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江苏省盐城市东台市创新学校2014-2015学年高二下学期期末数学模拟试卷 Word版含解析


江苏省盐城市东台市创新学校 2014-2015 学年高二下学期期末数 学模拟试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1. (5 分)若不等式 x ﹣x≤0 的解集为 M,函数 f(x)=ln(1﹣|x|)的定义域为 N,则 M∩N 为 . 2. (5 分)若(1﹣2i)i=a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位) ,则 ab=.

2

3. (5 分)若向量



,且 ∥ ,则实数 x=.

4. (5 分)袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6” 这四个数. 现从中随机选取三个球, 则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率 是. 5. (5 分)某校共有 400 名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直方图如图所示 (成绩分组为) .则在本次竞赛中,得分不低于 80 分以上的人数为.

6. (5 分)已知函数 f(x)=f′(

)sinx+cosx,则

=.

7. (5 分)根据如图所示的伪代码,当输入 a 的值为 3 时,最后输出的 S 的值为.

8. (5 分)已知四边形 ABCD 为梯形,AB∥CD,l 为空间一直线,则“l 垂直于两腰 AD, BC”是“l 垂直于两底 AB,DC”的条件(填写“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不 充分也不必要”中的一个) . 9. (5 分)当直线 l:y=k(x﹣1)+2 被圆 C: (x﹣2) +(y﹣1) =5 截得的弦最短时,则 k=.
2 2

10. (5 分)已知双曲线 离心率等于

的一个焦点与圆 x +y ﹣10x=0 的圆心重合,且双曲线的

2

2

,则该双曲线的标准方程为.

11. (5 分)曲线 为.

在点(1,f(1) )处的切线方程

12. (5 分)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y =4x 的准线交于 A、 B 两点,AB= ,则 C 的实轴长为.

2

13. (5 分)在△ ABC 中,若 AB=1,AC=

,|

+

|=|

|,则

=.

14. (5 分)定义在实数集上的偶函数 f(x) ,满足 f(x+2)=f(x) ,且 f(x)在上单调减, 又 α、β 是锐角三角形的二个内角,则 f(sinα)与 f(cosβ) 的关系是. (用>,<,≥,≤ 表示) .

二、 解答题: 本大题共 8 小题, 计 90 分.解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (14 分)已知命题 p:不等式 a ﹣5a﹣3≥3 恒成立,命题 q:不等式 x +ax+2<0 有解; 若 p 为真命题,q 为假命题,求 a 的取值范围. 16. (14 分)在△ ABC 中,已知(sinA+sinB+sinC) (sinB+sinC﹣sinA)=3sinBsinC. (1)求角 A 的值; (2)求 的最大值.
2 2

17.选修 4﹣4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为

(θ 为参数,r>0) .以

O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 . 若圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3,求 r 的值.

18. (14 分)某汽配厂生产某种零件,每个零件的出厂单价为 60 元,为了鼓励更多销售商 订购,该厂决定当一次订购超过 100 个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降 低 0.02 元,但实际出厂单价不低于 51 元. (1)当一次订购量最少为多少时,零件的实际出厂单价恰好为 51 元? (2)设一次订购量为 x 个,零件的实际出厂单价为 p 元,写出函数 p=f(x)的表达式.

19. (16 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,F1、F2 分别为椭圆 C 的左、

右焦点,若椭圆 C 的焦距为 2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 M 为椭圆上任意一点,以 M 为圆心,MF1 为半径作圆 M,当圆 M 与椭圆的右准线 l 有公共点时,求△ MF1F2 面积的最大值. 20. (16 分)已知函数 f (x)=x ﹣ax ﹣3x (1)若 f(x)在区间上的最大值. 21. (16 分) (文科)已知数列{an}满足:a1=1,a2= ,且 an+2﹣2an+2=0,n∈N . (Ⅰ)求 a3,a4,a5,a6 的值及数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=a2n﹣1?a2n,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 22.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,A1A= 是 CC1 的中点. (1)求证:A1B⊥AM; (2)求二面角 B﹣AM﹣C 的平面角的大小. ,M
* 3 2

江苏省盐城市东台市创新学校 2014-2015 学年高二下学 期期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 2 1. (5 分)若不等式 x ﹣x≤0 的解集为 M,函数 f(x)=ln(1﹣|x|)的定义域为 N,则 M∩N 为 ) .则在本次竞赛中,得分不低于 80 分以上的人数为 120.

考点: 用样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图. 专题: 计算题. 分析: 先由频率分布直方图计算得分落在 80 分以下各分数段的频率和频数,再将其相加 即得低于 80 分的人数,总人数为 400 人,故可得高于 80 分的人数 解答: 解:由图可知,得分在 分析: 对函数 f(x)的解析式求导,得到其导函数,把 x= ( )的方程,进而得到 f'( 代入导函数中,列出关于 f' 代入 f(x)

)的值,确定出函数 f(x)的解析式,把 x=

解析式,即可求出 f(

)的值. )cosx﹣sinx, ﹣sin

解答: 解:求导得 f′(x)=f′( 令 x= 得 f′( )=﹣ )=f′( ﹣1 ﹣1)sinx+cosx, ﹣1)sin )cos

解得 f′(

∴f(x)=(﹣ 则

=(﹣

+cos

=﹣1

故答案为:﹣1 点评: 本题主要考查了导数的运算, 以及函数的值,同时考查了计算能力,解题的关键 是求 f′( )的值,属于基础题.

7. (5 分)根据如图所示的伪代码,当输入 a 的值为 3 时,最后输出的 S 的值为 21.

考点: 伪代码. 专题: 阅读型. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是累加,当不满足条件 i≤3 时推出循环,得到 S 的值即可. 解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是累加,当不满足条件 i≤3 时推出循环. 此时 S=3+6+12=21, 故输出的 S 值为 21. 故答案为:21. 点评: 本题主要考查根据伪代码求输出结果, 是算法中常见的题型, 解题的关键是弄清循 环的次数,属于基础题. 8. (5 分)已知四边形 ABCD 为梯形,AB∥CD,l 为空间一直线,则“l 垂直于两腰 AD, BC”是“l 垂直于两底 AB,DC”的充分不必要条件(填写“充分不必要”,“必要不充分”,“充 要”,“既不充分也不必要”中的一个) . 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 证明题. 分析: 先看充分性,当 l 垂直于两腰 AD,BC 时,根据直线与平面垂直的判定定理,可 得 l 与平面 ABCD 垂直,结合 AB,DC 是平面 ABCD 内的直线,得到 l 垂直于两底 AB, DC,充分性成立; 再看必要性,作出梯形 ABCD 的高 AE,设 AE 所在直线为 l,可得 l 满足垂直于两底 AB, DC,但是 l 不与梯形 ABCD 的两腰垂直,必要性不成立.由此得到正确答案. 解答: 解:先看充分性 ∵四边形 ABCD 为梯形,AB∥CD, ∴两腰 BC、AD 所在直线是相交直线. ∵l 垂直于两腰 AD,BC ∴l⊥平面 ABCD 又∵AB,DC 是平面 ABCD 内的直线, ∴l 垂直于两底 AB,DC,因此充分性成立; 再看必要性

作出梯形 ABCD 的高 AE,则 AE 垂直于两底 AB,DC,设 AE 所在直线为 l, ∵l 垂直于两底 AB,DC,且 l 是平面 ABCD 内的直线, ∴l 与梯形 ABCD 的两腰不垂直,因此必要性不成立. 故答案为:充分不必要. 点评: 本题借助于必要条件、 充分条件与充要条件的判断, 着重考查了空间直线与平面垂 直、直线与直线垂直的判定与证明等知识点,属于基础题. 9. (5 分)当直线 l:y=k(x﹣1)+2 被圆 C: (x﹣2) +(y﹣1) =5 截得的弦最短时,则 k=1. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 先求出圆心到直线 l 的距离为 d,设弦长为 L,则( ) +d =r ,再根据 L 的解析
2 2 2 2 2

式,利用基本不等式求得 L 的最小值. 2 2 解答: 解:圆 C: (x﹣2) +(y﹣1) =5 的圆心(2,1) ,半径为 设圆心到直线 l 的距离为 d,则 d= = ,



又设弦长为 L,则( ) +d =r ,即 ( ) =5﹣
2

2

2

2

2

=5﹣(1+

)=4﹣

≥ 3.

∴当 k=1 时, ( )

min=3, 2 2

∴直线 l:y=k(x﹣1)+2 被圆 C: (x﹣2) +(y﹣1) =5 截得的弦最短时,则 k=1. 故答案为:1. 点评: 本题主要考查直线过定点问题,直线和圆相交的性质,点到直线的距离公式,弦长 公式的应用,属于中档题.

10. (5 分)已知双曲线

的一个焦点与圆 x +y ﹣10x=0 的圆心重合,且双曲线的

2

2

离心率等于

,则该双曲线的标准方程为



考点: 双曲线的标准方程;双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 将圆化成标准方程得圆 x +y ﹣10x=0 的圆心为 F(5,0) ,可得 c= 结合双曲线的离心率 e= = 算出 a=
2 2 2

=5,

,由平方关系得到 b =20,由此即可得出该双曲线

的标准方程. 2 2 2 2 解答: 解:∵圆 x +y ﹣10x=0 化成标准方程,得(x﹣5) +y =25

∴圆 x +y ﹣10x=0 的圆心为 F(5,0) ∵双曲线 的一个焦点为 F(5,0) ,且的离心率等于 ,

2

2

∴c=

=5,且 =

因此,a=

,b =c ﹣a =20,可得该双曲线的标准方程为

2

2

2

故答案为: 点评: 本题给出双曲线的离心率,并且一个焦点为已知圆的圆心,求双曲线的标准方程, 着重考查了圆的标准方程、双曲线的基本概念和简单几何性质等知识,属于基础题.

11. (5 分)曲线 为 .

在点(1,f(1) )处的切线方程

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 求导函数,确定切线的斜率,求出切点坐标,即可得到切线方程. 解答: 解:由题意, ∴ ∴f′(1)=e ∴ ∴ ∴所求切线方程为 y﹣e+ =e(x﹣1) ,即 故答案为: 点评: 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查学生的计算能力,确定切线 的斜率是关键. 12. (5 分)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点 在 x 轴上,C 与抛物线 y =4x 的准线交于 A、 B 两点,AB= ,则 C 的实轴长为 1. 考点: 双曲线的简单性质;抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.
2

, ,

分析: 设出双曲线方程,求出抛物线的准线方程,利用|AB|= 2 2 解答: 解:设等轴双曲线 C 的方程为 x ﹣y =λ. (1) ∵抛物线 y =4x,2p=4,p=2,∴ =1.
2

,即可求得结论.

∴抛物线的准线方程为 x=﹣1. 设等轴双曲线与抛物线的准线 x=﹣1 的两个交点 A(﹣1,y) ,B(﹣1,﹣y) (y>0) , 则|AB|=|y﹣(﹣y)|=2y= 将 x=﹣1,y= ,∴y= .
2

代入(1) ,得(﹣1) ﹣(
2 2

) =λ,∴λ= ,

2

∴等轴双曲线 C 的方程为 x ﹣y = ,即

∴C 的实轴长为 1. 故答案为:1. 点评: 本题考查抛物线,双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.

13. (5 分)在△ ABC 中,若 AB=1,AC=

,|

+

|=|

|,则

= .

考点: 平面向量数量积的性质及其运算律. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 根据题意,以 AB、AC 为邻边的平行四边形 ABDC 是矩形,由勾股定理求出 BC=2.过 A 作 AE⊥BC 于 E,算出 BE= ,最后结合数量积的公式和直角三角形余弦的定

义,即可算出

的值.

解答: 解:以 AB、AC 为邻边作平行四边形 ABDC,则 = ∵ + =

∴四边形 ABDC 是矩形 过 A 作 AE⊥BC 于 E ∵Rt△ ABC 中, ∴BC= 因此,BE= , =2,可得 斜边上的高 AE= = =



=

,cos∠ABC=



=

=1,可得

=

故答案为:

点评: 本题在直角三角形中, 求一个向量在另一个向量上投影的值. 着重考查了向量加法 的几何定义和向量数量积的定义等知识,属于基础题. 14. (5 分)定义在实数集上的偶函数 f(x) ,满足 f(x+2)=f(x) ,且 f(x)在上单调减, 又 α、 β 是锐角三角形的二个内角, 则f (sinα) 与f (cosβ) 的关系是 f (sinα) >f (cosβ) . (用 >,<,≥,≤表示) . 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 确定函数 f(x)在上单调增,再确定 1>sinα>cosβ>0,即可得到结论. 解答: 解:∵函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,且 f(x)在上单调减, ∴f(x)在上单调减 ∵f(x)是偶函数 ∴f(x)在上单调增 ∵α、β 是锐角三角形的两个内角, ∴α+β ∴ ∴ ∴1>sinα>cosβ>0 ∴f(sinα)>f(cosβ) 故答案为 f(sinα)>f(cosβ) . 点评: 本题考查函数的单调性,考查三角函数的范围,属于中档题. 二、 解答题: 本大题共 8 小题, 计 90 分.解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 2 2 15. (14 分)已知命题 p:不等式 a ﹣5a﹣3≥3 恒成立,命题 q:不等式 x +ax+2<0 有解; 若 p 为真命题,q 为假命题,求 a 的取值范围. 考点: 一元二次不等式与一元二次方程;命题的真假判断与应用;函数恒成立问题.

专题: 计算题. 分析: 分别求出 p 为真命题,q 为假命题时 a 的取值范围,从而可得 a 的取值范围. 解答: 解:因为 a ﹣5a﹣3≥3,所以 a≥6 或 a≤﹣1. 所以 p 为真命题时 a≥6 或 a≤﹣1…(4 分) 2 2 又因为不等式 x +ax+2<0 有解,所以△ =a ﹣8>0 所以 或 所以 q 为假命题时, …(8 分) 所以 p 为真命题,q 为假命题时,a 的取值范围为 …(12 分) 点评: 本题重点考查命题真假的运用, 考查不等式的解法, 解题的关键是求出 p 为真命题, q 为假命题时 a 的取值范围,属于基础题. 16. (14 分)在△ ABC 中,已知(sinA+sinB+sinC) (sinB+sinC﹣sinA)=3sinBsinC. (1)求角 A 的值; (2)求 的最大值.
2

考点: 三角函数中的恒等变换应用. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: (1)利用正弦定理将(sinA+sinB+sinC) (sinB+sinC﹣sinA)=3sinBsinC 转化为边 之间的关系,再由余弦定理即可求得求角 A 的值; (2)利用(1)中角 A=60°,可求得 B=120°﹣C,利用三角函数中的恒等变换可将 sinB ﹣cosC 转化为关于角 C 的关系式,从而可求得其最大值. 解答: 解: (1)∵(sinA+sinB+sinC) (sinB+sinC﹣sinA)=3sinBsinC, ∴(sinB+sinC) ﹣sin A=3sinBsinC, 2 2 2 ∴sin B+sin C﹣sin A﹣sinBsinC=0, 由正弦定理 =
2 2 2 2

=
2

=2R 得:b +c ﹣a ﹣bc=0,

2

2

2

又由余弦定理知,a =b +c ﹣2bccosA, ∴cosA= ,角 A=60°. (2)∵角 A=60°,在△ ABC 中,A+B+C=180°, ∴B=120°﹣C, ∴ sinB﹣cosC = sin(120°﹣C)﹣cos C = ( cosC﹣(﹣ )sinC)﹣cosC sinC ) ,

= cosC+ =sin(C+

∵C∈(0°,120°) , ∴ =1,即 sinB﹣cosC 得最大值为 1.

点评: 本题考查三角函数中的恒等变换应用,着重考查正弦定理与余弦定理,突出 三角 函数中的恒等变换及诱导公式的应用,属于中档题.

17.选修 4﹣4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为

(θ 为参数,r>0) .以

O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 . 若圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3,求 r 的值.

考点: 点的极坐标和直角坐标的互化;直线与圆的位置关系;参数方程化成普通方程. 专题: 直线与圆. 分析: 将直线和圆的方程化为直角坐标方程,利用直线和圆的位置关系求解. 解答: 解:圆的直角坐标方程为(x+ 圆心的直角坐标(﹣ 直线 l 的极坐标方程为 ,﹣ ) 即为 x+y﹣ =0, ) +(y+
2

) =r ,

2

2

圆心 O(﹣

,﹣

)到直线的距离 d=

=2.

圆 O 上的点到直线的最大距离为 2+r=3, 解得 r=1. 点评: 本题考查极坐标、 参数方程与普通方程互化的基础知识, 考查点到直线距离公式等. 18. (14 分)某汽 配厂生产某种零件,每个零件的出厂单价为 60 元,为了鼓励更多销售商 订购,该厂决定当一次订购超过 100 个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降 低 0.02 元,但实际出厂单价不低于 51 元. (1)当一次订购量最少为多少时,零件的实际出厂单价恰好为 51 元? (2)设一次订购量为 x 个,零件的实际出厂单价为 p 元,写出函数 p=f(x)的表达式. 考点: 分段函数的应用. 专题: 应用题. 分析: (1)由题意设每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元时,一次订购量为 x0 个,则 因此,当一次订购量为 550 个时,每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元; (2)前 100 件单价为 P,当进货件数大于等于 550 件时,P=51,则当 100<x<550 时, 得到 P 为分段函数,写出解析式即可; 解答: 解: (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元时,一次订购量为 x0 个,则

因此,当一次订购量为 550 个时,每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元. (2)当 0<x≤100 时,P=60 当 100<x<550 时, 当 x≥550 时,P=51

所以



点评: 本小题主要考查函数的基本知识,考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力.

19. (16 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,F1、F2 分别为椭圆 C 的左、

右焦点,若椭圆 C 的焦距为 2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 M 为椭圆上任意一点,以 M 为圆心,MF1 为半径作圆 M,当圆 M 与椭圆的右准线 l 有公共点时,求△ MF1F2 面积的最大值. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)根据焦距为 2 求出 c 的值,再由离心率为 可求出 a 的值,进而得到 b 的值, 则椭圆方程可求; (2)先设 M 的坐标为(x0,y0)根据题意满足 ,再表示出直线 l 的方程,由圆
2

M 与 l 有公共点可得到 M 到 l 的距离 4﹣x0 小于或等于圆的 半径 R, 整理可得到关系 y0 +10x0 ﹣15≥0, 再由 消去 y0, 求出 x0 的取值范围, 写出△ MF1F2 面积后即可求出最大值. ,∴c=1,a=2,

解答: 解: (1)∵2c=2,且 ∴b =a ﹣c =3. 则椭圆 C 的方程为 ;
2 2 2

(2)设点 M 的坐标为(x0,y0) , 则 . ,

∵F1(﹣1,0) ,

∴直线 l 的方程为 x=4.

由于圆 M 与 l 有公共点, ∴M 到 l 的距离 4﹣ x0 小于或等于圆的半径 R. 2 2 2 2 ∵R =MF1 =(x0+1) +y0 , 2 2 2 ∴(4﹣x0) ≤(x0+1) +y0 , 2 即 y0 +10x0﹣15≥0. 又 ,∴3﹣ +10x0﹣15≥0.

解得: ∴ ∴ ,当

,又 时, ×2× =

, , .

点评: 本题主要考查椭圆的标准方程及其简单性质, 考查直线与椭圆、 圆与椭圆的交点问 题,解答此题的关键在于不等式的转化,属难题. 20. (16 分)已知函数 f(x)=x ﹣ax ﹣3x (1)若 f(x)在区间上的最大值. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值; 利用导数研究函数的单调性; 函数在某点取得极 值的条件. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (1)求导函数,利用 f(x)在区间上的最大值为﹣6. 点评: 本题考查导数的应用,求极值和求最值,考查恒成立问题,考查学生等价转化问题 的能力,属于中档题. 21. (16 分) (文科)已知数列{an}满足:a1=1,a2= ,且 an+2﹣2an+2=0,n∈N . (Ⅰ)求 a3,a4,a5,a6 的值及数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=a2n﹣1?a2n,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)通过 n=1,2,3,4,计算可得 a3,a4,a5,a6 的值,讨论 n 为奇数和偶数, 由等差数列和等比数列的通项即可得到数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求出 bn=(2n﹣1)?( ) ,运用错位相减法, 即可得到数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解答: 解: (Ⅰ)a1=1,a2= ,且 an+2﹣2an+2=0, 则 2a3﹣2a1﹣4=0,解得 a3=3, 4a4﹣2a2=0,解得 a4= ,
n * 3 2

2a5﹣2a3﹣4=0,解得 a5=5, 4a6﹣2a4=0,解得 a6= , 当 n 为奇数时,an+2=an+2,an=n; 当 n 为偶数时,an+2= an,an= .

即有 an=



(Ⅱ)由于 2n﹣1 为奇数,则 a2n﹣1=2n﹣1, 由于 2n 为偶数,则 a2n=( ) . 因此,bn=a2n﹣1?a2n=(2n﹣1)?( ) . Sn=1? +3?( ) +5?( ) +…+(2n﹣3)?( )
2 3 4 2 3 n﹣1 n n

+(2n﹣1)?( ) ,
n n+1

n

Sn=1?( ) +3?( ) +5?( ) +…+(2n﹣3)?( ) +(2n﹣1)?( ) 两式相减得 Sn=1? +2﹣(2n﹣1)?( )
n+1





= +2?

﹣(2n﹣1)?( )

n+1



化简可得,Sn=3﹣



点评: 本题考查等比数列和等差数列的通项和求和公式的运用, 同时考查错位相减法求数 列的和,考查运算能力,属于中档题. 22.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,A1A= 是 CC1 的中点. (1)求证:A1B⊥AM; (2)求二面角 B﹣AM﹣C 的平面角的大小. ,M

考点: 用空间向量求平面间的夹角. 专题: 空间角;空间向量及应用. 分析: (1)以 C 为原点,CB,CA,CC1 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, 由此利用向量法能证明 A1B⊥AM. (2) 求出平面 AMC 的一个法向量和平面 BAM 的法向量, 由此利用向量法能求出二面角 B ﹣AM﹣C 的平面角的大小. 解答: (1)证明:以 C 为原点,CB,CA,CC1 所在直线为 x,y,z 轴, 建立空间直角坐标系, 则 B(1,0,0) ,A(0, M(0,0, ∵ ) , ,0) , ,﹣ ) , , =(0,﹣ , ) ,

=(1,﹣

=0+3﹣3=0,

∴A1B⊥AM. (2)解:∵ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱,∴CC1⊥平面 ABC, 又 BC?平面 ABC,∴CC1⊥BC, ∵∠ACB=90°,即 BC⊥AC, 又 AC∩CC1=C,∴BC⊥平面 ACC1,即 BC⊥平面 AMC, ∴ =(1,0,0)是平面 AMC 的一个法向量,

设 =(x,y,z)是平面 BAM 的法向量, =(﹣1, ,0) , =(﹣1,0, ) ,





取 z=2,得 =( ∴cos< >=

) , = .

∴二面角 B﹣AM﹣C 的平面角的大小为 45°.

点评: 本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的大小的求法,解题时要认真审题,注 意空间中线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用,是中档题.


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