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专题四数列


专题四数列
1、定义及其性质
定义 等差数列 an?1 ? an ? d 等比数列
a n ?1 ? q(q ? 0) an

其 中 q ? 0, an ? 0 或

an ?1 a ? n an an ?1 (n ? 2)
递推公 式 通项公 式
an ? an?1 ? d ; an ? am?n ? md an ? a1 ? (n ?1)d
an ? an?1q ; a n ? a m q n?m
a n ? a1q n?1 ( a1 , q ? 0 )或 an ? am q n ? m



an ? am ? (n ? m)d
中项
A? a n?k ? a n? k 2
G ? ? a n ? k a n ? k ( a n ? k a n ? k ? 0)

( n, k ? N * , n ? k ? 0 ) 前 n 项 和
Sn ? n (a1 ? a n ) 2

( n, k ? N * , n ? k ? 0 )
?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 1 ? q n a ?a q ? 1 n (q ? 2) ? 1? q ? 1? q

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

?

?

重要性 质

am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ? N * , am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q) m ? n ? p ? q)

2、等差数列的判定方法:
①定义法: a n ? a n?1 ? d (n ? 2, d为常数) 或 an?1 ? an ? an ? an?1 (n ? 2) ②等差中项:2 an ? an?1 ? an?1 ( n ? 2 ) ③ an ? kn ? b ( n, k 为常数).

3、等比数列的判定方法:
①定义法: a n ? a n?1q(n ? 2, q为常数, 且 ? 0)
2 ②等比中项: a n ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 , an an?1an?1 ? 0 )

4、数列求和的常用方法
(1). 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 (2).裂项相消法:适用于 ?

?

c ? ? 其中{ a n }是各项不为 0 的等差数列,c 为常数;部分 ? a n a n ?1 ?

无理数列、含阶乘的数列等。

(3).错位相减法:适用于 ?an bn ?其中{ a n }是等差数列, ?bn ?是各项不为 0 的等比数列。 (4).倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法.

5.常用结论
① 12 ? 2 2 ? 32 ? ? ? n 2 ? ②

1 n(n ? 1)(2n ? 1) 6

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1



1 1 1 1 ? ( ? ) n ( n ? 2) 2 n n ? 2

6.若等差数列 {an } 、 {bn }的前 n 和分别为 An 、 Bn ,且

an (2n ?1)an A2n?1 ? ? ? f (2n ?1) . bn (2n ?1)bn B2n?1 例 : 设 { a n } 与 { bn }是两个 等差数列,它 们的前 n 项和分别为 S n 和 Tn ,若 a Sn 3n ? 1 ,那么 n ? ___________ ? Tn 4n ? 3 bn 6n ? 2 (答: ) 8n ? 7 7、如果数列 {an} 既成等差数列又成等比数列,那么数列 {an} 是非零常数数列,故 常数数列 {an} 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。
例题 1、 等差数列{an}中, a6

An ? f (n) ,则 Bn

? a9 ? a12 ? a15 ? 20
?

,求 S20

[思路]等差数列前 n 项和公式 Sn

(a1 ? an )n n(n ?1) ? na1 ? d: 2 2

1、 由已知直接求 a1 ,公差 d. 2、 利用性质 m ? n [解题 ] 由 a6

? p ? q ? am ? an ? a p ? aq
, a6

? a9 ? a12 ? a15 ? 20

? a15 ? a9 ? a12 ? a1 ? a20

,得

2 (a1 ? a 2 0 )? 2 , 0

?a1 ? a20 ? 10 ,? Sn ?

(a1 ? a20 ) ? 20 ? 100 。 2
第1变 求和方法——倒序相加法 , an

例题 2、等差数列{an}共 10 项, a1 ? a2 [思路] [解题]

? a3 ? a4 ? 20

? an?1 ? an?2 ? an?3 ? 60 ,求 Sn.

已知数列前四项和与后四项和,结合通项性质,联想 Sn 公式推导方法。 已知 a1 ? a2 又

? a3 ? a4 ? 20 , an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? 60 ,
(a1 ? an ) ? n 20 ? ?10 ? 100 , 2 2

4(a1 ? an ) ? 80 ,得 a1 ? an ? 20 ,? Sn ?

[收获] 恰当运用通项性质: m ? n

? p ? q ? am ? an ? a p ? aq ,

1、 求出 a1 ? an 后运用“整体代换”手段巧妙解决问题。



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