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广西桂林十八中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)


广西桂林十八中 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷 (理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.已知集合 A={x|x(x+2)>0},集合 B={﹣2,﹣1,1,2},则 A∩B=( ) A. (1,2) B.{1,2} C.{﹣1,﹣2} D. (0,+∞) 考点:交集及其运算. 专题

:集合. 分析:首先求出集合 A,然后按照要求计算 A∩B. 解答: 解:因为集合 A={x|x(x+2)>0},集合 B={﹣2,﹣1,1,2}, 所以 A={x|x>0 或 x<﹣2},所以 A∩B={1,2}; 故选:B. 点评:本题考查了集合的交集的运算,属于基础题.

2.已知复数 A.2﹣i

,则它的共轭复数等于( B.2+i

) C.﹣2+i D.﹣2﹣i

考点:复数的基本概念. 专题:计算题. 分析:利用 i 的幂运算,化简复数的分母,即分子、分母同乘 i 化简为 a+bi 的形式,最后求其 共轭复数即可. 解答: 解:复数 z= =

所以它的共轭复数 =2+i 故选 B 点评:本题考查复数代数形式的混合运算,复数的分类,是基础题.注意 i 的幂运算. 3.函数 y=3sin(2x+ A.x= )的一条对称轴方程为( B.x= C.x= ) D.x=

考点:正弦函数的图象. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:直接利用正弦函数的对称轴方程,求出函数函数 y=3sin(2x+ 轴的方程即可. ) 的图象的一条对称

解答: 解:y=sinx 的对称轴方程为 x=kπ+ 所以函数 y=3sin(2x+ 解得 x=

, =kπ+ ,k∈Z.

)的图象的对称轴的方程是 2x+

,k∈Z,k=0 时显然 D 正确,

故选:D. 点评: 本题是基础题, 考查三角函数的对称性, 对称轴方程的求法, 考查计算能力, 推理能力.

4.已知两个单位向量 , 的夹角为 60°, =t +(1﹣t) ,若 ? =0,则 t=( A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2

)

考点:平面向量数量积的运算. 专题:计算题. 分析:根据向量数量积的运算得出关于 t 的方程并求解即可. 解答: 解:因为 故 , ,

解得 t=2. 故选:C 点评:本题主要考查数量积的运算,结合了方程思想. 5.数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c 是常数) ,且 a1,a2,a3 成公比不为 1 的等比数列,则{an} 的通项公式为( ) 2 2 2 2 A.n +2n﹣1 B.n ﹣2n+1 C.n +n D.n ﹣n+2 考点:数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由题意知(2+c) =2(2+3c) ,解得 c=0 或 c=2.再由当 c=0 时,a1=a2=a3,不符合题意 舍去,知 c=2.由 an﹣an﹣1=(n﹣1)c,求出通项公式. 解答: 解:a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,因为 a1,a2,a3 成等比数列, 2 所以(2+c) =2(2+3c) ,解得 c=0 或 c=2. 当 c=0 时,a1=a2=a3,不符合题意舍去,故 c=2. 当 n≥2 时,由于 a2﹣a1=c,a3﹣a2=2c,an﹣an﹣1=(n﹣1)c, 所以 an﹣a1=c= ?c.
2 2

又 a1=2,c=2,故 an=2+n(n﹣1)=n ﹣n+2(n=2,3,…) . 当 n=1 时,上式也成立, 2 所以 an=n ﹣n+2(n=1,2,…) . 故选 D. 点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要注意计算能力的培养.

6.2015 届高三毕业时,甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念,已知甲乙相邻,则甲丙 相邻的概率为( ) A. B. C. D.

考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析:4 人排成一排,其中甲、乙相邻的情况有 12 种,其中甲丙相邻的只有 4 种,由此能求 出甲乙相邻,则甲丙相邻的概率. 解答: 解:4 人排成一排, 其中甲、乙相邻的情况有: (甲乙丙丁) 、 (甲乙丁丙) 、 (丙甲乙丁) 、 (丁甲乙丙) 、 (丙丁甲乙) 、 (丁丙甲乙) 、 (乙甲丁丙) 、 (乙甲丁丙) 、 (丙乙甲丁) 、 (丁乙甲丙) 、 (丙丁乙甲) 、 (丁丙乙甲) , 共计 12 种, 其中甲丙相邻的只有 4 种, ∴甲乙相邻,则甲丙相邻的概率为: p= = .

点评:本题考查概率的求法,是基础题,解题时要注意列举法的合理运用.

7.若

展开式的第三项为 10,则 y 关于 x 的函数图象的大致形状为(

)

A.

B.

C.

D. 考点:函数的图象. 专题:综合题. 分析: 先由二项式定理展开式的通项公式, 求出展开式中的第三项, 从而得到 y 关于 x 的函数, 再根据此函数的图象性质作出判断即可 解答: 解:∵ ∴ ∴xy=1,即 y= 展开式的第 r+1 项 Tr+1=C5 展开式的第三项为 C5 yx=10xy=10 (x>0)
2 r

(x≥0)

∴则 y 关于 x 的函数为 y= (x>0) , 其图象为双曲线 y= 的一支,位于第一象限

故选 D 点评:本题综合考察了二项式定理及函数的图象和性质,反比例函数的图象和性质

8.平面几何中, 有边长为 a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值 棱长为 a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( A. B. C. ) D.

,类比上述命题,

考点:类比推理. 专题:规律型;空间位置关系与距离. 分析:由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时,常用的思路有:由平面图形中点的性 质类比推理出空间里的线的性质, 由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质, 由平面 图形中面的性质类比推理出空间中体的性质. 固我们可以根据已知中平面几何中, 关于线的性 质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”, 推断出一个空间几何中一个关于面的性 质. 解答: 解:类比在边长为 a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值 在一个正四面体中,计算一下棱长为 a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和, 如图: 由棱长为 a 可以得到 BF=
2 2 2



,BO=AO=

a﹣OE,

在直角三角形中,根据勾股定理可以得到 BO =BE +OE , 把数据代入得到 OE= a, a= a,

∴棱长为 a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和 4× 故选 B.

点评:本题是基础题,考查类比推理及正四面体的体积的计算,转化思想的应用,考查空间想 象能力,计算能力. 9.执行如图所示的程序框图,如果输入的 x,y∈R,那么输出的 S 的最大值为

(

) A.0 B.1 C.2 D.3

考点:程序框图. 专题:计算题;算法和程序框图. 分析:算法的功能是求可行域 得最大值的点的坐标,求出最大值. 解答: 解: 由程序框图知: 算法的功能是求可行域 画出可行域如图: 内, 目标还是 S=3x+y 的最大值, 内,目标还是 S=3x+y 的最大值,画出可行域,求得取



时,S=3x+y 的值最大,且最大值为 3.

故选:D.

点评: 本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法, 根据框图的流程判断算法的 功能是解题的关键. 10.已知 a>0,且 a≠1,则函数 f(x)=a +(x﹣1) ﹣2a 的零点个数为( A.1 B.2 C.3 D.与 a 有关
x 2

)

考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:函数的性质及应用. x 2 x 分析:令 g(x)=a ﹣2a,h(x)=﹣(x﹣1) ,而 x=1 时:g(x)=a ﹣2a=﹣a<0,h(x)= 2 ﹣(x﹣1) =0,从而得出函数有 2 个交点,即函数 f(x)有 2 个零点. 解答: 解:令 f(x)=0, 得:a ﹣2a=﹣(x﹣1) , x 2 令 g(x)=a ﹣2a,h(x)=﹣(x﹣1) , x 2 x=1 时:a ﹣2a=﹣a<0,﹣(x﹣1) =0, a>1 时,画出函数 g(x)和 h(x)的草图, 如图示:
x 2

, 两个函数有 2 个交点; 0<a<1 时,画出函数 g(x)和 h(x)的草图, 如图示:

, 两个函数有 2 个交点, 故选:B. 点评:本题考查了函数的零点问题,考查转化思想,考查数形结合思想,是一道基础题.

11.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为 4,该几何体的体积为 V1.直 径为 4 的球的体积为 V2,则 V1:V2=( )

A.1:4

B.1:2

C.1:1

D.2:1

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题. 分析:由三视图判断几何体为一个圆柱挖去一个圆锥,且圆柱与圆锥的底面圆直径为 4,高为 2,代入体积公式求出 V1,V2,再计算 .

解答: 解: 由三视图判断几何体为一个圆柱挖去一个圆锥, 且圆柱与圆锥的底面圆直径为 4, 高为 2, ∴V1=π×2 ×2﹣ π×2 ×2= V2= ×π×2 =
3 2 2

π,

π;



= .

故选 B. 点评:本题考查了由三视图求几何体的体积,考查了球的体积公式与圆锥、圆柱的体积公式, 关键是由三视图判断几何体的形状.

12. 一辆汽车在高速公路上行驶, 由于遇到紧急情况而刹车, 以速度 的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( A.1+25ln5 B.8+25ln C.4+25ln5 D.4+50ln2 )

考点:定积分. 专题:导数的综合应用.

分析:令 v(t)=0,解得 t=4,则所求的距离 S= 解答: 解:令 v(t)=7﹣3t+
2

,解出即可.

,化为 3t ﹣4t﹣32=0,又 t>0,解得 t=4.

∴由刹车行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距离 s= = =4+25ln5.

故选 C. 点评:熟练掌握导数的运算法则和定积分的几何意义是解题的关键. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 13. 正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长均为 2, 则异面直线 A1B 与 B1C1 所成角的余弦值为 .

考点:异面直线及其所成的角. 分析:连结 A1C,由 B1C1∥BC,得异面直线 A1B 与 B1C1 所成角为∠A1BC,由此利用余弦定 理能求出结果. 解答: 解:连结 A1C,∵B1C1∥BC, ∴异面直线 A1B 与 B1C1 所成角为∠A1BC, ∵正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长均为 2, ∴ ,BC=2,

∴cos∠A1BC= = = . .

故答案为:

点评: 本题考查异面直线 A1B 与 B1C1 所成角的余弦值的求法, 是中档题, 解题时要认真审题, 注意余弦定理的合理运用.

14.已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为

+

=1,双曲线 C2 的方程为



=1,C1 与 C2 的

离心率之积为

,则 C2 的渐近线方程为 y=kx,则 k=±



考点:椭圆的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:写出椭圆与双曲线的离心率,由题意得方程,求解即可. 解答: 解:椭圆 C1: + =1 的离心率为 ,

双曲线 C2 的离心率为 则由题意可得, × 解得,a= ∴k=± =± 故答案为:± , . . = ,



点评:本题考查了椭圆与双曲线的简单应用,牢记圆锥曲线性质即可,属于基础题.

15.某次测量发现一组数据(xi,yi)具有较强的相关性,并计算得 =x+1,其中数据(1,y0) 因书写不清, 只记得 y0 是任意一个值, 则该数据对应的残差的绝对值不大于 1 的概率为 . (残 差=真实值﹣预测值) 考点:回归分析. 专题:计算题;概率与统计. 分析:求出预测值,再求出该数据对应的残差的绝对值不大于 1 时 y0 的取值范围,用几何概 型解答. 解答: 解:由题意,其预估值为 1+1=2, 该数据对应的残差的绝对值不大于 1 时,1≤y0≤3, 其概率可由几何概型求得, 即该数据对应的残差的绝对值不大于 1 的概率 P= = .

故答案为: . 点评:本题考查了几何概型的概率公式,属于基础题. 16.定义在 R 上的函数 f(x) ,其图象是连续不断的,如果存在非零常数 λ(λ∈R,使得对任 意的 x∈R,都有 f(x+λ)=λf(x) ,则称 y=f(x)为“倍增函数”,λ 为“倍增系数”,下列命题 为真命题的是①③④(写出所有真命题对应的序号) . ①若函数 y=f(x)是倍增系数 λ=﹣2 的倍增函数,则 y=f(x)至少有 1 个零点; ②函数 f(x)=2x+1 是倍增函数,且倍增系数 λ=1; ③函数 是倍增函数,且倍增系数 λ∈(0,1) ; .

④若函数 f(x)=sin(2ωx) (ω>0)是倍增函数,则

考点:命题的真假判断与应用. 专题:新定义. 分析:由函数 y=f(x)是倍增系数 λ=﹣2 的倍增函数,知 f(x﹣2)=﹣2f(x) ,由此得到 y=f (x) 至少有 1 个零点; 由f (x) =2x+1 是倍增函数, 知2 (x+λ) +1=λ (2x+1) , 故 由 数,得 是倍增函数,得 . ≠1;

∈(0,1) ;由 f(x)=sin(2ωx) (ω>0)是倍增函

解答: 解:∵函数 y=f(x)是倍增系数 λ=﹣2 的倍增函数, ∴f(x﹣2)=﹣2f(x) , 当 x=0 时,f(﹣2)+2f(0)=0, 若 f(0) ,f(﹣2)任一个为 0,函数 f(x)有零点. 若 f(0) ,f(﹣2)均不为零,则 f(0) ,f(﹣2)异号, 由零点存在定理,在(﹣2,0)区间存在 x0,f(x0)=0, 即 y=f(x)至少有 1 个零点,故①正确; ∵f(x)=2x+1 是倍增函数, ∴2(x+λ)+1=λ(2x+1) , ∴ ∵ ∴e ∴ ∴
﹣(x+λ) ﹣x

≠1,故②不正确; 是倍增函数, =λe , , ∈(0,1) ,故③正确;

∵f(x)=sin(2ωx) (ω>0)是倍增函数, ∴sin=λsin(2ωx) ,



.故④正确.

故答案为:①③④. 点评:本题考查命题的真假判断,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= . (Ⅰ)求 cos∠CAD 的值; (Ⅱ)若 cos∠BAD=﹣ ,sin∠CBA= ,求 BC 的长.

考点:解三角形的实际应用. 专题:解三角形. 分析: (Ⅰ)利用余弦定理,利用已知条件求得 cos∠CAD 的值. (Ⅱ)根据 cos∠CAD,cos∠BAD 的值分别,求得 sin∠BAD 和 sin∠CAD,进而利用两角和 公式求得 sin∠BAC 的值,最后利用正弦定理求得 BC. 解答: 解: (Ⅰ)cos∠CAD= = = .

(Ⅱ)∵cos∠BAD=﹣ ∴sin∠BAD= ∵cos∠CAD= ∴sin∠CAD= , = =

, ,

∴sin∠BAC=sin(∠BAD﹣∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD﹣ cos∠BADsin∠CAD= ∴由正弦定理知 ∴BC= × = ?sin∠BAC= × + × , =3 = ,

点评:本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用,三角函数恒等变换的应用.考查了学 生对基础知识的综合运用. 18.设等差数列{an}的公差为 d,点(an,bn)在函数 f(x)=2 的图象上(n∈N ) . (1)若 a1=﹣2,点(a8,4b7)在函数 f(x)的图象上,求数列{an}的前 n 项和 Sn; (2)若 a1=1,函数 f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2﹣ ,求数
x *

列{

}的前 n 项和 Tn.

考点:数列的求和;数列与函数的综合. 专题:函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 分析: (1)由于点(an,bn)在函数 f(x)=2 的图象上,可得
d x

,又等差数列{an}的

公差为 d,利用等差数列的通项公式可得

=2 .由于点

(a8,4b7)在函数 f(x)的图象上,可得 等差数列的前 n 项和公式即可得出.

=b8,进而得到

=4=2 ,解得 d.再利用

d

(2) 利用导数的几何意义可得函数 f (x) 的图象在点 (a2, b2) 处的切线方程, 即可解得 a2. 进 而得到 an,bn.再利用“错位相减法”即可得出. x 解答: 解: (1)∵点(an,bn)在函数 f(x)=2 的图象上, ∴ ,

又等差数列{an}的公差为 d, ∴ = =2 ,
d

∵点(a8,4b7)在函数 f(x)的图象上, ∴
d

=b8, =4=2 ,解得 d=2.
2



又 a1=﹣2,∴Sn=
x x

=﹣2n+

=n ﹣3n.

(2)由 f(x)=2 ,∴f′(x)=2 ln2, ∴函数 f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线方程为 又 ,令 y=0 可得 x= , ,



,解得 a2=2.

∴d=a2﹣a1=2﹣1=1. ∴an=a1+(n﹣1)d=1+(n﹣1)×1=n, n ∴bn=2 . ∴ .

∴Tn= ∴2Tn=1+ +

+…+

+



+…+



两式相减得 Tn=1+

+…+



=



=

=



点评:本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公 式及其前 n 项和公式等基础知识与基本技能方法, 考查了推理能力、 计算能力、 “错位相减法”, 属于难题. 19.某校 2015 届高三年级有男学生 105 人,女学生 126 人,教师 42 人,用分层抽样的方法 从中抽取 13 人进行问卷调查,设其中某项问题的选择,分别为“同意”、“不同意”两种,且每 人都做了一种选择,下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息. 同意 不同意 合计 教师 1 女学生 4 男学生 2 (1)完成此统计表; (2)估计 2015 届高三年级学生“同意”的人数; (3)从被调查的女学生中选取 2 人进行访谈,设“同意”的人数为 ξ,求 Eξ. 考点:离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题:计算题;概率与统计. 分析: (1)由分层抽样的特点,各层的比为 5:6:2,共抽 13 人,即分别抽取男学生 5 人, 女学生 6 人,教师 2 人, 设其中某项问题的选择,分别为“同意”、“不同意”两种,且每人都做了一种选择,即可完成表 格;

(2)由(1)可得女生 6 人中有 2 人同意,男生 5 人中有 3 人同意,即可估计出 2015 届高三 年级学生“同意”的人数; (3)由题意得 ξ 的取值为 0,1,2,分别求出它们的概率注意分步相乘及古典概率的公式, 再由期望公式,即可得到. 解答: 解: (1) 同意 不同意 合计 教师 1 1 2 女学生 2 4 6 男学生 3 2 5 (2) (人) ;

(3)由题意得 ξ 的取值为 0,1,2, , , ,

∴ 则 .



点评:本题考查离散型随机变量的期望的求法,考查随机变量的概率的求法,注意运用两个计 数原理,属于中档题. 20. 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AC⊥AD, AB⊥BC, ∠BAC=45°, PA=AD=2, AB= . (1)求二面角 A﹣PC﹣B 的余弦值; (2)设 E 为棱 PC 上的点,满足直线 DE 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ,求 AE 的长.

考点:直线与平面所成的角;二面角的平面角及求法. 专题:空间角;空间向量及应用. 分析: (1)首先建立空间直角坐标系,求出相应向量利用平面的法向量,求出向量的夹角的 余弦值. (2)同样利用法向量知识,利用夹角的正弦值作为建立等量的条件,求出点 E 的坐标,最后 求出向量的模长.

解答: 解: (1)分别以 AD,AC,AP 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 平面 PAC 的法向量 由已知得:P(0,0,2) ,C(0,2,0) ,B(﹣1,1,0) ∴ 设平面 PBC 的法向量为 ,



,即



∴二面角 A﹣PC﹣B 的余弦值为 (2)设 E(0,1+t,1﹣t) ,则 由(Ⅰ)知平面 PBC 的法向量 由于直线 DE 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ,

所以 得 t=0, , ,

即:AE 的长等于 故答案为: (1)二面角 A﹣PC﹣B 的余弦值为 (2)AE 的长等于 点评:本题考查的知识点:空间直角坐标系,平面的法向量,线面所成的角,夹角的余弦,向 量的模长.

21.设椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,右顶点为 A,上顶点为 B.已

知|AB|=

|F1F2|.

(1)求椭圆的离心率; (2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 F1,经过原点 O 的直线 l 与该圆相切,求直线 l 的斜率. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:向量与圆锥曲线. 分析: (1)由题意设椭圆右焦点 F2 的坐标为(c,0) ,结合|AB|= 再结合隐含条件 2 2 2 b =a ﹣c 得到 a,c 的关系式,则椭圆的离心率可求; (2)由题意设出椭圆方程为 , 的坐标,利用 =0 得到(x0+c)c+y0c=0,从而得到 x0+y0+c=0.再由点 P 在椭圆上, .设 P(x0,y0) .由 F1(﹣c,0) ,B(0,c) ,求得 |F1F2|,可得 a +b =3c ,
2 2 2

得到 一步得到 y0= ,

.两式联立得到 3x 0+4cx0=0.根据点 P 不是椭圆的顶点得到 x0=﹣ c.进

2

再设圆的圆心为 T(x1,y1) ,则 x1=

=﹣ c,y1=

= c,求出圆的半径 r 再由直线

l 与圆相切列式求得 k 的值. 解答: 解: (1)设椭圆右焦点 F2 的坐标为(c,0) . 由|AB|=
2 2

|F1F2|,可得 a +b =3c .
2 2 2

2

2

2

又 b =a ﹣c ,则 2a =4c ,



∴椭圆的离心率 e=
2


2 2 2

(2)由(1)知 a =2c ,b =c .故椭圆方程为 设 P(x0,y0) .由 F1(﹣c,0) ,B(0,c) , 得 =(x0+c,y0) , =(c,c) .



由已知,有

=0,即(x0+c)c+y0c=0.

又 c≠0,故有 x0+y0+c=0.① 又∵点 P 在椭圆上, ∴ .②
2

由①和②可得 3x 0+4cx0=0. 而点 P 不是椭圆的顶点,故 x0=﹣ c.代入①得 y0= , 即点 P 的坐标为(﹣ , ) .

设圆的圆心为 T(x1,y1) ,则 x1= 进而圆的半径 r=

=﹣ c,y1=

= c, = c.

设直线 l 的斜率为 k,依题意,直线 l 的方程为 y=kx. 由 l 与圆相切,可得 ,即

,整理得 k ﹣8k+1=0,解得 k=4±

2



∴直线 l 的斜率为 4+ 或 4﹣ . 点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用,考查了向量在解题中的应用,圆锥 曲线的特点是计算量比较大,要求考生具备较强的运算推理能力和逻辑思维能力,是压轴题. 22.已知函数 f(x)=(x﹣e) (lnx﹣1) (e 为自然对数的底数) . (Ⅰ)求曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)若 m 是 f(x)的一个极值点,且点 A(x1,f(x1) ) ,B(x2,f(x2) )满足条件: (1﹣ lnx1) (1﹣lnx2)=﹣1. ①求 m 的值; ②若点 P(m,f(m) ) ,判断 A,B,P 三点是否可以构成直角三角形?请说明理由. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值.

专题:计算题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求出导数和切线的斜率,及切点,运用点斜式方程,即可得到切线方程; (Ⅱ)①求出导数,讨论当 0<x<e 时,当 x>e 时,导数的符号,即可判断极值点,求出 P 点; ②讨论若 x1=e,若 x1=x2,与条件不符,从而得 x1≠x2.计算向量 PA,PB 的数量积,即可判 断 PA⊥PB. 解答: 解: (Ⅰ) ,f'(1)=﹣e,又 f(1)=e﹣1,

∴曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y﹣(e﹣1)=﹣e(x﹣1) , 即 ex+y﹣2e+1=0. (Ⅱ)①对于 当 0<x<e 时,lnx<1, 当 x=e 时,f'(x)=1﹣1=0; 当 x>e 时,lnx>1, ,∴ ,定义域为(0,+∞) . ,∴ ;

∴f(x)存在唯一的极值点 e,∴m=e,则点 P 为(e,0) ②若 x1=e,则(1﹣lnx1) (1﹣lnx2)=0,与条件(1﹣lnx1) (1﹣lnx2)=﹣1 不符, 从而得 x1≠e.同理可得 x2≠e. 若 x1=x2,则 与条件(1﹣lnx1) (1﹣lnx2)=﹣1 不符,从而得 x1≠x2. 由上可得点 A,B,P 两两不重合. ,

=(x1﹣e) (x2﹣e)+(x1﹣e) (x2﹣e) (lnx1﹣1) (lnx2﹣1) =(x1﹣e) (x2﹣e) (lnx1lnx2﹣lnx1x2+2)=0 从而 PA⊥PB,点 A,B,P 可构成直角三角形. 点评:本题考查导数的综合应用:求切线方程和求极值,考查运用向量的数量积为 0,证明线 段垂直的方法,属于中档题.


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