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集合专题突破


凤凰涅槃训练

集合 专题综合突破
一、小题突破
1.设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k﹣1?A 且 k+1?A,那么 k 是 A 的一 个“孤立元”,给定 A={1,2,3,4,5},则 A 的所有子集中,只有一个“孤立元”的集合共有 ( ) A.10 个B.11 个 C.12 个 D.13 个 2.已知集合 M={

(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使 得 x1x2+y1y2=0 成立,则称集合 M 是“Ω 集合”.给出下列 4 个集合: ①M={(x,y)|y= } ②M={(x,y)|y=e ﹣2} ③M={(x,y)|y=cosx} ④M={(x,y)|y=lnx} 其中所有“Ω 集合”的序号是( ) A.②③ B.③④ C.①②④ D.①③④ 2 2 3.设 a,b,c 为实数,f(x)=(x+a) (x +bx+c) ,g(x)=(ax+1) (cx +bx+1) .记集合 S=|x|f(x)=0,x∈R|,T=|x|g(x)=0,x∈R|,若 cardS,cardT 分别为集合元素 S,T 的元素 个数,则下列结论不可能的是( ) A.cardS=1,cardT=0 B.cardS=1,cardT=1 C.cardS=2,cardT=2 D.cardS=2,cardT=3 4.对于函数 f(x) ,若存在区间 A=[m,n],使得{y|y=f(x) ,x∈A}=A,则称函数 f(x)为 “和谐函数”,区间 A 为函数 f(x)的一个“和谐区间”.给出下列 4 个函数: ①f(x)=sin(
2 x

x) ;

②f(x)=2x ﹣1; x ③f(x)=|2 ﹣1|; ④f(x)=ln(x+1) . 其中存在唯一“和谐区间”的“和谐函数”为( ) A.①②③ B.②③④ C.①③ D.②③ 5.已知集合 A={x∈R| <2 <8},B={x∈R|﹣1<x<m+1},若 x∈B 成立的一个充分不必要 的条件是 x∈A,则实数 m 的取值范围是( ) A.m≥2 B.m≤2 C.m>2 D.﹣2<m<2 6.用 C(A)表示非空集合 A 中元素的个数,定义 若 A={1,2},B={x|(x +ax) (x +ax+2) =0},且 A*B=1,设实数 a 的所有可能取值构成集合 S,则 C(S)=( A.4 B.1 C.2 D.3 )
2 2 x

-1-

7.集合 P 具有性质“若 x∈P,则

”,就称集合 P 是伙伴关系的集合,集合 A={﹣1,0, )

, ,1,2,3,4}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为(

A.3 B.7 C.15 D.31 8.设 S 是整数集 Z 的非空子集,如果?a,b∈S 有 ab∈S,则称 S 关于数的乘法是封闭的, 若 T,V 是 Z 的两个不相交的非空子集,T∪V=Z,且?a,b,c∈T,有 abc∈T;?x,y,z∈V, 有 xyz∈V,则下列结论恒成立的是( ) A.T,V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B.T,V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C.T,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D.T,V 中每一个关于乘法都是封闭的 9.现规定:A 是一些点构成的集合,若连接点集 A 内任意两点的线段,当该线段上所有点 仍在点集 A 内时,则称该点集 A 是连通集,下列点集是连通集的是( ) x A.函数 y=2 图象上的点构成的集合 B.旋转体表面及其内部点构成的集合 C.扇形边界及其内部点构成的集合 D.正四面体表面及其内部点构成的集合 10.设集合 S={A0,A1,A2,A3,A4},在 S 上定义运算⊙为:Ai⊙Aj=Ak,其中 k=|i﹣j|, i,j=0,1,2,3,4.那么满足条件(Ai⊙Aj)⊙A2=A1(Ai,Aj∈S)的有序数对(i,j)共 有( ) A.12 个B.8 个 C.6 个 D.4 个 11. 集合 P={x|x=a+b , a∈N , b∈N }若 x∈P, y∈P 时, 有 x⊕y∈P, 则运算⊕可能是 ( A.加法减法乘法 B.加法乘法 C.加法减法除法 D.乘法除法
* *



12.设集合 X 是实数集 R 的子集,如果点 x0∈R 满足:对任意 a>0,都存在 x∈X,使得 0 <|x﹣x0|<a,称 x0 为集合 X 的聚点.用 Z 表示整数集,则在下列集合中: ① ; ②{x|x∈R,x≠0};③ ; ④整数集 Z

以 0 为聚点的集合有( ) A.②③ B.①④ C.①③ D.①②④ 13.对于集合 M、N,定义 M﹣N={x|x∈M,且 x?N},M△ N=(M﹣N)∪(N﹣M) ,设 2 A={t|t=x ﹣3x,x∈R},B={x|y=lg(﹣x)},则 A△ B=( ) A. (﹣ ,0] B.[﹣ ,0) C. (﹣∞,﹣ )∪[0,+∞) D. (﹣∞, ﹣ ]∪ (0, +∞) )

14.已知 M={(x,y)|2x+3y=4320,x,y∈N},N={(x,y)|4x﹣3y=1,x,y∈N},则( A.M 是有限集,N 是有限集 B.M 是有限集,N 是无限集 C.M 是无限集,N 是有限集 D.M 是无限集,N 是无限集 15.设非空集合 M 同时满足下列两个条件: ①M?{1,2,3,…,n﹣1}; ②若 a∈M,则 n﹣a∈M, (n≥2,n∈N+) . 则下列结论正确的是( ) A.若 n 为偶数,则集合 M 的个数为 个

-2-

B.若 n 为偶数,则集合 M 的个数为 C.若 n 为奇数,则集合 M 的个数为 D.若 n 为奇数,则集合 M 的个数为 16. 设
*

个 个 个 , ≤x≤1, k=2, 3, …, 2015},

Ak=A1∪A2∪A3∪…An, n∈N , 设集合 Ak={y|y=



Ak=(



A.?

B.[2,

] ]

C.{2} D.[2,

17.若 X 是一个集合,τ 是一个以 X 的某些子集为元素的集合,且满足:①X 属于 τ,?属 于 τ;②τ 中任意多个元素的并集属于 τ;③τ 中任意多个元素的交集属于 τ.则称 τ 是集合 X 上的一个拓扑.已知集合 X={a,b,c},对于下面给出的四个集合 τ: ①τ={?,{a},{c},{a,b,c}}; ②τ={?,{b},{c},{b,c},{a,b,c}}; ③τ={?,{a},{a,b},{a,c}}; ④τ={?,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}. 其中是集合 X 上的拓扑的集合 τ 的序号是 . 18.在平面直角坐标系中,定义 d(P,Q)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点 P(x1,y1) ,Q(x2, y2)之间的“折线距离”.在这个定义下,给出下列命题: ①到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合是一个正方形; ②到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合是一个圆; ③到 M(﹣1,0) ,N(1,0)两点的“折线距离”之和为 4 的点的集合是面积为 6 的六边形; ④到 M(﹣1,0) ,N(1,0)两点的“折线距离”差的绝对值为 1 的点的集合是两条平行线. 其中正确的命题是 . (写出所有正确命题的序号) 19.设 S 为复数集 C 的非空子集.若对任意 x,y∈S,都有 x+y,x﹣y,xy∈S,则称 S 为封 闭集.下列命题: ①集合 S={a+bi|(a,b 为整数,i 为虚数单位)}为封闭集; ②若 S 为封闭集,则一定有 0∈S; ③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集,则满足 S?T?C 的任意集合 T 也是封闭集. 其中真命题是 . (写出所有真命题的序号) 20.设集合 Sn={1,2,3,…,n},若 X?Sn,把 X 的所有元素的乘积称为 X 的容量(若 X 中只有一个元素,则该元素的数值即为它的容量,规定空集的容量为 0) .若 X 的容量为奇 (偶)数,则称 X 为 Sn 的奇(偶)子集.若 n=4,则 Sn 的所有偶子集的容量之和为 .

-3-

21.设有限集合 A={x|x=ai,i≤n,i∈N+,n∈N+},则

叫做集合 A 的和,记作 SA.若集

合 P={x|x=2n﹣1,n∈N+,n≤4},集合 P 的含有 3 个元素的全体子集分别为 P1、P2…、Pk, 则 = .

22.设 M 是由满足下列性质的函数 f(x)构成的集合:在定义域内存在 x0,使得 f(x0+1) =f(x0)+f(1)成立.已知下列函数:① ④f(x)=cosπx,其中属于集合 M 的函数是 23.设互不相等的正整数 a1,a2,…,an(n≥2,n∈N+)组成的集合为 M={ a1,a2,…,an}, 定义集合 S={(a,b)|a∈M,b∈M,a﹣b∈M}. (1)若 M={1,2,3,4},则集合 S 中的元素最多有 个. (2)若 M={ a1,a2,…,an},则集合 S 是的元素最多有 个. 24.若三个非零且互不相等的实数 a、b、c 满足 + = ,则称 a、b、c 是调和的;若满足 a+c=2b,则称 a、b、c 是等差的.若集合 P 中元素 a、b、c 既是调和的,又是等差的,则称 集合 P 为“好集”.若集合 M={x||x|≤2014,x∈Z},集合 P={a,b,c}?M.则: (1)“好集”P 中的元素最大值为 ; (2)“好集”P 的个数为 . 25.给定数集 A.若对于任意 a,b∈A,有 a+b∈A,且 a﹣b∈A,则称集合 A 为闭集合.给 出如下四个结论: ①集合 A={﹣4,﹣2,0,2,4}为闭集合; ②集合 A={n|n=3k,k∈Z}为闭集合; ③若集合 A1,A2 为闭集合,则 A1∪A2 为闭集合; ④若集合 A1,A2 为闭集合,且 A1?R,A2?R,则存在 c∈R,使得 c?(A1∪A2) . 其中,全部正确结论的序号是 . 26.已知[x]表示不超过 x 的最大整数,例如[﹣1.5]=﹣2,[1.5]=1.设函数 f(x)=[x[x]], * 当 x∈[0,n) (n∈N )时,函数 f(x)的值域为集合 A,则 A 中的元素个数为 . 27.已知集合 M={1,2,3,…,100},A 是集合 M 的非空子集,把集合 A 中的各元素之和 记作 S(A) . ①满足 S(A)=8 的集合 A 的个数为 ; ②S(A)的所有不同取值的个数为 . 28.设集合 X 是实数集 R 上的子集,如果 x0∈R 满足:对?a>0,都?x∈X,使得 0<|x﹣x0| <a,那么称 x0 为集合 X 的聚点,用 Z 表示整数集,则给出下列集合:其中以 0 为聚点的 集合的序号有 (写出所有正确集合的序号) ①{ ③{
2

;②f(x)=2 ;③f(x)=lg(x +2) ;

x

2

|n∈Z,n≥0};②R/{0}(R 中除去元素 0) ; };④整数集 Z.

29.设集合 A={x|x ﹣|x+a|+2a<0,a∈R},B={x|x<2}.若 A≠?且 A?B,则实数 a 的取值范 围是 .

-4-

30. 对于集合 M, 定义函数 fM (x) =

对于两个集合 M, N, 定义集合 M△ N={x|fM

(x)?fN(x)=﹣1}.已知 A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,16}. (1)用列举法写出集合 A△ B= ; (2)用 Card(M)表示有限集合 M 所含元素的个数,当 Card(X△ A)+Card(X△ B)取最 小值时集合 X 的可能情况有 种.

二、解答题突破
1.已知集合 P= ,y=log2(ax ﹣2x+2)的定义域为 Q.
2

(1)若 P∩Q≠?,求实数 a 的取值范围; (2)若方程 ,求实数 a 的取值的取值范围.

2.已知集合 A={a1,a2,a3,…,an},其中 ai∈R(1≤i≤n,n>2) ,k(A)表示 ai+aj(1≤i< j≤n)中所有不同值的个数. (1)已知集合 P={2,4,6,8},Q={2,4,8,16},分别求 k(P)和 k(Q) ; (2)若集合 A={2,4,8,…,2 },证明:
n



(3)求 k(A)的最小值. 3.已知集合 A={a1,a2,…,ak(k≥2)},其中 ai∈Z(i=1,2,…,k) ,由 A 中的元素构成 两个相应的集合:S={(a,b)|a∈A,b∈A,a+b∈A},T={(a,b)|a∈A,b∈A,a﹣b∈A}.其 中(a,b)是有序数对,集合 S 和 T 中的元素个数分别为 m 和 n.若对于任意的 a∈A,总 有﹣a?A,则称集合 A 具有性质 P. (Ⅰ)检验集合{0,1,2,3}与{﹣1,2,3}是否具有性质 P 并对其中具有性质 P 的集合, 写出相应的集合 S 和 T; (Ⅱ)对任何具有性质 P 的集合 A,证明: ;

(Ⅲ)判断 m 和 n 的大小关系,并证明你的结论. 4.设 A 是由有限个正整数组成的集合,若存在两个集合 B,C 满足: ①B∩C=?; ②B∪C=A; ③B 的元素之和等于 C 的元素之和. 则称集合 A“可均分”,否则称 A“不可均分”. n * (Ⅰ)判断集合 M={1,3,9,27,…,3 }(n∈N )是否“可均分”,并说明理由; (Ⅱ)求证:集合 A={2015+1,2015+2,…,2015+93}“可均分”; (Ⅲ)求出所有的正整整 k,使得 A={2015+1,2015+2,…,2015+k}“可均分”. 2 5. 已知 a, b, c∈R, 二次函数 f (x) =ax +bx+c, 集合 A={x|f (x) =ax+b}, B={x|f (x) =cx+a}. (Ⅰ)若 a=b=2c,求集合 B; (Ⅱ)若 A∪B={0,m,n}(m<n) ,求实数 m,n 的值. x 6.已知集合 A={x|3≤x<6},B={y|y=2 ,2≤x<3}. (1)分别求 A∩B, (?RB)∪A; (2)已知 C={x|a<x<a+1},若 C?B,求实数 a 的取值范围.

-5-

7.设集合 A={a1,a2,…,an}(ai∈N ,i=1,2,3,…,n,n∈N ) ,若存在非空集合 B,C, 使得 B∩C=?,B∪C=A,且集合 B 的所有元素之和等于集合 C 的所有元素之和,则称集合 A 为“最强集合”. (1)若“最强集合”A={1,2,3,4,m},求 m 的所有可能值; (2)若集合 A 的所有 n﹣1 元子集都是“最强集合”,求 n 的最小值. 8.已知非空有限实数集 S 的所有非空子集依次记为 S1,S2,S3,…,集合 Sk 中所有元素的 平均值记为 bk. 将所有 bk 组成数组 T: b1, b2, b3, …, 数组 T 中所有数的平均值记为 m (T) . (1)若 S={1,2},求 m(T) ; * (2)若 S={a1,a2,…,an}(n∈N ,n≥2) ,求 m(T) . 9.设 A 是集合 P={1,2,3,…,n}的一个 k 元子集(即由 k 个元素组成的集合) ,且 A 的 任何两个子集的元素之和不相等;而对于集合 P 的包含集合 A 的任意 k+1 元子集 B,则存 在 B 的两个子集,使这两个子集的元素之和相等. (1)当 n=6 时,试写出一个三元子集 A. (2)当 n=16 时,求证:k≤5,并求集合 A 的元素之和 S 的最大值. 10.集合 A={x|﹣2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m﹣1}. (1)若 B?A,求实数 m 的取值范围; (2)当 A 中的元素 x∈Z 时,求 A 的非空真子集的个数; (3)当 x∈R 时,若 A∩B=?,求实数 m 的取值范围. 11.集合 A 是由适合以下性质的函数 f(x)组成的,对于任意的 x≥0,f(x)∈[﹣2,4)且 f(x)在(0,+∞)上是增函数. (1)试判断 f1(x)= 及 f2(x)=4﹣6? ( ) (x≥0)是否在集合 A 中,若不在集
x

*

*

合 A 中,试说明理由; (2)对于(1)中你认为是集合 A 中的函数 f(x) ,不等式 f(x)+f(x+2)<2f(x+1)是 否对于任意 x≥0 总成立?试证明你的结论. 12.对于数集 X={﹣1,x1,x2,…x},其中 0<x1<x2<…<xn,n≥2,定义向量集 Y={ | = (s,t) ,s∈X,t∈X},若对任意 ∈Y,存在 ∈Y,使得 ? =0,则称 X 具有性质 P.

(Ⅰ)判断{﹣1,1,2}是否具有性质 P; (Ⅱ)若 x>2,且{﹣1,1,2,x}具有性质 P,求 x 的值; (Ⅲ)若 X 具有性质 P,求证:1∈,且当 xn>1 时,x1=1. 2 13.已知函数 f(x)=x +1,g(x)=4x+1,的定义域都是集合 A,函数 f(x)和 g(x)的 值域分别为 S 和 T, ①若 A=[1,2],求 S∩T ②若 A=[0,m]且 S=T,求实数 m 的值 ③若对于集合 A 的任意一个数 x 的值都有 f(x)=g(x) ,求集合 A. 14.对于函数 f(x) ,若 f(x)=x,则称 x 为 f(x)的“不动点”;若 f[f(x)]=x,则称 x 为 f(x)的“周期点”,函数 f(x)的“不动点”和“周期点”的集合分别记为 A 和 B 即 A={x|f(x) =x},B={x|f[f(x)=x]}. (1)求证:A?B 2 (2)若 f(x)=ax ﹣1(a∈R,x∈R) ,且 A=B≠?,求实数 a 的取值范围. 2 15. 已知命题 P: 实数 a 满足|a﹣1|<6, 命题 Q: 集合 A={x|x + (a+2) x+1=0, x∈R}, B={x|x≥0} 且 A∩B=?.
-6-

(1)求命题 Q 为真命题时的实数 a 的取值范围; (2)设 P,Q 皆为真时 a 的取值范围为集合 S,T={y|y=x+ ,x∈R,m>0},若?RT?S,求 m 取值范围.

参考答案
一.选择题(共 16 小题) 1.D 2.A 3.D 4.D 5.C 6.D 7.C 11.B 12.A 13.C 14.B 15.B 16.D 二.填空题(共 14 小题) 17.②④ 18.①③④19.①② 25.②④ 20.112 21.48 22.②④ 27.65050 23.6 n(n-1) 29.[-2, ) 8.A 9.D 10.A

24.20121006

26.

28.②③

30.{1,6,10,16}16

-7-


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