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宁夏银川一中2013届高三第六次月考数学理试题


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银川一中 2013 届高三年级第六次月考

数 学 试 卷(理)
2013.2

命题人:韩生亮

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题

5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.等差数列 ?an ? 及等比数列 ?bn ?中, a1 ? b1 ? 0, a2 ? b2 ? 0, 则当 n ? 3 时有( A. an ? bn B. an ? bn C. an ? bn D. a n ? bn )

2. 设点 A(2, ?3) , B(?3, ?2) ,直线 l 过点 P(1,1) 且与线段 AB 相交,则 l 的斜率 k 的取值 范围是( A. k ? ) C. ?4 ? k ?

3 3 或 k ? ?4 B. ? ? k ? 4 4 4

3 4

D. k ? 4 或 k ? ?

3 4
)

3. 若直线 l1 : y ? 2 ? (k ? 1) x 和直线 l 2 关于直线 y ? x ? 1 对称,那么直线 l 2 恒过定点( A. (2,0) B. (1,-1) C. (1,1) D. (-2,0) )

4. 设 f (sin a ? cosa) ? sin a cosa, 若 f (t ) ? A. ?

1 ,则 t 的值为 ( 2

2
x

B. 2
3

C. ?

2 2

D. )

2 2

5. 若函数 f ? x ? ? e ? x , x ? R ,则函数的极值点的个数是( A.0 B.1 C.2

D.3

6. 已知 F 是抛物线 y 2 ? x 的焦点, A, B 是抛物线上的两点, AF ? BF ? 3 ,则线段 AB 的中点 M 到 y 轴的距离为( A. 3 4 B.1 ) C. 5 4 7 D. 4

7. 已知双曲线 E 的中心为原点,F ?3,0? 是 E 的焦点, F 的直线 l 与 E 相交于 A, B 两点, 过 且 AB 的中点为 N ? ?12, ?15? ,则 E 的方程为( )

1

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A.

x2 y 2 ? ?1 3 6

B.

x2 y 2 ? ?1 4 5

C.

x2 y 2 ? ?1 6 3

D.

x2 y 2 ? ?1 5 4
)

8. 将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图为(

9. 设 a , b 为两条直线, ? , ? 为两个平面,则下列结论成立的是( A.若 a ? ? , b ? ? , 且 a // b ,则 ? // ? C.若 a // ? , b ? ? , 则 a // b 10.设 Sn 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 1 A. 3 1 B. 5 1 C. 8

)

B.若 a ? ? , b ? ? , 且 a ? b ,则 ? ? ? D.若 a ? ? , b ? ? , 则 a // b

S3 1 S ? ,则 6 等于( S6 3 S12
1 D. 9

)

11. 在锐角 ?ABC 中,若 C ? 2B ,则 A.

c 的范围( b

) D.

?

2, 3

?

B.

?

3,2

?

C. ? 0,2 ?

?

2,2

?
2

12. 设 f ? x ? 是定义在 x ? R 上以 2 为周期的偶函数,已知 x ? (0,1) , f ? x ? ? log 1 ?1 ? x ? , 则函数 f ? x ? 在 (1, 2) 上( A.是增函数且 f ? x ? ? 0 C.是减函数且 f ? x ? ? 0 ) B.是增函数且 f ? x ? ? 0 D.是减函数且 f ? x ? ? 0

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 做答.第 22~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题(本大题共有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填写在答题卡相应的位置 上) 13. 将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 ? (0 ? ? ? ? ) 个单位后,得函数 y ? sin(2 x ? 图象,则 ? 等于 .

?
3

)的

2 2 14. 设命题 p : 2 x ? 3x ? 1 ? 0 , 命题 q : x ? ? 2a ?1? x ? a(a ?1) ? 0 .若 q 是 p 的必要不充

2

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分条件,则实数 a 的取值范围是________. 15. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为 3, 体积为 6, 则这个球的表面积是_____. 16.已知直线 x ? y ? m ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2 交于不同的两点 A 、 B , O 是坐标原点,

??? ??? ??? ? ? ? OA ? OB ? AB ,那么实数 m 的取值范围是________.
三、解答题(要求写出必要的计算步骤和思维过程。 ) 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 b cos C ? 3a cos B ? c cos B . (1)求 cos B 的值; (2)若 BA ? BC ? 2 , b ? 2 2 ,求 a 和 c . 18. (本小题满分 12 分) 设各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, a1 ? a3 ? 10 , a3 ? a5 ? 40 .设 bn ? log2 an . (1)求数列 ?bn ? 的通项公式; 19. (本小题满分 12 分) (2)若 c1 ? 1 , cn ?1 ? cn ?

??? ??? ? ?

bn ,求证: cn ? 3 ; an

P( x0 , y0 ) ( x0 ? ?a) 是双曲线 E :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 上一点, M 、 N 分别是 a 2 b2

1 双曲线 E 的左、右顶点,直线 PM , PN 的斜率之积为 . 5 (1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A , B 两点,O 为坐标原点,C 为双曲线上一点,满足 OC ? ?OA ? OB ,求 ? 的值. 20. (本小题满分 12 分) 如图,直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形

??? ?

??? ??? ? ?

E

ABE 所在的平面互相垂直. AB ∥ CD , AB ? BC ,

B D

A

AB ? 2CD ? 2 BC , EA ? EB .
(1)求证: AB ? DE ; (2)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值; 21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ?

C

1 ? a ln x(a ? R ). x

3

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(I)讨论 f ( x ) 的单调性; (II) f ( x ) 有两个极值点 x1 和 x2 , 若 记过点 A( x1, f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )) 的直线的斜率为

k ,问:是否存在 a ,使得 k ? 2 ? a ? 若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由.
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做。则按所做的第一题记分.答 题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 《选修 4—1:几何证明选讲》 如图,直线 AB 过圆心 O ,交⊙ O 于 A, B ,直线 AF 交 ⊙ O 于 F (不与 B 重合),直线 l 与⊙ O 相切于 C ,交 AB 于 E , 且与 AF 垂直,垂足为 G ,连结 AC . 求证:(1) ?BAC ? ?CAG ;
2 (2) AC ? AE ? AF .

23. (本小题满分 10 分) 《选修 4—4:坐标系与参数方程》 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) M 是 C1 上 ? y ? 2 ? 2sin ?

的动点, P 点满足 OP ? 2OM , P 点的轨迹为曲线 C2 . (1)求 C2 的方程; (2)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 交点为 A ,与 C2 的异于极点的交点为 B ,求 AB . 24. (本小题满分 10 分) 《选修 4—5:不等式选讲》 设函数 f ? x ? ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ? x ? ? 3x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ? x ? ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1 ,求 a 的值. ?

??? ?

???? ?

?
3

与 C1 的异于极点的

4

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银川一中高三第六次月考数学答案(理科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,每小题只有一个正确答案) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 题号 1 A C A D C B D D B A 答案 D 二、填空题:(共 5 小题,每小题 5 分) 1 5? 13. 14. ?0,2? 15. 16π 16. (-2,- 2]∪[ 2,2) ? ? 6 12 D

三、解答题: 17.(1)由正弦定理得 a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C 又 b cos C ? 3a cos B ? c cos B ,∴ sin B cos C ? 3sin A cos B ? sin C cos B ,… 2 分

即 sin B cos C ? sin C cos B ? 3sin A cos B ,∴ sin ? B ? C ? ? 3sin A cos B ,… 4 分 ∴ sin A ? 3sin A cos B ,又 sin A ? 0 ,∴ cos B ?

1 ,∴ ac ? 6. 。。。。。。。。。。8 分 。。。。。。。。。 3 由 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , b ? 2 2 可得 a 2 ? c 2 ? 12 ,。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。10 分 2 ∴ ? a ? c ? ? 0 ,即 a ? c ,∴ a ? c ? 6 .。。。。。。。。。。。。。。。。。。12 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。。
(2)由 BA ? BC ? 2 得 ac cos B ? 2 ,又 cos B ? 18.解:(1)设数列{an}的公比为 q(q>0), ?a1+a1q2=10 ? 由题意有? 2 ,。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 4 ? ?a1q +a1q =40 ∴a1=q=2, 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4 ∴an=2n, ∴bn=n. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 n (2)∵c1=1<3,cn+1-cn= n, 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 2 n-1 1 2 当 n≥2 时,cn=(cn-cn-1)+(cn-1-cn-2)+…+(c2-c1)+c1=1+ + 2+…+ n-1 , 2 2 2 n-1 1 1 1 2 ∴ cn= + 2+ 3+…+ n . 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 2 2 2 2 2 n-1 n+1 1 1 相减整理得:cn=1+1+ +…+ n-2- n-1 =3- n-1 <3, 2 2 2 2 故 cn<3. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 x2 y2 x2 y2 0 0 19.解:(1)点 P(x0,y0)(x0≠±a)在双曲线 2- 2=1 上,有 2- 2=1, 。。。。。 分 。。。。。1 a b a b y0 y0 1 由题意又有 · = , 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 x0-a x0+a 5 c 30 可得 a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,则 e=a= . 。。。。。。。。。。。。。4 分 。。。。。。。。。。。。 5 2 2 ? 2 ?x -5y =5b (2)联立? ,得 4x2-10cx+35b2=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2) ?y=x-c ?

??? ??? ? ?

1 3

。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。

6分

5

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?x +x = 2 , 则? 35b ?x x = 4
5c
2 1 2 1 2



。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6

??? ? ??? ??? ? ? ???? ? ?x3=λx1+x2 设 OC ? ? x3 ,y3 ? , OC ? ?OA ? OB ,即? ?y3=λy1+y2 ? 2 2 2 又 C 为双曲线上一点,即 x3-5y3=5b ,有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2。。。。7 分 。。。 2 2 2 2 2 2 化简得:λ (x1-5y1)+(x2-5y2)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b 。。。。。。。。。。9 分 。。。。。。。。。 又 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,所以 x2-5y2=5b2,x2-5y2=5b2 1 1 2 2 由①式又有 x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2 得 λ2+4λ=0,解出 λ=0 或 λ=-4. 。。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。12 分 20.解: (1)证明:取 AB 中点 O ,连结 EO , DO . 因为 EB ? EA ,所以 EO ? AB 。。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。。2 因为四边形 ABCD 为直角梯形, AB ? 2CD ? 2 BC , AB ? BC , 所以四边形 OBCD 为正方形,所以 AB ? OD . 。。。 分 。。。4 所以 AB ? 平面 EOD . 所以 AB ? ED . 。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。6 (2)解法 1:因为平面 ABE ? 平面 ABCD ,且 AB ? BC 所 以 BC⊥ 平 面 ABE 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8 则 ?CEB 即为直线 EC 与平面 ABE 所成的角。。。。。。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。。。。。。9
设 BC=a,则 AB=2a, BE ?

2a ,所以 CE ? 3a
CB 1 3 。。。。。。。。。。。。11 。 。。。 。。 。。 。。。 ? ? CE 3 3

则直角三角形 CBE 中, sin ?CEB ? 分

3 .。。。。。。。。。。。。。 12 分 。。。。。。。。。。。。。。 3 解法 2:因为平面 ABE ? 平面 ABCD ,且 EO ? AB , 所以 EO ? 平面 ABCD ,所以 EO ? OD . 由 OB, OD, OE 两 两 垂 直 , 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 O ? xyz . 因 为 三 角 形 EAB 为 等 腰 直 角 三 角 形 , 所 以 OA ? OB ? OD ? OE ,设 OB ? 1 , 则 O(0,0,0), A(?1,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), E (0,0,1) . ??? ? 所以 EC ? (1,1,?1) ,平面 ABE 的一个法向量为 OD ? (0,1,0) . 设直线 EC 与平面 ABE 所成的角为 ? , ??? ???? ? ??? ???? ? | EC ? OD | 3 ? 所以 sin ? ? | cos? EC, OD? | ? ??? ???? ? , | EC || OD | 3
即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为 即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为 分

3 . (参照解法 1 给步骤分)。。。。。12 。。。 。。 3

6

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21.解: (I) f ( x ) 的定义域为 (0, ??).
2

f '( x) ? 1 ?

令 g ? x ? =x - ax+1 ,其判别式 ? ? a 2 ? 4 分 分

1 a x 2 ? ax ? 1 ? ? x2 x x2

。。。 分 。。。1

。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。2 。。。。。。3 。。。。。

/ ( +? 上单调递增 (1)当 a ? 2 时 ? ? 0 , f ? x ? ? 0 故 f ? x ? 在 0, )

(2)当 a ? ?2 时 ? ? 0 , g ( x) ? 0 的两根都小于 0 ,在 (0, ??) 上, f '( x) ? 0 ,

( +? 上单调递增。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4 故 f ? x ? 在 0, ) 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。


a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 , , x2 ? 2 2 当 0 ? x ? x1 时, f '( x) ? 0 ;当 x1 ? x ? x2 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? x2 时, f '( x) ? 0 , 故 f ( x ) 分别在 (0, x1 ),( x2 , ??) 上单调递增,在 ( x1 , x2 ) 上单调递减.。。。。。6 分 。。。。。 x ? x2 (II)由(I)知, a ? 2 .因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? a(ln x1 ? ln x2 ) , x1 x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ln x ? ln x2 1 所以 k ? 。。。。。。。。。。。。。。。 7 分 。。。。。。。。。。。。。。。 ? 1? ? a? 1 x1 ? x2 x1 x2 x1 ? x2 ln x ? ln x2 又由(I)知, x1 x2 ? 1 .于是 k ? 2 ? a? 1 。。。。。。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。。。。。。8 x1 ? x2 ln x1 ? ln x2 若存在 a ,使得 k ? 2 ? a. 则 。。。9 ? 1 .即 ln x1 ? ln x2 ? x1 ? x2 . 。。。 x1 ? x2
(3)当 a ? 2 时 ? ? 0 , g ( x) ? 0 的两根为 x1 ? 分 亦即 x2 ? 分 再由(I)知,函数 h(t ) ? t ? ? 2 ln t 在 (0, ??) 上单调递增, 。。。。。。。。11 。。。。。。。 分

1 ? 2ln x2 ? 0( x2 ? 1)(*) x2
1 t

。。。。。。。。。。。。。。。。。。10 。。。。。。。。。。。。。。。。。

1 1 ? 2ln x2 ? 1 ? ? 2ln1 ? 0. 这与 (*) 式矛盾. x2 1 故不存在 a ,使得 k ? 2 ? a. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
而 x2 ? 1 ,所以 x2 ? 四、选做题 (22)22.【证明】(1)连结 BC,∵AB 是直径, ∴∠ACB=90° ,∴∠ACB=∠AGC=90° . ∵GC 切⊙O 于 C,∴∠GCA=∠ABC. ∴∠BAC=∠CAG. 。。。。。。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。。。。。。5 (2)连结 CF,∵EC 切⊙O 于 C, ∴∠ACE=∠AFC. 又∠BAC=∠CAG, ∴△ACF∽△AEC.

7

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AC AF ? ,∴AC2=AE· 。。。。。。。。。 AF. 。。。。。。。。。10 分 AE AC

x y (23)解:(1)设 P(x,y),则由条件知 M?2,2?, ? ?

?2=2cosα, 由于 M 点在 C 上,所以? y ?2=2+2sinα.
x
1

? ?x=4cosα, 从而 C2 的参数方程为? (α 为参数) 。。。。。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。。。。。5 ?y=4+4sinα. ? (2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4sinθ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=8sinθ. π π 射线 θ= 与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1=4sin , 3 3 π π 射线 θ= 与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2=8sin . 3 3 所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2 3.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

(24)解: (Ⅰ)当 a ? 1 时,

f ( x) ? 3x ? 2 可化为 x ? 1 ? 2 .由此可得

x ? 3 或 x ? ?1 .

故不等式 f ? x ? ? 3x ? 2 的解集为 x | x ? 3或x ? ?1 .。。。。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。。。。5 (Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 得 此不等式化为不等式组 ?

?

?

x ? a ? 3x ? 0

?x ? a ?x ? a 或? ? x ? a ? 3x ? 0 ?a ? x ? 3 x ? 0 ?x ? a ?x ? a ? ? 即 ? 或? a a ?x ? 4 ?x ? ? 2 ? ? a? ? 因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? ? 2? ? a 由题设可得 ? ? ?1 ,故 a ? 2 .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 2

8


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