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华师一2011届高三第一轮复习教案(第一章)第1讲--集合的概念与运算(一)


课 题: 集合的概念与运算(一) 教学内容: 集合的概念与运算 教学目的: 理解集合、子集、补集、交集、并集的概念。了解空集和全集的意义,了解属于、包含、相
等关系的意义,能熟练使用有关的术语和符号,能正确地表示一些较简单的集合。

教学重点: 交集、并集、补集的求法,集合语言、集合思想的运用 教学过程: 一、知识概要
教学要求: 一是要切

实掌握集合本身的知识和常见的习题类型; 二是要掌握集合的应用。 (即“集合语言”与“数学语言”“图形语言”的相互转化) 知识点 1 集合 某些指定的对象集在一起就成为一个集合。集合中每个对象叫做这个集合的元素

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指出: (1)集合是数学中不加定义的基本概念.构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象之 外,还可以是其他任何对象. (2)集合里元素的特性 确定性:集合的元素,必须是确定的.任何一个对象都能明确判断出它是或者不是某个集合的元素. 互异性:集合中任意两个元素都是不相同的,也就是同一个元素在集合中不能重复出现. 无序性:集合与组成它的元素顺序无关.如集合{a, b, c}与{c, a, b}是同一集合. (3)元素与集合的关系 如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A,记作 a∈A;如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于 集合 A,记作 a ?A(或 a ? A) . (4)集合的分类 集合的种类通常可分为有限集、无限集、空集(用记号 φ 表示) . 有限集:含有有限个元素的集合 (单元素集:只有一个元素的集合叫做单元素集。 ) 无限集:含有无限个元素的集合
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空集:不含任何元素的集合 记作 Φ,如: {x ? R | x ? 1 ? 0}
2
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(5)集合的表示方法 列举法:把集合中的元一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法。 描述法: 把集合中的元的公共属性描述出来, 写在大括号内表示集合的方法, 格式: {x∈A| P (x) (或 } {x | P(x)} 含义:在集合 A 中满足条件 P(x)的 x 的集合 注意两点:集合中的元具有性质 p ;具有性质 p 的元都在集合中。
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图示法:文氏图:用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。 (还有其他的表示方法,如数轴 表示法:用数轴里的点或范围来表示一个集合的方法;及坐标平面表示法:用坐标平面里的点或图形来表 示一个集合的方法等) 为了书写和应用的方便,规定常见的数集用特定的字母表示,即非负整数集(也称自然数集)记作 N。 正整数集记作 N*(或 N+) 。整数集记作 Z。有理数集记作 Q。实数集记作 R。 指出: (1)注意抓住集合中元素的 3 个性质,对互异性要注意检验; ( 2 ) 集 合 的 表 示 方 法 中 描 述 法 是 重 、 难 点 , 要 注 意 几 种 常 见 的 集 合 : A ? {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0} ;
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2 B ? { y | y ? x 2 ? 2x ? 1} ; C ? {( x, y) | y ? x ? 2x ? 1} ; E ? {x | x2 ? 2 x ? 3 ? 0}等。

知识点 2 集合与集合之间的关系 子集 对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,那么集合 A 叫做集合 B 的子 集,记作 A ? B (或 B ? A ) .
第一章 集合与简易逻辑(第 1 课时) 1

(2)子集的性质:任何一个集合是它本身的子集,即 A ? A ;空集是任何集合的子集,即 ? ? A ; 若 A ? B,B ? C ,则 A ? C ; (3)若有限集 A 有 n 个元素,则 A 的子集有 2 个,真子集有 2 ? 1 ,非空子集有 2 ? 1 个,非空真子
n n n

指出: (1)子集的定义也是证明子集的唯一的方法,即任给 x0 ? A, ? x0 ? B, 则 A ? B 。

集有 2 ? 2 个. 真子集 如果 A 是 B 的子集, 并且 B 中至少有一个元素不属于 A, 那么集合 A 叫做集合 B 的真子集, 记作 A ? B.
n

指出:真子集的性质:空集是任何非空集合的真子集,即若 A≠Φ,则 Φ ? A ;若 A 刎B, B

C, 则

A? C 。
集合的相等 一般地,对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,同时集合 B 的任何 .. ..
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一个元素都是集合 A 的元素,即如果 A ? B,同时 B ? A,我们就说集合 A 等于集合 B,记作 A=B 知识点 3 集合的运算 交集 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A 与 B 的交集,记作 A ? B . 即 A ? B ? ?x | x ? A且x ? B?。 指出: (1)集合运算的性质:交换律:A∩B=B∩A;结合律:(A∩B)∩C=A∩(B∩C); (2) A ? ? ? ? ; A ? A ? A; A ? B ? A, A ? B ? B , (3) A ? B ? A ? B ? A 。 (重要的常用结论,要切实掌握) 并集 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A 与 B 的并集,记作 A ? B , 即 A ? B ? ?x | x ? A或x ? B?。 指出: (1)集合运算的性质:交换律:A∪B=B∪A;结合律:(A∪B) ∪C=A∪(B∪C); 分配律:A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C); A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C). (2) A ? ? ? A , A ? A ? A 。 (3) A ? B ? A ? A ? B, A ? B ? B ? ? B. (4) A ? B ? A ? B ? B 。 (重要的常用结论,要切实掌握)

补集 已知全集 I,集合 A ? I,由 I 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做集合 A 在集合 I 中的补集,记 作 CI A ? ?x | x ? I 且x ? A? 。 指出: (1)集合运算的性质: CU (CU A) ? A ; A ? CU A ? ?; A ? CU A ? U . 补充的有关结论: (1)对偶原理: CU A ? CU B ? CU ( A ? B) , CU A ? CU B ? CU ( A ? B) 。 (2)有限集合 A ? B 中元素个数的计算公式:Card ( A ? B) ? Card ( A) ? Card ( B) ? Card ( A ? B) 。 (3)要正确进行“集合语言”、“数学语言”“图形语言”的相互转化. (4)含参数的问题,要注意讨论的基点,分类讨论时要防止在空集上出问题;

二、典例解析
第一章 集合与简易逻辑(第 1 课时) 2

例 1 (集合的概念) 设含有三个实数的集合可表示为{a, a+d, a+2d},也可表示为{a, aq, aq2},其中 a、d、q∈R,求常数 q.

?a ? d ? aq, 解:依元素的互异性可知,a≠0, d≠0, q≠0, q≠±1. 由两集合相等,有(1) ? 2 ?a ? 2d ? aq ?a ? d ? aq 2 , 或(2) ? ?a ? 2d ? aq.
由(1)得 a+2a(q-1)=aq2,∵a≠0,∴q2-2q+1=0.∴q=1(舍去) .由(2)得 a+2a(q2-1)=aq, ∵a≠0, ∴2q2-q-1=0 ? q=1 或 q=综上所述,q=-

1 1 .∵q≠1,∴q=- . 2 2

1 . 2 1 2 (a -3a-8), a3+a2+3a+7},且 2

例 2(集合的概念) 若 A={2, 4, a3-2a2-a+7}, B={1, a+1, a2-2a+2, A∩B={2, 5},试求实数 a 的值. 解:∵ A ? B ? ?2,5? ? A ,∴a3-2a2-a+7=5,由此求得 a=2 或 a=± 1.

当 a=1 时,a2-2a+2=1,与元素的互异性相矛盾,故应舍去 a=1. 当 a=-1 时,B={1, 0, 5, 2, 4},与 A∩B={2, 5}相矛盾,故又舍去 a=-1. 当 a=2 时,A={2, 4, 5},B={1, 3, 2, 5, 25},此时,A∩B={2, 5}满足题设. 故 a=2 为所求. 例 3 (集合的运算) 设函数 f ( x) ? lg(2 x ? 3) 的定义域为集合 M,函数 g ( x) ? 1 ? 为集合 N.求: (1)集合 M,N;

2 的定义域 x ?1

(2)集合 M ? N , M ? N .

解: (Ⅰ) M ? {x | 2 x ? 3 ? 0} ? {x | x ? } ;

3 2

N ? {x | 1 ?

2 x?3 ? 0} ? {x | ? 0 |} ? {x | x ? 3或x ? 1} 。 x ?1 x ?1 3 (Ⅱ) M ? N ? {x | x ? 3} ; M ? N ? {x | x ? 1或x ? } 。 2
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例 4(集合与方程) 集合 A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|log2(x2-5x+8)=1},C={x|x2+2x-8=0},求当 a 取什么实数时,A∩B ? 和 A∩C= ? 同时成立 解 log2(x2-5x+8)=1,由此得 x2-5x+8=2,∴B={2,3} 由 x2+2x-8=0,∴C={2,-4}。又 A∩C= ? ∴2 和-4 都不是关于 x 的方程 x2-ax+a2-19=0 的解, A∩B ? ,即 A∩B≠ ? ,∴3 是关于 x 的方程 x2 而 2 -ax+a -19=0 的解,∴可得 a=5 或 a=-2 当 a=5 时,得 A={2,3},∴A∩C={2},这与 A∩C= ? 不符合,所以 a=5(舍去); 当 a=-2 时,可以求得 A={3,-5},符合 A∩C= ? ,A∩B ? ,∴a=-2 例 5(集合与方程) 已知三个集合 A={x|x2-3x+2=0}, B={x|x2-ax+a-1=0}, C={x|x2-bx+2=0},问:同时 满足 B ? A,A∪C=A 的实数 a、b 是否存在?若存在,求出 a、b;若不存在,请说明理由.
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解:∵A={x|x2-3x+2=0}={2, 1},B={x|x2-ax+a-1=0}={x|(x-1)[x-(a-1)]=0},又∵B ? A,∴a-1=1. ∴a=2.∵A∪C=A, ∴C ? A.则 C 中元素有以下三种情况: (1)若 C=φ 时,即方程 x2-bx+2=0 无实根.∴△=b2-8<0. ∴- 2 2 <b< 2 2 .
第一章 集合与简易逻辑(第 1 课时) 3

(2)若 C={1}或{2}时,即方程 x2-bx+2=0 有两个相等的实根. ∴△b2-8=0.∴b=±2 2 .此时 C={ 2 } 或{- 2 }不符合题意,舍去. (3)若 C={1, 2}时,则 b=1+2=3,而两根之积恰好为 2. 综上所述,a=2, b=3 或- 2 2 <b< 2 2 . 例 6(集合与方程) 已知集合 A={(x,y)|x2+mx-y+2=0},B={(x,y)|x-y+1=0,0≤x≤2},如 果 A∩B≠ ? ,求实数 m 的取值范围 解:它的实际背景是“抛物线 x2+mx-y+2=0 与线段 x-y+1=0(0≤x≤2)有公共点,求实数 m 的取值
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? x 2 ? mx ? y ? 2 ? 0, 范围”注意这种数学符号与数学语言的转换。由 ? 得 ? x ? y ? 1 ? 0(0 ? x ? 2),
x2+(m-1)x+1=0 ① ∵A∩B≠ ? ,∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解 2 首先,由 Δ=(m-1) -4≥0,得 m≥3 或 m≤-1 当 m≥3 时,由 x1+x2=-(m-1)<0 及 x1x2=1 知,方程①只有负根,不符合要求; 当 m≤-1 时,由 x1+x2=-(m-1)>0 及 x1x2=1>0 知,方程①有两个互为倒数的正根 故必有一根 在区间(0,1]内,从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内 综上所述,所求 m 的取值范围是(-∞,-1] 指出 :上述解法应用了数形结合的思想 如果注意到抛物线 x 2 +mx-y+2=0 与线段 x-y+1=0 (0≤x≤2)的公共点在线段上,也可以利用公共点内分线段的比 λ 的取值范围建立关于 m 的不等式来解
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例 7(集合与不等式) 函数 f ?x ? ? 域为 B 。 (b ? 0, a ? R) (1)求 A ; 解: (1) A ? ? x 2 ?

2?

x?7 的定义域为 A , g ? x ? ? lg ?? 2 x ? b ?? ax ? 1? ? 的定义 ? ? x?2

(2)若 A ? B ,求 a

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b 的取值范围。

? ?

x?7 ? ? x?3 ? ? 0? ? ? x ? 0? ? ?? ?,?2? ? ?3,??? 。 x?2 ? ? x?2 ?
b 1 1? ?b ? ? 或x ? ? ,即 B ? ? ? ?,? ? ? ? ,?? ? , 2 a a? ?2 ? ?

(2)?2 x ? b??ax ? 1? ? 0 ,由 A ? B ,得 a ? 0 ,则 x ?

b ? 1 ? ?0 ? 2 ? 3 ? ?a ? ∴? 。 ?? 2 ?? 2 ? ? 1 ? 0 ?0 ? b ? 6 ? ? a ?
例 8(集合与不等式) 已知全集 I=R, A={x|x2-3x+2≤0}, B={x|x2-2ax+a≤0, a∈R},且 A∩B=B,求 a 的取值范围. 解: ∵A∩B=B,∴B ? A,化简 A={x|1≤x≤2}。 设 y=x2-2ax+a. (1)当△=(-2a)2-4a<0,即 0<a<1 时,B=φ,满足 B ? A. (2)当△=0,即 a=0 或 a=1 时, 若 a=0,则 y=x2,图象与 x 轴的交点的横坐标为 0,而 0 ?[1, 2],故 a=0 应舍去. 若 a=1,则 y=x2-2x+1=(x-1)2,图象与 x 轴交点的横坐标为 1,1∈[1, 2],故 a=1 满足条件. (3)当△>0 时,y=x2-2ax+a 的图象与 x 轴有两个交点,∵B ? A,∴方程 x2-2ax+a=0 的两根位
第一章 集合与简易逻辑(第 1 课时) 4

?1 ? a ? 2 , ?1 ? a ? 2 , ?1 ? a ? 2 , ? ? ? 2 ?a ? 1或a ? 0 , ?? ? 4a ? 4a ? 0 , ?a ? 1或a ? 0 , ? ?? ? ?a ? 1, ? a?? 于 1、2 之间.∴ ? ? f ( 1 ) ? 0, ?1 ? 2a ? a ? 0 , ? ?f(2)? 0 ?4 ? 4 a ? a ? 0 ?a ? 4 ? ? ? 3 ?
综合(1) (2) (3)得 0<a≤1.

三、课堂练习
1.已知集合 A ? {?1,1}, B ? {x | x2 ? 2ax ? b ? 0}, 若B ? ?且A ? B ? A ,求 a, b 的值 解:? A ? B ? A, B ? ?? B ? A且B ? ?, 故B有两种存在情况: (1)当 B 含有两个元素时: B ? A ? {?1,1}, 此时a ? 0, b ? ?1 ; (2)当 B 含有一个元素时: ? ? 4a ? 4b ? 0 ? a ? b
2 2
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若 B ? {1 时,有a 2 ? 2a ? 1 ? 0,? a ? 1, b ? 1 ; B ? {?1 时,有a 2 ? 2a ? 1 ? 0,? a ? ?1, b ? 1 。 若 } } 综上可知: ?
2

1 ?a ? 0 ?a= ?a ? ?1 , 或? ,或? 1 ?b ? ?1 ?b= ?b ? 1
2

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2.设 A ? {x x ? 4 x ? 0}, B ? {x x ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0}, 若B ? A ,求实数 a 的取值范围
2

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解:∵ B ? A ,则集合 B 需分两种情况求解:集合 A 中的元素 x 是集合 B 中的元素;集合 B 为空集
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A ? {x x 2 ? 4 x ? 0} ? {x x ? 0或x ? ?4} ? {0, ?4} ∵ B ? A ,B ? ?或B ? {0}或B ? {?4}或B ? {0, ?4}
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当 B ? ?时 ,即 x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 1 ? 0 无实根,由 ? ? 0 ,即 4(a ? 1) 2 ? 4(a 2 ? 1) ? 0 ,解得

a ? ?1 ;
当 B ? {0}时,由根与系数的关系: 0 ? 0=-2(a ? 1),? 0=a2 ?1 ? a ? ?1 0 当 B ? {?4} 时,由根与系数的关系: ?4 ? 4=-2(a ?1),(-4)? (?4)=a2 ?1 ? a ?? 当 B ? {0, ?4} 时,由根与系数的关系: 0 ? 4=-2(a ? 1),? (?4)=a ?1 ? a ? 1 0
2

综上所得 a ? 1或a ? ?1

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四、备选习题
1.设集合 A={1, 3, a}, B={1, a2-a+1},若 B ? A,求 A∪B. 解:由集合元素的互异性,知在 A 中,a≠1 且 a≠3,在 B 中,a2-a+1≠1,即 a≠0, 且 a≠0. (1)如果 a2-a+1=3,即 a=-1 或 a=2.则 a=-1 时,A∪B={1, 3, -1};a=2 时,A∪B={1, 3, 2}. (2)如果 a2-a+1=a,即 a=1,则不符合元素互异性,舍去. (3)如果 a≠-1 且 a≠2 且 a≠0 且 a≠1 且 a≠3,则 A∪B={1, 3, a, a2-a+1}. 2.已知集合 A ? {m, m ? d , m ? 2d}, B ? {m, mq, mq } , 其中m ? 0 , 且A ? B ,求 q 的值
2
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第一章

集合与简易逻辑(第 1 课时)

5

解:由 A ? B 可知, (1) ?

?m ? d ? m q
2 ?m ? 2 d ? m q

,或(2) ?

?m ? d ? m q2 ?m ? 2 d ? m q

解(1)得 q ? 1 ,解(2)得 q ? 1, 或q ? ? 所以, q ? ?

1 ,又因为当 q ? 1 时, m ? mq ? mq2 与题意不符 2

1 2

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3.已知全集 S ? {1,3, x3 ? x2 ? 2 x} ,A={1, 2 x ?1 }如果 CS A ? {0} ,则这样的实数 x 是否存在?若存在, 求出 x ,若不存在,说明理由
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解:分析:此题的关键是理解符号 CS A ? {0} 是两层含义: 0 ? S且0 ? A 。 ∵ CS A ? {0},∴ 0 ? S且0 ? A ,即 x ? x ? 2 x =0,解得 x1 ? 0, x2 ? ?1, x3 ? 2
3 2

当 x ? 0 时, 2x ? 1 ? 1 ,为 A 中元素; 当 x ? ?1 时, 2x ? 1 ? 3 ? S ; 当 x ? 2 时, 2x ?1 ? 3 ? S ,∴这样的实数 x 存在,是 x ? ?1 或 x ? 2
3 2
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3 方法二: CS A ? {0}, 0 ? S且0 ? A , ? A , x ? x ? 2 x =0 且 2x ?1 ? 3 , x ? ?1 或 x ? 2 ∵ ∴ ∴ ∴
4.已知 R 为全集, A ? {x | log 1 (3 ? x) ? ?2}, B ? {x |
2

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5 ? 1}, 求CR A ? B x?2

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解: 由 log 1 (3 ? x) ? ?2可解得- ? x ? 3 , A ? {x | ?1 ? x ? 3}, 故CR A ? {x | x ? ?1 ,或x ? 3} , 1
2



5 ? 1,可解得 ? 2 ? x ? 3, 故B ? {x | ?2 ? x ? 3} , x?2

?CR A ? B ? {x x ? ?1, 或x ? 3} ?{x | ?2 ? x ? 3} ? {x | ?2 ? x ? ?1, 或x ? 3}
5.已知集合 A={x|x2-4mx+2m+6=0, x∈R},若 A∩R-≠φ,求实数 m 的取值范围. 解:设全集 U={m|△=(-4m)2-4(2m+6)≥0}={m|m≤-1 或 m≥

3 }. 2

?m ? U , ? 3 3 ? 2 若方程 x -4mx+2m+6=0 的二根 x1、x2 均非负,则 ? x1 ? x 2 ? 4m ? 0, ? m ? . ∴{m|m≥ },∴关于 U 2 2 ? ? x1 x 2 ? 2m ? 6 ? 0 ?
的补集{m|m≤-1}即为所求. 6.已知集合 A={x|x2+px+q=0},B={x|qx2+px+1=0},A,B 同时满足 的值
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①A∩B≠ ? ,②A∩B={–2}

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求 p、q

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设 x0∈A, 0 是 x02+px0+q=0 的根 x

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若 x0=0, A={–2,0}, p=2,q=0,B={– 则 ∴

1 } 2

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此时 A∩B= ?

与已知矛盾,故 x0≠0 将方程 x02+px0+q=0 两边除以 x02,得 q(
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1 2 1 ) ? p( ) ? 1 ? 0 x0 x0

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1 满足 B 中的方 x0
6

第一章

集合与简易逻辑(第 1 课时)

程, 故

1 ∈B ∵A∩ B ={–2},则–2∈A,且–2∈ B x0
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设 A={–2,x0}, B={ ? 则

1 1 且 ( , }, x0≠2。否则 A∩B= ? ) 2 x0
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若 x0=–

1 1 , 则 –2∈B,与–2 ? B 矛盾 2 x0

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又由 A∩B≠ ? ,∴x0=

1 , x0=± 即 1 x0

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即 A={–2,1}或 A={–2,–1}

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故方程 x2+px+q=0 有两个不相等的实数根–2, 或–2, 1 –1。 ? ∴
2 7. 已知 A ? {x | x ? 9}, B ? {x |

? p ? ?(?2 ? 1) ? 1 ? p ? ?(?2 ? 1) ? 3 。 , 或? ?q ? (?2) ? 1 ? ?2 ?q ? (?2) ? (?1) ? 2

x?7 ? 0, C ? {x || x ? 2 |? 4}. x ?1
(2)若 U ? R ,求 A ? C R ( B ? C )

(1)求 A ? B 及 A ? C ;

解:由 x 2 ? 9 ,则 x ? 3 ,或 x ? ?3 ,? A ? {x | x ? 3 ,或 x ? ?3} .又由不等式

x?7 ? 0 ,得 ? 1 ? x ? 7 , x ?1

? B ? {x | ?1 ? x ? 7}. 又由 x ? 2 ? 4 ,得 ? 2 ? x ? 6 ,? C ? {x |? ?2 ? x ? 6}.
(1) A ? B ? {x | 3 ? x ? 7} , A ? C ? {x | x ? ?3 ,或 x ? ?2 },

(2)

?U ? R, B ? C ? {x | ?1 ? x ? 6},? Cu ( B ? C ) ? {x | x ? ?1或x ? 6, ? A ? Cu ( B ? C ) ? {x | x ? 6或x ? ?3.
2x ? a ? 1 的解集为 P 2
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?

?

8.已知不等式 | 2 x ? 3 |?

(1)若 P≠ ? ,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a,使 P∩Z={6,8},若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

2x ? a ? 1 2x ? a ? 1 2x ? a ? 1 ? 2x ? 3 ? ,∴ ? , 2 2 2 2x ? a ?1 2x ? a ?1 )( 2 x ? 3 ? ) ? 0 ,即(4x-6+2x+a+1)(4x-6-2x-a-1)<0, ∴ (2 x ? 3 ? 2 2 5?a a?7 5?a a?7 ?x? ? ∴(6x+a-5)(2x-a-7)<0,∴ ,∴ ,∴a>-4。 6 2 6 2
解:(1) ∵ | 2 x ? 3 |?

5?a ? ?5 ? 6 ? 6 ?30 ? 5 ? a ? 36, ?? 31 ? a ? ?25, ? (2)若 P∩Z={6,8},则 ? ,∴ ? ∴? 无解 ?16 ? a ? 7 ? 18 ?9 ? a ? 11 ?8 ? a ? 7 ? 9 ? 2 ?
∴不存在满足要求的实数 a 。 9.设关于 x 的不等式|x-a|<2, a ? R )的解集为 A,不等式 ( (I)求集合 A,B;

(II)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围

2x ? 1 ? 1 的解集为 B。 x?2
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解 :( I ) 由 不 等 式 |x-a|<2 , 则 -2<x-a<2 , a-2<x<a+2 。 ∴A={x|a-2<x<a+2} 。 由 不 等 式

2x ? 1 x?3 ? 1, 则 ? 0 ,即:(x-3)(x+2)<0,解得:-2<x<3。∴B={x|a-2<x<3}。 x?2 x?2
第一章 集合与简易逻辑(第 1 课时) 7

(II)由 A ? B, 则? 10.函数 f ( x ) ?

?a ? 2 ? ?2 ,解得:0≤a≤1。即 A ? B时, a ? ?0,1?。 ?a ? 2 ? 3

2 ax 2? x 的定义域为集合 A ,关于 x 的不等式 2 x ?1

? 2 a ? x (a ? R) 的解集为 B ,求使 A ? B ? A
1 a }; 时, B ? {x | x ? 2 2a ? 1

的实数 a 的取值范围. 解: A ? {x | 1 ? x ? 2} , B ? {x | (2a ? 1) x ? a} 。则当 a ? 当a ?

1 1 a } ,又? A ? B ? A ? A ? B ,则 时,B=R;当 a ? 时, B ? {x | x ? 2 2 2a ? 1 1 1 1 ? ? ? ? a?2 ? a? 2 ? a? 2 1 1 2 1 ,? ? a ? ( , ) ,? a ? , A ? B ? A 成立。 ? ? a ? (??, ) 。 ? a a 1 2 2 3 2 ? ? ?2 ? 1 ?a ? 1, a ? 2 ? ?1 ? 2a ? 2a ? 1 2 综上所述: a ? (?? , ) 。 3 五、教学小结

第一章

集合与简易逻辑(第 1 课时)

8


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