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1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积


1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的 棱柱、棱锥、 棱柱 表面积
付国教案

一.直棱柱的表面积 1.直棱柱的侧面积等于它的底面周长c .直棱柱的侧面积等于它的底面周长 和高h的乘积 的乘积, 和高 的乘积,即S直棱柱侧=c·h.

一.直棱柱的表面积 1.直棱柱的侧面积等于它的底面周长c .直棱柱的侧面积等于它的底面周长 和高h

的乘积 的乘积, 和高 的乘积,即S直棱柱侧=c·h.

2. 直棱柱的表面积就等于侧面积与上、下 直棱柱的表面积就等于侧面积与上 表面积就等于侧面积与上、 底面面积的和. 底面面积的和 3.斜棱柱的侧面积,可以先求出每个侧面 斜棱柱的侧面积,可以先求出每个侧面 斜棱柱的侧面积 的面积,然后求和,也可以用直截面周长 的面积,然后求和,也可以用直截面周长 与侧棱长的乘积来求. 与侧棱长的乘积来求 其中直截面就是和 棱垂直的截面. 棱垂直的截面 如果斜棱柱的侧棱长为l, 如果斜棱柱的侧棱长为 ,直截面的周长 为c’,则其侧面积的计算公式就是 , S侧=c’·l.

二.正棱锥的表面积 正棱锥的表面积 1. 正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜 正棱锥的侧面积等于它的底面周长 底面周长和 乘积的一半, 高乘积的一半,即S正棱锥侧= 1 na·h’. 其中 2 a为底面正多边形的边长,底面周长为 , 为底面正多边形的边长, 为底面正多边形的边长 底面周长为c, 斜高为h’, 斜高为 ,
h h'

a

二.正棱锥的表面积 正棱锥的表面积

h

h'

a

二.正棱锥的表面积 正棱锥的表面积 1. 正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜 正棱锥的侧面积等于它的底面周长 底面周长和 乘积的一半, 高乘积的一半,即S正棱锥侧= 1 na·h’. 其中 2 a为底面正多边形的边长,底面周长为 , 为底面正多边形的边长, 为底面正多边形的边长 底面周长为c, 斜高为h’, 斜高为 ,
h h'

a

如上图, 正四棱锥为例简单推导计算 如上图,以正四棱锥为例简单推导计算 公式。 公式。由于正四棱锥的侧面展开图是一些 全等的等腰三角形,底面是正多边形 正多边形, 全等的等腰三角形,底面是正多边形,若 设它的底面边长为 底面周长为4a, 底面边长为a, 设它的底面边长为 ,底面周长为 ,斜高 为h’,容易得到正四棱锥的侧面积计算公 , 1 1 式为S 式为 正四棱锥侧= 2 ·4a·h’= 2 ch’, , 对于正n棱锥 棱锥, 对于正 棱锥,其侧面积计算公式为 1 S正棱锥侧= 2 c·h’. 2.正棱锥的表面积等于正棱锥的侧面积 表面积等于正棱锥的 .正棱锥的表面积等于正棱锥的侧面积 底面积之和 之和. 与底面积之和

三. 正棱台的表面积
1 1.正棱台的侧面积是 .正棱台的侧面积是S= (c+c’)·h’,其中 , 2

上底面的周长为c’,下底面的周长为 , 上底面的周长为 ,下底面的周长为c,斜 高为h’. 高为
a' h h'

a

三. 正棱台的表面积
1 1.正棱台的侧面积是 .正棱台的侧面积是S= (c+c’)·h’,其中 , 2

上底面的周长为c’,下底面的周长为 , 上底面的周长为 ,下底面的周长为c,斜 高为h’. 高为
a' h h'

a

2.正棱台可以看作是用平行正棱锥底面 . 的平面截得的, 的平面截得的,因此正棱台的侧面展开图 是一些等腰梯形, 是一些等腰梯形, 设正棱台上、下底面周长为 , , 设正棱台上、下底面周长为c’,c,斜高 为h’,可得正棱台的侧面积 , 1 S正棱台侧 正棱台侧= (c+c’)·h’。 正棱台侧 。 2 3.正棱台的表面积等于它的侧面积与底 . 面积之和。 面积之和。

圆柱、圆锥、 四. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积 沿一条母线剪开后 (1)将圆柱沿一条母线剪开后,展开图 )将圆柱沿一条母线剪开 是一个矩形,这个矩形的一边为母线, 是一个矩形,这个矩形的一边为母线, 另一边为圆柱底面圆的圆周长, 另一边为圆柱底面圆的圆周长,设圆柱 底面半径为r,母线长为l, 底面半径为 ,母线长为 ,则侧面积 S圆柱侧=2πrl.
O`

O

(2)将圆锥沿一条母线剪开,展开在一 )将圆锥沿一条母线剪开, 个平面上,其展开图是一个扇形, 个平面上,其展开图是一个扇形,扇形的 半径为圆锥的母线,扇形的弧是圆锥底面 半径为圆锥的母线, 圆的圆周, 圆的圆周,因此该扇形的圆心角 θ=
2π r r为圆锥底面半径 l为圆锥 为圆锥底面半径, ,r为圆锥底面半径,l为圆锥 l

的母线长,根据扇形面积公式可得: 的母线长,根据扇形面积公式可得: 1 S圆锥侧= ·2πr·l=πrl,其中 为圆锥母线长, 为圆锥母线长, ,其中l为圆锥母线长 2 r为底面圆半径。 为底面圆半径。 为底面圆半径

S

θ

c=2π r

l

O

r

A

(3)圆台可以看成是用一个平行底面的 ) 平面截圆锥所得, 平面截圆锥所得,因此圆台的侧面展开图 是一个扇环,设圆台上、下底半径为r、 , 是一个扇环,设圆台上、下底半径为 、R, 母线长为l, 母线长为 ,
1 圆台侧=π(r+R)l= (c1+c2)l,其中 ,R 则S圆台侧 圆台侧 ,其中r, 2

分别为上、下底面圆半径, 分别为上、下底面圆半径,c1,c2分别为 为圆台的母线。 上、下底面圆周长,l为圆台的母线。 下底面圆周长, 为圆台的母线

S c1 c2 O1 l R O2 r

五.球的表面积 球的表面积 球面面积(也就是球的表面积) 球面面积(也就是球的表面积)等于它 表面积 的大圆面积的4倍, 大圆面积的 倍 其中R为球的半径 为球的半径. 即S球=4πR2,其中 为球的半径

一个长方体的长、 高分别为5、 例1. 一个长方体的长、宽、高分别为 、 4、3,求它的表面积。 、 ,求它的表面积。 解:长方体的表面积 S=2(5×4+4×3+5×3)=94. × × ×

已知正四棱锥底面正方形长为4cm, 例2. 已知正四棱锥底面正方形长为 , 高与斜高的夹角为30° 高与斜高的夹角为 °,求正四棱锥的侧 面积及全面积.(单位: 精确到0.01 ) 面积及全面积 (单位:cm2,精确到
P

解:正棱锥的高PO,斜 正棱锥的高 , 高PE,底面边心距 ,底面边心距OE 组成直角三角形。 组成直角三角形。 因为OE=2, , 因为 ∠OPE=30°, °
A

D O B E

C

OE 2 所以斜高 PE = sin 30° = 0.5 = 4

因此S 因此 侧=

1 2

ch’=32(cm2)
P

S全=S侧+S底=48(cm2)
D O A B E C

如图所示是一个容器的盖子, 例3. 如图所示是一个容器的盖子,它是用 一个正四棱台和一个球焊接而成的。 一个正四棱台和一个球焊接而成的。球的 半径为R, 半径为 ,正四棱台的两底面边长分别为 3R和2.5R,斜高为 和 ,斜高为0.6R; ; (1)求这个容器盖子的表面积; )求这个容器盖子的表面积; (2)若R=2cm,为盖子涂色时所用的涂 ) , 料每0.4kg可以涂 2,计算 可以涂1m 计算100个这样的盖 料每 可以涂 个这样的盖 子涂色需涂料多少千克(精确到 精确到0.1kg)。 子涂色需涂料多少千克 精确到 。

解:(1)因为 :( )
1 S正四棱台=4× ×(2.5R+3R)×0.6R × × 2 2 2

+(2.5R) +(3R)

=21.85R2. S球=4πR2. 因此, 因此,这个盖子的全面 积为S 积为 全=(21.85+4π)R2.

(2)取R=2,π=3.14,得 ) , , S全=137.67cm2. 又 (137.67×100)÷10000×0.4≈0.6(kg), × ÷ × , 因此涂100个这样的盖子共需涂料 个这样的盖子共需涂料0.6kg. 因此涂 个这样的盖子共需涂料

在球心同侧有相距9cm的两个平行截 例4. 在球心同侧有相距 的两个平行截 它们的面积分别为49πcm2和400π cm2, 面,它们的面积分别为 求球的表面积. 求球的表面积 解:由截面圆的面积分别 是49πcm2和400π cm2, 解得AO 解得 1=20cm, , BO2=7cm. 设OO1=x, 则OO2=x+9.
B A

O2 O1 O

所以R 所以 2=x2+202=(x+9)2+72. 解得x=15(cm). 解得 所以圆的半径R=25(cm). 所以圆的半径 所以S 所以 球=4πR2=2500π(cm2) π π
O2 O1 O B A

练习题: 练习题: 1. 将一个边长为a的正方体,切成27个全 将一个边长为 的正方体,切成 个全 的正方体 等的小正方体,则表面积增加了( 等的小正方体,则表面积增加了( B ) (A)6a2 ) (C)18a2 ) (B)12a2 ) (D)24a2 )

2. 在正方体的八个顶点中,有四个恰好是 在正方体的八个顶点中, 正四面体的顶点,则正方体的表面积与此 正四面体的顶点, 正四面体的表面积的比值为( B ) 正四面体的表面积的比值为( (A) 2 )
6 (C) ) 2

(B) 3 ) (D) 3 )
3

3. 侧面都是直角三角形的正三棱锥, 侧面都是直角三角形的正三棱锥, 底面边长为a, 底面边长为 ,该三棱锥的全面积是 ( A )
3+ 3 2 (A) 4 a ) 3+ 3 2 (C) ) a 2

3 2 (B) 4 a )

(D) 3 + ) (
2

3 2 )a 4

4. 球内接正方体的表面积与球的表面积 的比为( 的比为( A ) (A)2:π (B)3:π ) : ) : (C)4:π (D)6:π ) : ) :

5. 已知正六棱台的上、下底面边长分别 已知正六棱台的上、 是2 和4,高是 ,则这个棱台的侧面积等 ,高是2, 于

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