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高二数学


高二数学(理)(选修 2-2·人教 A 版)学业水平测试(1)
2012∽2013 下学期

(测试范围:选修 2-2 第二章 第三章)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(每小题5分,共60分.下列每小题所给选项只有一

项符合题意,请将 正确答案的序号填涂在答题卡上)
1. (2012·海南琼海市期中)复数 z ? A. 1 ? 1 i 2 2 1. 答案:B 1 (1+i) 1 1 解析:z= = = + i 1-i (1-i)(1+i) 2 2 1 1 所以,z 的共轭复数是 - i,选 B 2 2

1 的共轭复数是( 1? i
C.1 ? i

) D.1 ? i

B. 1 ? 1 i 2 2

2. (2012·广东惠阳一中期末) “凡自然数是整数, 4 是自然数,所以 4 是整数.”以上三段 推理 A.完全正确 ( ) B.推理形式不正确

C.不正确,因为两个“自然数”概念不一致 D.不正确,因为两个“整数”概念不一致 2. 答案:A 解析:三段论推理的大小前提正确,过程正确,则结果必然正确。凡自然数是整数,大前提 正确; 4 是自然数,小前提正确;所以 4 是整数,推理正确,选 A 【误区分析】 (1) 本题考查了演绎推理的重要形式三段论。 (2) 要求准确利用三段论的形式, 保证大小前提正确,过程无误。 (3)易出的错误是三段论的三个“段”搞不准,大小前提也 会出错。 3. (2012·山东泰安市期末)给出下面四个类比结论,其中正确的是( )

A.实数 a,b, 若 ab ? 0 则 a ? 0 或 b ? 0 ;类比向量 a,b, 若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0
2 2 2 2 B.实数 a, b 有 a ? b ? 0 ,则 a ? b ? 0 ;类比复数 z1,z2 有 z1 ? z 2 ? 0 ,则 z1 ? z 2 ? 0
2 2 2 2 C.实数 a,b, 有 (a ? b) ? a ? 2ab ? b ; 类比向量 a,b, (a ? b) ? a ? 2a ? b ? b 2 2

2

D.向量 a ,有 a 3.答案:C

? a ;类比复数 z ,有 z ? z 2
2

2

解析:题目涉及到复数的概念、运算和性质。对 A,若 a ⊥ b ,则 a · b =0。对 B,z1=1+i z2=1-i,也满足。对 D,等式两边不等,左边是实数,右边是复数。故只有 C 正确。 【误区分析】 (1)本题较全面的考查了复数的知识和类比推理的内容(2)需要熟练的掌握 推理的方法和复数的知识。 (3)易犯的错误是向量之积为 0,认为两个向量为 0 和认为

z ? z 2 成立。
2

4.(2012·山东鄄城市期中)用反证法证明命题: “己知 a、b 是自然数,若 a+b≥3,则 a、 b 中至少有一个不小于 2” ,提出的假设应该是( ) A.a、b 中至少有二个不小于 2 B.a、b 中至少有一个小于 2 C.a、b 都小于 2 D.a、b 中至多有一个小于 2 4 答案:C 解析:用反证法证明命题的假设,从集合的角度去理解,原命题和假设互为补集。a、b 中 至少有一个不小于 2 的反面,就是 a、b 都小于 2,随意选 C 5 . 2012· 广 东 汕 头 市 高 二 下 调 研 ) 设 a, b, c, d ? R , 若 (

a ? bi 为实数,则( c ? di
D. bc ? ad ? 0

)

A. bc ? ad ? 0

B. bc ? ad ? 0

C. bc ? ad ? 0

5.答案:C a+bi (a+bi)(c+di) ac-bd+(ad+bc)i 解析:∵ = = 是实数,∴ad+bc=0,所以选 C 2 2 c-di (c-di)(c+di) c +d 6 . 2012· 安 工 大 附 中 月 考 ) 观 察 下 列 等 式 , 1 ? 2 ? 3 , 1 ? 2 ? 3 ? 6 , (
3 3 2 3 3 3 2

13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 102 根据上述规律, 13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 53 ? 63 ? (
A. 19
2

)

B. 20

2

C. 21

2

D. 22

2

6.答案:C 解析:可以观察出规律:左边是 n+1 个自然数的立方和,右边是这 n+1 个自然数的和的立方 7. (2012·山西忻州市期末) 现有如下错误推理: “复数是实数,i 是复数, 所以 i 是实数” . 其错误原因是( ) A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论” ,但大前提错误 D.使用了“三段论” ,但推理形式错误 7. 答案:C 解析:大前提“复数是实数”错误,反过来成立。 “复数是实数, i 是复数,所以 i 是实数” , 明显的使用了三段论推理,是演绎推理。 【误区分析】(1)题目考查了演绎推理的三段论形式; (2)判断应用三段论推理是否正确, 课本中有明确结论:大、小前提正确,推理形式正确,则结论必然正确; (3)三段论推理比 较容易出的错误是大前提,审题时一定要仔细。 8. (2012·山东威海市期中)已知复数 z 满足 z (1 ? i) ? 2 ? i ( i 为虚数单位) ,则 z 的虚部 为()

A. ? i

B. ?

1 i 2

C. ? 1

D. ?

1 2

8. 答案:D 解 析 : 设 复 数 z=a+bi(a,b ∈ R), 由 z(1+i)=2+i 可 得 , a+bi ) 1+i ) =2+i, 展 开 得 ( ( 1 a-b+(a+b)i=2+i,由复数相等可得 a-b=2,a+b=1,b=- ,选 D 2 【误区分析】 (1)本题考查的是复数的代数形式以及复数的四则运算; (2)解决的办法是设 出复数的代数形式,然后利用四则运算展开即可; (3)容易做错的地方是(i)2=-1 弄错。 9. (2012·山东临沂一中期末)推理:因为平行四边形对边平行且相等,而矩形是特殊的平 行四边形,所以矩形的对边平行且相等.以上推理的方法是( )

A.归纳推理 B.类比推理 C.演绎推理 D.以上都不是 9. 答案:C 解析:推理的形式是三段论, “因为平行四边形对边平行且相等”为大前提, “矩形是特殊的 平行四边形”是小前提, “所以矩形的对边平行且相等”为推理结论,所以为演绎推理。

10. (2012·河南信阳市调研)已知 O 是复平面的原点,如果向量 OA 和 OB 对应的复数分 别是 1 ? 2i 和 2 ? i ,那么向量 AB 对应的复数是( ) A. ? 1 ? 3i 10. 答案:B B. 1 ? 3i C. 3 ? i D. 3 ? 3i

解析:由复数的减法运算, AB = OB - OA =2+i-(1-2i)=1+3i,所以选 B。
· · 11. (原创)在等差数列 ?an ? 中,若 an ? 0 ,公差 d ? 0 ,则有 a4 a6 ? a3 a7 ,类比上述性质,

在等比数列 ?bn ? 中,若 bn ? 0,q ? 1 ,则 b4,b5,b7,b8 的一个不等关系是(



A. b4 ? b8 ? b5 ? b7 B. b5 ? b7 ? b4 ? b8 C. b4 ? b7 ? b5 ? b8 D. b4 ? b5 ? b7 ? b8 11. 答案:A 解析:类比等差数列中的性质,左边偶数项的和,左边奇数项的和,可得 A 正确。 12. (2012·江西红色六校联考)下列那个图形可以与空间平行六面体进行类比( ) A、三角形 B、梯形 C、平行四边形 D、矩形 12 答案:C 解析:根据一个为平面,一个为空间几何体,底面为平行四边形,为共同的性质,可选 C。 【误区分析】 (1)本题考查的是类比推理的有关知识。 (2)解决这一类问题的关键是找准类 比的两种元素的相同点和不同点,如该题相同点是平行四边形,不同点为一个平面,一个是 空间。 (3)这种题目做不好的原因就是比较不出变化的元素。

第Ⅰ卷答案填写区域
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

第Ⅱ卷(非选择题
题号 选择题 填空题

90 分)
三、计算题 总分

13∽16 分数

17

18

19

20

21

22

注意事项: 1.第Ⅱ卷用 0.5mm 黑色签字笔直接答在试卷中(除题目有特殊规定外). 2.答卷前将密封线内项目填写清楚.

评卷人 得分

二、填空题(每题5分,共20分.把答案填在答题纸的横线上) ........ 1? i , 在复平面内, z 所对应 13. (2012·广东潮州市期中)复数 z ? 1 ? 1? i

的点在第 象限. 13. 答案:四 1-i (1-i)(1-i) 解析:z=1+ =1+ =1-I,对应点的坐标是(1,-1) ,所以在第四象限。 1+i (1+i)(1-i) 14. (2012·安徽工大附中期末)对于平面几何中的命题“夹在两平行线之间的平行线段相 等”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题______________. 14. 答案: 夹在两平行平面间的平行线段相等。 解析:由平面到空间,维数变化了,也由直线变为平面,结论可得。 15.(2012·河北邢台市调研)若复数 z 满足 z(1+i) =1-i (i 是虚数单位),则其共轭复数

z =.
15. 答案:i 1-i (1-i)(1-i) 解析:z= = =-I,故 z =i 1+i (1+i)(1-i) 16. (2012· 福建华安、 连城、 永安等六校联考)用数学归纳法证明 1+2+?+(2n+1)=(n+1)(2n+1) 时,从 n=k 到 n=k+1,左边需要增加的代数式是 16. 答案: (2k+2) (2k+3) 解析: 时, n=k 左边=1+2+?+(2k+1), n=k+1 时, 左边=1+2+?+(2k+1)+ (2k+2) +(2(k+1)+1), 比较可得,增加的项是(2k+2) (2k+3) 【误区分析】 (1)题目用到的知识点是数学归纳法的内容(2)此题只要找准从 n=k 到 n=k+1 式子的项的变化,就能正确的做出来。 (3)易出的错误为,漏掉了(2k+3)这一项。 三、解答题: (本题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤)

评卷人 得分
17.答案:-1

17. (本题满分 10 分) (2012·广东惠州市调研)已知复数 z1=1+2i, 2 z1 复数 z2 的共轭复数 z2 =3+4i.计算 z2
2 2

解析:z1 =(1+2i) =-3+4 i,???????4 分 由 z2 =3+4i 可得 z2=3-4i,???????8 分 z1 -3+4 i 所以 = =-1???????12 分 z2 3-4i
2

评卷人 得分

18.(本题满分 12 分)(2012·福建三明一中等三校联考)已知 a , b 为 实数,求证:(a +b )(a +b ) ≥(a +b ) .
4 4 2 2 3 3 2

证明:法一:∵ a,b 为实数, ∴ a b ≥0,(a-b) ≥0???????2 分 ∴ 左边-右边=(a +a b +a b +b )-(a +2a b +b ) =a b (a -2ab+b ) = a b (a-b) ≥0.???????10 分 ∴(a +b )(a +b ) ≥(a +b )
4 4 2 2 3 3 2 2 2 2 6 4 2 2 4 6 6 3 3 6 2 2 2 2 2 2 2

得证.???????12 分
4 4 2 2 2 2 2 3 3 2

法二:根据柯西不等式,有(a +b )(a +b ) ≥(a ·a+b ·b) =(a +b ) .???????10 分 ∴ (a +b )(a +b ) ≥(a +b ) 得证.???????12 分 法三:∵ a,b 为实数, ∴
6 3 3 4 4 2 2 3 3 2

左边=a +a b +a b +b ≥a +2 a b ·a b
6 3 3 2

6

4 2

2 4

6

6

4 2

2 4

+b ???????4 分

6

= a +2a b +b =(a +b ) ???????9 分 =右边???????10 分 ∴(a +b )(a +b ) ≥(a +b )
4 4 2 2 3 3 2

得证.???????12 分

【误区分析】 (1)本题考查了推理证明中的不等式的证明方法; (2)方法上可以选择各种证明 的方法,比如比较法、基本不等式法等(3)本题的难点在不等式两边字母的指数不同,方法的 选择上,不易确定。

评卷人 得分

19.(本题满分 12 分)(2012·江西名校联考期中)已知:a,b∈R , 求 a b 证: + ≥ b + a b a
+ 2

+

证明:法一: (作差比较法)a,b∈R ? ( a - b ) ≥0. ???????2 分 左边-右边= (a-b)( a b + b a = - b - a a - b ) ab
2

=

a - b ) ab

(a-b)(

???????8 分

=

( a + b )( a - b ) ab

≥0???????10 分



a b

+
+

b a

≥ b + a 得证???????12 分 ∴ a b b a + b ≥2 a + a ≥2 b ???????4 分 b a + a ≥2 a +2 b ???????10 分 得证. ???????12 分

法二∵ a,b∈R ,

二式相加得 ∴ a b

a b +

+ b + b a

≥ b + a

注:也可用分析法或综合法证明. 20. (本题满分 12 分) (2012·广东中山市期末)已知复数 z=(a+i) , ? =4-3i, 其中 a 是实数. (1)若在复平面内表示复数 z 的点位于第一象限, 求 a 的范围 z
2 3 8 ? 是纯虚数,a 是正实数 , ①求 a, ②求 ? +( ? ) +( ? ) ?+( ? ) 2

评卷人 得分 (2)若

z

z

z

z

20.答案:(1) a>1(2)①a=2 ②0 解析: (1) 易知 z=(a+i) =a -1+2ai, 由题意可知
2 2 2 2

?a 2 ? 1 ? 0 , 则 a>1.??.4 分 ? 2a ? 0 ?

(2) 由于 z

z

?

2 2 a -1+2ai (a -1+2ai)( 4+3i) (4 a -6a-4)+(3a +8a-3)i = 4-3i = (4-3i)(4+3i) = 25

????(8 分)



? 是纯虚数可知
1 ? a ? 2或a ? ? ?4a 2 ? 6a ? 4 ? 0 ? ? 2 即? ? 2 ? 3a ? 8a ? 3 ? 0 ? a ? ?3或a ? 1 ? 3 ?

又 a 为正实数, 则 a=2. 当 a=2 时, z z z z z

?????10 分

2 3 8 2 3 8 ? =i, 则 ? +( ? ) +( ? ) ?+( ? ) =i+i +i +?+i =0 =0.

???????12 分 【误区分析】 (1)本题主要考查复数的有关定义、运算和几何意义(2)复数的除法运算按 照分子分母同乘以分母的实数化因式进行,几何意义要找准复数与点的对应关系。 (3)这种 类型的题目容易进的误区是不是首先化简 展开,变得麻烦。 z
2 3 8 ? ,而是将 ? +( ? ) +( ? ) ?+( ? )

z

z

z

z

评卷人 得分

21.(本题满分 12 分)(2012·广西南宁市期中)已知 a,b,c 均为

实数,且 a=x -2y+

2

π

2 3 求证:a,b,c 中至少有一个大于 0

,b=y -2z+

2

π

,c=z -2x+

2

π

6

证明:假设 a,b,c 都不大于 0 ,即 a≤0,b≤0,c≤0,???????4 分 得 a+b+c≤0,??????6 分 而 a+b+c=(x-1) +(y-1) +(z-1) +π -3>0,???????8 分 即 a+b+c>0,与 a+b+c≤0 矛盾,故假设 a,b,c 都不大于 0 是错误的,??????10 分 所以 a,b,c 中至少有一个大于 0. ???????12 分 【误区分析】 (1)本题考查的是反证法解题,以及同向不等式的可加性。 (2)用反证法证明 题目时,要先假设出与原结论完全相反的结论,然后,由此结论利用题目条件得到与条件、 定理、性质或常识等矛盾的结果,肯定原命题正确即可。 (3)这一类题目容易出的错误是, 假设的结论不正确,如本题,假设 a,b,c 不都大于 0,要仔细推敲,原来的结论范围,与 假设的范围应该没有公共部分,并且,取并集为全集。 22.(本题满分 12 分) (2012·广东东莞市期中) 在数列{an}{bn}中, * a1=2,b1=4 且 an ,bn ,an+1 成等差数列,bn ,an+1,bn+1 成等比数列(n∈N ). (1)求 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4,由此猜测{an}{bn}的通项公式,并用 数学归纳法证明你的结论; 1 1 1 5 (2)证明: + +?+ < a1+ b1 a2+ b2 an + bn 12 22.答案: (1)a2=6, b2=9, a3=12, b3=16, a4=20, b4=25 2 解析: (1)2 bn = an + an+1 2bn ? a n ? a n ?1 ,an+1 = bn bn+1
2 2 2

评卷人 得分

得 a2=6, b2=9, a3=12, b3=16, a4=20, b4=25?? 2 分 2 于是猜测 an =n(n+1), bn =(n+1) ?? 4 分 下面用数学归纳法证明 2 ①当 n=1 时, 结论显然成立 ②假设 n=k 时, 结论成立。 ak=k(k+1), bk=(k+1) , 即 那么 n=k+1 2 ak+1 2 时,ak+1=2bk-ak=(k+1)(k+2),bk+1= =(k+2) ,所以,当 n=k+1 时结论成立,由(1) (2) bk 2 可知 an =n(n+1), bn =(n+1) 对一切正整数成立。?? 8 分 1 1 5 (2)证明:当 n=1 时, = < ,?? 9 分 a1+ b1 6 12 1 1 1 1 1 1 当 n≥2 时,an +bn=(n+1)(2n+1) ≥2n(n+1),所以 + +?+ < + ( a1+ b1 a2+ b2 an + bn 6 2 2×3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 + +?+ )= + ( - + - + +?+ )= + ( -)< + = ,故原 3×4 n(n+1) 6 2 2 3 3 4 4 n n+1 6 2 2 n+1 6 4 12 不等式成立。?? 12 分 【误区分析】 (1)本题考查了简易逻辑、数学归纳法证明命题的方法; (2)做题的方法是先 根据数列前面的有限项得到规律,从而归纳出通项公式; (3)次题在证明 n=k+1 时, ak+1=2bk-ak=(k+1)(k+2),bk+1= ak+1 2 =(k+2) 两个式子都要用到。 bk
2

高二数学(理)(选修 2-2·人教 A 版)学业水平测试(1)

2012∽2013 下学期

参考答案和评分细则
(测试范围:选修 2-2 第二章 命题意图
本卷主要考查了合情推理和演绎推理、直接证明和间接证明、复数的基本概念、复数的加法 和减法等;重点考查了演绎推理、数学归纳法、复数的乘法和除法本卷的最大亮点是: (1) 精选了全国各地的期中、 期末考试题以及部分重点学校的月考试题, 注重了对考生运用所学 知识分析问题、 解决问题能力的考查; (2) 原创、 改编的试题精心设计, 贴近学生实际水平, 体现了“以本定考”的理念; (3)试题层次、梯度分明,由浅入深,难易适中,所选试题涉 及的内容符合新课标、新教材的要求,充分体现了三维目标的整合,体现了“以标定卷”的 原则,是一套集检测、评价功能于一体的试卷. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C C C C C D C B A C

第三章 )

选修 2-2 第二章第三章 考点考查分布明细表
考点 题目 难易 程度 易 难 易 易 中 难 中 易 中 难 易 中 中 易 中 易 易 易 易 易 易 中 是否 达标 出错原因 或解题方法 感悟

合情推理和演绎推理

直接证明和间接证明

2 3 7 9 11 12 4 18 19 21 6 16 22 1 4 14 8 10 15 17 13 20

数学归纳法

复数的基本概念

复数的加法和减法

复数的乘法和除法 复数的几何意义

检测统计报告:
一、知识性错误统计:________________________________________________________. 二、方法性错误统计:________________________________________________________.

三、运算性错误统计:________________________________________________________. 四、其他错误统计:__________________________________________________________.

统计结果点评:
_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________.


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