 1 1 1 1 ,过原点 O 作曲线 y=f(x)的切线: = ? x=e ? 当 a> ,a= ,a≤0,0<a< 时,关于的 x x x e e e

ax=lnx 方程无解、一解、两解. 10.解:设两切点分别为 x1、x2,由 f ? (x)=a+cosx ? f ? (x1) f ? (x2)=-1 ? a +(cosx1+cosx2)a+cosx1cosx2+1=0,其判别式△=
2

(cosx1-cosx2) -4≥0,而-2≤cosx1-cosx2≤2 ? (cosx1-cosx2) -4≤0 ? cosx1+cosx2=0,cosx1cosx2=-1 ? a=0. 11.解:设两切点分别为 x1、x2,由 y? =cos -1,cos
x x x x x x x x ? cos 1 cos 2 =-1,不妨设 cos 1 <cos 2 ,由 cos 1 cos 2 ≥-1 ? cos 1 = 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

x2 =1 ? x1=4mπ +2π ,x2=4nπ ? 切线 l1:y=-x+4mπ +2π ,l2:y=x-4nπ ? xP=2(m+n)π +π ,yP=2(m-n)π +π ? xP-yP 2

=4nπ .故选(C). 12.解:易得交点的横坐标 x=
? 2(y-1) y? =-4 ? y? y=b=a 1 2 2 ,设交点的纵坐标为 b,由 C1:x+1=(y-1) ? 1=2(y-1) y? ? y? y=b= ,C2:(y-1) =-4x+a+1 5 2(b ? 1)

2 2 a 1 4 4 ,由 ()=-1 ? (b-1) =1 ? +1=(b-1) =1 ? a=0. b ?1 b ?1 5 2(b ? 1)


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