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2014-2015高中数学 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积学案 新人教B版必修2


1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 自主学习 学习目标 1.了解柱、锥、台、球的表面积的计算公式,并学会运用这些公式解决一些简单的问 题. 2.认清直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面展开图的特点,由此推导出侧面积公式. 自学导引 1.棱柱、棱锥、棱台侧面积 (1)设直棱柱高为 h,底面多边形的周长为 c,则直棱柱侧面积计算公式:S 直棱柱侧= ________,即直棱柱的侧面积等于它的________________________. (2)设正 n 棱锥的底面边长为 a,底面周长为 c,斜高为 h′,则正 n 棱锥的侧面积的计 算 公 式 : S 正 棱 锥 侧 = __________ = ________ , 即 正 棱 锥 的 侧 面 积 等 于 它 的 ________________________________________________________________________. (3)设棱台下底面边长为 a, 底面周长为 c, 上底面边长为 a′, 周长为 c′, 斜高为 h′, 则正 n 棱台的侧面积公式: S 正棱台侧=________________=________________. 2.棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于__________________. (2) 用 球的半 径 R 计 算球 表面积 的公式 : S 球 = ________ , 即球面 面积等 于它 的 ________________. 对点讲练 知识点一 直棱柱、正棱锥的表面积 例1 侧面积. 直平行六面体的底面是菱形,两个对角面面积分别为 Q1,Q2,求直平行六面体的 点评 本题主要考查棱柱的结构特征,特别是直平行六面体,它的特点:底面是平行四 边形且侧棱与底面垂直,对角面是矩形.设边长后就可以转化为矩形内线段的研究.在解方 程组时注意运用整体代入的方法,充分运用式子的特征来解决问题. 变式训练 1 设正三棱锥 S—ABC 的侧面积是底面积的 2 倍,高为 SO=3.求此正三棱锥 的全面积. 1 知识点二 正棱台的表面积 例 2 已知四棱台的上、下底面分别是边长为 4 cm 和 8 cm 的正方形,侧面是腰长为 8 cm 的等腰梯形,求它的侧面积. 点评 求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台中的特殊直角梯形, 它是架起求侧面积 关系式中的未知量与满足题目条件中几何图形元素间的桥梁. 另外, “还台为锥”的思想在 计算中也经常用到. 变式训练 2 已知正三棱台的底面边长分别是 30 cm 和 20 cm,其侧面积等于两底面积 的和,求棱台的高. 2 知识点三 球的表面积公式的应用 例 3 已知:圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积; 2 (2)球的表面积等于圆柱全面积的 . 3 点评 球的体积和表面积只与半径有关, 利用球与其他几何体的位置关系, 灵活求解球 的半径是关键. 变式训练 3 如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 ( ) A.9π B.10π C.11π D.12π 1.柱、锥、台的侧面积公式是由侧面展开图得到的,不要死记公式,要根据展开图的 特点进行计算. 3 2.要注意三种几何体的侧面积公式之间的联系, 1 1 c′=0 S 台侧= (c+c′)h′ ― ― → S 锥侧= ch′ 2 2 ,c=c′ S 柱侧=ch′. 3.计算侧面积时要注意从几何体的某一特殊位置截面中(如旋转体的轴截

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